Đề thi cuối kỳ II năm học 2014-2015 môn Toán cao cấp A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN<br /> BỘ MÔN TOÁN<br /> -------------------------<br /> <br /> Câu 1: ( 2 điểm) Cho số phức z <br /> Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số<br /> <br /> ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015<br /> <br /> Môn: Toán cao cấp A1 (CĐ)<br /> Mã môn học: 1001111<br /> Ngày thi: 10/06/2015<br /> Thời gian: 90 phút<br /> Đề thi có 1 trang<br /> Đề số: 1<br /> SV được phép sử dụng tài liệu.<br /> <br /> 1 i<br /> . Tính z 2015 và<br /> 3i<br /> <br /> 3<br /> <br /> z.<br /> <br />  ln 1  3x 2 <br /> <br /> , x0 .<br /> f  x  <br /> x<br /> m,<br /> x0<br /> <br /> <br /> a. Tìm m để hàm số f  x  liên tục tại x0  0 .<br /> <br /> b. Với giá trị m vừa tìm được ở câu a, xét sự khả vi của f  x  tại x0  0 .<br /> Câu 3: (2 điểm) Xét sự hội tụ của các tích phân<br /> <br /> <br /> a. I <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> x x  x2  1<br /> dx<br /> x5  x  5<br /> <br /> 1<br /> <br /> sin x<br /> dx<br /> x<br /> 0<br /> <br /> b. J  <br /> <br /> Câu 4: (2 điểm)<br /> <br /> <br /> n<br /> .<br /> 1<br /> n 1<br /> <br /> 1<br /> b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n x n .<br /> n 1 n.5<br /> Câu 5: (2,5 điểm)<br /> x3<br /> a. Tìm giới hạn lim 2<br /> .<br /> x 0 x  2 y 2<br /> y 0<br /> a. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số<br /> <br /> 2<br /> <br /> n<br /> <br /> x2 y 2<br />  3xy  x  2 y  5 .<br /> b. Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f  x, y   <br /> 2<br /> 2<br /> Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.<br /> Ngày 5 tháng 6 năm 2015<br /> Thông qua bộ môn<br /> <br /> Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV<br /> <br /> 1/3<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> <br />  <br /> <br /> 2  cos<br />  i sin<br /> <br /> 1 i<br /> 4<br /> 4 <br /> <br /> Câu 1. z <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3i<br /> 2  cos  i sin <br /> 6<br /> 6<br /> <br /> 1 <br /> 5<br />  <br /> <br />  i sin<br />  cos<br /> .<br /> 12<br /> 12 <br /> 2<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 5.2015<br /> 5.2015 <br />  1  <br /> z<br /> <br />  i sin<br /> 0,5đ<br /> .<br />   cos<br /> 12<br /> 12<br /> <br />  2 <br /> 1 <br /> 5 / 12  k 2<br /> 5 / 12  k 2 <br /> 3<br /> z  6  cos<br />  i sin<br />  , k  0,1,2 .<br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 2015<br /> <br /> 2015<br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> ln 1  3x 2 <br /> <br /> 3x 2<br />  0.<br /> x 0<br /> x 0<br /> x 0 x<br /> x<br /> f  0   m ; lim f  x   f  0   m  0 .<br /> <br /> a. lim f  x   lim<br /> <br />  lim<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> x0<br /> <br /> ln 1  3x <br /> f  x   f  0<br /> 3x 2<br />  lim<br />  lim 2  3 (hữu hạn). Do đó, f  x  khả vi tại<br /> b. lim<br /> x 0<br /> x 0<br /> x 0 x<br /> x0<br /> x2<br /> 0,5đ<br /> x0  0 .<br /> Câu 3.<br /> x x  x2  1<br />  0, x  1 .<br /> a. Ta có<br /> x5  x  5<br /> x x  x2  1 x2 1<br /> <br /> Khi x  , 5<br /> ; 0,5đ<br /> x  x5<br /> x5 x3<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> Mà  3 dx hội tụ (vì    1 ) nên I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.<br /> 0,5đ<br /> 2<br /> x<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> sin x<br />  0, x  (0,1] .<br /> x<br /> sin x<br /> x<br /> 1<br /> <br /> Khi x  0 ,<br /> ;<br /> 0,5đ<br /> x<br /> x<br /> x<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Mà <br /> dx hội tụ (do    1 ) nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.<br /> 2<br /> x<br /> 0<br /> <br /> b. Ta có<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Câu 4.<br /> n<br /> n<br /> n<br /> 1<br />  lim<br />   1 nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. 0,5đ<br /> n<br /> n<br /> 2  1 n n 2n  1 2<br /> 1<br /> 1<br /> b.   lim n n   R  5 . Chuỗi có khoảng hội tụ:  5,5 .<br /> 0,5đ<br /> n<br /> n5<br /> 5<br /> <br /> a. Do lim<br /> <br /> n<br /> <br /> <br />  1<br /> 1<br /> Tại x  5 , chuỗi số  n  5n   <br /> n<br /> n 1 n5<br /> n 1<br /> <br /> <br /> Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV<br /> <br /> n<br /> <br /> hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 0,5đ<br /> <br /> 2/3<br /> <br /> 1 n  1<br />  n5n 5   n phân kì.<br /> n 1<br /> n 1<br /> Vậy miền hội tụ của chuổi lũy thừa là [  5;5) .<br /> Tại x  5 , chuỗi số<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Câu 5.<br /> <br /> x3<br /> x2<br /> a. 0  2<br /> <br /> . x  x ,   x, y    0,0 <br /> x  2 y 2 x2  2 y 2<br /> <br /> x3<br />  0.<br /> Mà lim0  lim x  0 nên lim 2<br /> x 0 x  2 y 2<br /> x 0<br /> x 0<br /> y 0<br /> y 0<br /> y 0<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />  f 'x  x  3 y  1  0<br /> <br /> b. <br /> 0,5đ<br /> f ' y  y  3x  2  0<br /> <br /> <br /> x  7 / 8<br /> . Suy ra f  x  có điểm dừng M  7 / 8; 5 / 8 . 0,5đ<br /> <br />  y  5 / 8<br /> A  1, B  3, C  1,   AC  B 2  8 .<br /> Tại M  7 / 8; 5 / 8 ,do   8  0 nên f  x  không đạt cực trị tại M .<br /> <br /> Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 3/3<br /> <br />