Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br />
<br />
KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN<br />
BOÄ MOÂN TOAÙN<br />
<br />
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016<br />
<br />
MOÂN: TOAÙN CAO CAÁP C2<br />
<br />
Maõ moân hoïc: MATH 130901 Thôøi gian : 90 phuùt (11/1/2016)<br />
Ñeà thi goàm 2 trang<br />
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu<br />
<br />
Caâu 1 (1 ñieåm)<br />
Tính ñaïo haøm rieâng vaø vi phaân caáp 1 haøm soá<br />
<br />
f ( x, y, z ) = 4 + x 2 + y 2 + ye 3 z<br />
<br />
Caâu 2 (2 ñieåm)<br />
Moät coâng ty saûn xuaát x ngaøn saûn phaåm loaïi A vaø y ngaøn saûn phaåm loaïi B moãi naêm. Bieát<br />
haøm doanh thu vaø haøm chi phí laàn löôït laø<br />
R ( x, y ) = 3 x + 2 y (ñônvò $1,000,000 )<br />
<br />
C ( x, y ) = 2 x 2 − 2 xy + y 2 + 6 y − 9 x + 5 (ñônvò $1,000,000 )<br />
<br />
Xaùc ñònh soá saûn phaåm moãi loaïi caàn saûn xuaát ñeå coâng ty ñaït lôïi nhuaän lôùn nhaát.<br />
Caâu 3 (1,5 ñieåm) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng<br />
xy = 1, xy = 6,<br />
<br />
x2<br />
x2<br />
=4<br />
= 1,<br />
y<br />
y<br />
<br />
Caâu 4 (1,5 ñieåm)<br />
Moät vuï tai naïn traøn daàu treân moät hoà nöôùc laøm cho daàu loan ra daïng gaàn gioáng hình troøn treân<br />
maët nöôùc coù baùn kính R (t ) meùt sau t phuùt tính töø luùc tai naïn xaûy ra. Baùn kính R (t ) taêng vôùi<br />
toác ñoä<br />
R' (t ) =<br />
<br />
24<br />
0,08t + 5<br />
<br />
(meùt/phuùt)<br />
<br />
a) Tìm baùn kính R (t ) theo t , vôùi R (0) = 0 .<br />
b) Öôùc tính dieän tích phaàn daàu loan ra ñuùng 1 giôø sau tính töø luùc tai naïn xaûy ra.<br />
Caâu 5 (2 ñieåm) (Resale value problem)<br />
Giaù trò baùn laïi r (t ) cuûa moät maùy sau t naêm(tính töø luùc mua) seõ giaûm vôùi toác ñoä tyû leä vôùi hieäu giöõa<br />
giaù trò hieän taïi vaø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy. Töùc laø, neáu S laø giaù trò pheá lieäu cuûa maùy thì r (t )<br />
thoûa phöông trình<br />
dr<br />
= − k (r − S ) , vôùi k = const > 0 laø haèng soá tyû leä<br />
dt<br />
<br />
Xaùc ñònh r (t ) bieát giaù trò mua môùi cuûa maùy laø $80,000, giaù trò 5 naêm sau laø $10,000 vaø giaù trò<br />
pheá lieäu S = $500.<br />
<br />
Caâu 6 (2 ñieåm) (thôøi gian t tính baèng thaùng, giaù p tính baèng USD)<br />
Bieát giaù p = p(t ) cuûa moät loaïi saûn phaåm(haøng hoùa) taïi thôøi ñieåm t thoûa phöông trình vi phaân<br />
p' '+8 p'+7 p = 1800 + e −0, 2t<br />
<br />
Giaûi phöông trình vi phaân treân. Öôùc tính giaù cuûa saûn phaåm sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.<br />
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………<br />
<br />
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br />
<br />
CHUAÅN ÑAÀU RA<br />
Nội dung kiểm tra<br />
caâu 1, caâu 2<br />
Tính ñöôïc ñaïo haøm rieâng, vi phaân, tìm cöïc trò,<br />
GTLN >NN haøm nhieàu bieán vaø bieát öùng<br />
duïng vaøo ñôøi soáng<br />
Caâu 3, caâu 4<br />
Tính ñöôïc tích phaân haøm moät bieán, tích phaân keùp<br />
vaø bieát öùng duïng vaøo ñôøi soáng<br />
Caâu 5, caâu 6<br />
