Đề thi học sinh giỏi giải Toán 12 trên máy tính cầm tay - (Kèm Đ.án)

Chia sẻ: Aae Aey | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là đề thi học sinh giỏi giải môn Toán lớp 12 trên máy tính cầm tay kèm đáp án mời các phụ huynh hãy tham khảo để giúp con em mình củng cố kiến thức cũng như cách giải các bài tập nhanh nhất và chính xác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi giải Toán 12 trên máy tính cầm tay - (Kèm Đ.án)

KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2010 Ngày thi: 10/01/2010 Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH ................................................. MÔN THI: TOÁN 12 cấp THPT Ngày sinh: tháng năm , nam hay nữ:......... Đơn vị dự thi ............................................ HỌ, TÊN CHỮ KÝ SỐ PHÁCH Giám thị số 1: (Do chủ tịch hội đồng ghi) Giám thị số 2: Chú ý: - Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này; - Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa). - Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại. 1
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC 1 Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/01/2010 *Chú ý: - Đề thi này gồm 03 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm. - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. SỐ PHÁCH ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI CÁC GIÁM KHẢO (Do Chủ tịch Hội đồng ghi) Bằng số Bằng chữ Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Bài 1: (5 điểm) Tính gần đúng ( độ, phút, giây ) nghiệm của phương trình 4cos2x + 3sinx = 2 Cách giải Kết quả ( x 3  10 x 2  31x  30)( x 2  5 x  4) Bài 2: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức P = 5 khi x = 2010 ( x 2  4 x  3)( x  5)( x  2)( x  4) Cách giải Kết quả 2
Bài 3: (5 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  x 2  sin x  2 cos x  4   5   a. Tính giá trị gần đúng của f '  f    .   2  b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 5 x= . 2 Tìm giá trị gần đúng của a, b. Cách giải Kết quả Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên     4 , 4    Cách giải Kết quả Bài 5: (5 điểm) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình: 23 x  4  3x 2  lg x  2  0. Cách giải Kết quả 3
Bài 6: (5 điểm) Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu. Cách giải Kết quả Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức (13  3 ) n  (13  3 ) n Un  với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 2 3 a) Tính U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 Cách giải Kết quả Bài 8:(5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác MDEN khi AB= 3 2 , AC= 5 3 Cách giải Kết quả 4
Bài 9: (5 điểm) Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM= 5 . Cách giải Kết quả Bài 10. (5 điểm) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314cm 3 Cách giải Kết quả --- HẾT --- 5
