Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy cầm tay Toán 12 năm 2011

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi giải toán môn Toán 12 trên máy tính cầm tay năm 2011 này giúp các em học sinh ôn tập kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ, rèn luyện kỹ năng để các em nắm được toàn bộ kiến thức chương trình Toán 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy cầm tay Toán 12 năm 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TỈNH ĐĂK NÔNG TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010 – 2011 Khóa ngày 20 tháng 1 năm 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Điểm Số phách (thí sinh không ghi Giám khảo 1:……….………… vào khung này) Bằng số Bằng chữ Giám khảo 2:………………… Quy định: Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Nếu khung làm bài không đủ thì có thể làm tiếp ở mặt sau trang đề (lưu ý ghi rõ câu).  sin3 2x  cos5x Bài 1: (2.0 điểm) Tính tích phân sau: I   dx 1 1  sin3x cos x Cách giải Kết quả Bài 2: (2.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   3  y  2 cos x  3  sin 2 x  4 cos x  4 trên đoạn  ;  4 4  Cách giải Kết quả Trang 1/5
 2 2 2 xy x  y  x  y  1 Bài 3: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình   x 2  2010  x  y  2011 y  1  Cách giải Kết quả 1 Bài 4: (2,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x)  x3  mx2  x  m  1 có khoảng cách giữa các điểm 3 cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. Cách giải Kết quả Bài 5 : (2.0 điểm) Giải phương trình log2009 x  2010  2011x Trang 2/5
Cách giải Kết quả Bài 6: (2.0 điểm) Tìm 3 chữ số cuối của số tự nhiên: 124  1234  1234 4  123454 Cách giải Kết quả Trang 3/5
ln x  1 Bài 7: (2.0 điểm) Tính giá trị đạo hàm của hàm số y  2  sin x 2  1 tại điểm x0 là x  5 x  10 hoành độ giao điểm của hai đồ thị: y  2 x 2 và y   x 2  3 x  2  x 2  12 x  32  Cách giải Kết quả (1)n u n 1  (2 n  1)un 2 Bài 8: (2.0 điểm) Cho dãy số: u1  3 , u2  2 , un  n  n  3 2011 a) Lập quy trình bấm phím tính un và Sn b) Tính u5 , u10 và S10 Cách giải Kết quả Trang 4/5
Bài 9: (2.0 điểm) a/ Tính giá trị gần đúng biểu thức sau: 3 3 3 3  12   32   52   572  A  1   2    3   ...   29    2x3   4x5   6x7   58x59   1 1  1  1 b/ Cho dãy số un   1    1    1   ... 1  n  . Tính giá trị chính xác của u5 và các giá trị  2 4 8  2  gần đúng của u10 , u15 , u20 . Cách giải Kết quả Bài 10: (2.0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có SA  x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 4 2 2. Tìm x để thể tích của khối chóp S .ABCD bằng . 3 Cách giải Kết quả -----HẾT---- Trang 5/5
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh Gia lai Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY §Ò chÝnh thøc N¨m häc 2010-2011 M¤N to¸n - thcs Đề thi gồm 9 trang Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Héi ®ång coi thi: THCS Ph¹m Hång Th¸i Hä vµ tªn thÝ sinh: ………………………… Ch÷ ký gi¸m thÞ 1: ……………………... Ngµy sinh: ………………………………… Ch÷ ký gi¸m thÞ 2: ……………………... N¬i sinh: ………………………………….. Sè mËt m· (Do Chñ tÞch Héi ®ång chÊm thi ghi) Số báo danh: ……………………..………. "………………………………………………………………………………………………………… LỜI DẶN THÍ SINH Chữ kí giám khảo 1 Chữ kí giám khảo 2 SỐ MẬT MÃ 1.Thí sinh ghi rõ số tờ giấy Số tờ: …… (do Chủ tịch HĐ phải nộp của bài thi vào chấm thi ghi) trong khung này. 2.Ngoài ra không được đánh số, kí tên hay ghi một dấu hiệu gì vào giấy thi. ĐIỂM BÀI THI Bằng số Bằng chữ Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng (nếu có yêu cầu), kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1: (5điểm) a) Tính giá trị biểu thức viết dưới dạng phân số: 1 1 + 7 3 2 : 90 A= 0,3(4) + 1,(62) :14 - 11 0,8(5) 11 b) Cho biết tgx = tg340. tg350. tg360………… tg540.tg550. (0< x < 900) tg 2 x(1 + cos3 x ) + cotg 2 x (1 + sin 3 x) Tính B = (1 + s inx + cos x ) sin 3 x + cos3 x A= B= Bài 2: (5điểm) Tính giá trị biểu thức (ghi kết quả dưới dạng hỗn số) 12 12 12 12 a) C= + + + ........ + 0, (2010) 0, 0(2010) 0, 00(2010) 0, 0000000(2010) C= MTBT THCS 2010-2011-Trang 1
