Đề thi HSG Toán lớp 11 năm 2016-2017

Ề

Ớ

Ể

Ở S GD&ĐT THANH HÓA Ệ Ơ ƯỜ

NG THPT TRI U S N 3

Ọ Ộ Đ THI CH N Đ I TUY N HSG L P 11 ọ Năm h c: 20162017 Môn thi: TOÁN

ờ

ể ờ

Th i gian:

ề)

150 phút (không k th i gian giao đ

C (

)

Câu I (4,0 đi mể ) Cho hàm s ố

1 1

x 2 x ồ ị

ố ứ

ứ

ủ

ể

ọ

1. G i M là đi m thu c đ th (C), N là đi m đ i x ng c a M qua I(1;2). Ch ng minh

ể ộ ộ ồ ị ế

ớ ồ ị

ế ằ

ế

ế ng trình ti p tuy n v i đ th (C) bi

t r ng ti p tuy n song song v i đ

ớ ườ ng

ể 2. Vi = - y

ế t ph + x 4

ằ r ng đi m N cũng thu c đ th (C). ươ 5 th ng ẳ . Câu II (4,0 đi mể )

2. Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình

Câu III (4,0 đi mể )

+ x tan = ả ươ 1. Gi i ph ng trình: x sin x x 2 tan tan + 1 2 2 p � � + . � � 4 � � (cid:0) - - - - - (cid:0) x x y x 18 18 1 17 - = y 8 1 2 0 (cid:0) - - - - - (cid:0) y x = y x x 1 ( + y x )( ) + - y y ( 1) + x (1 ) 1 (cid:0)

ac (cid:0)

bc (cid:0)

= + + +

ố ự ươ ấ ị 1. Cho các s th c d và ỏ Tìm giá tr nh nh t có th đ ể ượ c

D a b c

, 1 bc

2017

a b c th a mãn , ỏ 8 1 abc ca + +

+ -

� + � � 3 1. 2.3

4 1. 3.4

2016.2017

1 1

ớ ạ

2. Tính gi

i h n sau

(cid:0) ứ ể ủ c a bi u th c ng 1 � � ab �

lim x 0

1... x

Câu IV (4,0 đi mể )

(cid:0)

12 2

ỏ

1. Cho

th a mãn

n n

Tìm

= + = + + + = a + p x ( ) x (1 2 ) + + ... + + ... a x n a 0 + a x a x 1 a 1 2 a 2 2 2 a 3 3 2 a 2

ườ

ệ

ổ ứ

ề ế ủ

ể

ớ

ị

2. Đoàn tr

ng THPT Tri u S n 3 t

ch c đi ki m tra n n p c a 4 l p trong d p 26/3.

ể

ấ ả

ộ ậ

ộ ớ

ầ

ỗ

ớ

ọ

Trong đoàn ki m tra có t

t c là 8 th y cô và m i th y cô đ c l p v i nhau ch n m t l p đ

ể

ấ ể ộ ớ

ộ ớ

ể

ầ

ể ki m tra. Tính xác su t đ m t l p có 4 th y cô vào ki m tra, m t l p có 2 th y cô vào ki m

ạ

ỗ ớ

ể

ớ tra và 2 l p còn l

ầ i m i l p có 1 th y cô vào ki m tra.

Câu V (4,0 đi mể )

a ;...; }n a a max{ ; 0 1

(

)

ABC

1. Cho hình chóp SABC có

và tam giác ABC vuông t

i ạ B. Bi

tế

a =

ữ

ặ

ẳ

AB a AC a ;

và góc gi a hai m t ph ng

(SAB), (SAC) b ng ằ

v i ớ

. Tính đ dàiộ

sin

13 19

ạ

đ ng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông t

i B, BC = BA = a,

ụ ứ ộ

ạ

, M là m t đi m thu c đo n BC.

ộ ể ở ườ

ạ

ẳ

ặ

ẳ

ớ

SC theo a. 2. Cho hình lăng tr AA’= a. Tính góc t o b i đ

ng th ng A’B v i m t ph ng (ACC’). a

ữ

ể

ằ

ả

ị

b. Tìm v trí đi m M đ kho ng cách gi a AM và B’C b ng

Ế ................................................... H T......................................................

ượ ử ụ

ệ

ộ

ả

Thí sinh không đ

c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi

i thích gì thêm.