Giaûi ñöôïc phöông trình vi phaân caáp 1, caáp hai vaø<br />
vaø bieát öùng duïng vaøo ñôøi soáng<br />
<br />
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)<br />
G1: 1.1, 1.2<br />
G2: 2.1, 2.2, , 2.1.4 ;<br />
<br />
G1: 1.1, 1.2<br />
G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1<br />
G1: 1.1, 1.2<br />
G2: 2.1, 2.2., G1: 3.1<br />
<br />
Ngaøy 8 thaùng 1 naêm 2016<br />
THOÂNG QUA BOÄ MOÂN TOAÙN<br />
<br />
ÑAÙP AÙN TOAÙN C2<br />
(ngaøy thi 11/1/2016)<br />
<br />
Caâu<br />
hoûi<br />
Caâu1<br />
<br />
Noäi dung<br />
<br />
Ñieåm<br />
1ñ<br />
<br />
f ( x, y , z ) = 4 + x 2 + y 2 + ye 3 z<br />
'<br />
fx =<br />
<br />
x<br />
4+ x + y<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
'<br />
, fy =<br />
<br />
y<br />
4+ x + y<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
+ e 3 z , f z' = 3 ye 3 z<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
df ( x, y , z ) = f x' dx + f y' dy + f z' dz<br />
<br />
=<br />
<br />
x<br />
4 + x2 + y2<br />
<br />
dx + (<br />
<br />
y<br />
4 + x2 + y2<br />
<br />
+ e 3 z )dy + 3 ye 3 z dz<br />
<br />
Caâu 2<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
1,5ñ<br />
Hàm lợi nhuận<br />
P ( x, y ) = R ( x, y ) − C ( x, y ) = 12 x − 4 y + 2 xy − 2 x 2 − y 2 − 5<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
Taäp xaùc ñònh haøm soá laø:<br />
D = { ( x, y ) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 } (löôïng saûn phaåm moãi loaïi khoâng aâm)<br />
'<br />
Ñaïo haøm rieâng cuûa P ( x, y ) theo bieán x: Px = 12 + 2 y − 4 x<br />
<br />
'<br />
Ñaïo haøm rieâng cuûa P ( x, y ) theo bieán y: Py = − 4 + 2 x − 2 y<br />
<br />
⎧Px' = 12 + 2 y − 4 x = 0<br />
⎪<br />
Heä phöông trình xaùc ñònh ñieåm döøng: ⎨ '<br />
⎪Py = −4 + 2 x − 2 y = 0<br />
⎩<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
⎧x = 4<br />
Giaûi heä ta ñöôïc nghieäm: ⎨<br />
⎩y = 2<br />
''<br />
''<br />
''<br />
Ñaïo haøm rieâng caáp hai: A = Pxx = −4 , B = Pxy = 2 , C = Pyy = −2<br />
<br />
⎧A B -4 2<br />
0.5ñ<br />
⎪<br />
=<br />
=4>0<br />
Taïi ñieåm döøng (4;2): ⎨ B C 2 - 2<br />
⇒ Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi (4;2),<br />
⎪<br />
A = −4 < 0<br />
⎩<br />
<br />
PCD = 15 .<br />
Vì P ( x, y ) laø haøm soá baäc hai neân giaù trò cöïc ñaïi cuõng laø giaù trò lôùn<br />
nhaát, Pmax = 15 .<br />
Vaäy coâng ty caàn saûn xuaát 4000 saûn phaåm loaïi A vaø 2000 saûn phaåm loaïi B ñeå<br />
ñaït lôïi nhuaän lôùn nhaát laø $15,000,000 .<br />
-1-<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
Caâu 3<br />
<br />
1.5ñ<br />
Diện tích hình phẳng: S =<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
∫∫1 dxdy<br />
D<br />
<br />
⎧ u = xy<br />
⎪<br />
Ñoåi bieán: ⎨ x 2<br />
v=<br />
⎪<br />
y<br />
⎩<br />
y<br />
D(u, v)<br />
= 2x<br />
D(x, y)<br />
y<br />
<br />
x<br />
x2<br />
x 2 = -3<br />
= −3v ,<br />
− 2<br />
y<br />
y<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
D(x, y)<br />
1<br />
1<br />
1<br />
=<br />
=<br />
J =<br />
D(u, v)<br />
D(u, v)<br />
− 3v<br />
3v<br />
D(x, y)<br />
⎧1 ≤ u ≤ 6<br />
Vieát laïi trong heä toïa ñoä o' uv D’: ⎨<br />