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC 1 Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/01/2010 Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: Tính gần đúng ( độ , phút , giây ) nghiệm của phương trình 4cos2x +3 sinx = 2 Cách giải Kết quả Điểm 4cos2x +3 sinx = 2  8sin 2 x  3sin x  2  0 sin x  0, 7215 1đ  sin x  0,3465 x1  46 010 ' 43"  k 360 0 1đ x 2  133 0 49 '17 "  k 360 0 1đ x3  20 016 ' 24 "  k 360 0 1đ 0 ' " 0 x 4  200 16 24  k 360 1đ ( x 3  10 x 2  31x  30)( x 2  5 x  4) Bài 2: Tính giá trị biểu thức P = 5 khi x = 2010 ( x 2  4 x  3)( x  5)( x  2)( x  4) Cách giải Kết quả Điểm Dùng máy để tính P=1 5đ (Hoặc có thể phân tích thành thừa số rồi rút gọn) Bài 3: Cho hàm số y  f ( x )  x 2  sin x  2 cos x  4  5  a. Tính giá trị gần đúng của f '  f    .     2  b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 5 x= . 2 Tìm giá trị gần đúng của a, b. Cách giải Kết quả Điểm  5  a. Tính giá trị gần đúng của f '  f       131,3066 2đ   2  b. a  17,7080 1.5đ b  - 72,3930 1.5đ 1
   Bài 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên   ,   4 4 Cách giải Kết quả Điểm f '( x)  5sin 5 x  5sin x f '( x)  0  2 cos 3x sin 2 x  0 1đ   Giải PT ta tìm được các nghiệm: x1  0, x2   , x3  1.5đ 6 6      Tính f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), f    , f   ; so sánh để xác max f ( x)  5,1962 2.5đ  4  4   định max f(x) Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình: 23 x  4  3x 2  lg x  2  0. Cách giải Kết quả Điểm 3x4 2 Đặt f  x   2  3 x  lg x  2 với x   0;   . 1 Vì f '  x   23 x  4.3ln 2  6 x   0, x  0 nên nếu phương x trình đã cho có nghiệm dương, thì nghiệm đó là duy nhất. 2.5đ ( có thể nhận xét: trên miền  0;   , y  23 x  4 ; y  3 x 2 ; y  lg x  2 đều là các hàm số đồng biến nên f(x) đồng biến) Giải trực tiếp trên máy, ta được nghiệm : x  0, 7743. 2.5đ Bài 6: Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu. Cách giải Kết quả Điểm 3 abcde  1000ab  cde  ( ab)  M là số phải tìm 1đ Đặt m= ab , n= cde  m3  1000m  n  m3  1000m  m  32 (1) 1đ n  1000 nên m3  1000m  1000  m(m 2  1000)  1000 1đ Nếu m=33 thì m(m 2  1000)  1000  m  33 (2) Từ (1) và (2)  m=32 m  323  32768 2đ Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức (13  3 ) n  (13  3 ) n Un  với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 2 3 a) Tính U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 2
Cách giải Kết quả Điểm a. U1  1, U 2  26,U 3  510, U 4  8944, U 5  147884 U 6  2360280,U 7  36818536,    b. Vì 13  3  13  3  26 và  U 8  565475456 3đ 13  3 13  3   166 nên phương trình đặc trưng của dãy là: x 2  26 x  166  0 b)U n 1  26U n  166U n 1 2đ Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác MDEN khi AB= 3 2 , AC= 5 3 Cách giải Kết quả Điểm M, N lần lượt là các trung điểm của BH và HC 1đ OHN  OEN ; MDO  MHO 1đ 1 1 S  S ,S  S OHN 4 AHC MHO 4 AHB 1đ 1 S  S MDEN 2 ABC S MDEN  18,3712 2đ Bài 9: Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM= 5 . Cách giải Kết quả Điểm Đặt AB = a, BC = b, BM = x Vẽ MK  BD  MK  (ABCD) 1đ 2 x  vuông BMD cho ta: MK = x 1  1.5đ a  b2 2 V  5,4737 1 x2 M . ABCD VM . ABCD  abx 1  2 2.5đ 3 a  b2 Bài 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314cm 3 Cách giải Kết quả Điểm V   r 2 h  314 1 1  1 1 1 1.5đ Stp  2 r  h  r   2 r 2 h     2 r 2 h     r h  2r 2r h  1.5đ 1   628.3. 3 2  628.3. 3 Stp nhỏ nhất 4r h 4.314  255, 7414 2đ --- HẾT --- 3
