Đề thi HSG Toán 8 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tiền Hải

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO<br /> TẠO TIỀN HẢI<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017<br /> MÔN: TOÁN 8<br /> Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> (Đề thi gồm có 01 trang)<br /> <br /> Bài 1: (4,5 điểm)<br /> 1) Ph}n tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24<br /> 2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:<br /> ab<br /> <br /> bc<br /> <br /> c a   c<br /> <br /> a<br /> <br /> b <br /> <br /> Nếu a + b + c = 0 thì <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> 9<br /> a<br /> b   ab bc c a <br />  c<br /> <br /> <br /> 3) Cho A = p4 trong đó p l{ số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng c|c ước dương của A<br /> là số chính phương.<br /> Bài 2: (4,0 điểm)<br />  x 4<br /> <br /> 1  <br /> <br /> x 8<br /> <br /> <br /> <br /> 1) Cho biểu thức P   3<br /> <br />  :  1  x 2  x  1  (Với x  1)<br />  x 1 x 1  <br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức P<br /> b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: x 2  3x  2  0<br /> 2. Chứng minh rằng: f ( x )  ( x 2  x  1)2018  ( x 2  x  1)2018  2 chia hết cho g(x)  x 2  x<br /> Bài 3: (3,5 điểm)<br /> 1) Tìm m đe phương trình co nghiem (vơi m tham so)<br /> <br /> x  m x 3<br /> <br /> 2<br /> x 3 x  m<br /> <br /> 2) Giai phương trình: 2x(8x  1)2(4x  1)  9<br /> Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh<br /> BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q l{ trung điểm của CH,<br /> đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.<br /> a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.<br /> b) Khi M l{ trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP<br /> c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> AB<br /> AP<br /> 4 AF 2<br /> <br /> Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo c|c cạnh là các số nguyên dương v{<br /> số đo diện tích bằng số đo chu vi.<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TIỀN HẢI<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8<br /> <br /> Bài<br /> 1<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 1.<br /> M  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> M  ( x 2  7 x  10)( x 2  7 x  12)  24<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> M  ( x 2  7 x  11  1)( x 2  7 x  11  1)  24<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> M  ( x 2  7 x  11)2  25<br /> M  ( x 2  7 x  6) ( x 2  7 x  16)<br /> M  ( x  1)( x  6)( x 2  7 x  16)<br /> 2. C|c ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4<br /> Tổng c|c ươc l{ 1  p  p2  p3  p4  n2 (n  N )<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />  4  4 p  4 p2  4 p3  4 p 4  4n2<br /> <br /> Ta có 4 p4  4 p3  p2  4n2  4 p4  p2  4  4 p3  8 p2  4 p<br />  (2 p2  p)2  (2n)2  (2 p 2  p  2)2  (2n)2  (2 p 2  p  1) 2<br /> <br /> Do đó:<br /> 4 p 4  4 p3  4 p 2  4 p  4  4 p 4  4 p3  5 p 2  2 p  1  p 2  2 p  3  0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> p1 = -1(loại); p2 = 3<br /> <br /> a b<br /> bc<br /> ca<br /> c<br /> 1 a<br /> 1 b<br /> 1<br />  x;<br />  y;<br /> z<br />  ;<br />  ;<br />  (1)<br /> c<br /> a<br /> b<br /> a b x b c y c a z<br /> 1 1 1<br />  ( x  y  z)      9<br /> x y z<br /> <br /> 3. Đặt<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br />  yz<br /> <br /> xz<br /> <br /> y  z bc ca  c<br /> b 2  bc  ac  a 2 c<br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> Ta lại có:<br /> <br /> x<br /> b  a b<br /> ab<br /> a b<br />  a<br /> 2<br /> c(a  b)(c  a  b) c(c  a  b) c  2c  (a  b  c) 2c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ab(a  b)<br /> ab<br /> ab<br /> ab<br /> x  z 2a 2 x  y 2b 2<br /> <br /> ;<br /> <br /> Tương tự ta có<br /> y<br /> bc<br /> z<br /> ac<br /> 2<br /> 2<br /> 1 1 1<br /> 2c 2a 2b2<br /> 2<br /> ( x  y  z)      3 <br /> <br /> <br />  3<br /> ( a 3  b3  c 3 )<br /> ab bc<br /> ac<br /> abc<br /> x y z<br /> <br /> Vì a  b  c  0  a3  b3  c3  3abc<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> Do đó ( x  y  z )      3 <br /> .3abc  3  6  9<br /> x y z<br /> abc<br /> <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> <br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x y<br /> <br /> Ta có ( x  y  z )      3  <br /> <br /> <br />  (2)<br /> y<br /> z <br /> x y z<br />  x<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.<br /> a. Với x  1 ta có<br /> <br />   x2  x  1  x  8 <br /> x4<br /> x2  x  1<br /> P<br /> <br /> :<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x2  x  1 <br />  ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)  <br />  x  4  x2  x  1   x2  x  1  x  8 <br /> x2  2x  3<br /> x2  9<br /> P<br /> :<br /> <br /> : 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> x 2  x  1  ( x  1)( x 2  x  1) x  x  1<br />  ( x  1)( x  x  1)  <br /> <br /> ( x  3)( x  1) x  x  1 x  3<br /> .