Đề thi KSCL môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 2) - Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các bạn ‘Đề thi KSCL môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 2) - Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa’. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án (Lần 2) - Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa

SỞ GD& ĐT THANH HOÁ ĐỀ KSCL LẦN 2 NĂM HỌC 2023-2024 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian: 90 phút. Không kể thời gian giao đề (Đề thi có 3 trang, gồm 22 câu) (Ngày thi: 31/03/2024) Mã đề: 116 PHẦN I (3 điểm): Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 . Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án. Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây sai? A. BC ⊥ SA. B. BD ⊥ SA. C. BC ⊥ SD. D. CD ⊥ SD. Câu 2: Cho đường thẳng ( d ) : 2 x + 3 y − 4 =. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của ( d ) ? 0       A. n3 ( 2; −3) . = B. n2 =( −4; −6 ) . C. n1 = ( 3; 2 ) . D. n4 = ( −2;3) . Câu 3: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực x, y ? x x 2 2x 2x D. ( 2 x ) = 2 x + y . y A.   = . B. 2 x.2 y = 2 x + y . C. y = 2 y . 3 3 2 Câu 4: Từ các chữ số 1,5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau: A. 256 . B. 64 . C. 12 . D. 24 . Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. MN //mp ( ABCD ) . B. MN //mp ( SBC ) . C. MN //mp ( SCD ) . D. MN //mp ( SAB ) . Câu 6: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mức giá [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) (triệu đồng/ m 2 ) Số khách hàng 65 80 110 45 20 Số trung bình của mẫu (làm tròn đến hàng phần chục) bằng? A. 19, 4 . B. 19,3 . C. 18,3 . D. 18, 4 . Câu 7: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4 x + 3 y + m = tiếp xúc với đường tròn 0 ( C ) : x + y − 9 =. 2 2 0 A. m = −3 . B. m = 3 . C. m = 15 và m = −15 . D. m = 3 và m = −3 . 1 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x = là: 2 π 5π A. x = kπ . B. x =+ kπ ; x = + kπ . 6 6 π 5π π 2π C. x = k 2π ; x =+ k 2π + D. x = k 2π ; x =+ k 2π . + 6 6 3 3 1 Câu 9: Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 = d = Khẳng định nào sau đây là đúng? −3; . 2 1 1 A. un =−3 + ( n − 1) . B. un =−3 + ( n + 1) . 2 2 1  1  C. un =−3 + n − 1 . D. un = n  −3 + ( n − 1)  . 2  4  Câu 10: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mức giá [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) (triệu đồng/ m 2 ) Số khách hàng 65 80 110 45 20 Số trung vị của mẫu (làm tròn đến hàng phần chục) bằng? A. 18, 4 . B. 18,5 . C. 18, 6 . D. 18,3 . Trang 1/3 - Toán 11 - Mã đề 116
Câu 11: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai? x 1 A. log 2 = log 2 x − log 2 y. B. log 2 xy = ( log 2 x + log 2 y ) . y 2 C. log 2 xy log 2 x + log 2 y. = D. log 2 ( x + y= log 2 x + log 2 y. ) 3n − 2 Câu 12: Tìm lim ? n+3 2 A. 3 B. − C. −2 D. 1 . 3 PHẦN II (4 điểm): Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d ) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. 1 Câu 1: Cho các số thực a, b thỏa mãn a > , b > 1 và biểu thức P log 2 a b + log b ( a 4 − 4a 2 + 16 ) . Các = 2 mệnh đề sau đúng hay sai? a) log b 2a > 0 . b) Nếu x > y > 0 thì log 2 a x > log 2 a y . c) log 2 a b + 4 log b 2a ≥ 4 . d) Khi biểu thức P log 2 a b + log = b (a 4 ) − 4a 2 + 16 đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b < 18 .  π 3 Câu 2: Cho phương trình lượng giác sin  3 x +  = −  3 2  π 2π x = 9 + k 3 − a) Nghiệm của phương trình là:  (k ∈ ) .  x π + k 2π =   3 3 2π b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng − . 9  π c) Trên khoảng  0;  phương trình đã cho có 3 nghiệm.  2  π 7π d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng  0;  bằng .  