Đề thi thử Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT Thanh Miện
lượt xem 3
download
Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo "Đề thi thử Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán" của Trường THPT Thanh Miện để nắm bắt một số kiến thức cơ bản về Toán học. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng cùng với phần nâng cao với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT Thanh Miện
- SỞ GD - ĐT HẢI DƢƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013 - 2014 TRƢỜNG THPT THANH MIỆN Môn: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y x3 3x2 mx 2 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0 . b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : y 2 x 1 một góc 45O . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 4sin 2 x 1 cos x 2sin x 2cos x 3 3 2 3 sin 2 x cos x . 2sin x 1 2 x y 4 y 2 x 1 7 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình với x, y . 4 x 6 3 y 7 2 x 1 x sin x sin 2 x sin 3x 2 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I dx . 0 1 cos x Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc ABC 30O . Biết M là trung điểm của AB , tam giác MAC đều cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC , BB . Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c 0 thoả mãn a 2 b2 c2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 P . abc a b c II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ đƣợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chƣơng trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC và đường thẳng có 7 14 19 phương trình x 3 y 1 0 . Giả sử D 4; , E ; , N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ 2 5 10 A , chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng và hoành độ của M lớn hơn 2. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y z 5 0 , đường x 3 y 1 z 3 thẳng d : , điểm A 4;3; 4 . Gọi là đường thẳng nằm trong P đi qua giao điểm 2 1 1 của d với P đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Câu 9.a (1,0 điểm). Viết 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên 6 thẻ bài như nhau. Lấy ngẫu nhiên và liên tiếp 3 thẻ bài sau đó xếp theo thứ tự từ trái sang phải, ta được một số tự nhiên. Tìm xác suất để nhận được một số chẵn có 3 chữ số. B. Theo chƣơng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 1;0 và hai đường tròn C1 : x2 y 2 2 , C2 : x2 y 2 5 . Xét tam giác ABC có B thuộc C1 và C thuộc C2 . Tìm toạ độ B , C để diện tích của tam giác ABC lớn nhất. x y z Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : và 1 2 1 x 1 y 1 z 1 2 : . Viết phương trình của mặt phẳng P chứa đường thẳng 2 và tạo với đường 1 1 3 thẳng 1 một góc 30O . Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức z 3 z 2 i 2 z 2 z i 0 . 2 ---------- Hết --------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Cảm ơn bạn Ngô Thanh Lịch Ma (datlich@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