<br />  2<br /> ( x  1)( x 2  x  1) x 2  9<br /> x 9<br /> x3<br /> Vậy x  1 thì P  2<br /> x 9<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> b. x  3x  2  0 suy x = 2 hoặc x = 1 (loại)<br /> <br /> 23<br /> 5<br />  .<br /> 2<br /> 2  9 13<br /> 5<br /> Kết luận với x = 2 thì P <br /> 13<br /> <br /> Thay x = 2 vào P ta có P <br /> <br /> 2. Đa thức g ( x)  x2  x  x( x 1) có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 1<br /> Ta có f (0)  (1)2018  12018  2  0  x = 0 là nghiệm của f(x)<br />  f(x) chứa thừa số x<br /> Ta có f (1)  (12  1 1)2018  (12 1  1)2018  2  0  x = 1 là nghiệm của f(x)<br />  f(x) chứa thừa số x- 1 mà các thừa số x và x - 1 không có nhân tử<br /> chung do đó f(x) chia hết cho x(x - 1)<br /> Vậy f ( x)  ( x2  x 1)2018  ( x2  x  1)2018  2 chia hết cho g ( x)  x2  x<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1. ĐKXĐ: x  -3; x  -m ta có<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x m x 3<br /> <br />  2  x 2  m2  x 2  9  2( x  3)( x  m)<br /> x3 xm<br />  2 x2  m2  9  2( x2  3x  3m  mx)  2(m  3) x  (m  3)2 (1)<br /> <br /> Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa m~n điều<br /> kiện x  -3;<br /> x  -m, do đó tập nghiệm của phương trình l{ x  3<br /> Với m  3 thì phương trình (1) có nghiệm x  <br /> <br /> (m  3)2<br /> m3<br /> <br /> 2(m  3)<br /> 2<br /> <br /> Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:<br /> <br /> m3<br /> m3<br />  3 và <br />  m tức là m  3 . Vậy nếu m  3 thì<br /> 2<br /> 2<br /> m3<br /> là nghiệm<br /> x<br /> 2<br />  m  3<br /> Kết luận: với m = -3 thì S  x / x  3 . Với m  3 thì S  <br /> <br /> 2 <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2. Ta có 2 x(8x 1)2 (4 x 1)  9 <br /> (64 x2  16 x  1)(8x2  2 x)  9  (64 x2 16 x  1)(64 x 2  16 x)  72 (*)<br /> Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)  t(t + 1) – 72 = 0  t = - 9 hoặc t = 8.<br /> Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9  64x2 -16x + 9 = 0  (8x -1)2 +8 = 0<br /> <br /> (vô nghiệm vì (8x -1)2 + 8 > 0)<br /> Với t = 8 ta có 64x2 -16x= 8  64x2 -16x – 8 = 0  (8x -1)2 -9 = 0<br />  x=<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> hoặc x=  .<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> Vậy nghiệm của phương trình l{ x =<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> hoặc x=  .<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 4<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 1,0<br /> 0,5<br /> a. Chưng minh được DH // BK (1)<br /> Chứng minh được AHD  CKB suy ra DH = BK (2)<br /> Từ (1) và (2)  tứ giác MNPQ là hình bình hành<br /> b. Gọi E l{ trung điểm BK, chứng minh được QE l{ đường trung bình<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> của KBC nên QE // BC  QE  AB(vì BC  AB) và QE  BC  AD<br /> Chứng minh AM = QE và AM//QE  tứ giác AMQE là hình bình hành<br /> Chứng minh AE//NP//MQ (3). Xét AQB có BK v{ QE l{ hai đường<br /> cao của tam giác  E là trực tâm của tam giác<br /> nên AE đường cao thứ ba của tam giác AE  BQ  BQ  NP<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> c.<br /> 0,5<br /> <br /> Vẽ tia Ax vuông góc AF. Gọi giao của Ax với CD là G.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chứng minh<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (cùng phụ<br /> <br /> )  ADG ~ ABP (g.g)<br /> <br /> AP AB<br /> 1<br /> <br />  2  AG  AP<br /> AG AD<br /> 2<br /> Ta có AGF vuông tại A có AD  GF nên AG.AF = AD.GF<br /> (= 2S AGF )  AG2 .AF2  AD2 .GF 2 (1)<br /> <br /> Ta chia cả hai vế của (1) cho AD2 . AG2 .AF2<br /> Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> AF 2<br /> AD<br /> AG<br /> AF<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br />  AB <br />  AP <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB 2 AP 2 AF 2<br /> AB2 AP2 4 AF 2<br /> <br /> <br /> 5<br /> <br /> Gọi các cạnh của tam gi|c vuông l{ x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x,<br /> y, z là các số nguyên dương). Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2<br /> (2)<br /> Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta có:<br /> z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z)<br />  z 2  4 z  ( x  y) 2  4( x  y)  z 2  4 z  4  ( x  y) 2  4( x  y)  4<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  ( z  2)2  ( x  y  2) 2<br />  z  2  x  y  2 hoặc z + 2= -x – y + 2 (loại vì z >0)<br />  z  x  y  4 ; thay vào (1)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ta được xy = 2(x + y + x + y - 4)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  xy  4 x  4 y  8<br />  ( x  4)( y  4)  8  1.8  2.4 từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:<br /> <br /> (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x =<br /> 8, y = 6, z = 10)<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br />