2 9 Câu 3: Cho Parabol ( P) : y =x 2 + 6 x − 5 . Khi đó: − a) Hoành độ đỉnh của ( P) là: x = 3 . b) y < 0 khi x ∈ (−∞;1) ∪ (5; +∞) . c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 . d) Đường thẳng d : = 4 x − m cắt đồ thị ( P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 4 . y  Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = a , AC = 2a , BAC = 1200 . Gọi M là trung điểm  cạnh CC ′ . Biết rằng BMA′ = 900 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) AB  ( A′B′C ′) . b) Hai đường thẳng BM và A′C ′ cắt nhau. c) Tam giác A′C ′M là tam giác vuông. a 5 d) d ( A, ( BMA′ ) ) = . 3 PHẦN III (3 điểm): Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Trong một lớp có ( 2n + 3) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến ( 2n + 3) , mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để 17 số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là . Tính số học sinh của lớp. 1155 Trang 2/3 - Toán 11 - Mã đề 116
Câu 2: Anh An vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng lãi suất là 0,9% / tháng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh An sẽ trả hết số nợ ngân hàng? x + 1 + a 5x + 1 9 Câu 3: Cho giới hạn lim = . Tính giá trị của T 2a − b . = x →3 x − 4x − 3 b Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường m n 3 thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng .a p m n ( m, n, p là các số nguyên và các phân số ; tối giản). Tính giá trị biểu thức A = m + n + p . p p Câu 5: Cho phương trình log 2+ 5 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) + log 5 −2 x 2 + mx − 2m 2 =. Hỏi có bao nhiêu giá 0 trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x12 + x2 = 2 3? Câu 6: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Minh làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 5cm (tham khảo hình vẽ). Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH sao cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Biết rằng thể a b tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng với a, b, c là các số nguyên dương, a 2 > b và c a phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a − b + c ----------------------------------- c ----------- HẾT ---------- Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm Trang 3/3 - Toán 11 - Mã đề 116
SỞ GD& ĐT THANH HOÁ ĐỀ KSCL LẦN 2 NĂM HỌC 2023-2024 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 Môn: TOÁN – Lớp 11 Thời gian: 90 phút. Không kể thời gian giao đề (Đề thi có 3 trang, gồm 22 câu) (Ngày thi: 31/03/2024) Mã đề: 117 PHẦN I (3 điểm): Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án. Câu 1: Nghiệm của phương trình cos x = −1 là: 3π π A. x π + kπ . = B. =x + kπ . C. x π + k 2π . = D. x =− + k 2π . 2 2 Câu 2: Đường tròn x 2 + y 2 − 10 x − 11 =có bán kính bằng bao nhiêu? 0 A. 6 . B. 36 . C. 2 . D. 6 . Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau? A. 2240. B. 256. C. 2520. D. 3240. 2 Câu 4: Cho cấp số nhân có u1 = −3 , q = . Tính u5 ? 3 −27 27 16 −16 A. u5 = . B. u5 = . C. u5 = . D. u5 = . 16 16 27 27 Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng? A. CD ⊥ ( SBD ) . B. BC ⊥ ( SAC ) . C. BC ⊥ ( SCD ) . D. BD ⊥ ( SAC ) . Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. MN //AC. B. MN //AB. C. MN //AD. D. MN //BD. Câu 7: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mức giá [6;8) [8;10) [10;12) [12;14) [14;16) (triệu đồng/ m 2 ) Số khách hàng 65 80 110 45 20 Số trung bình của mẫu (làm tròn đến hàng phần chục) bằng? A. 10,3 . B. 10, 4 . C. 10,5 . D. 10, 2 . Câu 8: Với các số thực a , b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( 3a ) = 3a +b . B. ( 3a ) = 3ab . C. ( 3a ) = 3a −b . D. ( 3a ) = 3a . b b b b b Câu 9: Cho a là số dương khác 1, b là số dương và α là số thực bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. log