zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán - THCS Quang Trung

Chia sẻ: Nguyễn Đình Huynh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Báo xấu

184
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán của trường THCS Quang Trung. Để giúp bạn thêm phần tự tin trước kì kiểm tra và giúp cho các bạn củng cố kiến thức cũ đã học để đạt được điểm cao hơn nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán - THCS Quang Trung

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS ĐÔNG HÒA Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 Câu 1:(5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: x + x + �� 1 + 4 x + 1 ; ( n dấu căn, x − 1 ) + x+ 4 2 b) Tính giá trị biểu thức: A = 3 1 + 84 + 3 1 − 84 9 9 x y 2( x − y) c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng : − 3 + 2 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 3 Câu 2:(2 điểm) : Một ca nô và một bè nứa trôi tự do cùng rời bến sông để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 96km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 10h. Trên đường về còn cách A 32km thì ca nô gặp bè nứa trôi. Tìm vận tốc riêng của ca nô và của dòng nước. Câu 3:( 4 điểm) a) Cho một hình vuông và 4n + 1 đường thẳng. Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2 : 3. Chứng minh trong 4n + 1 đường thẳng có ít nhất n + 1 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm. b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 A = + 3 3 + 3 x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1 3 3 Câu 4: ( 2 điểm)Giải phương trình: 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 Câu 5: ( 4 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định sao cho khoảng cách từ O R tới AB bằng . Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) tại C. Trên 2 cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B). Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I. Dây CM cắt dây AB tại K. 1 1 1 a) So sánh : ﾷAIM với ﾷACB . b) Chứng minh: . MA MB MK c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R 1.R2 đạt giá trị lớn nhất. Câu 6:( 3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định . M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC tại P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM tại Q. ﾷ a) Chứng minh QAB = BAP ﾷ b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC tại H. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a GV: Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán – Tin.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG HẾT ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1:(5 điểm) a) (2 điểm) x + x + �� 1+ 4x +1 4x + 2 + 2 4x +1 + x+ = x + x + �� + 2 4 2 4x +1+ 2 4x +1 +1 � 4x +1 +1 � = x + x + �� + == x + x + �� + � � 2 � � 4 � � 2 4x +1 +1 � 4x +1 +1 � 4x +1 +1 = x+ x+ = � � 2 � � = 2 � � 2 b) (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = 3 1 + 84 + 3 1 − 84 9 9 2 2 84 84 � 84 �� 84 � � 84 � � 84 � Suy ra : A = 1 + 3 +1− + 3�3 � 1 + ��1 − � + 3 � 1 3 � + ��1− � 9 9 � 9 �� 9 � � 9 � � 9 � � �� 1 � 84 � 1 � 84 � � � 84 � � 84 �� A = 2 + 3�3 − 1+ = 2 − �3 �1+ �+ �� 3 1− �� + 3 �− 27 � 1− 3 �� 3 � � � � � � 27 � 9 � 9 � 9 9 �� ( A3 = 2 − A � ( A − 1) A2 + A + 2 = 0 � A = 1 ) x y 2( x − y) x y 2( x − y) c) y 3 −1 − x3 −1 + x 2 y 2 + 3 = y −1 y 2 + y + 1 − x −1 x 2 + x + 1 + x 2 y 2 + 3 ( )( ) ( )( ) = 2 −1 + 1 + 2( x − y) − x + x +1 y + y +1 2( x − y) = 2 2 + 2 2 ( )( ) y + y + 1 x2 + x + 1 x2 y 2 + 3 y 2 + y + 1 x2 + x + 1 x y +3 ( )( ) = ( ) ( − x2 + x + 1 + y 2 + y + 1 ) + 2( x − y) x y + xy + y + x y + xy + y + x + x + 1 2 2 2 2 2 2 x2 y 2 + 3 = ( − x2 + x + 1 + y 2 + y + 1) ( ) + 2( x − y) x y + xy ( x + y ) + y + xy + x + ( x + y ) + 1 2 2 2 2 x2 y2 + 3 ( ) ( − x2 + x + 1 + y 2 + y + 1 ) 2( x − y) ( ) ( − x2 + x + 1 + y 2 + y + 1 ) + 2( x − y) = + = x 2 y 2 + y 2 + 2 xy + x 2 + ( x + y ) + 1 x2 y 2 + ( x + y ) + ( x + y ) + 1 x2 y2 + 3 2 x2 y 2 + 3 = ( − x2 + x + 1 + y 2 + y + 1) ( ) + 2( x − y) = 0 � ( x − y) � 1− ( x + y) � � �= ( x − y ) � 1− ( x + y ) � � �= 0 x y +3 2 2 x2 y 2 + 3 x2 y 2 + 3 x2 y 2 + 3 Câu 2:(3 điểm) Giải: Gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và của dòng nước. ĐK : x> 4; y > 0; x > y. 96 96 Vì ca nô đi và về mất 10 giờ, ta có phương trình : + = 10 x+ y x− y GV: Nguyễn Đình Huynh T 2 ổ : Toán – Tin.