- SỞ GD - ĐT HẢI DƢƠNG ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TRƢỜNG THPT THANH MIỆN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D (Đáp án – thang điểm gồm 7 trang) Câu Đáp án Điểm Cho hàm số: y x3 3x2 mx 2 (1). a) (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0 . Khi m 0 , ta có hàm số y x3 3x 2 2 . Txđ: . Sự biến thiên: 0,25 x 0 - Chiều biến thiên: y ' 3x2 6 x 3x x 2 ; y' 0 . x 2 Các khoảng đồng biến: ; 2 và 0; ; khoảng nghịch biến: 2;0 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 2 , yCĐ 2 ; Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , yCT 2 . 0,25 - Giới hạn: lim y lim x3 3x 2 2 , lim y lim x3 3x 2 2 . x x x x - Bảng biến thiên: x 2 0 y' + 0 0 + 0,25 2 y 2 1 Đồ thị (2 điểm) 0,25 b) (1 điểm) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d : y 2 x 1 một góc 45O . Ta có y 3x2 6 x m . 0,25 Hàm số có cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt 9 3m 0 m 3 (*) . Khi đó, gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số thì x1 , x2 là hai nghiệm của y 1 1 2m m y x1 y x2 0 . Ta có y y x 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m 0,25 y x1 2 x1 2 , y x2 2 x2 2 3 3 3 3 2m m Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là : y 2 x 2 . 3 3
- có vtpt là n1 2m 6; 3 , d có vtpt là n2 2; 1 . 4m 12 3 Gt cos n1 , n2 cos 45O 1 1 . 0,25 5 2m 6 9 2 2 2 7 m 2 . 20m2 120m 225 32m2 144m 162 12m 2 24m 63 0 m 3 0,25 2 3 Kết hợp với (*) , ta có m . 2 Giải phương trình 4sin 2 x 1 cos x 2sin x 2cos x 3 3 2 3 sin 2 x cos x . 2sin x 1 1 Điều kiện: sin x . 2 4sin 2 x cos x cos x 2sin 2 x 3 2sin x 1 Pt 3 1 cos 2 x cos x 0,25 2sin x 1 2sin x sin 2 x sin 2 x 2sin x cos x cos x 3 3 3 cos 2 x cos x 2sin x 1 2 sin 2 x 2sin x 1 cos x 2sin x 1 (1 điểm) 3 cos 2 x cos x 2sin x 1 0,25 sin 2 x cos x 3 cos 2 x cos x sin 2 x 3cos2x 0 2sin 2 x 0 3 0,25 2x k , k x k , k . 3 6 2 2 Kết hợp điều kiện nghiệm pt là x k 2 , x k , k . 0,25 6 3 2 x y 4 y 2 x 1 7 2 Giải hệ phương trình với x, y . 4 x 6 3 y 7 2 x 1 1 t 2 y 2 4 yt 6 Điều kiện x . Đặt t 2 x 1 0 . Ta được hệ phương trình 2 . 0,25 2 2t 8 3 y 7t 3 t 2 y 2 4 yt 6 (1 điểm) 2 . Cộng vế với vế ta được: 5t 2 y 2 4 yt 6 y 14t 10 0 0,25 4t 16 6 y 14t t 1 t 1 2t y 3 0 2 2 0,25 2t y 3 0 t 1 2x 1 1 x 1 0,25 y 1 y 1 y 1 4 2 x sin x sin 2 x sin 3x (1 điểm) Tính tích phân I dx . 0 1 cos x
- 2 x 2 sin x sin 2 x sin 3x Ta có I dx dx . 0 1 cos x 0 1 cos x u x 0,25 du dx 2 x x 2 Với I1 dx dx , đặt dv 1 dx x 1 cos x 0 2 cos 2 x x v tan 0 2 2 cos 2 2 2 x d cos x2 2 x 2 2 x 2 2 0 0 I1 x tan tan dx 2 2 ln cos ln 2 . 0,25 2 2 0 cos x 2 20 2 2 2 sin x sin 2 x sin 3x 2 2sin 2 x cos x sin 2 x 2 2 cos 2 x cos x I2 dx dx 2 sin xdx . 0 1 cos x 0 1 cos x 0 1 cos x 0,25 Đặt t cos x dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 , khi x thì t 0 2 2t 2 t 1 1 1 dt 2 t t ln t 1 0 2ln 2 1 I 2 2 dt 2 2t 1 2 t 1 0 t 1 0 0,25 I I1 I 2 ln 2 . 