a bα = log a b. B. log a bα = α log a b. C. log aα b = log a b. D. log aα b = α log a b. α α Câu 10: Cho tam giác ABC có A ( −1; −2 ) ; B ( 0;2 ) ; C ( −2;1) . Phương trình đường trung tuyến BM là: A. x − 3 y + 6 =0 B. 3 x − 5 y + 10 = 0 C. 5 x − 3 y + 6 =0 D. 3 x − y − 2 =0 x+2 Câu 11: Giá trị của lim bằng x→2 x A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Câu 12: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mức giá [6;8) [8;10) [10;12) [12;14) [14;16) (triệu đồng/ m 2 ) Số khách hàng 65 80 110 45 20 Số trung bình của mẫu (làm tròn đến hàng phần chục) bằng? A. 10, 2 . B. 10,5 . C. 10,3 . D. 10, 4 . Trang 1/3 - Toán 11 - Mã đề 117
PHẦN II (4 điểm): Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d ) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. 1 Câu 1: Cho các số thực a, b thỏa mãn a > , b > 1 và biểu thức P log 2 a b + log b ( a 4 − 4a 2 + 16 ) . Các = 2 mệnh đề sau đúng hay sai? a) log a b luôn dương. b) Nếu x > y > 0 thì log b x < log b y . c) log 2 a b + 4 log b 2a ≥ 4 . d) Khi biểu thức P log 2 a b + log = b (a 4 ) − 4a 2 + 16 đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b < 19 .  π  Câu 2: Cho phương trình lượng giác 2sin  x −  + 3 = 0 . Các mệnh đề sau đúng hay sai?  12   π  π  a) Phương trình tương đương sin  x −  = sin   12  3 π 7π b) Phương trình có nghiệm là: x = k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) . + 4 12 π c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng − 4 d) Phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) Câu 3: Cho bất phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) > 0 (1), với m là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) f ( x) = mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 là tam thức bậc hai. b) Bất phương trình x 2 − 3 x + 4 < 0 vô nghiệm. c) Bất phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 < 0 với mọi x ∈  d) Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (1) vô nghiệm bằng 4.  Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = a , AC = 2a , BAC = 600 . Gọi M là trung điểm  cạnh CC ′ . Biết rẳng BMA′ = 900 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) AC  ( A′B′C ′) . b) Hai đường thẳng B′M và AC cắt nhau. c) Tam giác ABM là tam giác vuông. a 5 d) d ( A, ( BMA′ ) ) = . 5 PHẦN III (3 điểm): Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P . Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. Câu 2: Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x3 − 7 x 2 + 2 ( m 2 + 6m ) x − 8 =0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó. Câu 3: Anh An vay tiền ngân hàng 600 triệu đồng lãi suất là 1% / tháng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh An sẽ trả hết số nợ ngân hàng? x + 1 + a 5 x + 1 18 Câu 4: Cho giới hạn lim = . Giá trị của T 2a + b là = x →3 x − 4x − 3 b Trang 2/3 - Toán 11 - Mã đề 117
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường m n 3 thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng .a p m n ( m, n, p là các số nguyên và các phân số ; tối giản). Tính giá trị biểu thức A = m + n + p . p p Câu 6: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Đức làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm (tham khảo hình vẽ). Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH sao cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Biết a b.c rằng thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng với a, d là các số nguyên dương, d a b, c là số nguyên tố và phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a + b + c + d d ----------- HẾT ---------- Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm Trang 3/3 - Toán 11 - Mã đề 117