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 96 96 − 32 32 Vì ca nô khi trở về gặp bè nứa trôi cách A 32 km, ta có phương trình: + = x+ y x− y y 96 96 + = 10 (1) x+ y x− y Ta có hệ PT: 96 96 − 32 32 + = (2) x+ y x− y y 96 96 − 32 32 Từ (2), ta có: + = x+ y x− y y ( ) � 96y( x − y) + 64y ( x + y) = 32 x2 − y2 � 160xy = 32x2 � x = 5y 96 96 16 24 10y Thay vào (1), ta có: + = 10 � + = � y= 4 6y 4y y y y Vậy hệ có nghiệm x = 20; y = 4 ( tm) B I A Câu 3:( 4 điểm) a) Giải: Để chia hình vuông thành 2 tứ giác thì đường thẳng 2 phải cắt hình vuông ở 2 cạnh đối diện. M 3 F E 1 Đặt tên như hình vẽ: Với EF là đường đoạn thẳng 4 Nối trung điểm của 2 cạnh đối diện. BI + CJ gBC S BIJC 2 EM 2 C K D Giả sử : = = = S IADJ AI + JD AD FM 3 2 EM 2 Vậy điểm M là điểm cố định vì tỉ số = cố định. MF 3 Trong hình vuông, có 2 đoạn nối trung điểm nên ta xác định được 4 điểm thỏa mãn tính chất trên. Vì có 4n + 1 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm trên nên tồn tại ít nhất 1 điểm có n+1 đường thẳng đi qua ( theo nguyên lí Đirichle) b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 A = + 3 3 + 3 x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1 33 Ta có : ( x − y ) �� 2 0 x 2 − xy + y 2 �xy . Vì x, y > 0 nên ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) �xy ( x + y ) � x 3 + y 3 + 1 �xy ( x + y ) + xyz � x3 + y 3 + 1 �xy ( x + y + z ) Tương tự: y 3 + z 3 + 1 �yz ( x + y + z ) ; � x3 + z 3 + 1 �xz ( x + y + z ) 1 1 1 1 1 1 Suy ra : A = x3 + y 3 + 1 + y 3 + z 3 + 1 + z 3 + x3 + 1 xy x + y + z + yz x + y + z + zx x + y + z ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x+ y+z 1 Mà = xy x + y + z + yz x + y + z + zx x + y + z = xyz x + y + z = xyz = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x = y = z = 1 Câu 4: ( 2 điểm) Giải phương trình sau : 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 GV: Nguyễn Đình Huynh T 3 ổ : Toán – Tin.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giải: Ta thấy : ( 2 x + x + 9 ) − ( 2 x − x + 1) = 2 ( x + 4 ) 2 2 + x = −4 không phải là nghiệm + Xét x −4 Trục căn thức ta có : 2 ( x + 4) = x + 4 � 2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2 2x + x + 9 − 2x − x + 1 2 2 x=0 2x2 + x + 9 − 2x2 − x + 1 = 2 Vậy ta có hệ: � 2 2x + x + 9 = x + 6 � 8 2 2x + x + 9 + 2x − x + 1 = x + 4 2 2 x= 7 8 Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 và x= 7 Câu 5: ( 5 điểm) OH 1 a) Xét ∆ AOH có CosAOH = = � ﾷAOH = 600 OA 2 � ﾷAOB = 1200 � sđ ﾷAB = 1200 � ﾷACB = 600 + ∆ ABC có đường cao CH đồng thời là trung tuyến. M J Vậy ∆ ABC đều => ﾷACB = 600 Vì AI // MB A K B ﾷAIM = CMB ﾷﾷ = CAB = 600 ( góc nội tiếp chắn BC ﾷ ) Vậy ﾷAIM = ﾷACB H b) ∆ AIM đều vì ﾷAIM = ﾷAMI = 600 I => AM = MI. O ∆AIC = ∆AMB (cgc) sđ MB ﾷ Vì AC = AB; IAC ﾷﾷ = MAB = ; AI = AM 2 � CI = MB MK MB MKA MBC ( gg) nên C MA MC MK MA MKB MAC ( gg) nên MB MC MK MK MBMB MA MA 1 1 1 Vậy: 1 hay . MA MB MC MC MC MA MB MK a b c c) Bổ đề: Trong ∆ ABC, ta có : 2R sin A sin B sin C Áp dụng bổ đề ta được: AK AK AK Trong ∆ AKM: R 1 0 2 sin M 2 sin 60 3 BK BK BK Trong ∆ BKM: R 2 0 2 sin M 2 sin 60 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm R1, R2 có: GV: Nguyễn Đình Huynh T 4 ổ : Toán – Tin.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG R1 + R2 AK + BK 3R R R1 R2 = = = ( Không đổi) 2 2 3 2 3 2 Dấu bằng xảy ra khi R1=R2 AK = BK M là điểm chính giữa của AB ﾷ . 2 R Vậy R1R2 max = khi M là điểm chính giữa của cung AB. 4 Câu 6:( 2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định . M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC tại P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM tại Q. ﾷ a) Chứng minh QAB = BAP ﾷ b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC tại H. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a GIẢI: a) Qua M, vẽ đường thẳng song song với AD cắt AQ tại K. Áp dụng định lí Talet, ta có: QK QM QM QB = mà = QA QD QD QP QK QB Suy ra: = KB//AP ( Định lí Talet đảo) QA QP H Nên BAP ﾷ = ﾷABK ( cặp góc so le trong) (*) Mà MK // AD; AD ⊥ AB Q � MK ⊥ AB; AM = MB K Suy ra : ∆AKB cân tại K ﾷABK = QAB ﾷ (**) A B ﾷ Từ (*) và (**), suy ra QAB = BAP ﾷ M b) Ta có : ∆ABH ∆CBM ( g – g) Vì ﾷABH = CBM ﾷﾷ = 900 ; BAH ﾷ = BCM ( cùng phụ với H ﾷ ) N AB BH � = BM = BH � � AB � BC BC BM P D C 2 a a hay BH � BC = a � = ( cố định) 2 2 1 1 1 S AHC = AB ( BC + BH ) �� AB HC = �� AB 2 BC BH 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi BC = BH hay ∆AHC cân tại A. a2 1 a2 2a 2 Khi đó BH � BC = nên Min S AHC = a � 2 = 2 2 2 2 ﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷ GV: Nguyễn Đình Huynh T 5 ổ : Toán – Tin.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG GV: Nguyễn Đình Huynh T 6 ổ : Toán – Tin.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.