intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề thi thử Đại học lần V môn Toán năm 2012 - 2013 - Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Trần Duy Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
122
lượt xem 14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử Đại học lần V môn Toán năm 2012 - 2013 gồm 2 đề thi thử Đại học lần V môn Toán khối A, A1 và khối B, D. Đây là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho các em học sinh để ôn tập, kiểm tra kiến thức chuẩn bị cho kì thi ĐH, CĐ sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần V môn Toán năm 2012 - 2013 - Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

  1. www.VNMATH.com SỞ GD­ĐT VĨNH PHÚC  THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V  NĂM HỌC 2012 – 2013  TRƯỜNG THPT CHUYÊN  Môn: Toán – Khối A, A1  VĨNH PHÚC  Thời gian: 180 phút  Ngày thi:  I.  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH  x + 1  Câu 1. Cho hàm số  y = 2 x - 1  1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C )  của hàm số.  2.  Viết phương trình tiếp tuyến của  (C )  biết rằng tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.  tan x cos 3 x + 2 cos 2 x - 1  Câu 2. Giải phương trình = 3 ( sin 2 x + cos x )  1 - 2 sin x ì x - 3 y - 5 x - y  = 2  ï Câu 3. Giải hệ phương trình í ( x, y Î ¡ )  ï î 15 5 x - y + 22 x + 4 y = 15  9  ln(16 - x  )  Câu 4. Tính tích phân  I = ò  dx  1  x Câu 5. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình chữ nhật, với  AB = 3, BC = 6,  mặt phẳng  ( SAB )  vuông góc với  ,  mặt phẳng  ( ABCD ),  hình chiếu của S trên mặt phẳng  ( ABCD  nằm trên tia đối của tia AB; các mặt phẳng  )  ( SBC )  và  ( SCD )  cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Hơn nữa, khoảng cách giữa các đường  thẳng BD và SA bằng  6. Tính thể tích khối chóp và cô­sin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.  Câu 6. Với x, y là các số thực lớn hơn 1; tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x 3 + y 3 - x 2 - y 2  P= + 2( x 2 + y 2 ) - 16  xy  ( x - 1)( y - 1)  II.  PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần A hoặc phần B)  A.  Theo chương trình chuẩn  Câu 7a. Trong mặt phẳng  với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD. Biết rằng các đường thẳng AB, BD lần lượt  có phương trình  x - y + 2 = 0, 2 x + y - 1 = 0  và điểm  M (2;0)  nằm trên đường thẳng CD; hãy tìm tọa độ  tâm của hình thoi.  Câu 8a. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  ( S ) : x2 + y 2 + z 2  - 2 x + 4 y - 6 z - 11 = 0  và hai  điểm  A(1; -5; 6), B(3; -  7).  Viết phương trình của mặt phẳng  ( P  đi qua A, B và cắt  (S )  theo một đường  3; )  tròn có bán kính bằng 3.  x x  ( Câu 9a. Giải phương trình 3 - 5 ) ( + 15 3 + 5 )  = 2 x + 3  ( x Î ¡  )  B.  