Đề thi HSG Toán 8 cấp tỉnh năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Lai Châu

UBND TỈNH LAI CHÂU<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2016 – 2017<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Ngày thi: 09/04/2017<br /> <br /> Câu 1. (2,0 điểm)<br /> 6<br /> 1  <br /> 10  x 2 <br />  x2<br /> : x  2 <br /> <br /> <br /> Cho biểu thức A   3<br /> <br /> x2 <br />  x  4 x 6  3x x  2  <br /> <br /> a) Rút gọn A;<br /> b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.<br /> Câu 2. (4,0 điểm)<br /> a) Phân tích các đa thức xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z  thành nhân tử.<br /> <br /> b) Chứng minh rằng: B  n3  n 2  7   36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.<br /> Câu 3. (4,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình: 2x2  2xy  y2  9  6x  y  3<br /> b) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  2017 .<br /> 2017a 2bc<br /> ab2c<br /> abc 2<br /> P<br /> <br /> <br /> Tính giá trị của biểu thức:<br /> ab  2017a  2017 bc  b  2017 ac  c  1<br /> Câu 4. (5,0 điểm)<br /> x3 x4 1 x5<br /> <br />  <br /> a) Giải phương trình sau:<br /> 4<br /> 9<br /> 2 36<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br /> b) Cho ab  1 . Chứng minh rằng:<br /> 1  a 2 1  b 2 1  ab<br /> Câu 5. (5,0 điểm)<br /> Cho hình vuông EFGH. Từ E, vẽ góc vuông xEy sao cho cạnh Ex cắt các đường<br /> thẳng FG và GH theo thứ tự ở M và N, còn cạnh Ey cắt hai đường thẳng trên lần lượt ở<br /> P và Q.<br /> a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân.<br /> b) Đường thẳng QM cắt NP tại R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và<br /> QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao?<br /> c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng.<br /> ---------------Hết-------------2<br /> <br /> Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CẤP TỈNH LAI CHÂU<br /> NĂM HỌC 2016-2017<br /> Đáp án<br /> Câu 1<br /> 6<br /> 1  <br /> 10  x 2 <br />  x2<br /> <br /> <br /> A 3<br /> : x  2 <br /> ( x  0; x  2 )<br /> x  4 x 6  3x x  2  <br /> x2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> (1,0)<br /> <br /> <br />  x 2  4  10  x 2<br /> x  x  2<br /> 2x  x  2<br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> :<br /> x  x  2  x  2  x  x  2  x  2  x  x  2  x  2  <br /> x2<br /> <br /> x2  2x2  4x  x2  2x x  2<br /> 6 x<br /> x2<br /> <br /> <br /> .<br /> .<br /> 6<br /> x  x  2  x  2 <br /> x  x  2  x  2  6<br /> <br /> <br /> 1<br /> x2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> A có giá trị nguyên <br /> <br /> 1<br />  Z  x  2 U 1  1<br /> x2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 4,0<br /> <br />  xy  x  z  y  z   yz  y  z   xz  x  z <br /> <br /> a  xy  y  z   xy  x  z   yz  y  z   xz  x  z <br /> (2,0)<br />  y  y  z  x  z   x  x  z  y  z <br />   y  z  x  z  x  y <br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> b Ta có<br /> (1,0) x  2  1  x  3 tm<br /> x  2  1  x  1tm<br /> Vậy x1;3 thì A có giá trị nguyên<br /> Câu 2<br /> xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> Điểm<br /> 2,0<br /> 0,25<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> B  n3  n2  7   36n  n n2  n2  7   62   n n  n2  7   62<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  n  n  n2  7   6  n  n 2  7   6  n  n3  7n  6  n3  7n  6 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  n  n3  n  6n  6  n3  n  6n  6 <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  n  n  n  1 n  1  6  n  1   n  n  1 n  1  6  n  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  n  n  1  n 2  n  6   n  1  n 2  n  6 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> (2,0)  n  n  1  n  3n  2n  6   n  1  n  3n  2n  6 <br />  n  n  1 n  3 n  2  n  1 n  3 n  2 <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />   n  3 n  2  n  1 n  n  1 n  2  n  3<br /> <br /> Là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, cho 