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh Gia lai Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh CÇM TAY §Ò chÝnh thøc N¨m häc 2010-2011 M¤N TO¸N líp 12 THPT Đề thi gồm 08 trang Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Héi ®ång coi thi: THCS Ph¹m Hång Th¸i Hä vµ tªn thÝ sinh: ………………………… Ch÷ ký gi¸m thÞ 1: ……………………... Ngµy sinh: ………………………………… Ch÷ ký gi¸m thÞ 2: ……………………... N¬i sinh: ………………………………….. Sè mËt m· (Do Chñ tÞch Héi ®ång chÊm thi ghi) Số báo danh: ……………………..………. "………………………………………………………………………………………………………… LỜI DẶN THÍ SINH Chữ kí giám khảo 1 Chữ kí giám khảo 2 SỐ MẬT MÃ 1.Thí sinh ghi rõ số tờ giấy Số tờ: …… (do Chủ tịch HĐ phải nộp của bài thi vào chấm thi ghi) trong khung này. 2.Ngoài ra không được đánh số, kí tên hay ghi một dấu hiệu gì vào giấy thi. ĐIỂM BÀI THI Bằng số Bằng chữ Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1:(5 điểm). Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x + 3 + - x 2 - 4x + 5 Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 1
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Bài 2: (5 điểm). Cho hình thang ABCD có đường chéo AC = 7 , BD = 5 , cạnh đáy CD = 1 , góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 150 . Tính độ dài cạnh đáy AB. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 2
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Bài 3: (5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số æ pö y = 2sin 2 x + 3cos2 ç x - ÷ . è 4ø Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4: (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3 t anx + 1(s inx + 2 cos x) = 5(s inx + 3cos x) . Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 3
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Bài 5: (5 điểm). Giải hệ phương trình ì xy - 3x - 2y ï = 16 í 2 2 ï x + y - 2x - 4y = 33 î Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 4
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Bài 6: (5 điểm). Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1, chúng đi qua tâm của nhau. Tính diện tích phần chung của hai hình tròn đó. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 5
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy Bài 7: (5 điểm). Tính các cạnh của hình hộp chữ nhật biết thể tích của nó bằng 15,625; diện tích toàn phần bằng 62,5 và các cạnh lập thành một cấp số nhân. Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8: (5 điểm). Trong hộp có 100 viên bi được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên. Tính xác suất của biến cố: "Tổng 3 số trên 3 viên bi là một số chia hết cho 3" Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT - Trang 6
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy x 2 y2 Bài 9: (5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = 1 và đường thẳng 25 9 (d) : y = 2010x + 2011 . a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (E) và (d). b) Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Tóm tắt cách giải: Kết quả: a/ b/ MTCT12THPT - Trang 7
ThÝ sinh kh«ng ®îc lµm bµi thi trong phÇn g¹ch chÐo nµy 2 Bài 10: (5 điểm). Cho dãy số {x n } , n Î N* được xác định như sau: x1 = và 3 xn x n +1 = , "n Î N* . Tính tổng của 2010 số hạng đầu tiên. 2(2n + 1)x n + 1 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Hết MTCT12THPT - Trang 8