Ở ƯỜ

ướ

ẫ

ấ

NG THPT TRI U S N 3

S GD&ĐT THANH HÓA TR ộ

Ệ Ơ H ng d n ch m N i dung

Câu Điể m - ọ ố ứ ớ a ; G i M( ) thu c đ th . ộ ồ ị Vì N đ i x ng v i M qua I(1;0) nên ta có - 1 1 (cid:0) (cid:0) = - 2 (cid:0) x = - 2 a 2 a a = - 2 1 2,0 - - -

)

= -

+ x

- � � 3 = = = I x N � � y � a � � y � a � � y � - - - - (cid:0) (cid:0) x 2 x 1 1 (cid:0) x x x N ( 2 2 2 1 a 2 a

+ x

ố ớ ườ ẳ ng th ng đã cho là: và 2 2,0 ậ ế = - 3 1 ộ ồ ị V y N thu c đ th (C). ế ủ ồ ị Ti p tuy n c a đ th hàm s song song v i đ y

+�۹ 0

ề ệ cos Đi u ki n: (*) 0,25 = + + ươ ươ x x Ph ng trình đã cho t 2 cos (tan sin cos

2 ớ ươ ng v i: ng đ + =

= -

�

cos

tan

+ x + x tan ) = x + � � x x x x x cos x 2sin (sin x cos ) sin cos 0,5 x + x - = � 2sin x (sin x 2sin .cos x x cos )(2sin sin 1) 0

p = - + x 4

- =

�

= x

2sin

1 0

sin

p 2 ;

p 2

+ V i ớ sin 1 0,5

1 2

+ 6

p 5 + 6

+ V i ớ 0,5

ố ệ ề ế ủ ệ ng trình đã cho là:

ﾢ

= x

p k

p 2 ;

;

2 (

)

+ 6

0,25 (cid:0) Đ i chi u đi u ki n (*), suy ra nghi m c a ph p = - + 4 ươ p 5 6 (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) ĐK: (cid:0) (cid:0) y 1

- - - - - - ươ � y + x + 2 x y y x x Ph ( 1 ) ( )( - = y ( 1) 0 0,5 - - 1 + - - - - � � y x + 2 x - = 2 y y x - = 2 x y ( 1)( 1) 0 ( 1)( 1) 0 II x + x x - + 1 1) 1 + - + y 1

(cid:0) x y ủ ệ ng trình (2) c a h y y - = 1 (cid:0) (cid:0) + + - = (cid:0) (cid:0) x y VN do x y 1 0 ( 0; 1) (cid:0) y x 1 - + 1 (cid:0) 0,5 ượ c - - - x ươ ớ V i y1 = x thay vào ph - = x x x x 8 18 17 18 ng trình (1) ta đ 2 0 2

4 – 18t3 – 17t2 – 8t – 2 = 0 S

ặ ượ ươ Đ t t = ta đ c ph ng trình 18t x t (cid:0) ( 0) (cid:0) - 2 10 =(cid:0) t l ( ) 0,5 3 (cid:0) - - - - � � � H t (3 t 4 + 2 t 2)(6 + = t 2 1) 0 t 3 t 4 2 (cid:0) 2 10 =(cid:0) t (cid:0) + x 3 K (cid:0) + = (cid:0) x (cid:0) C A (cid:0) ừ ượ T đó ta đ c a 0,5 (cid:0) = y B (cid:0) (cid:0) 14 4 10 9 + 23 4 10 9 ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c AMGM, ta có

ả ỉ (1) d u ấ “=” x y ra khi và ch khi

ả ỉ (2) d u ấ “=” x y ra khi và ch khi

0,5

ả ỉ (3) d u ấ “=” x y ra khi và ch khi

ả ỉ d u ấ “=” x y ra khi và ch khi

(4)

hay 1 0,5

ặ ừ ả ế M t khác, t gi thi t suy ra và . Do đó

0,5 III

ứ ả ấ ẳ ỉ D u đ ng th c x y ra khi và ch khi

0,5 ấ ủ ể ậ ỏ ị ạ ượ V y, giá tr nh nh t c a bi u th c ứ D b ng ằ đ t đ c khi

0,5

0,5 2 ứ ứ (1). Ch ng minh công th c:

ụ ượ Áp d ng (1) ta thu đ c 0,5 .

ậ V y L 0,5

Ta có 0,5

0,5 ấ ệ ố ồ ượ Đ ng nh t h s ta đ c

ớ ượ V i n = 12 ta đ c

1,0

ể ể

ộ ậ

ộ ớ

ầ ử ủ

ầ

ỗ

ớ

ọ

ố

Vì m i th y cô đ c l p v i nhau ch n m t l p đ ki m tra nên s ph n t

c a không gian

ệ ố ớ ấ ừ IV G i ọ là h s l n nh t khi đó t đó ta có

ẫ

m u là

0,5

ế ể ể ầ ầ ọ ố ớ ớ G i A là bi n c 1 l p có 4 th y cô ki m tra1 l p có 2 th y cô ki m tra , m i l p ỗ ớ 1,0 2 ạ ể ầ ầ ố ử ủ ế ố còn l i có 1 th y cô ki m tra. S ph n t c a bi n c A là

ấ ể ậ V y xác su t đ

0,5

ế ố ả bi n c A x y ra là

G i ọ H, K là hình chi u c a ế ủ C lên SA, SB.