Theo chương trình nâng cao  Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  w : x 2 + y 2  - 2 x - 4 y - 4 = 0.  Tìm tọa độ các đỉnh  của tam giác đều ABC ngoại tiếp w  biết rằng A nằm trên đường thẳng  y = -  và có hoành độ dương.  1  Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  ( P) : 5 x - z - 4 = 0 và hai đường thẳng  d1 , d  lần  2  x - 1 y z + 1 x - 1 y - 2 z + 1  lượt có phương trình  = = ;  = = . Hãy viết phương trình của mặt phẳng  (Q  )  1 - 1 2 2 1 1  4 5  song song với  ( P  , theo thứ tự cắt  d1 , d  tại A, B sao cho  AB =  )  2  .  3  Câu 9b. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn phương trình  z 2  + z = 0.  Khi đó, tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả  các nghiệm của phương trình đã cho.  Chú ý. Học sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
  2. www.VNMATH.com SỞ GD­ĐT VĨNH PHÚC  THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V  NĂM HỌC 2012 – 2013  TRƯỜNG THPT CHUYÊN  HD chấm  môn TOÁN  – Khối A,A1  VĨNH PHÚC  Hướng dẫn chung:  ­  Mỗi một bài toán có thể có nhiều cách giải, trong HDC này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Học sinh có thể  giải theo nhiều cách khác nhau, nếu đủ ý và cho kết quả đúng, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó.  ­  Câu  (Hình học không gian), nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình chính của bài toán, thì không cho điểm;  câu  (Hình học giải tích) không nhất thiết phải vẽ hình.  ­  Điểm toàn bài chấm chi tiết đến 0.25, không làm tròn.  HDC này có 04  trang.  Câu  Nội dung trình bày  Điểm  1  ì 1 ü 1. TXĐ:  ¡ ‚ í ý 0.25  î2þ Sự biến thiên: 3 1  æ 1 ö æ 1  ö y¢ = - 2  < 0  "x ¹ . Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ç -¥; ÷ , ç ; +¥ ÷ và  0.25  ( 2 x - 1 )  2  è 2ø è2 ø  hàm số không có cực trị  1 1  Giới hạn:  lim y = L = ; lim  y = L = ;  lim y = L = -¥; lim  y = L = +¥ x ®-¥ 2 x ®+¥ 2  x ® 1 - x ® 1  + 2 2  1  1  Đồ thị hàm số nhận đường thẳng  y =  làm tiệm cận ngang, đường thẳng  x =  làm tiệm cận  2  2  đứng.  0.25  Bảng biến thiên  x 1/2  y'  1/2  +∞  y  ­ ∞  1/2  Đồ thị ­  Cắt Ox tại  (-  1;0), cắt Oy tại  (0; -  ;  1) æ1 1ö ­  Tâm đối xứng  ç ; ÷ 2  è 2 2 ø  O  0.25  1  2  2. Đồ thị hàm số không có tiếp tuyến dạng thẳng đứng. Giả sử tìm được đường thẳng t tiếp xúc với  3  0.25  đồ thị tại điểm có hoành độ  x  .  Khi đó, tiếp tuyến t có hệ số góc k = y¢ ( x  ) = - 0  0  2  .  ( 2 x0  - 1  )  Do hai trục tọa độ vuông góc với nhau, t tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân, nên tam giác đó  0.25  là tam giác vuông cân. Nghĩa là  k = ±  1  3  Với  k = 1,  ta có phương trình  - 2  = 1,  vô nghiệm  0.25  (2 x0  - 1)  1 