2 Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc ABC 30O . Biết M là trung điểm của AB , tam giác MAC đều cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC , BB . Gọi H là trung điểm của MC, do MAC đều cạnh a AH MC mà MAC ABC theo giao tuyến là MC A ' H ABC . Giả sử AC x BC 2 x, AB x 3 AC 2 BC 2 AB 2 0,25 a MC 2 2 2 4 x 4 x 3x 2 2 2 7 4a 2 x2 x2 2 4 4 7 5 2a (1 điểm) x 7 1 1 2a 2a 2 3a 2 a 3 S ABC AB. AC 3 . Ta có AH . 2 2 7 7 7 2 0,25 2 3a 2 a 3 3 3 VABC . ABC S ABC AH a (đvtt). 7 2 7 3a3 Ta có: BB AA d AC, BB d B, AAC AABC 3V S AAC 7 S AAC Do HA HM MC AA AM AC a AAC cân tại A đường cao ứng 0,25 a2 6 với đáy bằng a2 a . 7 7 1 2a 6 a2 6 3a3 3 S AAC a d AC , BB 2 a (đvđd). 0,25 2 7 7 7 a 6 2
- Cho a, b, c 0 thoả mãn a 2 b2 c2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 P . abc a b c Ta có a b c 3 a 2 b2 c 2 a b c 3 1 1 2 (1) . abc 3 0,25 1 Dấu bằng xảy ra khi a b c . 3 2 2 Với mọi x 0 , từ hệ thức hiển nhiên 3x 1 3x 0 , suy ra 3x 2 2 3x 1 2 3x 0 6 x 2 4 3x 2 3 3x 3 6 x 2 3x 0 1 3 3 3 3x 2 0,25 3 3x3 3 3x 2 0 2 6 x 2 2 1 (1 điểm) Dễ thấy, dấu bằng ở (2) xảy ra khi x . 3 Áp dụng (2) cho a, b, c, ta có 1 3 3 3 3a 2 1 3 3 3 3b 2 1 3 3 3 3c 2 , , a 2 2 b 2 2 c 2 2 0,25 1 1 1 9 3 3 3 a b c 2 2 2 3 3 (3). a b c 2 2 1 1 1 1 1 10 Từ (1), (3) suy ra P 3 3 . abc a b c 3 3 1 Dấu bằng xảy ra khi a b c . 0,25 3 10 1 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi a b c . 3 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC và đường thẳng có phương trình 7 14 19 x 3 y 1 0 . Giả sử D 4; , E ; , N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A , 2 5 10 chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng và hoành độ của M lớn hơn 2. Gọi T là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác ABC. 7.a Trên cạnh BC, gọi D AH T , (1 điểm) H HM T . Ta có D, M lần lượt là trung điểm của HD, HM D, M lần lượt là ảnh 1 0,25 của D, M qua phép vị tự tâm H tỉ số 2 D, M thuộc đường tròn C là ảnh của 1 T qua phép vị tự tâm H tỉ số . 2 Vậy D, E, M, N cùng nằm trên đường tròn C .
- Gs pt C : x 2 y 2 2ax 2by c 0 , với a 2 b2 c 0 . Khi đó ta có: 113 8a 7b c 4 28 19 229 9 39 a bc a 4, b , c . 5 5 20 4 2 6a 6b c 18 0,25 9 39 phương trình của C : x 2 y 2 8 x y 0. 2 2 Do M d nên toạ độ điểm M thoả mãn hệ phương trình 2 9 39 y 1, x 4 x y 8x y 0 2 2 2 5 19 M 4;1 . y , x lo¹i do x 2 x 3 y 1 0 M 4 4 Đường thẳng BC đi qua hai điểm D, M có phương trình x 4 0 . Giả sử B 4; t vì M là trung điểm của đoạn BC nên C 4; 2 t , N là trung điểm của 0,25 6 19 đoạn thẳng AB nên A 2;6 t BE ; t , AC 2; 4 . 5 10 6 19 5 Do BE AC nên BE. AC 0 2 t 4 0 4t 10 0 t . 5 10 2 0,25 7 5 1 Do đó A 2; , B 4; , C 4; . 