⎩1 ≤ v ≤ 4<br />
6<br />
4<br />
4 5 ln 4<br />
1 6<br />
1<br />
S = ∫∫1 dxdy = ∫ du ∫ dv = u . ln v =<br />
(đvdt)<br />
1<br />
3 1<br />
3v<br />
3<br />
D<br />
1<br />
1<br />
<br />
J=<br />
<br />
Caâu 4<br />
<br />
0.25ñ<br />
0.25ñ<br />
0.25ñ<br />
1ñ<br />
<br />
Bán kính<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
R(t ) = ∫ R' (t )dt + C = ∫<br />
<br />
24<br />
dt + C = 300 ln(0,08t + 5) + C<br />
0,08t + 5<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
R (0) = 0 ⇒ 300 ln 5 + C = 0 ⇒ C = −300 ln 5<br />
<br />
Vậy R (t ) = 300 ln(0,08t + 5) − 300 ln 5 = 300 ln(<br />
<br />
0,08t + 5<br />
)<br />
5<br />
<br />
Öôùc tính dieän tích phaàn daàu loan ra ñuùng 1 giôø sau tính töø luùc tai naïn<br />
xaûy ra: S ≈ π [R(60)]2 = π [300 ln<br />
<br />
0,08 × 60 + 5 2<br />
] ≈ 128041,56m 2<br />
5<br />
<br />
Caâu5<br />
<br />
2ñ<br />
Caùch 1<br />
Phöông trình ñöôïc vieát laïi<br />
r (0) = 80<br />
r' (t) + kr = 0,5k , vôùi ⎧<br />
(ñôn vò $1000)<br />
⎨<br />
⎩ r (5) = 10<br />
<br />
Nghieäm toång quaùt phöông trình<br />
<br />
-2-<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
r (t ) = e<br />
<br />
⎞<br />
− ∫ kdt ⎛<br />
⎜ 0,5ke ∫ kdt dt + C ⎟ = e − kt ⎛ 0,5ke kt dt + C ⎞<br />
⎜∫<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜∫<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎠<br />
⎝<br />
<br />
= e − kt ⎛ 0,5e kt + C ⎞ = 0,5 + Ce − kt<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
<br />
(ñôn vò $1000)<br />
<br />
C = 79,5<br />
⎧<br />
⎧ 0,5 + C = 80<br />
⎧r (0) = 80<br />
⎪<br />
−1<br />
9'5<br />
⇔⎨<br />
⇔⎨<br />
⎨<br />
− 3k = 10<br />
k=<br />
ln(<br />
) ≈ 0,708155<br />
⎩ r (5) = 10<br />
⎩0,5 + Ce<br />
⎪<br />
3<br />
79,5<br />
⎩<br />
<br />
Vaäy r (t ) = 0,5 + 79,5e − 0,7081t<br />
<br />
(ñôn vò $1000)<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
hay r (t ) = 500 + 79500e − 0,7081t (ñôn vò $1)<br />
Caùch 2<br />
Phöông trình ñöôïc vieát laïi<br />
dr<br />
= −k<br />
r−S<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
Tích phaân hai veá<br />
dy<br />
<br />
∫ r − S = − ∫ kdt + ln C<br />
⇔ ln r − S = −kt + ln C ⇔ r − S = e − kt + ln C<br />
⇔ r − S = Ce − kt ⇔ r = S + Ce − kt<br />
Hay r (t ) = 0,5 + Ce − kt (ñôn vò $1000)<br />
<br />
⎧r (0) = 80<br />
⇔<br />
⎨<br />
⎩ r (5) = 10<br />
<br />
C = 79,5<br />
⎧<br />
⎧ 0,5 + C = 80<br />
⎪<br />
−1<br />
9'5<br />
⇔⎨<br />
⎨<br />
k=<br />
ln(<br />
) ≈ 0,708155<br />
0,5 + Ce − 3k = 10<br />
⎩<br />
⎪<br />
3<br />
79,5<br />
⎩<br />
<br />
Vaäy r (t ) = 0,5 + 79,5e − 0,7081t<br />
(ñôn vò $1000)<br />
hay r (t ) = 500 + 79500e − 0,7081t (ñôn vò $1)<br />
Caâu 6<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
2ñ<br />
p ' '+8 p '+7 p = 1800 + e −0, 2t<br />
<br />
Phöông trình thuaàn nhaát töông öùng : p ' '+8 p '+7 p = 0<br />
Phöông trình ñaëc tröng: k 2 + 8k + 7 = 0 ⇔ k = −1 hay k = −7<br />
<br />
0.5ñ<br />
<br />
Nghieäm toång quaùt phöông trình thuaàn nhaát: Po (t ) = C1e −t + C 2 e −7 t<br />
<br />
0.25ñ<br />
<br />
-3-<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