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy æ 4 öæ 4 öæ 4ö æ 4 ö b) .Cho số thực y = ç 1 - 2 ÷ç 1 - 2 ÷ç1 - 2 ÷ .... ç1 - ÷ . Viết số y đã cho dưới dạng phân số và è 1 øè 3 øè 5 ø è 20112 ø số thập phân với 10 chữ số ở phần thập phân. y= y≈ (10 + 3) n - ((10 - 3) n Bài 3: (5điểm) Cho U 0 = 0, U1 = 1 ,… U n = 2 3 a) Tìm công thức truy hồi tính Un+2 theo Un và Un+1 b) Viết qui trình bấm phím liên tục tính U n + 2 theo U n +1 ,U n c) Tính chính xác U 8 ,U 9 ,U10 , U11. Un+2 = Qui trình bấm phím liên tục tính U n + 2 theo U n +1 ,U n ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... MTBT THCS 2010-2011-Trang 2
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy U8 = U9 = U10 = U11 = Bài 4: (5điểm) a)Cho đa thức f(x) có bậc bốn, hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn f( 1) = 3; f( 3) = 11; f(5) = 27. Tính A = 7f( 6) – f( -2) A= b) Tính tổng các ước số lẻ của số 804257792 Tóm tắt cách giải ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... Tổng các ước số lẻ của số 804257792 là : Bài 5: (5điểm) Tìm hai số tự nhiên m và n có ƯCLN(m; n) = 2011 và BCNN(m; n) = 183001. m= n= Bài 6: (5điểm) a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức x 2010 - 6 x11 + 212 cho 2011x2 – 2011. b) Cho số D = 20122010 . b1. Tìm năm chữ số cuối cùng của số D. b2. Tìm bảy chữ số đầu tiên của số D. MTBT THCS 2010-2011-Trang 3
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy a.Dư R(x) = b1. Năm chữ số cuối cùng của số D : b2. Bảy chữ số đầu tiên của số D : Bài 7: (5điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh là a. Biết trung đoạn SM = d = · 5,473 (cm). Góc tạo bởi cạnh bên và đáy là SBD = 410. Tính thể tích hình chóp. Tóm tắt cách giải ...................................................... S ...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... D C ...................................................... H 41° M ...................................................... A B a ...................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... MTBT THCS 2010-2011-Trang 4
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Kết quả: Bài 8: (5điểm) Cho mạch điện như hình vẽ : A A B Rx Ry Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B không đổi bằng 11V . Ampe kế chỉ 0,05A , Rx = 120 W , Ry là điện trở tương đương của một bộ gồm 40 điện trở mắc nối tiếp thuộc ba loại : R1 = 3,6 W ; R2 = 4 W ; R3 = 0,4 W . Hỏi có thể chọn mỗi loại điện trở bao nhiêu chiếc để ghép thành Ry ? ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... MTBT THCS 2010-2011-Trang 5
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ................................................................................. Bài 9: (5điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Lấy D trên AB, E trên AC sao cho AD = CE Gọi I là trung điểm của DE, K là điểm đối xứng với A qua I. a) Chứng minh điểm K thuộc BC. b) Cho AB = a, đặt AD = x . Tính diện tích tứ giác ADKE theo a và x, tìm vị trí của D trên AB để diện tích tứ giác ADKE lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó khi a = 1211,2010 cm a) Chứng minh điểm K thuộc BC: ( Vẽ hình và trình bày bài chứng minh) ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MTBT THCS 2010-2011-Trang 6