  3. www.VNMATH.com 3  1 ± 3  Với  k = -  ta có phương trình  - 1,  2  = -1, tìm được  x0  =  (2 x0  - 1)  2  0.25  Từ đó, tìm được hai tiếp tuyến  y = - x + 1 -  3  và  y = - x + 1 +  3  thỏa mãn yêu cầu.  2  1  ĐK  cos x ¹ 0  và  sin x ¹  0.25  2  Nhận xét  cos 3x = 4cos x - 3cos x = cos x(4sin 2 x - 1), 2cos 2 x - 1 = 1 - 4sin 2  x nên đưa được  3 0.25  ( phương trình về dạng ( 4sin 2  x - 1) sin x + 3 cos x - 1 = 0  )  p Giải phương trình  4sin 2  x - 1 = 0,  kết hợp với điều kiện, được hai họ nghiệm  x = - + k ∙2p , k Î ¢  6  p 7  và  x = + l∙2p , l Î ¢ . Giải phương trình  sin x + 3 cos x - 1 = 0 , kết hợp với điều kiện, được  0.25  6  p x=- + n∙2p , n Î ¢  6  Kết luận nghiệm  0.25  3  Điều kiện  x - 3 y ³ 0,5 x - y ³ 0  0.25  Đặt  x - 3 y = a ³ 0, 5 x - y = b ³ 0,  để ý rằng  22 x + 4 y = -3( x - 3 y ) + 5(5 x - y )  ta được hệ  ì a - b = 2 (1)  0.25  í - 2 2  î  3a + 5b + 15b = 15 (2)  2  Từ (1) suy ra  a = b + 2,  thay vào (2), rút gọn, được  2b + 3b - 27 = 0.  Giải phương trình, thu được  0.25  b = 3  (do  b ³ 0 ) và do đó  a = 5.  ì x - 3 y = 25  æ 1 58 ö Từ đó, được hệ  í , từ đó thu được ( x; y ) = ç ; - ÷ . Đối chiếu điều kiện và kết luận  0.25  î  x - y = 9  5 è7 7  ø  4  Đặt  x = t , khi đó 1 £ x £ 9 ~ 1 £ t £ 3, dx = 2  và  tdt 0.25  3 3 3  æ t2 ö t 2  I = 2ò ln(16 - t 2 )dt = 2 ç t ln(16 - t 2 ) 1  + 2 ò 3  dt ÷ = 6ln 7 - 2ln15 + 4  ò 16 - t 2  dt  0.25  1 è 1 16 - t 2 ø 1  3 3  t 2  æ 2 2 ö 5  Tính tích phân  ò 2  dt = ò ç -1 + + ÷dt  = L = -2 + 2 ln 7 - 2 ln  0.25  1 16 - t 1  è 4-t 4+t ø 3  7  Vậy  I = L = -2 + 4 ln  0.25  5  5  S  Gọi H là hình chiếu của S trên  ( ABCD  và K là hình  )  chiếu của H trên CD. Khi đó, do giả thiết  ÐSBH = ÐSKH = a và  HK || BC , HK = BC . Suy ra  HBCK là hình vuông, A là trung điểm HB, D  là trung  điểm KC (Hình vẽ). Do đó  0.25  A  B  HB = HK = BC = KC = 6  và  SH = 6 tan a .  a  H  6  K  D  C  3  Do  AK P BD  và HADK là hình chữ nhật, nên  0.25  2 
  4. www.VNMATH.com 6 = d ( BD; SA) = d ( BD; ( SAK )) = d ( D; ( SAK )) = d ( H ; ( SAK ))  1 1 1 1  Từ đó  = 2 + 2 + 2  Þ L Þ HS  = 6 . Suy ra  a = 450 . Từ đó  VS . ABCD  = L = 36  (đ.v.t.t)  0.25  6  HS HA HK Từ chứng minh trên suy ra  AK = BD = 3 5 = SA, SK = 6 2 .  SA2 + AK 2 - SK 2  2∙9∙5 - 36∙2 1  0.25  Từ đó, theo định lý cô­sin,  cos ÐSAK  = = =  2∙SA∙ AK 2∙9∙5 5  6  t  3  2  t  Đặt  x + y = t > 2,  khi đó do  ( x + y )2  ³ 4 xy nên  xy £  ; hơn  nữa  x 3 + y 3 = t 3 - 3  ³ t 3  -  txy và  4  4  0.25  2( x 2 + y 2 ) ³ t 2  3 t 2 (3t - 2)  2  t - t  - x3 + y 3 - ( x 2 + y 2 )  4  t 2  Khi đó  P = + 2( x 2 + y 2 ) - 16 xy ³ + t 2 - 8t = + t 2  - 8  t  0.25  xy - ( x + y ) + 1 t 2  t - 2  - t + 1  4  t 2  Xét hàm số  f (t ) = + t 2  - 8t , t  > 2  ta thấy  f (t )  liên tục và t - 2  æ t  ö f ¢ ( t ) = (t - 4) ç + 2 ÷ , f ¢ ( t ) = 0 Û t  = 4 . Ta có bảng biến thiên sau  ç ( t - 2 ) 2  ÷ è ø  t  2  0.25  4  f'  0  +  f  ­8  Từ bảng biến thiên, suy ra  f (t ) ³ -  , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  t = 4.  