Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br /> <br /> ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016<br /> KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE<br /> BOÄ MOÂN TOAÙN<br /> Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016)<br /> Ñeà thi goàm 3 trang<br /> Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu<br /> Maõ ñeà: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)<br /> <br /> PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)<br /> (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)<br /> <br /> Caâu 1 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> <br /> z<br /> <br /> A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.<br /> C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 e<br /> <br /> iϕ<br /> <br /> 1<br /> <br /> B) Phöông trình e = 2016 .e −3πi voâ nghieäm.<br /> <br /> , z2 = r2 e<br /> <br /> iϕ<br /> <br /> 2<br /> <br /> ⎧<br /> <br /> r =r<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ ⎨<br /> ⎩ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ<br /> <br /> D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.<br /> <br /> 1 + 3i 5<br /> − i + e 3 z laø:<br /> 1 − 2i<br /> 3x<br /> C) u ( x, y ) = e cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 y<br /> <br /> Câu 2 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) =<br /> A) u ( x, y ) = −1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 y<br /> B) u ( x, y) = 1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = e 3 x sin 3 y<br /> <br /> D) u ( x, y ) = −1 + e 3 x cos 3 y , v( x, y ) = −e 3 x sin 3 y<br /> <br /> Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thì<br /> f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.<br /> B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.<br /> C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y)<br /> không khaû vi trên miền D.<br /> D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaû<br /> vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).<br /> Câu 4 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y ) = 3x 2 − 3 y 2 − 9 y + 5 , v = 6 xy + 9 x + 5 . Khẳng<br /> định nào sau đây đúng?<br /> A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.<br /> D) v điều hòa, u không điều hòa<br /> B) u điều hòa, v không điều hòa.<br /> Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?<br /> A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët<br /> phaúng phöùc.<br /> B) Haøm f(z) = 8 z + e 5 z coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng<br /> phöùc.<br /> C)<br /> <br /> 8z + e5z<br /> <br /> ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e<br /> z + 6i<br /> <br /> 5<br /> <br /> D)<br /> <br /> )<br /> <br /> =2<br /> <br /> ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e<br /> z − 2i<br /> =6<br /> <br /> Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình w =<br /> A) ñöôøng thẳng u = v.<br /> C) ñöôøng thẳng u = -v.<br /> Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> <br /> 8z + e 5z<br /> <br /> 1<br /> = u +iv là<br /> 3z<br /> <br /> B) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0.<br /> D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.<br /> <br /> -1-<br /> <br /> 5<br /> <br /> )<br /> <br /> A) Neáu khai trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng<br /> f (z ) =<br /> <br /> +∞<br /> <br /> thì Re s[f (z), a] = a −1<br /> <br /> ∑ an (z − a)n<br /> <br /> n = −∞<br /> 2<br /> <br /> 23<br /> 24<br /> +<br /> + ... vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).<br /> 3! z .4!<br /> 2<br /> ⎡ 3 2 ⎤ 4π<br /> 3 z<br /> C) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e z ,0⎥ =<br /> 3<br /> z − 2 i =5<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> ∞<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ⎡<br /> ⎤<br /> = ∑ (−1) n<br /> neân thaëng dö Re s ⎢( z + i) cos<br /> D) Haøm f(z)=(z+i) cos<br /> ,−i ⎥ = − .<br /> 2 n −1<br /> (2n)! ( z + i )<br /> 2<br /> z+i ⎦<br /> z+i<br /> ⎣<br /> n=0<br /> <br /> B) f(z) = z 3 e z = z 3 + 2 z 2 + 2 z +<br /> <br /> Caâu 8 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) e 2 (t −5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.