ứ ượ Ta ch ng minh đ c

vuông t i ạ K và . Suy ra

Do đó 0,5

Đ t ặ . Trong tam giác vuông SAC ta có 0,5

0,5 ươ ự T ng t , trong tam giác vuông SBC ta có

Ta có , vì x > 0. V yậ 0,5 V

a, Ta có AC =

ể N là trung đi m AC

ạ L i có 1.0

Trong tam giác A’NB có

2 ệ ạ ế ọ b, ME // B’C, ta có BMEA là tam di n vuông t i B. G i H là hình chi u vuông góc

ủ ứ ố ượ c a B xu ng (AEM) ta ch ng minh đ c và 0,5

ặ ượ Đ t BM = x ta có BE = suy ra BH = ta đ c x = a/2 0,5

ể ậ V y M là trung đi m BC.

ộ N i dung Điể Câu m - a 2 1 ọ ố ứ ớ a ; G i M( ) thu c đ th . ộ ồ ị Vì N đ i x ng v i M qua I(1;0) nên ta có - a 1 = - = - (cid:0) (cid:0) = - a x 2 (cid:0) a x 2 x a 2 � � � 1 2,0 - - -

(

)

- � � x x 2 2 3 2 1 � � � a 2 3 = = = y y y I � � � - - - - (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) x 2 1 a 1

= -

+�۹

ộ ồ ị ậ V y N thu c đ th (C). ế ủ ồ ị ớ ườ ế ố ẳ Ti p tuy n c a đ th hàm s song song v i đ ng th ng đã cho là: và 2 2,0

ề ệ cos Đi u ki n: (*) 0,25 + = + ươ ươ ươ ớ Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i: x x x x x 2 cos (tan tan ) sin cos

= -

= - +

�

cos

tan

= + + = + + � � x x x x x x x x x x 2sin 2sin .cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos 0,5 + - = � x x x (sin cos )(2sin 1) 0

- =

�

2sin

1 0

sin

2 ;

+ V i ớ sin 1 0,5

+ V i ớ 0,5

ủ ế ề ệ ệ ố ươ Đ i chi u đi u ki n (*), suy ra nghi m c a ph ng trình đã cho là:

= - +

ﾢ

;

2 ;

2 (

)

0,25 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) ĐK: (cid:0) (cid:0) y 1

+ + - = - - - - - - ươ ủ ệ � Ph ng trình (2) c a h y x x y y x y x ( 1 ) ( )( ( 1) 1) 0 0,5 - - y x 1 1 + + - = - = + + - - - - � � y x x y y x x y ( 1)( 1) 0 ( 1)( 1) 0 - + - + II y x y x 1 1

- = (cid:0) y x 1 (cid:0) 1 (cid:0) + + - = (cid:0) (cid:0) x y VN do x y 1 0 ( 0; 1) (cid:0) - + y x 1 (cid:0) 0,5 ớ ươ ượ V i y1 = x thay vào ph ng trình (1) ta đ c - = - - - x x x x x 18 18 17 8 2 0 2

4 – 18t3 – 17t2 – 8t – 2 = 0

ặ ượ ươ Đ t t = ta đ c ph ng trình 18t x t (cid:0) ( 0) (cid:0) - 2 10 =(cid:0) t l ( ) 0,5 3 (cid:0) + + = - - - - � � � t t t t t t (3 4 2)(6 2 1) 0 3 4 2 (cid:0) + 2 10 =(cid:0) t (cid:0) 3 (cid:0) + 14 4 10 = (cid:0) x (cid:0) 9 (cid:0) ừ ượ T đó ta đ c 0,5 + (cid:0) 23 4 10 = y (cid:0) (cid:0) 9 ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c AMGM, ta có

ả ỉ d u ấ “=” x y ra khi và ch khi (1)

ả ỉ d u ấ “=” x y ra khi và ch khi (2)

0,5

ả ỉ d u ấ “=” x y ra khi và ch khi (3)

ả ỉ d u ấ “=” x y ra khi và ch khi

(4)

hay 1 0,5

ặ ế M t khác, t ừ ả gi thi t suy ra và . Do đó

0,5 III

ứ ả ấ ẳ ỉ D u đ ng th c x y ra khi và ch khi

0,5 ấ ủ ể ậ ỏ ị ạ ượ V y, giá tr nh nh t c a bi u th c ứ D b ng ằ đ t đ c khi

0,5