SỞ GD& ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL LỚP 11 LẦN 2 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 Năm học: 2023-2024 Môn: TOÁN I. ĐÁP ÁN CÂU Mã đề 116 Mã đề 117 Mã đề 118 Mã đề 119 Phần I 1 C C B A 2 B D D D 3 B A D B 4 D D A D 5 A D B D 6 D A C C 7 C C C B 8 C B A B 9 A B C C 10 B C A A 11 D B D A 12 A A B C Phần II 1 ĐĐĐS SSĐĐ SSĐĐ SSĐĐ 2 SĐSĐ SSĐĐ ĐSĐĐ SSĐĐ 3 ĐĐSĐ SĐSĐ ĐĐĐS ĐSSĐ 4 ĐSĐĐ ĐSĐS SĐĐĐ ĐSĐS Phần III 1 35 0,2 -10 0,2 2 67 -342 6 14 3 -10 93 35 13 4 6 14 0 -342 5 0 13 67 420 6 -3 420 -3 93 II. HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU VẬN DỤNG MÃ ĐỀ 116 VÀ 118 PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai. 1 Câu 1: Cho các số thực a, b thỏa mãn a > , b > 1 và biểu thức P log 2 a b + log b ( a 4 − 4a 2 + 16 ) . Các = 2 mệnh đề sau đúng hay sai? a) log b 2a > 0 . b) Nếu x > y > 0 thì log 2 a x > log 2 a y . c) log 2 a b + 4 log b 2a ≥ 4 . d) Khi biểu thức P log 2 a b + log = b (a 4 ) − 4a 2 + 16 đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b < 18 . Lời giải 1 a) Do a > ⇒ 2a > 1 và b > 1 suy ra log b 2a > 0 . Suy ra mệnh đề đúng. 2 1 b) Do a > ⇒ 2a > 1 và x > y > 0 nên suy ra log 2 a x > log 2 a y . Suy ra mệnh đề đúng. 2 4 4 c) log 2 a b + 4 log b 2a = log 2 a b + ≥ 2 log 2 a b ⋅ = 4 . Suy ra mệnh đề đúng. log 2 a b log 2 a b
1 ( ) 2 d) Do a 4 − 4a 2 + 16 ≥ 4a 2 ⇔ a 2 − 4 ≥ 0 đúng ∀a > ; Dấu bằng xảy ra khi a = 2 2 Suy ra 4 4 P ≥ log 2 a b + 2 log b (2a ) 2 = log 2 a b + 4 log b 2a = log 2 a b + ≥ 2 log 2 a b ⋅ =4 log 2 a b log 2 a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2  a = 2  a = 2 a = 2  4 ⇔ ⇔ ⇔ 18 ⇒ a+b = log 2 a b = log b log 2 a b = 2 b = 16 2  b = (2a )  2a Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b = . Suy ra mệnh đề sai. 18  π 3 Câu 2: Cho phương trình lượng giác sin  3 x +  = −  3 2  π 2π x = 9 + k 3 − a) Nghiệm của phương trình là:  (k ∈ ) .  x π + k 2π =   3 3 2π b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng − . 9  π c) Trên khoảng  0;  phương trình đã cho có 3 nghiệm.  2  π 7π d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng  0;  bằng .  2 9 Lời giải  π π  π 3 3 x + 3 = 3 + k 2π − a) Ta có: sin  3 x +  = ⇔  − (k ∈ )  3 2 3 x + π = 4π + k 2π   3 3   2π 2π 3 x = π + k 2π − 2  x =9 + k 3 − ⇔ 3 ( k ∈ ) ⇔  (k ∈ ) . Suy ra mệnh đề sai 3 x π + k 2π =  x π + k 2π =     3 3 2π b) Nghiệm âm lớn nhất là x = − . Suy ra mệnh đề đúng. 9  π π 4π c) Vì x ∈  0;  nên phương trình có 2 nghiệm là: x = = ,x .  2 3 9  π Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng  0;  . Suy ra mệnh đề sai.  2  π π 4π 7π d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng  0;  bằng + =. Suy ra mệnh đề  2 3 9 9 đúng. Câu 3: Cho Parabol ( P) : y =x 2 + 6 x − 5 . Khi đó: − a) Hoành độ đỉnh của ( P) là: x = 3 . b) y < 0 khi x ∈ (−∞;1) ∪ (5; +∞) . c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 .
d) Đường thẳng d : = 4 x − m cắt đồ thị ( P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 4 . y Lời giải b 6 a) Hoành độ đỉnh: x = = − − 3. =Suy ra mệnh đề đúng. 2a 2.(−1) b) y < 0 ⇒ − x 2 + 6 x − 5 < 0 khi x ∈ (−∞;1) ∪ (5; +∞) . Suy ra mệnh đề đúng. c) Xét hàm số y = ( x) =x 2 + 6 x − 5 , có a < 0 nên giá trị lớn nhất của hàm số y =x 2 + 6 x − 5 là f − −  b  y =f  −  =f (3) = . Suy ra mệnh đề sai. 4  2a  d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( P) là: − x 2 + 6 x − 5 = 4 x − m ⇔ x 2 − 2 x + 5 = m.  b  Xét vế trái y = f ( x) = x 2 − 2 x + 5 , có a > 0 suy ra y =f  −  =f (1) = là giá trị nhỏ nhất. Vậy 4  2a  đường thẳng d : = 4 x − m cắt đồ thị ( P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 4 . y  Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = a , AC = 2a , BAC = 1200 . Gọi M là trung điểm  cạnh CC ′ . Biết rằng BMA′ = 900 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) AB  ( A′B′C ′) . b) Hai đường thẳng BM và A′C ′ cắt nhau. c) Tam giác A′C ′M là tam giác vuông. a 5 d) d ( A, ( BMA′ ) ) = . 