2 2 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y z 5 0 , đường thẳng x 3 y 1 z 3 d: , điểm A 4;3; 4 . Gọi là đường thẳng nằm trong P đi qua giao 2 1 1 điểm của d với P đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. x 2t 3 Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: y t 1 z t 3 0,25 8.a Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3 (1 điểm) Do I P 2t 3 2 t 1 t 3 5 0 t 1 I 1;0;4 . Ta có d có vectơ chỉ phương là a 2;1;1 , P có vectơ pháp tuyến là n 1; 2; 1 x 1 u 0,25 Vector chỉ phương của là u a, n 3;3;3 3 1;1;1 : y u . z 4 u Vì M Giả sử M 1 u; u; 4 u AM 3 u; u 3; u . 0,25 AM ngắn nhất AM AM u AM u 0 1 3 u 1 u 3 1 u 0 u 2 . Vậy M 3; 2;6 . 0,25 Viết 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên 6 thẻ bài như nhau. Lấy ngẫu nhiên và liên tiếp 3 thẻ bài sau 9a đó xếp theo thứ tự từ trái sang phải, ta được một số tự nhiên. Tìm xác suất để nhận được một (1 điểm) số chẵn có 3 chữ số. Không gian mầu gồm n A63 120 kết quả đồng khả năng xảy ra. 0,25
- Gọi A là biến cố: “3 thẻ lấy được tạo thành số tự nhiên chẵn có 3 chữ số”. Ta có các trường hợp xảy ra A như sau: 0,25 TH1: Thẻ cuối ghi chữ số 0 thì 2 thẻ đầu có A52 5 4 20 cách chọn trường hợp này có 20 kết quả thuận lợi cho A . TH2: Thẻ cuối ghi chữ số 2 hoặc 4 thì 2 thẻ đầu có 4 4 16 cách chọn trường hợp 0,25 này có 16 2 32 kết quả thuận lợi cho A . n A 52 13 Vậy, n A 20 32 52 P A . 0,25 n 120 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 1;0 và hai đường tròn C1 : x 2 y 2 2 , C2 : x2 y 2 5 . Xét tam giác ABC có B thuộc C1 và C thuộc C2 . Tìm toạ độ B , C để diện tích của tam giác ABC lớn nhất. Ta có O là tâm của C1 , C2 . Giả sử ABC có diện tích lớn nhất. Ta có CO AB, AO BC , vì nếu không, chẳng hạn CO không vuông góc với AB thì tồn tại điểm C thuộc đường tròn C2 sao cho CO AB , 0,25 d C, AB d C, AB SC ' AB SCAB , vô lí. Do đó nếu ABC có diện tích lớn nhất thì ABC phải là tam giác nhận O làm trực tâm. Gọi B xB ; yB , C xC ; yC . Vì BC OA nên xB xC AB xB 1; yB , OC xB ; yC , OB xB ; yB , AC xB 1; yC . 7.b AB OC 0 xB xB 1 yB yC 0 (1) (1 điểm) 2 Ta có xB yB2 2 xB2 yB2 2 (2) 2 0,25 xB yC 5 xB yC 5 2 2 2 (3) Từ (2) và (3) yB2 2 xB2 , yC2 5 xB2 (4) . Từ (1) yB yC xB xB2 yB2 yC2 xB2 2xB3 xB4 (5) . Từ (4) và (5) 2 xB2 5 xB2 xB2 2 xB3 xB4 xB 1 (6) 5 5 2 xB3 8 xB2 10 0 xB 1 2 xB2 10 xB 10 0 xB (7) 2 5 5 0,25 xB (8) 2 Thế (7) vào (2) không thoả mãn (7) loại. Ta có S xA xB yB yC S 2 1 xB yB2 yC2 2 yB yC 1 xB 7 2 xB 1 1 2 1 2 2 4 4
- 5 5 Với xB 1 S 3 , với xB S 0, 4 . 2 yB 1 yB yC 2 2 yC 2 Vậy S lớn nhất xB xC 1 . Khi đó, ta có yB 1 0,25 y 1 2 B yB 4 2 yC Vậy với B1 (1;1), C1 (1; 2) hoặc B2 (1; 1), C2 (1;2) thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất và bằng 3. x y z Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : và 1 2 1 x 1 y 1 z 1 2 : . Viết phương trình của mặt phẳng P chứa đường thẳng 2 và tạo 1 1 3 với đường thẳng 1 một góc 30O . 2 đi qua A 1; 1;1 và có vtcp n2 1; 1;3 , 1 có vtcp là u1 (1; 2;1) . Giả sử n a; b; c là vtpt của ( P) với a 2 b2 c2 0 . 0,25 Giả thiết n u2 a b 3c 0 b a 3c (1) . 