S GIÁO D C - ðÀO T O ð THI CH N H C SINH GI I QU NG TR GI I TOÁN TRÊN MÁY TÍNH C M TAY L P 12 THPT Khóa ngày 05-01-2012 ð CHÍNH TH C Th i gian làm bài: 150 phút (không k th i gian giao ñ ) Qui ñ nh chung: 1. ð thi g m 10 bài toán, m i bài 5 ñi m 2. Thí sinh trình bày v n t t cách gi i và cách thi t l p công th c tính 3. Thí sinh ch ghi quy trình b m phím n u ñ bài có yêu c u, khi ñó c n ph i ghi rõ lo i máy s d ng 4. Các k t qu tính g n ñúng ñư c l y ñ n 4 ch s th p phân 3 3 3 1 Bài 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a y = x4 − x − 17 x2 + x − 2011 trên ño n − 3; 2  2 2012   Bài 2. Cho f ( x ) = tan ( 2 ) 2 x + x 4 − sin 2 (3x + 2012) + 2012 ( log 2 5x 6 + 9 7 + cos x 2 ) Tính f ( x0 ) v i x0 là nghi m c a phương trình 2 x 3 − 2 x 2 − 3x + 1 = 0 Bài 3. Tìm các nghi m c a phương trình 3x = 7sin x + x trên ( 0; +∞ )  1 1  x − x = y − y (1) Bài 4. Gi i h phương trình:  2 y = x 3 + 5 (2)  Bài 5. M t h p ñ ng 4 viên bi màu ñ và 18 viên bi màu xanh (các viên bi gi ng nhau v kích thư c và kh i lư ng). C n ph i b c m t l n ng u nhiên ít nh t bao nhiêu viên bi ñ xác su t có ít nh t m t viên bi màu ñ l n hơn 0,9765 Bài 6. M t t m v i ñư c qu n 357 vòng quanh m t lõi g hình tr có bán kính ñáy b ng 5,678cm, b dày c a v i là 0,5234mm. Tính chi u dài (b ng mét) c a t m v i ñó. 2x − 3 Bài 7. Cho hàm s y = f( x)= (C). Vi t phương trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n ñó c t x+2 ti m c n ñ ng t i A và c t ti m c n ngang t i B sao cho góc ∠IAB = α , trong ñó I là tâm ñ i 1 x ng c a ñ th (C) và góc α th a mãn cosα = ( ) 2 1+ 6 + 2 − 3 − 2 Bài 8. Cho hình chóp S . ABC có các m t bên nghiêng ñ u trên ñáy m t góc b ng α = 750 23'45'' . Tính th tích kh i chóp và di n tích toàn ph n c a hình chóp bi t AB = 5,6789; BC = 6, 7891; CA = 7,8912 Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA=a vuông góc v i m t ph ng ñáy, ABCD là hình thang vuông t i A và B, AB = BC = a, AD = 2a ; E là trung ñi m c nh AD. Tính th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp S.CDE bi t r ng a = 3 un+1 = 2u n + vn  Bài 10. Cho 2 dãy s ( un ) ; ( vn ) th a mãn: u1 = 4; v1 = 2 ; và  n ≥1 vn+1 = un + 2vn  a. Tính 5 s h ng ñ u tiên c a hai dãy trên. b. G i Sn ; Sn l n lư t là t ng c a n s h ng ñ u tiên c a dãy ( un ) ; ( vn ) . u v Tính: M = 2 S16 − S16 và N = S2012 − S2012 u v u v _H t_
HƯ NG D N CH M ð THI CHÍNH TH C CH N H C SINH GI I GI I TOÁN TRÊN MÁY TÍNH C M TAY B c THPT năm h c 2011-2012 Qui ñ nh chung: Thí sinh ch ñư c ñi m t i ña khi có cách gi i ñúng và k t qu ñúng. Trư ng h p cách gi i và công th c ñúng nhưng k t qu sai thì cho 1/2 s ñi m c a ph n y. Trư ng h p công th c ñưa ra sai mà k t qu ñúng thì không tính ñi m c hai ph n. Trư ng h p k t qu sai ch s th p phân cu i cùng thì tr 0,25 ñi m ph n y. Bài Cách gi i K t qu ði m ð t D =  − 3 ; 2  , ta th y f xác ñ nh, liên t c trên D và có   3 3 2 1 f '( x) = 4 x3 − x − 2 3 17 x + 1 2 f '( x) = 0 ⇔ x ∈ {0,1824; − 0,9603} (ñã lo i giá tr 1, 4275 ∉ D ) 1 1 Ta có: ( ) f − 3 ≈ 3, 0579 , f (−0,9603) ≈ −2, 7104 , 1 f (0,1824) ≈ −0,9035 , f ( 2 ) ≈ −3,1741 Suy ra −3,1741 ≤ f ( x ) ≤ 3, 0579 m i x ∈ D Max f ( x) ≈ 3,1741 x∈D 2 Do ñó, 0 ≤ f ( x) ≤ 3,1741 m i x ∈ D (D u b ng x y ra) Min f ( x) = 0 x∈D S d ng l nh Shift Solve ñ gi i phương trình và lưu vào bi n nh , sau ñó tính ñư c ba giá tr : 2 f ( x1 ) ≈ 14955,0177 f ( x2 ) ≈ 33,6746 5 f ( x3 ) ≈ 586,3181 Xét hàm s : y = 3x − 7sin x − x ; Ta có: y ' = 3x ln 3 − 7cos x − 1 ; y " = 3x ln 2 3 + 7sin x 1 Và y, y , , y ,, ñ u là các hàm s liên t c trong kho ng ( 0;+∞ ) Xét x ∈ ( 0; π ) ta có sin x > 0 và 3x ln 2 3 > 0 ⇒ y " > 0 ∀x ∈ ( 0;π ) 7sin x ≥ −7 3 Xét x ∈ [π ; + ∞ ) ta có  π ⇒ y " > 0 ∀x ∈ [π ; +∞ ) 3 ln 3 ≥ 3 .ln 3 > 7 x 2 2 2 V y y " > 0 ∀x ∈ ( 0; ∞ ) . Suy ra y , = 0 có nhi u nh t m t nghi m trên ( 0;+∞ ) Do ñó phương trình y = 0 (t c phương trình ñang xét) có nhi u nh t hai nghi m. S d ng máy tìm ñư c nghi m: x ≈ 0,1474; x ≈ 1,9439 2 ðk: xy ≠ 0 .  1  x = y 4 Ta có: (1) ⇔ ( x − y )  1 +  = 0 ⇔  1  xy   xy = −1 x = y x = y TH1:  ⇔ 3 ⇔ x = y ≈ −2,0946 x = y ≈ −2,0946 1 2 y = x + 5  x − 2 x + 5 = 0 3 1/4
