Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br /> <br /> ÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ<br /> <br /> KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN<br /> <br /> PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE<br /> <br /> BOÄ MOÂN TOAÙN<br /> <br /> Maõ moân hoïc: 1001060<br /> Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014)<br /> Ñeà thi goàm 3 trang<br /> Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu<br /> Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0001<br /> <br /> PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)<br /> (choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D )<br /> Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là<br /> <br /> {<br /> <br /> }<br /> <br /> {<br /> <br /> A) 2e 2 , e 2 ( −1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )<br /> B) ∅<br /> Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> <br /> }<br /> <br /> C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )<br /> <br /> iϕ<br /> <br /> 1<br /> <br /> }<br /> <br /> z<br /> <br /> A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.<br /> C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 e<br /> <br /> {<br /> <br /> D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )<br /> <br /> B) Phöông trình e = 2015 .e −πi voâ nghieäm.<br /> <br /> , z2 = r2 e<br /> <br /> iϕ<br /> <br /> 2<br /> <br /> r =r<br /> <br /> ⎧<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ ⎨<br /> ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ<br /> ⎩<br /> <br /> D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.<br /> Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?<br /> A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët<br /> phaúng phöùc.<br /> B) Haøm f(z) = 6 z + e 5 z coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng<br /> phöùc.<br /> C)<br /> <br /> ∫<br /> <br /> 6 z + e 5 z dz<br /> <br /> z + 4i = 2<br /> <br /> (z − 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> D)<br /> <br /> = 2π i (6 + 5e 5 )<br /> <br /> ∫<br /> <br /> z − 2i = 6<br /> <br /> 6 z + e 5 z dz<br /> <br /> (z − 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> = 2π i (6 + 5e 5 )<br /> <br /> Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa<br /> điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).<br /> B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.<br /> C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng<br /> liên tục tại (xo,yo).<br /> D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.<br /> Caâu 5 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y =<br /> A) ñöôøng thaúng u = 0.<br /> B) tia argw = -π/2.<br /> <br /> π<br /> 8<br /> <br /> qua pheùp bieán hình w = e − 4 z = u +iv laø<br /> C) tia argw = π/2.<br /> D) ñöôøng thaúng v = 0.<br /> <br /> Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> A) Neáu khai trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng<br /> f (z ) =<br /> <br /> +∞<br /> <br /> ∑ an (z − a)n<br /> <br /> n = −∞<br /> <br /> thì Re s[f (z), a] = a −1<br /> <br /> -1-<br /> <br /> 1<br /> B) Haøm f(z)=(z+i) cos<br /> =<br /> z+i<br /> <br /> C) f(z) =<br /> D)<br /> <br /> ∑<br /> <br /> (−1) n<br /> <br /> n=0<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ⎡<br /> ⎤<br /> neân thaëng dö Re s ⎢( z + i ) cos<br /> , −i ⎥ = − .<br /> 2 n −1<br /> (2n)! ( z + i )<br /> z+i ⎦<br /> 2<br /> ⎣<br /> <br /> 2<br /> 23<br /> 24<br /> z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +<br /> +<br /> + ... vaø<br /> <br /> 3!<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> ∫ z e z dz =<br /> <br /> z −1 = 3<br /> <br /> ∞<br /> <br /> z .4!<br /> <br /> z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> ⎡<br /> ⎤ 4π<br /> z 3 e z dz = 2πi Re s ⎢ z 3 e z ,0⎥ =<br /> ∫<br /> 3<br /> z −1 = 3<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.<br /> Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]<br /> Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y =<br /> <br /> e −πp<br /> + 27 (2)<br /> p −1<br /> <br /> e −πp<br /> 27<br /> +<br /> (3)<br /> ( p − 1)( p − 2) p − 2<br /> ⎛ 1<br /> 1 ⎞<br /> 27<br /> Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = e −πp ⎜<br /> ⎜ p − 2 − p −1⎟ + p − 2<br /> ⎟<br /> ⎝<br /> ⎠<br /> 2 ( t −π )<br /> t −π<br /> Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = (e<br /> − e )u (t − π ) + 27e 2t<br /> <br /> Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=<br /> <br /> A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.<br /> <br /> C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.<br /> <br /> D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sau<br /> đây đúng?<br /> A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.<br /> D) v điều hòa, u không điều hòa<br /> B) u điều hòa, v không điều hòa.<br /> Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?<br /> ⎡t<br /> ⎤ F ( p)<br /> A) L[f(t-a)u(t-a)] = e F(p)<br /> B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =<br /> p<br /> ⎣0<br /> ⎦<br /> T<br /> 1<br /> − pt<br /> C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =<br /> ∫ e f (t )dt<br /> 1 − − Tp 0<br /> -ap<br /> <br /> e<br /> <br /> ⎧ 0<br /> ⎩sin 4t<br /> <br /> D) Neáu f (t ) = ⎨<br /> <br /> khi 0 < t < π<br /> vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =<br /> khi π < t < 2π<br /> <br /> 1<br /> 1 − e− 2πp<br /> <br /> 2π<br /> <br /> − pt sin 4tdt<br /> <br /> ∫e<br /> 0<br /> <br /> Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)<br /> -1 ⎡<br /> <br /> ⎤<br /> 4<br /> C) L ⎢<br /> = 2e −2t *sin 2t<br /> 2<br /> ( p + 2)( p + 4) ⎥<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> B) L [2 + t 2 + sh3t ] =<br /> ⎡<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> p<br /> + 3 + 2<br /> p p<br /> p −9<br /> <br /> ⎤<br /> p−2<br /> 2t<br /> D) L ⎣ p 2 − 4 p + 40 ⎥ = e cos 6t<br /> ⎦<br /> -1 ⎢<br /> <br /> PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)<br /> Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân<br /> y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0<br /> <br /> Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân<br /> <br /> -2-<br /> <br /> ⎧ x'+3 y = 2 sin t<br /> , vôùi ñieàu kieän x(0) = 0,<br /> ⎨<br /> t<br /> ⎩ x + y '+2 y = e<br /> <br /> y(0) = 0<br /> <br /> Caâu 13 (2 ñieåm)<br /> t<br /> <br /> a) Tìm aûnh cuûa haøm goác: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu<br /> 0<br /> <br /> t<br /> <br /> b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du<br /> 0<br /> <br /> -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br /> Ngaøy 25 thaùng 12 naêm 2014<br /> Boä moân duyeät<br /> <br /> -3-<br /> <br /> -4-<br /> <br /> -5-<br /> <br />