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy b) Diện tích tứ giác ADKE theo a và x : S = ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... Vị trí của D trên AB để diện tích tứ giác ADKE lớn nhất : ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... Diện tích lớn nhất của tứ giác ADKE là : Smax = -5 1 1 Bài 10: (5điểm) a) Vẽ đồ thị các hàm số y = 2 x + 5 (d1 ) , y = x + 5 (d 2 ) , y = x - (d 3 ) , 3 6 2 trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Đường thẳng (d1 ) cắt đường thẳng (d 2 ) tại điểm B, đường thẳng (d1 ) cắt đường thẳng (d3 ) tại điểm A, đường thẳng (d 2 ) cắt đường thẳng (d3 ) tại điểm C. Tìm tọa độ các điểm A,B,C và tính diện tích tam giác ABC. c) Tìm phương trình đường thẳng chứa đường phân giác góc · (với hệ số góc,tung độ ABC gốc làm tròn hai chữ số thập phân). MTBT THCS 2010-2011-Trang 7
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Tóm tắt cách giải .............................................. 8 .............................................. ............................................... .............................................. 6 .............................................. .............................................. 4 ............................................... ............................................... .............................................. 2 .............................................. .............................................. .............................................. 5 5 ............................................... .............................................. 2 .............................................. ............................................... 4 .............................................. .............................................. .............................................. 6 .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... MTBT THCS 2010-2011-Trang 8
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tọa độ các điểm : Diện tích tam giác ABC : Phương trình đường phân giác : MTBT THCS 2010-2011-Trang 9
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT BẬC TRUNG HỌC ————————— NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN- THPT&BTTHPT Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Chú ý: - Đề thi có 04 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Quy định chung: 1. Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính sau: Casio fx-500A; fx-500MS; fx-500ES; fx-570MS; fx-570ES; VINACAL Vn-500MS; Vn-570MS. 2. Nếu có yêu cầu trình bày cách giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt lời giải, công thức áp dụng, kết quả tính vào ô qui định. Nếu thí sinh không ghi lời giải hoặc lời giải sai thì không được điểm của câu đó (kể cả trường hợp ghi đúng đáp số). 3. Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể chỉ lấy đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy. Số phách (do chủ tịch Hội đồng ghi) 1. Phần ghi của thí sinh: Họ và tên thí sinh:……………………………………, SBD:…………………………… Ngày sinh:……………………Học sinh trường THPT:…………………………………. 2. Phần ghi tên và chữ kí của giám thị: Giám thị số 1:…………………………………………………………………. Giám thị số 2:…………………………………………………………………. 1
Điểm của bài thi Họ tên và chữ kí các giám khảo SỐ PHÁCH Bằng số Bằng chữ GK1:…………………………………….. GK2: ……………………………………. Bài 1 (5 điểm). Tính các hệ số a, b, c biết rằng đồ thị của hàm số y  x 3  ax 2  bx  c đi qua ba điểm A(5;1); B (6;2); C (7;3) . a b c x2 y 2 Bài 2 (5 điểm). Tính gần đúng toạ độ hai giao điểm của elíp   1 và đường thẳng 5 x  6 y  7  0 . 9 4  x1   x2     y1   y2  2 x2  7 x  1 Bài 3 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số f ( x)  . x2  4 x  5 f C§  f CT   x( x  2011)( y  2010 x)  9 Bài 4 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình sau:  2 x  x  y  6 Tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) Bài 5 (5 điểm). Cho tam giác ABC có cạnh AB  6cm , các góc BAC  850 và ACB  400 . Tính gần đúng diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH của tam giác đó. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) SABC  AH  2