8.b a 2b c (1 điểm) Giả thiết: ( P) tạo với 1 góc 300 sin 300 cos n, u1 1 2 6 a 2 b2 c 2 0,25 a 5c a 5c 3 a 2 3ac 5c 2 (1) 1 2 3 2a 6ac 10c 2 2 2 2a 5c 0 chän a 5, c 2 2a 2 ac 10c 2 0 2a 5c a 2c 0 . 0,25 a 2c 0 chän a 2, c 1 Với a 5, c 2 b 11 ( P) : 5 x 1 11 y 1 2 z 1 0 hay 5x 11y 2 z 4 0 . 0,25 Với a 2, c 1 b 1 ( P) : 2 x 1 y 1 z 1 0 hay 2 x y z 2 0 . Tìm số phức z thoả mãn đẳng thức z 3 z 2 i 2 z 2 z i 0 . 2 Do z z z nên z 3 z 2 i 2 z 2 z i 0 z 3 z 2 i 2 z z 2 z i 0 2 2 z i 0,25 z2 z i 2z z i 0 2 z 2 z 0 (1) Với (1) , giả sử z x yi với x, y x2 y 2 2 xyi 2 x 2 yi 0 9b (1 điểm) x2 y 2 2x 0 0,25 2 xy 2 y 0 x2 y 2 2 x 0 y 0, x 0 y 0 y 0, x 2 0,25 x 1 x 1, y 3 Vậy, các số phức cần tìm là i, 0, 2, 1 3i . 0,25 Cảm ơn bạn Ngô Thanh Lịch Ma (datlich@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi thử Đại học lần 1 (2007-2008)
1 p | 869 | 155
-
Đề thi thử Đại học lần 3 môn Tiếng Anh (Mã đề thi 135) - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
48 p | 240 | 12
-
Đề thi thử Đại học lần 1 môn Vật lý (Mã đề 069) - Trường THPT Ngô Quyền
6 p | 140 | 6
-
Đề thi thử Đại học lần 4 môn Toán
6 p | 105 | 5
-
Đề thi thử Đại học lần II môn Ngữ văn khối D
1 p | 86 | 3
-
Đề thi thử Đại học lần II năm học 2013-2014 môn Vật lý (Mã đề thi 722) - Trường THPT Lương Thế Vinh
7 p | 123 | 3
-
Đề thi thử Đại học lần IV năm học 2012 môn Vật lý (Mã đề 896) - Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ
6 p | 92 | 3
-
Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2013-2014 môn Sinh học - Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng (Mã đề thi 231)
9 p | 118 | 3
-
Đề thi thử đại học lần III năm học 2011-2012 môn Hóa học (Mã đề 935)
5 p | 78 | 3
-
Đề thi thử Đại học lần 3 năm 2014 môn Toán (khối D) - Trường THPT Hồng Quang
8 p | 108 | 3
-
Đề thi thử Đại học, lần III năm 2014 môn Vật lý (Mã đề 134) - Trường THPT chuyên Hà Tĩnh
6 p | 107 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 môn Vật lý (Mã đề thi 249) - Trường THPT Quỳnh Lưu 3
15 p | 94 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần 1 năm học 2013-2014 môn Hóa học (Mã đề thi 001) - Trường THCS, THPT Nguyễn Khuyến
6 p | 113 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần 3 năm 2010 môn Sinh học – khối B (Mã đề 157)
4 p | 75 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần 1 năm học 2010 - 2011 môn Sinh học - Trường THPT Lê Hồng Phong
8 p | 111 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần II môn Ngữ văn khối D - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
1 p | 97 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần II năm học 2013-2014 môn Vật lý (Mã đề thi 132) - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
7 p | 129 | 2
-
Đề thi thử Đại học lần 2 năm học 2012-2013 môn Hóa học (Mã đề thi 002) - Trường THCS, THPT Nguyễn Khuyến
6 p | 109 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn