Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 môn Toán - Trường THPT Hồng Quang

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với "Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 môn Toán" của Trường THPT Hồng Quang các bạn sẽ được tìm hiểu hai phần thi là phần chung và phần riêng với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết dành cho các khối A, A1, B, V.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 môn Toán - Trường THPT Hồng Quang

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2014 TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG MÔN: TOÁN; KHỐI: A A1 B V (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề). Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 - (m + 2) x 2 + 4m - 3 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 1 . 2. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2 x - 7 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm A, B, C bằng 28 . Câu 2(1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 7 x - 2sin 4 x sin 3x - cos x = 0 . Câu 3(1,0 điểm). Giải phương trình 2 2 x + 4 + 4 2 - x = 9 x 2 + 16 ( x Î ¡ ) . 1 ( x 2 e x + 2 x + 1) e x Câu 4(1,0 điểm). Tính tích phân I = ò x dx . 0 xe + 1 Câu 5(1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc của C ' lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh BC thỏa mãn HC = 2 HB . Góc giữa hai mặt phẳng ( ACC ' A ') và ( ABC ) bằng 60 0 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' theo a và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AH và BB ' . Câu 6(1,0 điểm). Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y + xy = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 æ x +1 ö æ y + 1 ö 2 2 P = 4ç ÷ + 4 ç ÷ + x + y . è y ø è x ø Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C (3; - 1) . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , đường thẳng DM có phương trình là y - 1 = 0 . Biết đỉnh A thuộc đường thẳng 5 x - y + 7 = 0 và xD
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A Câu Nội dung Điể m 3 2 Câu 1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x - (m + 2) x + 4m - 3 với (1,0đ) m = 1 . Với m = 1 , ta có hàm số y = x3 - 3 x 2 + 1 * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: y ' = 3x 2 - 6 x ; y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = 2 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥;0 ) và ( 2;+¥ ) . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yC D = 1 , đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = - 3 Giới hạn: lim y = -¥; lim y = +¥ x ®-¥ x ®+¥ Bảng biến thiên x -¥ 0 2 +¥ y ' + 0 - 0 + 1 +¥ 0,25 y -¥ - 3 y Đồ thị : Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;1) , 4 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 3 x3 - 3 x 2 + 1 = 0 2 y '' = 6 x - 6; y '' = 0 Û x = 1 . 1 Đồ thị nhận điểm (1; - 1) làm tâm đối xứng. 4 3 2 1 O 1 2 3 4 x 1 2 3 0,25 4 Câu 1.2 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2 x - 7 cắt đồ thị hàm số (1,0đ) (1)…….. 1
Gọi d : y = 2 x - 7 . Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) x 3 - (m + 2) x 2 + 4m - 3 = 2 x - 7 Û x3 - (m + 2) x 2 - 2 x + 4m + 4 = 0 0,25 é x = 2 Û ê 2 . ë x - mx - 2 m - 2 = 0 (2) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2. Điều kiện cần và đủ là ì é m < -4 - 2 2 ìm 2 + 8m + 8 > 0 ï ê ì D > 0 ï ï í Ûí 1 Û í êë m > -4 + 2 2 î 2 - 4m ¹ 0 ï m ¹ ï 1 î 2 ï m¹ î 2 Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x1 , x 2 . Khi đó hoành độ các giao điểm là x A = 2, xB = x1 , xC = x2 . Hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm A, B, C lần lượt là 0,25 2 2 k A = y '(2) = 4 - 4m; k B = y '( x1 ) = 3 x1 - 2( m + 2) x1 ; kC = y '( x2 ) = 3 x2 - 2(m + 2) x2 . Tổng các hệ số góc bằng 28 nên k A + k B + kC = 28 Û 4 - 4 m + 3 x12 - 2( m + 2) x1 + 3 x2 2 - 2(m + 2) x2 = 28 Û 4 - 4m + 3( x12 + x2 2 ) - 2(m + 2)( x1 + x2 ) = 28 Û 4 - 4m + 3 éë ( x1 + x2 )2 - 2 x1 x2 ùû - 2(m + 2)( x1 + x2 ) = 28 é m = -6 Û 4 - 4m + 3 éë m2 - 2(-2m - 2) ùû - 2( m + 2) m = 28 Û m 2 + 4m - 12 = 0 Û ê 0,25 ë m = 2 . Kết hợp điều kiện (3) được m = 2 . 0,25 Câu 2 Giải phương trình 3 sin 7 x - 2sin 4 x sin 3 x - cos x = 0 (1,0) 3 sin 7 x - 2sin 4 x sin 3 x - cos x = 0 Û 3 sin 7 x - ( cos x - cos 7 x ) - cos x = 0 0,25 3 1 Û 3 sin 7 x + cos 7 x = 2 cos x Û sin 7 x + cos 7 x = cos x 0,25 2 2 æ pö Û cos ç 7 x - ÷ = cos x è 3 ø 0,25 é p é p p ê 7 x - 3 = x + k 2 p ê x = 18 + k 3 Ûê , k Î¢ Û ê , k Î ¢ ê 7 x - p = - x + k 2 p êx = p + k p 0,25 êë 3 êë 24 4 2
Câu 3 Giải phương trình 2 2 x + 4 + 4 2 - x = 9 x 2 + 16 (1,0đ) ì 2 x + 4 ³ 0 Điều kiện í Û -2 £ x £ 2 î 2 - x ³ 0 2 2 x + 4 + 4 2 - x = 9 x 2 + 16 Û 4(2 x + 4) + 16(2 - x) + 16 (2 x + 4)(2 - x) = 9 x 2 + 16 0,25 2 2 Û 48 - 8 x + 16 2(4 - x ) = 9 x + 16 Û 16 2(4 - x 2 ) - 8 x = 9 x 2 - 32 ( ) Û 8 2 2(4 - x 2 ) - x = 9 x 2 - 32 (1) 4 2 Xét trường hợp 2 2(4 - x 2 ) + x = 0 Û 2 2(4 - x 2 ) = - x Û x = - . Thay 0,25 3 vào (1) không thỏa mãn. 4 2 Xét trường hợp 2 2(4 - x 2 ) + x ¹ 0 Û x ¹ - 3 (1) Û ( )( 8 2 2(4 - x 2 ) - x 2 2(4 - x 2 ) + x ) = 9x - 32 2 2 2 2(4 - x ) + x 8 ( 8(4 - x 2 ) - x 2 ) 2 8 ( 32 - 9 x 2 ) Û = 9 x - 32 Û = 9 x 2 - 32 2 2 2 2(4 - x ) + x 2 2(4 - x ) + x é9 x 2 - 32 = 0 æ 8 ö ê ( Û 9 x 2 - 32 ç 1 + ) ÷ = 0 Û ê ç 2 2(4 - x 2 ) + x ÷ 1+ 8 = 0 è ø ê 2 2(4 - x 2 ) + x ë 32 4 2 4 2 Xét phương trình 9 x 2 - 32 = 0 Û x 2 = Û x = ± . Loại x = - 0,25 9 3 3 Xét phương trình 8 1+ = 0 Û 2 2(4 - x 2 ) + x + 8 = 0 Û 2 2(4 - x 2 ) = - x - 8 . 2 2 2(4 - x ) + x 0,25 Do -2 £ x £ 2 Þ - x - 8 < 0 Þ Phương trình 2 2(4 - x 2 ) = - x - 8 vô nghiệm. 4 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = . 3 1 Câu 4 ( x 2 e x + 2 x + 1) e x Tính tích phân I = ò dx (1,0đ) 0 xe x + 1 1 1 1 1 ( x 2 e x + 2 x + 1) e x ( xe x + 1) xe x + ( x + 1)e x ( xe x + 1) xe x ( x + 1) e x I=ò dx = ò0 dx = ò0 xe x + 1 dx + ò 0 xe x + 1 dx 0 xe x + 1 xe x + 1 1 1 ( x + 1) e x I = ò xe x dx + ò x dx 0,25 0 0 xe + 1 3
1 Xét M = ò xe x dx . Đặt 0 0,25 ìu = x ì du = dx x 1 1 x 1 í x Þ í x Þ M = x.e - ò e dx = e - e x = e - e + 1 = 1 îe dx = dv î v = e 0 0 0 1 ( x + 1) e x Xét N = ò x dx . Đặt t = xe x + 1 Þ dt = (e x + xe x )dx = ( x + 1) e x dx 0 xe + 1 Đổi cận x = 0 Þ t = 1; x = 1 Þ t = e + 1 ; e +1 0,25 dt e + 1 N = ò = ln t = ln(e + 1) - ln1 = ln(e + 1) 1 t 1 Vậy I = 1 + ln(e + 1) 0,25 Câu 5 Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a .. (1,0đ) ………… A' B' C' A B H K C Từ giả thiết có C ' H ^ ( ABC ) .Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AC . ì AC ^ HK 0,25 í Þ AC ^ (C ' HK ) Þ AC ^ C ' K . î AC ^ C ' H · Góc giữa hai mặt phẳng ( ACC 'A ') và ( ABC ) là góc C ' KH . Theogiả thiết · có C ' KH = 60 0 . Trong tam giác vuông HKC có HK = HC .sin 600 = 2a.sin 600 = a 3 Trong tam giác vuông C ' HK có C ' H = HK .tan 600 = a 3 tan 600 = 3 a 1 0 1 0 9 3 a 2 Diện tích tam giác ABC là S DABC = AB. AC sin 60 = 3a.3a sin 60 = 0,25 2 2 4 2 9 3a 27 3 a 3 Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V = C ' H .S DABC = 3a. = 4 4 4
Vì AA '// BB ' nên (· BB ', AH ) = (· BB ', AH ) = cos · AA ', AH ) Þ cos (· A ' AH Trong tam giác AHB có 1 AH 2 = AB 2 + BH 2 - 2AB.BH .cos 60 0 = 9a 2 + a 2 - 2.3a.a. = 7 a 2 Þ AH = a 7 . 2 Trong tam giác vuông C ' HC có 0,25 C ' C 2 = CH 2 + HC 2 = 9a 2 + 4 a 2 = 13a 2 Þ C ' C = a 13 Þ A 'A = a 13 . C ' H ^ ( ABC ) Þ C ' H ^ ( A ' B ' C ') Þ C ' H ^ A ' C ' . Trong tam giác vuông A ' C ' H có A ' H 2 = C ' H 2 + A ' C '2 = 9a 2 + 9a 2 = 18a 2 Þ A ' H = 3a 2 . Trong tam giác A ' AH có A ' A2 + AH 2 - A ' H 2 13a 2 + 7 a 2 - 18a 2 91 cos · A ' AH = = = 2 A ' A. AH 2.a 13.a 7 91 0,25 91 Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng BB ' và AH bằng . 91 Câu 6 Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y + xy = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của (1,0đ) biểu thức ….. Ta chứng minh hai bất đẳng thức: 1) Với a > 0, b > 0 thì 4 ( a 3 + b 3 ) ³ ( a + b) 3 Thật vậy ( ) 4 a 3 + b 3 ³ ( a + b)3 Û 3a 3 + 3b3 ³ 3a 2b + 3ab 2 Û a 3 - a 2b + b3 - ab 2 ³ 0 Û a 2 (a - b) + b2 (b - a) ³ 0 Û ( a 2 - b 2 )(a - b) ³ 0 Û (a - b)2 (a + b) > 0 . Dấu " = " xảy ra khi a = b > 0 . 2 2 (a + b ) 2 2) a + b ³ . Dấu " = " xảy ra khi a = b . 0,25 2 Áp dụng các bất đẳng thức trên có 3 3 3 æ x +1 ö æ y +1 ö 2 2 æ x + 1 y + 1 ö x + y P = 4ç ÷ + 4 ç ÷ + x + y ³ ç + ÷ + è y ø è x ø è y x ø 2 3 æ ( x + y ) 2 + 3( x + y ) - 6 ö x + y Þ P ³ ç ÷ + è 3 - ( x + y ) ø 2 3 æ t 2 + 3t - 6 ö t Đặt t = x + y Þ P ³ ç ÷ + . Ta có : è 3 - t ø 2 ( x + y ) 2 é x + y ³ 2 3 = x + y + xy £ x + y + Þ ( x + y )2 + 4( x + y) - 3 ³ 0 Þ ê Þ x + y 0,25 ³ 2 4 ë x + y £ - 6 (Vì x > 0, y > 0 ) Mặt khác x + y + xy = 3 Þ x + y 0, y > 0 ). Vậy 2 £ x + y < 3 Þ 2 £ t
3 æ t 2 + 3t - 6 ö t Xét hàm số f (t ) = ç ÷ + , t Î [ 2;3 ) è 3 - t ø 2 2 æ t 2 + 3t - 6 ö -t 2 + 6t + 3 1 f '(t ) = 3 ç ÷ . + > 0, "t Î [ 2;3 ) è 3 - t ø (3 - t ) 2 2 0,25 Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên [ 2;3 ) Þ min f (t ) = f (2) = 64 + 2 [ 2;3 ) ì x + 1 y + 1 ï y = x ïï P ³ 64 + 2 . Dấu " = " xảy ra khi í x + y + xy = 3 Û x = y = 1 ï x > 0, y > 0 ï ïî 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 64 + 2 , đạt được khi x = y = 1 . Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C ( 3; - 1) . (1,0đ) DM : y - 1 = 0 A d (C , DM ) = -1 - 1 = 2 B d (C , DM ) IC MC 1 Ta có = = = Þ d ( A,DM ) = 2d (C , DM ) = 4 M d ( A, DM ) IA DA 2 D I 0,25 C Điểm A thuộc đường thẳng 5x - y + 7 = 0 nên A ( a;5a + 7 ) é 2 é 5a + 6 = 4 ê a = - d ( A, DM ) = 4 Û 5a + 7 - 1 = 4 Û 5a + 6 = 4 Û ê Û 5 ë5a + 6 = -4 ê a = -2 ë 0,25 2 2 Với a = -2 Þ A(-2; - 3) . Với a = - Þ A æç - ;5 ö÷ . 5 è 5 ø Điểm A(-2; - 3) và C (3; - 1) cùng phía so với đường thẳng DM : y - 1 = 0 nên 2 loại điểm A(-2; - 3) . Vậy A æç - ;5 ö÷ . 0,25 è 5 ø 6
uuur æ 2 ö uuur D Î DM Þ D ( x;1) Þ AD = ç x + ; -4 ÷ ; CD = ( x - 3; 2 ) . è 5 ø uuur uuur æ 2ö 13 46 Do AD ^ CD Þ AD.CD = 0 Û ç x + ÷ ( x - 3 ) - 8 = 0 Û x 2 - x - = 0 è 5ø 5 5 é x = -2 0,25 Û 5 x - 13x - 46 = 0 Û ê 2 23 Û x = -2 (Vì xD