Vậy  P ³ -  dấu  8  8,  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x + y = 4, x = y Û x = y = 2.  Suy ra, GTNN của P  bằng  -  , đạt  8 0.25  được khi và chỉ khi  x = y = 2.  7a  æ 1 5ö + Từ giả thiết, tìm được  B ç - ;  ÷ là giao điểm của AB và BD.  0.25  è 3 3 ø  æ 24 7 ö + Gọi  N ( x; y  là điểm đối xứng với  M (2; 0)  qua BD. Khi đó, tìm được  N ç ;  ÷ và  N Π(CD )  )  0.25  è 5 5 ø  + Đường thẳng  CD có phương trình  ...5 x - 5 y - 17 = 0 . Từ đó, do D  là giao điểm của các đường  æ 22 29 ö 0.25  thẳng CD và BD nên tìm được  D ç ; - ÷ è 15 15 ø  æ 17 4  ö + Do tâm I của hình thoi là trung điểm BD, nên tìm được  I ç ; - ÷ 0.25  è 30 30 ø  8a  (S ) có tâm  I (1; -  2;3)  và bán kính  R = 5 .  0.25  Giả  sử  tìm  được  mặt  phẳng  ( P ) : ax + by + cz + d = 0,  với  a 2 + b 2 + c 2  ¹ 0, thỏa  mãn  yêu  cầu.  Do  nên A, B Π( P)  nên  a - 5b + 6c + d = 0,3a - 3b + 7c + d = 0  suy  ra c = -2 ( a + b ) , d = 11a + 17b.  do  0.25  đó, phương trình (P) có dạng ax + by - 2 ( a + b ) z + 11a + 17b = 0  Do (P) cắt (S) theo một đường tròn có bá kính bằng 3 nên  d ( I ; ( P)) = 4 , điều này tương đương với  0.25 3 
  5. www.VNMATH.com a - 2b - 6a - 6b + 11a + 17  b  = 4 Û L b 2 - 20 ab - 44 a 2  = 0 Û b = -2 a Ú b = 22  a  2 2  2  a + b + 4 ( a + b )  Với  b = -2a,  ¼ được  ( P ) : x - 2 y + 2 z - 23 = 0  0.25  Với  b = 22a,  ¼ được  ( P) : x + 22 y - 46 z + 374 = 0.  x  9a  æ 3 - 5 ö 3 - 5 3 + 5  x Chia  hai  vế  cho  2 > 0 ,  đặt  ç ÷ = t > 0,  chú  ý  ∙ = 1,  ta  được  phương  trình  ç 2  ÷ 2 2 0.5  è ø  t 2  - 8t + 13 = 0 . Giải phương trình, thu được  t = 3  và  t = 5  Với  t = 3,  ¼ tìm được  x = log 3- 5  3  0.25  2  Với  t = 5,  ¼ tìm được  x = log 3- 5  5  0.25 2  7b  w  có tâm  I (1; 2)  và bán kính  R = 3 . Giả sử tìm được tam giác ABC thỏa mãn, với  A(a; -1), a > 0 .  0.25  Khi đó do  IA = 2 R = 6, a > 0  nên tìm được  a = 6 . Do đó  A(6; -  .  1)  0.25  Khẳng định đường thẳng  y = -  tiếp xúc với w  tại  M (1; -  nên nếu B nằm trên đường thẳng này  1  1),  uur uuu r  0.25  thì M là trung điểm AB và C thỏa mãn  IC = -2  IM Từ đó, tìm được  B(-4; -  C (1;8)  1), 0.25  8b  d  có  phương  trình  tham  số  x = 1 + t , y = -t , z = -1 + 2  và  d  có  phương  trình  tham  số  1  t 2  0.25  x = 1 + 2s, y = 2 + s , z = -1 + s ; mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình  5 x - z + d = 0, d ¹ -  4  æ -3 - d 6 + d -15 - 2  ö d  æ -3 - 2d 12 - d -15 - d  ö (Q) cắt  d  tại  A ç 1  ; ;  ÷ ,cắt  d  tại  B ç 2  ; ;  ÷ 0.25  è 3 3 3  ø  è 9 9 9  ø  uuu æ 6 - 5d -6 - 7 d 30 + 5d  ö 1  r  Suy ra AB = ç ; ; ÷ = ( 6 - 5d ; -6 - 7 d ;30 + 5  )  d 0.25  è 9 9 9 ø 9  4 5 1 Do  AB =  3  nên 81 ( (6 - 5d )2 + (6 + 7 d ) 2 + (30 + 5d ) 2 ) = 80  Û L Û 11d 2  + 36d + 28 = 0  9  14  0.25  Từ đó, tìm được  d = -  và  d =  .  