3 Lời giải a) AB  ( A′B′C ′) suy ra mệnh đề đúng. b) BM và A′C ′ chéo nhau suy ra mệnh đề sai c) Tam giác A′C ′M vuông tại C ′ suy ra mệnh đề đúng.  a2 d) Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos BAC = + ( 2a ) − 2.a.2a.cos1200 = 2 . 2 7a Đặt CC ′ = x ⇒ CM = ′ = . 2 MC x Vì ABC. A ′B′C ′ là hình lăng trụ đứng nên ta có tam giác BCM vuông tại C và tam giác A′C ′M vuông tại C ′ . Ta có: BM 2 = 2 + CM 2 = a 2 + x 2 ; BC 7 A′M 2 = A′C ′2 + C ′M 2 = ( 2a ) + x 2 = 4a 2 + x 2 ; A′B 2 =A′A2 + AB 2 =4 x 2 + a 2 . 2  Vì BMA′ = 900 nên tam giác BMA′ vuông tại M , do đó:
A′B 2 BM 2 + A′M 2 ⇔ 4 x 2 + a 2 = 7 a 2 + x 2 + 4a 2 + x 2 ⇔ x 2= 5a 2 ⇔ x= a 5 . = 1  1 Ta có: S ABC = AB. AC.sin BAC = . AB.d ( C , AB ) ⇒ d ( C , AB ) = a 3. 2 2 Lại có: d ( M ,= d ( C ,= d= a 3 ( ABA′) ) ( ABA′) ) ( C , AB ) 1 1 AB. AA′ = a 2 = = 3 3a 2 .` Ta có: S ABA′ = 5 ; S MBA′ MB.MA′ 2 2 1 1 a 5 = = .S MBA′ .d ( A, ( BMA′ ) ) ⇒ d ( A, ( BMA′ ) ) = VAA′BM .S ABA′ .d ( M , ( ABA′ ) ) . 3 3 3 PHẦN III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Câu 1: Trong một lớp có ( 2n + 3) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến ( 2n + 3) , mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác 17 suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là . Tính số học sinh của 1155 lớp. Lời giải Số cách các xếp học sinh vào ghế là ( 2n + 3) ! 2 Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a, b, c lập thành một cấp số cộng thì a + c =b nên a + c là một số chẵn. Như vậy a, c phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Từ 1 đến 2n + 3 có n + 1 số chẵn và n + 2 số lẻ. Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta sẽ tiến hành như sau: Bước 1: chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào ghế chính giữa. Bước này có An +1 + An + 2 cách. 2 2 Bước 2: xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại. Bước này có ( 2n ) ! cách. ( ) Như vậy số cách xếp thỏa yêu cầu này là An +1 + An + 2 . ( 2n ) !. 2 2 Ta có phương trình (A 2 n +1 + An + 2 ) . ( 2n ) ! 2 = 17 ⇔ n ( n + 1) + ( n + 1)( n + 2 ) 17 = ( 2n + 3 ) ! 1155 ( 2n + 1)( 2n + 2 )( 2n + 3) 1155  n = 16 ⇔ 68n − 1019n − 1104 =  2 0⇔  n = − 69 (loaïi)  68 Vậy số học sinh của lớp là 35 .
Câu 2: Anh An vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng lãi suất là 0,9% / tháng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh An sẽ trả hết số nợ ngân hàng? Lời giải Gọi A là số tiền vay ngân hàng; r là lãi suất hàng tháng cho số tiền còn nợ; m là số tiền trả nợ hàng tháng; n là thời gian trả hết nợ. m 10  1 + r ) − 1 = 500 (1 + 0,9% ) − ( Để trả hết nợ thì A (1 + r ) − 1 + 0,9% ) − 1 = ( n n n n 0⇔ 0 r  0,9%  20 20 ⇔ (1 + 0,9% ) = ⇔ n log (1+ 0,9% ) n = ≈ 66, 72 11 11 Vậy sau 67 tháng anh An trả hết nợ. x + 1 + a 5x + 1 9 Câu 3: Cho giới hạn lim = . Tính giá trị của T 2a − b ? = x →3 x − 4x − 3 b Lời giải x + 1 + a 5x + 1 9 Do lim = nên x + 1 + a 5 x + 1 = có nghiệm x = 3 0 x →3 x − 4x − 3 b Suy ra: 3 + 1 + a 16 = ⇔ a =−1 0 Khi đó: lim x + 1 − 5x + 1 = lim 2 ( ( x 2 − 3x ) x + 4 x − 3 ) x →3 x − 4 x − 3 x →3 ( ( x − 4 x + 3) x + 1 + 5 x + 1 ) = lim ( x x + 4x − 3 = = . ) 3. ( 3 + 3) 9 x →3 ( ) ( x − 1) x + 1 + 5 x + 1 2. ( 4 + 4 ) 8 Vậy T = a − b = 10 . 2 − Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường m n 3 thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng .a ( p m n m, n, p là các số nguyên và các phân số ; tối giản). Tính giá trị biểu thức A = m + n + p . p p Lời giải  BC ⊥ AB   BSC = ° Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SC , ( SAB ) ) =SC , SB ) = (  30 .  BC ⊥ SA BC a Xét ∆SBC vuông tại B ⇒ SB = = = a 3. tan 30 ° 3 3 Suy ra SA = SB 2 − AB 2 = a 2 .