<br /> Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]<br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:<br /> ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=<br /> <br /> pY+6Y =<br /> <br /> e −5 p<br /> +14<br /> p−2<br /> <br /> e −5 p<br /> 14<br /> +<br /> ( p − 2)( p + 6)<br /> p+6<br /> <br /> ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =<br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =<br /> A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.<br /> <br /> B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.<br /> <br /> (2)<br /> (3)<br /> <br /> 14<br /> 1 −5 p ⎛ 1<br /> 1 ⎞<br /> e ⎜<br /> ⎜ p − 2 − p + 6⎟+ p +6<br /> ⎟<br /> 8<br /> ⎝<br /> ⎠<br /> <br /> 1 2 ( t −5)<br /> (e − e −6(t −5 )u (t − 5) +14 e −6t<br /> 8<br /> <br /> C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> <br /> Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?<br /> ⎡t<br /> ⎤ F ( p)<br /> A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =<br /> p<br /> ⎣0<br /> ⎦<br /> <br /> ⎡ t 5u<br /> ⎤<br /> p−5<br /> ⎢ ∫ e ch6udu ⎥ =<br /> 2<br /> B) L<br /> ⎣0<br /> ⎦ p ( p − 5) − 36<br /> <br /> (<br /> <br /> C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =<br /> <br /> 1<br /> 1 − e− Tp<br /> <br /> khi 0 < t < π<br /> ⎧0<br /> vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =<br /> ⎩sin 9t khi π < t < 2π<br /> <br /> D) Neáu f (t ) = ⎨<br /> <br /> T<br /> <br /> ∫e<br /> <br /> )<br /> <br /> − pt f (t ) dt<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> 1 − e−πp<br /> <br /> 2π<br /> <br /> − pt sin 9tdt<br /> <br /> ∫e<br /> π<br /> <br /> t<br /> <br /> Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta laøm nhö sau:<br /> 0<br /> <br /> ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 e −7 t +10y(t)*cos3t<br /> ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc<br /> L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t]<br /> ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc<br /> Y=<br /> ♦<br /> <br /> p<br /> 2<br /> 2<br /> + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =<br /> +10Y 2<br /> p+7<br /> p+7<br /> p +9<br /> <br /> 2( p 2 + 9)<br /> Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =<br /> ( p − 1)( p − 9)( p + 7)<br /> -2-<br /> <br /> ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=<br /> <br /> A<br /> B<br /> C<br /> +<br /> +<br /> (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm)<br /> p −1 p − 9 p + 7<br /> <br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t<br /> A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> <br /> PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)<br /> Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm<br /> laäp z = i . Tính tích phaân I =<br /> <br /> f ( z ) = ( z − i ) 2 sin<br /> <br /> 1<br /> z −i<br /> <br /> quanh ñieåm baát thöôøng coâ<br /> <br /> 1<br /> ⎛<br /> ⎞<br /> 2<br /> + e 5 z ⎟dz .<br /> ⎜ ( z + i ) sin<br /> z −i<br /> ⎠<br /> z − 3i = 6 ⎝<br /> <br /> ∫<br /> <br /> Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân<br /> y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0<br /> Tính lim y (t ) roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa y (t ) sau khoaûng thôøi gian t<br /> t → +∞<br /> <br /> ñuû lôùn.<br /> Caâu 13 (1,5 ñieåm)<br /> Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân<br /> L<br /> <br /> di (t )<br /> + R i (t ) = Eo , i(0) = 0<br /> dt<br /> <br /> vôùi E o , R, L laø caùc haèng soá döông.<br /> <br /> Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân<br /> ñeå tìm i (t ) . Tính lim i (t ) roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh<br /> t → +∞<br /> <br /> giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa i (t ) sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.<br /> --------------------------------------------------------------------------------------------------------Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br /> CHUAÅN ÑAÀU RA<br /> Nội dung kiểm tra<br /> Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)<br /> G1: 1.1, 1.2<br /> Töø caâu 1 ñeán caâu 10<br /> Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc<br /> thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân.<br /> Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi<br /> phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.<br /> <br /> G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3<br /> G1: 1.1, 1.2<br /> G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3<br /> <br /> Ngaøy 13 thaùng 1 naêm 2016<br /> Thoâng qua Boä moân Toaùn<br /> <br /> -3-<br /> <br /> -4-<br /> <br /> -5-<br /> <br />