2  11  Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn  (Q1 ) : 5 x - z - 2 = 0  và  (Q2 ) : 55 x - 11z + 14 = 0.  9b  z = a + bi, a, b Î ¡ . Suy ra  z 2 = a 2 - b 2  + 2abi, z = a - bi.  0.25  Vậy  z 2 + z = 0 Û (a 2 - b 2  + a) + (2ab - b)i = 0  ì a 2 - b 2  + a = 0  æ1 3 ö Từ đó, thu được  í . Giải hệ, thu được  (a; b) = (0;0), (-1; 0), ç ; ± ÷ 0.25  ç2 2  ÷ î  ab - b = 0  2 è ø  1 3 1 3  Vậy có bốn số phức  z1 = 0, z2 = -1, z3 = + i, z 4  = -  i thỏa mãn phương trình đã cho.  0.25  2 2 2 2  2  Để ý rằng, do  z  là nghiệm của phương trình đã cho, nên  zk4  =  zk  , do đó  k  2 2  4 4 4 æ1 3 ö æ1 4  3 ö 1  0.25  z + z + z + z = 1+ ç + 1 2 3 ç 2 2 ÷ ç 2 2 i ÷ = 2 .  i÷ +ç - 4  ÷ è ø è ø  4
  6. SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC  www.VNMATH.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 5 TRƯỜNG THPT CHUYÊN  VĨNH PHÚC  MÔN TOÁN; KHỐI  B,D ­ NĂM HỌC 2012 – 2013  Thời gian làm bài:180 phút (Không kể giao đề)  (Đề thi có 01 trang)  I.  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH  -1 3  2  Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  y = x + x -  có đồ thị là ( C ) .  3 3  a)  Khảo sát sự biến thiên  và vẽ đồ thị ( C )  của hàm số.  b)  Gọi  M  là điểm thuộc đồ thị ( C ) có hoành độ  x = 2 .Tìm các giá trị của tham số  m  để tiếp  tuyến với ( C )  9m + 5  tại  M  song  song với đường thẳng d : y = ( m 2  - 4  x +  )  .  3  2 (1 + cot 2 x.cot x )  1  Câu 2 (1,0 đ iểm). Giải phương trình 2 + 4  = 48 .  sin x cos  x Câu 3 (1,0 đ iểm). Giải bất phương trình  2 x.log3 x - 4 log3  x - x + 1 > 0 .  2  1 - x 2  Câu  4 (1,0 đ iểm). Tính tích phân  I = ò  dx .  1  x + x3  27  Câu 5 (1,0điểm). Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình bình hành  AB = 5, BC = 6, AC = 9 ; SA = SB = SC =  .  4  Tính thể tích của khối chóp  S . ABCD .  Câu 6 (1,0 điểm). Cho  a, b, c  là các số thực thoả mãn  a + b + c = 0 .  2a 2b 2 c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = + b + c .  16a + 2.4a + 2.4b + 7 16 + 2.4b + 2.4c + 7 16 + 2.4c + 2.4a  + 7  II.  PHẦN RIÊNG (Thí  sinh chỉ được một trong hai phần riêng, phần A hoặc phần B )  A.  Theo chương trình chuẩn  Câu  7a  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy ,  cho  đường  thẳng  (d ) : 3x + y - 4 = 0  và  elip  x 2 y 2  (E ) : + = 1 . Viết phương trình đường thẳng D  vuông góc với ( d )  mà D  cắt (E) tại hai điểm  A, B  sao  9 4  cho tam giác  OAB  có diện tích bằng 3.  