 1 4  xy = −1 y = − (3) TH2:  ⇔  x 1  2 y = x3 + 5  x 4 + 5x + 2 = 0 (4)  Gi i phương trình (4) b ng cách xét hàm s f ( x ) = x 4 + 5x + 2 Ta th y hàm s này liên t c trên R , và có: f '( x ) = 4 x 3 + 5 1 f '( x ) = 0 ⇔ 4 x + 5 = 0 ⇔ x = −5/ 4 3 3 Vì f '( x ) = 0 có nghi m duy nh t nên phương trình (4) có nhi u nh t hai nghi m. S d ng máy tính ta tìm ñư c hai nghi m g n ñúng là:  x ≈ -1.5478  x ≈ -0,4054  ;  1  y ≈ 0,6461  y ≈ 2,4667 V y h có ba nghi m ñã nêu trên G i k là s bi c n b c trong m t l n G i bi n c A : “Trong k viên bi có ít nh t m t viên bi màu ñ ” Suy ra bi n c A : “ k viên bi b c ñư c toàn màu xanh” Ta th y, n u k ≥ 19 thì p ( A) = 1 > 0,9765 . Bây gi ta tìm trong t p {1, 2,...,18} xem còn giá tr k nào n a 2 không. Ta có: k ( ) n ( Ω ) = C22 ; n A = C18 ; p A = k ; k k ( ) C18 C22 5 k ( ) C18 p ( A) = 1 − p A = 1 − k C22 S d ng máy tìm ñư c các giá tr sau: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p ( A) 0,1818 0,3377 0,4701 0,5817 0,6746 0,7512 0,8134 0,8632 0,9023 2 k 10 11 12 13 14 15 16 17 18 p ( A) 0,9323 0,9549 0,9713 0,9828 0,9904 0,9952 0,9979 0,9993 0,9999 V y: k = 13 1 G i r là bán kính lõi g , d là ñ dày c a v i, lk là chi u dài c a v i vòng th k = 1,..., n . 2 Ta có: l1 = 2π r ; l2 = 2π ( r + d ) ; l3 = 2π ( r + 2d ) ; ... ; ln = 2π [ r + (n − 1)d ] T ng chi u dài c a n vòng: S = l1 + l2 + l3 + ... + ln = 2π [ n.r + (1 + 2 + 3 + ...n − 1)d ] 6  ( n − 1) n d  = π n 2r + (n − 1)d 2 = 2π  n.r +  [ ]  2  Thay n = 357; r = 0, 05678; d = 0,0005234 (ñơn v là mét) ta có : S ≈ 336,3417 (m) 1 7 1 Do cosα = nên α = 7030' α = 7030' ( ) 2 1 1+ 6 + 2 − 3−2 2/4
Tam giác IAB vuông t i I, có ∠IAB = α nên ∠ABI = 90 − α o 7 7 V i x ≠ −2 , ta có: f '( x ) = > 0 ,∀x ≠ −2 . Ch ng t ( x + 2) k = cot α 2 1 ti p tuy n c n tìm có h s góc dương. Do ñó h s góc c a ti p tuy n là: k = tan( 90 − α ) = cot α . o G i x0 là hoành ñ ti p ñi m c a ti p tuy n v i (C). 7 Ta có: f '( x0 ) = k ⇔ = cot α ( x0 + 2 ) 2 1  x0 ≈ −1,0400 ⇔ x0 = −2 ± 7.tan α ⇔   x0 ≈ −2 ,9600 V i x0 ≈ −1,0400 ( ⇒ y0 ≈ −5,2918 ) , có phương trình ti p tuy n 1 y − y0 = k ( x − x0 ) hay y = 7 ,5958 x + 2 ,6079 V i x0 ≈ −2 ,9600 ( ⇒ y0 ≈ 9 ,2918 ) , phương trình ti p tuy n 1 y = 7 ,5958 x + 31,7751 ð t a = BC ; b = CA; c = AB ; p là n a chu vi ñáy; r là bán kính ñư ng tròn n i ti p ñáy. G i H là hình chi u vuông góc c a ñ nh S trên m t ñáy, d dàng ch ng minh ñư c H là tâm ñư ng tròn n i ti p ñáy. S Ta có: S∆ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) ; r = ∆ABC ; SH = r.tan α 1 p 8 1 Ta có V = S ∆ABC × SH ≈ 44,6735 2 3  1  Ta có Stp = S ∆ABC + S xq = 1 +  S ∆ABC ≈ 93, 6299 2  cos α  S x H N I a Q A 2a E P 1 D a M 9 B a C * Xác ñ nh tâm m t c u. G i M là trung ñi m CD thì M là tâm ∆CED. K Mx//SA thì Mx là tr c c a ñáy CED. (1) Trong (SED), k trung tr c c a SD và ED c t nhau t i H thì H cũng 1 là tâm c a ∆SED. CE ⊥ AD  Ta có MP / / CE và   ⇒ MP ⊥ ( SAD ) nên trong 3/4 ( SAD ) ⊥ (CDE )  