1 1 a3 2 Do đó VS . ABCD = SA.S ABCD = = a 2.a 2 . Suy ra: m =1, n =2, p =3 ⇒ A =6 3 3 3 Câu 5: Cho phương trình log 2+ 5 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) + log 5 −2 x 2 + mx − 2m 2 =. Hỏi có bao nhiêu 0 giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x12 + x2 = 2 3? Lời giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình: log 2+ 5 ( 2 x 2 − x − 4m 2 + 2m ) + log 5 − 2 ( x 2 + mx − 2m 2 ) =0 ⇔ log 5 +2 ( 2x 2 − x − 4m 2 + 2m ) − log 5 +2 (x 2 + mx − 2m 2 ) =0  x 2 + 2mx − 2m 2 > 0   x 2 + 2mx − 2m 2 > 0  ⇔ 2 ⇔ 2  x − ( m + 1) x + 2m − 2m = 2 2 2 2 x − x + 2m − 4m = x + mx − 2m  2  0  x 2 + mx − 2m 2 > 0  ⇔   x1 = 2m  x = 1 − m  2 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12 + x2 = 2 3 ( 2m )2 + m ( 2m ) − 2m 2 > 0  4m 2 > 0    ⇔ (1 − m ) + m (1 − m ) − 2m 2 > 0 ⇔ 2m 2 + m − 1 < 0 2  5m 2 − 2m − 2 = 0 ( 2m ) + (1 − m ) = 2 2 3    m ≠ 0   1 1 − 11 ⇔ −1 < m < ⇔m=  2 5  1 − 11 1 + 11 = = m ;m  5 5 Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu đề bài Câu 6: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Minh làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 5cm (tham khảo hình vẽ). Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH sao cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Biết a b rằng thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng với a, b, c là các số nguyên dương, c a a 2 > b và phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a − b + c c Lời giải
5 Gọi K là trung điểm AD , đặt HK x, 0 < x ≤ = . 2 2 5  5 Ta có EF = = − x  2; HD = x 2 FG = = GH HE    + 2  2 2 2 2 2 2 2 5 2 5  Suy ra SO = SH − OH = HD − OH =   + x − − x = 5x . 2 2  2 4 1 5  2 5  5 4 10 Ta có V = .2.  − x  . 5 x =  − x  .4 x. ≤ . 3 2  3 2  4 3 Suy ra a = b = c = ⇒ a − b + c = 3 4; 10; 3 − MÃ ĐỀ 117 VÀ 119 PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai. 1 Câu 1: Cho các số thực a, b thỏa mãn a > , b > 1 và biểu thức P log 2 a b + log 2 = b (a 4 ) − 4a 2 + 16 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) log a b luôn dương. b) Nếu x > y > 0 thì log b x < log b y . c) log 2 a b + 4 log b 2a ≥ 4 . d) Khi biểu thức P log 2 a b + log = b (a 4 ) − 4a 2 + 16 đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b < 19 . Lời giải 1 a) Do a > và b > 1 suy ra log a b có thể âm. Suy ra mệnh đề sai. 2 b) Do b > 1 và x > y > 0 nên suy ra log b x > log b y . Suy ra mệnh đề sai. 4 4 c) log 2 a b + 4 log b 2a = log 2 a b + ≥ 2 log 2 a b ⋅ = 4 . Suy ra mệnh đề đúng. log 2 a b log 2 a b 1 ( ) 2 d) Do a 4 − 4a 2 + 16 ≥ 4a 2 ⇔ a 2 − 4 ≥ 0 đúng ∀a > ; Dấu bằng xảy ra khi a = 2 2 Suy ra 4 4 P ≥ log 2 a b + 2 log b (2a ) 2 = log 2 a b + 4 log b 2a = log 2 a b + ≥ 2 log 2 a b ⋅ =4 log 2 a b log 2 a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a = 2   a = 2 a = 2 a = 2  4 ⇔ ⇔ ⇔ 18 ⇒ a+b = log 2 a b = log b log 2 a b = 2 b = 16 2  b = (2a )  2a Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a + b = . Suy ra mệnh đề đúng. 18  π  Câu 2: Cho phương trình lượng giác 2sin  x −  + 3 = 0 . Các mệnh đề sau đúng hay sai?  12   π  π  a) Phương trình tương đương