5, cho 7<br /> Mà (3,5,7) = 1 nên tích trên chia hết cho 3.5.7=105<br /> Vậy B  n3  n 2  7   36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 3<br /> <br /> 4,0<br /> 0,25<br /> <br /> 2 x  2 xy  y  9  6 x  y  3<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  x 2  2 xy  y 2  x 2  6 x  9   y  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   x  y    x  3   y  3<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a Ta có VT   x  y 2   x  32  0 , với mọi x, y; VP   y  3  0 với mọi y<br /> (2,0)<br /> x  y  0 x   y<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x  y    x  3  0 <br /> <br />  x  3  0  x  3<br /> Nên VT=VP  <br />  y  3  0<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> y 3  0<br /> <br /> <br />  y  3<br /> <br /> <br /> Vậy nghiệm của phương trình là (3; -3)<br /> Ta có ab  2017a  2017  ab  abca  abc  ab 1  ac  c <br /> bc  b  2017  bc  b  abc  b  c  1 ac <br /> <br /> Khi đó<br /> ab 2 c<br /> abc 2<br /> abcac<br /> abc<br /> abc 2<br /> 2017 a 2bc<br /> b<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> P<br /> (2,0)<br /> ab 1  c  ac  b 1  c  ac  ac  c  1 1  c  ac 1  c  ac ac  c  1<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> abcac  abc  abc 2 abc  ac  1  c <br /> 0,25<br /> <br /> <br />  abc  2017<br /> 1  c  ac<br /> 1  c  ac<br /> Vậy với a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  2017 thì giá trị của biểu thức 0,25<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 2017a 2bc<br /> ab2c<br /> abc 2<br /> P<br /> <br /> <br />  2017<br /> ab  2017a  2017 bc  b  2017 ac  c  1<br /> <br /> Câu 4<br /> <br /> 5,0<br /> x3 x4 1 x5<br /> <br />  <br /> 4<br /> 9<br /> 2 36<br /> 9 x  3 4 x  4 18 x  5<br /> <br /> <br />  <br /> 36<br /> 36<br /> 36 36<br />  9 x  3  4 x  4  18  x  5<br />  9 x  3  4 x  4  13  x 1<br /> Lập bảng xét dấu<br /> x<br /> -3<br /> x+3<br /> 0<br /> +<br /> x-4<br /> +) Với x  3 , PT (1) trở thành<br /> 9   x  3  4  4  x   13  x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 4<br /> 0<br /> <br /> +<br /> +<br /> 0,5<br /> <br />  9 x  27  16  4 x  13  x<br />  4 x  56<br /> <br /> a<br /> (2,5)  x  14  tm <br /> +) Với 3  x  4 , PT (1) trở thành<br /> 9  x  3  4  4  x   13  x<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  9 x  27  16  4 x  13  x<br />  14 x  2<br /> 1<br />  x   tm <br /> 7<br /> +) Với x  4 , PT (1) trở thành<br /> 9  x  3  4  x  4   13  x<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  9 x  27  4 x  16  13  x<br />  6 x  30<br />  x  5  kotm <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> <br /> Vậy S  14; <br /> 7<br /> <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> a 2  b2  2<br /> VT <br /> <br /> <br /> 1  a 2 1  b 2 a 2b 2  a 2  b 2  1<br /> 2<br /> 2 2<br /> Theo BĐT Cô si ta có a2  b2  2ab và ab  1 (GT)   ab   a b  1<br /> b Khi đó<br /> (2,5)<br /> 1<br /> 1<br /> a 2  b2  2<br /> 2ab  2<br /> 22<br /> 4<br /> <br />  2 2<br /> <br /> <br /> <br /> VT <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a b  a  b  1 1  2ab  1 2  2ab 2 1  ab <br /> 1 a 1 b<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br />  VT <br /> <br /> <br /> hay<br /> (đpcm)<br /> 1  ab<br /> 1  a 2 1  b 2 1  ab<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 5,0<br /> <br /> Câu 5<br /> R<br /> <br /> N<br /> <br /> I<br /> P<br /> <br /> M<br /> <br /> F<br /> <br /> G<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> E<br /> <br /> K<br /> <br /> 1<br /> <br /> H<br /> <br /> Q<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> Ta có EF = EH (GT); HNE  EPF (cùng phụ góc NMG)<br />  EFP=EHN (cạnh góc vuông–góc nhọn)<br />  EP  EN  ENP vuông cân tại E<br /> Tương tự Ta có EF = EH (GT) E1  E2 (cùng tạo với góc E3 góc 900)<br />  EFM=EHQ (cạnh góc vuông–góc nhọn)<br />  EM  EQ  EQM vuông cân tại E<br /> Tứ giác EKRI là hình chữ nhật vì<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br />