Số phách:……………….. Bài 6 (5 điểm). Tìm hệ số của x trong đa thức P( x)  (1  x)(1  2 x )(1  3x)(1  4 x )....(1  2010 x)(1  2011x) . Tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) Hệ số của x bằng: Bài 7 (5 điểm). Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp một đường tròn bán kính r  3 , góc DAB  400 . Tính gần đúng độ dài các cạnh đáy và đường chéo của hình thang ABCD. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) AB  CD  BD  u1  3  Bài 8 (5 điểm). Cho dãy số (un )n1 xác định như sau:  un  2  1 . Tính gần đúng giá trị u2011 . un 1  n  1  1  (1  2)un Tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) u2011  3
Số phách:……………. Bài 9 (5 điểm). Cho hai số thực dương x , y thoả mãn x  y  5 . Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ( x5  5)( y5  5) . Tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) Pmin  Bài 10 (5 điểm). Cho hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu có bán kính R  3 10 . Biết rằng SA  SB  SC và ASB  ASC  BSC  40 0 . Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABC. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) VS . ABC  -------------------Hết--------------------- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT BẬC TRUNG HỌC 4
————————— NĂM HỌC 2010-2011 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN- THPT&BTTHPT ———————————— Bài Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm Điểm từng toàn phần bài a  18 2,0 1 b  108 1,5 5,0 c  214 1,5  x1  2,5989 2,5   y1  0,9991 5,0 2  x2  0,8916  2,5  y2  1,9096 15 x 2  18 x  39 f C§  25, 4035 2,5 f '( x)  5,0 3 ( x 2  4 x  5) 2 Giải PT f '( x)  0 tìm ra xC§ , xCT . fCT  0, 4035 2,5 Đặt a  x( x  2011); b  y  2010 x ( x1  0, 0015; y1  5,9985) 1,5 4  ab  9 5,0 Ta có hệ  ab3 ( x2  2011,0015; y2  4042109,9990) a  b  6 1,5 BC AB 6.sin 85 0 *   BC  1,5 5,0 sin 85 0 sin 40 0 sin 40 0 SABC  22,8514 cm2 1 1 6 .sin 55 0.sin 85 0 2 5 S ABC  .BA.BC.sin B  . 2 2 sin 40 0 AH AH  4,9149 cm 1,5 * sin 55 0   AH  6sin 55 0 AB - Hệ số của x trong P(x) bằng P '(0) 6 - Hệ số đó bằng a  1006 2,0 5,0 (1  2)  (3  4)  ...(2009  2010)  2011 2r * Ta có AD  BC  ( =400 ) . sin  Đặt AB  x; CD  y AB  9,5175 1,0  x  y  4r cot   Thì  4r (vì AB  CD  AD  BC ) 1,0  x  y  sin   CD  1, 2608 1  cos  1  cos  Tìm ra x  2 r. ; y  2 r. 5,0 7 sin  sin  BD  6, 4065 1,0 * Theo định lí cosin trong tam giác ABD: BD 2  AB 2  AD 2  2 AB. AD.cos BAD 2  1  cos   4r 2 2 1  cos   4r 2    2  8r . .cos   sin   sin  sin 2  1 Tính ra BD  2r 1  . sin 2  5
 un  tan  8 Ta có tan  2  1  un 1  8  1  tan .un 8   u2011  tan   2010.   3,7321 3,0 5,0   3 8  tan tan 8  3 8  tan      u1  3  tan  u2    3   3 8 1  tan .tan 8 3   Quy nạp un  tan   ( n  1)  n  1 . 3 8 25 * Đặt t  xy thì 0  t  . 4 Ta có P  x5 y 5  5( x5  y 5 )  25 x5  y 5  ( x 2  y 2 )( x3  y3 )  x 2 y 2 ( x  y )  25t 2  625t  3125 Pmin  5963, 4176 2,0 5,0 Vậy P  t 5  125t 2  3125t  15650 9 * Xét hàm f (t )  t 5  125t 2  3125t  15650 f '(t )  5t 4  250t  3125 , dễ thấy f '(t )  0 chỉ  25  có một nghiệm duy nhất trên 0; .  4  Dùng chức năng SOLVE giải PT f '(t )  0 tìm ra một nghiệm t  4, 4755 . * Ta có SAB  SBC  SAC  ABC đều * Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) thì H là S l tâm của tam giác đều ABC và SH đi qua tâm O của mặt cầu. * SH cắt mặt cầu tại D thì SAD vuông tại A. 2 Đặt   SA . Ta có SH  (1) 2R O * Gọi E là trung điểm của BC, ta có: A C  H BC  2 BE  2.sin (  400 ) 2 E  2,0 5,0 BC 2.sin 2 B D 10 AH   3 3 4   SH  SA2  AH 2  . 1  sin 2 (2) 3 2 VS . ABC  3,8490 (dvtt) 4  Từ (1) và (2) tìm ra   2 R 1  sin 2 3 2 1 1 BC 2 3 * VS . ABC  .SH .S ABC  SH . 3 3 4 2 8 3 3  4   R .sin 2  1  sin 2  3 2 3 2 Chú ý: 6