sin  x −  =  sin  12  3    π 7π b) Phương trình có nghiệm là: x = k 2π ; x =+ k 2π (k ∈ ) . + 4 12 π c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng − 4 d) Phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) Lời giải  π   π  3  π   π a) Ta có: 2sin  x −  + 3 = sin  x −  = ⇔ sin  x −  = −  (Suy ra mệnh đề 0⇔ − sin  12   12  2  12   3 sai)  π π  π  x − 12 = 3 + k 2π −  x = 4 + k 2π − b) ⇔  (k ∈ ) ⇔  (k ∈ ) (Suy ra mệnh đề sai)  x − π = − (− π ) + k 2π π  x = π + k 2π 17  12  3   12 π c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng − . Suy ra mệnh đề đúng. 4 π 17π d) Phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng ( −π ; π ) là x =; x = . Suy ra mệnh đề đúng. − 4 12 Câu 3: Cho bất phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) > 0 (1), với m là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) f ( x) = mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 là tam thức bậc hai. b) Bất phương trình x 2 − 3 x + 4 < 0 vô nghiệm. c) Bất phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 < 0 với mọi x ∈  d) Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (1) vô nghiệm bằng 4. Lời giải a) Khi m = 0 thì f ( x) không phải là tam thức bậc hai. Suy ra mệnh đề sai b) Bất phương trình x 2 − 3 x + 4 < 0 vô nghiệm. Suy ra mệnh đề đúng. c) Để ( x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) > 0 vô nghiệm ∀x thì (x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) ≤ 0 có nghiệm ∀x .
Ta có ( x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) ≤ 0 mà x 2 − 3 x + 4 > 0 , ∀x ⇒ mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 ≤ 0 , ∀x ∈  . Suy ra mệnh đề sai d) Trường hợp 1: m = 0 3  mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 ≤ 0 trở thành −4 x + 3 ≤ 0 , mà −4 x + 3 ≤ 0 khi ∀x ∈  ; + ∞  . 4  Vậy bất phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) ( mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3) ≤ 0 vô nghiệm với mọi x . Trường hợp 2: m ≠ 0 m < 0 mx 2 − 4 ( m + 1) x + 3m + 3 ≤ 0, ∀x ∈  ⇔  ∆′ 4(m + 1) − m(3m + 3) ≤ 0 2 = m < 0 m < 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ −4 ≤ m ≤ −1  m + 5m + 4 ≤ 0 −4 ≤ m ≤ −1 Vậy m ={−4; − 3; − 2; − 1} thỏa mãn. Suy ra mệnh đề đúng.  Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = a , AC = 2a , BAC = 600 . Gọi M là trung điểm  cạnh CC ′ . Biết rẳng BMA′ = 900 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) AC  ( A′B′C ′) . b) Hai đường thẳng B′M và AC cắt nhau. c) Tam giác ABM là tam giác vuông. a 5 d) d ( A, ( BMA′ ) ) = . 5 Lời giải a) AC  ( A′B′C ′) suy ra mệnh đề đúng. b) B′M và AC chéo nhau suy ra mệnh đề sai  a2 c) Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos BAC = + ( 2a ) − 2.a.2a.cos 600 =2 . 2 3a Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó AB ⊥ ( BCC ′B′) . Vậy mệnh đề đúng. d) Đặt CC ′ = x ⇒ CM = ′ = . 2 MC x Vì ABC. A′B′C ′ là hình lăng trụ đứng nên ta có tam giác BCM vuông tại C và tam giác A′C ′M vuông tại C ′ . Ta có: BM 2 = 2 + CM 2 =a 2 + x 2 ; A′M 2 = A′C ′2 + C ′M 2 = ( 2a ) + x 2 = 4a 2 + x 2 ; 2 BC 3 A′B 2 =A′A2 + AB 2 =4 x 2 + a 2 .
 Vì BMA′ = 900 nên tam giác BMA′ vuông tại M , do đó: A′B 2 BM 2 + A′M 2 = 2 2 ⇔ 4 x + a = 3a + x + 4a + x ⇔ x = 3a ⇔ x= a 3 . 2 2 2 2 2 2 Ta có: d ( M , ( ABA= d ( C , ( ABA= BC a 3 . ′) ) ′) ) = 1 1 42 2 S ∆ABA′ = AB. AA′ = a2 = = 3 ; S ∆MBA′ MB.MA′ a .` 2 2 2 1 1 a 42 VAA′BM .S ∆ABA′ .d ( M , ( ABA′ ) ) = .S ∆MBA′ .d ( A, ( BMA′ ) ) ⇒ d ( A, ( BMA′ ) ) = . 3 3 7 Suy ra mệnh đề sai. PHẦN III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Câu 1: Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P . Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. Lời giải Số tam giác tạo thành khi chọn ngẫu nhiên 3 điểm là: n ( Ω = C16 560 ) 3= Gọi A là biến cố: “tam giác chọn được là tam giác vuông” Số đường chéo đi qua tâm là 8 ⇒ số hình chữ nhật nhận 2 đường chéo đi qua tâm làm 2 đường chéo là: C82 = 28 . Số tam giác vuông được tạo thành là: n (= 4= 112 . A ) C82 n ( A) 1 ⇒ P ( A ) = = 0, 2 = n (Ω) 5 Câu 2: Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x3 − 7 x 2 + 2 ( m 2 + 6m ) x − 8 =0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó. Lời giải Gọi x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình và x1 < x2 < x3 2 Ta có x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân nên x2 = x1.x3 (1) −b c Theo định lý Viet ta có x1 + x2 + x3 = a = 7 ( 2) a ( và x1.x2 + x2 .x3 + x1.x3 == m 2 + 6m 2 ) ( 3) 2 2 Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ x2 7 ( m + 6m = ) Vì x2 là nghiệm của phương trình nên ta có 3 2 2   m1 = 1 7 ( 8) m + 6m  = ⇒ m 2 + 6m − 7 = ⇒  0 ⇒ m13 + m2 = 342 3 −    m2 = −7 Câu 3: Anh An vay tiền ngân hàng 600 triệu đồng lãi suất là 1% / tháng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh An sẽ trả hết số nợ ngân hàng? Lời giải Gọi A là số tiền vay ngân hàng; r là lãi suất hàng tháng cho số tiền còn nợ; m là số tiền trả nợ hàng tháng; n là thời gian trả hết nợ. m 10  1 + r ) − 1 = 600 (1 + 1% ) − ( Để trả hết nợ thì A (1 + r ) − 1 + 1% ) − 1 = ( n n n n 0⇔ 0 r  1%  5 5 ⇔ (1, 01) = log1,01 ≈ 92, 09 n ⇔n = 2 2
Vậy sau 93 tháng anh An trả hết nợ. x + 1 + a 5 x + 1 18 Câu 4: Cho giới hạn lim = . Giá trị của T 2a + b là = x →3 x − 4x − 3 b Lời giải x + 1 + a 5 x + 1 18 Do lim = nên x + 1 + a 5 x + 1 = có nghiệm x = 3 0 x →3 x − 4x − 3 b Suy ra: 3 + 1 + a 16 = ⇔ a =−1 0 Khi đó: lim x + 1 − 5x + 1 = lim 2 ( ( x 2 − 3x ) x + 4 x − 3 ) x →3 x − 4 x − 3 x →3 ( ( x − 4 x + 3) x + 1 + 5 x + 1 ) = lim ( x x + 4x − 3 ) = 3. ( 3 + 3) 9 18 = = . x →3 ( x − 1) ( x + 1 + 5x + 1 ) 2. ( 4 + 4 ) 8 16 Vậy T = + 16 = + 16 = . 2a −2 14 Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường m n 3 thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30° . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng .a ( p m n m, n, p là các số nguyên và các phân số ; tối giản). Tính giá trị biểu thức A = m + n + p . p p Lời giải  BC ⊥ AB   BSC = ° Có  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SC , ( SAB ) ) =SC , SB ) = (  30 .  BC ⊥ SA BC 2a Xét ∆SBC vuông tại B ⇒ SB = = = 2 3a . tan 30 ° 3 3 Suy ra SA = SB 2 − AB 2 = 2 2a . 1 1 8 2 3 Do đó VS . ABCD = =SA.S ABCD 2 2a.4a 2 = a . Suy ra: m =8, n =2, p =3 ⇒ A =13 3 3 3 Câu 6: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Đức làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm (tham khảo hình vẽ).
Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH sao cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Biết a b.c rằng thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng với a, d là các số nguyên dương, d a b, c là số nguyên tố và phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a + b + c + d d Lời giải Gọi K là trung điểm AD , đặt HK x, 0 < x < 3 . = Ta có EF = = − x ) 2; HD = GH HE ( 3 FG = = 32 + x 2 Suy ra SO = SH 2 − OH 2 = HD 2 − OH 2 = 32 + x 2 − ( 3 − x ) = 6 x . 2 1 2 3 288 10 Ta có V = ( 3 − x ) . 6 x = ( 3 − x ) .4 x. ≤ 2 4 .2. . 3 3 2 125 Suy ra a 288; b + c 7; d= 125 ⇒ a + b + c + d= 420 = =