Câu 8a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ  Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua  O , vuông góc  o  với mặt phẳng ( Q ) : 5x - 2y + 5z = 0 và tạo với  mặt phẳng ( R ) : x - 4y - 8z + 6 = 0 góc  45  .  Câu 9a (1,0 điểm) Tìm số phức  z  biết:  z - 1 = 1  và  số phức  (1 + i  z - 1  có phần ảo bằng 1.  )(  )  B.Theo chương trình nâng cao  Câu 7b (1,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác  ABC  cân tại đỉnh A ( 4; -  )  và phương trình  13  đường tròn nội tiếp tam giác  ABC  là  x 2 + y 2  + 2 x - 4 y - 20 = 0 . Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh  BC  của  tam giác  ABC .  Câu  8b  (1,0  điểm).  Trong  không  gian    với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai  đường  thẳng x +1 y + 2 z x - 2 y - 1 z - 1  ( d1 ) : = = ; ( d 2  ) :  = =  và mặt phẳng ( P ) : x + y - 2z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng 1 2 1 2 1 1 ( d )  song song với mặt phẳng ( P )  và cắt ( d1 ) , ( d 2 ) lần lượt tại  A, B  sao cho độ dài đoạn  AB  đạt giá trị nhỏ nhất.  z - i  p  Câu 9b (1,0 điểm) .Tìm số phức  z  sao cho  có một acgumen bằng  và  z + 1  = z - i .  z + i 2 .................HẾT..............  Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  7. www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM  THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT (Năm học 2012­2013)  TOÁN 12 KHỐI B, D  Câu  Ý  Nội dung  Điểm  1  2,00  a  1,00  *) Hàm số có tập xác định:  D =  R *) Sự biến thiên  -1 3 2  é x = 1  +) Chiều biến thiên :  y = x + x - Þ y ' = - x 2  + 1 ;  y ' = 0 Û ê 3 3  ë x = -1  y ' > 0 Û x Î ( -1;1) ; y ' < 0 Û x Î ( -¥; -1) È (1; +¥ )  Hàm số đồng biến trên ( -  )  1;1 Hàm số  nghịch biến trên các khoảng ( -¥; -  )  và (1;+¥ )  1 0,25  +) Cực trị:  -4  Hàm số đạt cực tiểu tại  x = -1; yCT  = y (-1) =  3  Hàm số đạt cực đại tại  x = 1; yCT  = y (1) = 0  æ -1 2ö é æ -1 1 2  ö ù +) Giới hạn  x ®+¥ ç x 3 + x - ÷ = x ®+¥ ê x  .  lim lim 3  ç + 2 - 3  ÷ ú = -¥ è 3 3ø ë è 3 x 3  ø û  x æ -1 2ö é æ -1 1 2  ö ù lim ç x 3 + x - ÷ = x ®-¥ ê x  .  lim 3  ç + 2 - 3  ÷ ú = +¥ x ®-¥ è 3 3ø ë è 3 x 3  ø û  x 0,25  +) Bảng biến thiên:  x -¥  -  1 1 +¥  y '  -  0  +            0 -  y +¥  0  -4  -¥  0,25  3 *) Đồ thị hàm số (học sinh tự vẽ hình)  æ -2 ö Đồ thị hàm số cắt  Ox  tại  các điểm (1;0 )  và ( -  ) ; cắt Oy  tại  ç 0;  ÷ 2;0 è 3 ø  æ -2 ö 0,25  Đồ thị nhận điểm uấn  ç 0;  ÷ là tâm đối xứng .  è 3 ø  b  1,00
  8. www.VNMATH.com -4 æ -4 ö Ta có  y (2) = Þ M ç 2;  ÷ 0,25  3 è 3  ø  Tiếp tuyến D với ( C )  tại  M  có phương trình : 4 4 14  y = y '(2).( x - 2 ) - Û y = -3 ( x - 2 ) - Û y = -3  +  x 0,25  3 3 3  ìm 2  - 4 = -3  ï 0,25  Ta có  D // d  Û í 9m + 5 14  ï 3 ¹ 3  î  2  ì m  = 1  Ûí Û m = -1 . Vậy  m = -  1  0,25  î m ¹ 1  2  1,00  ìsin x ¹ 0  ï Điều kiện  ícosx ¹ 0 Û sin 2 x ¹ 0.  ïsin2x ¹ 0  î  0,25  T a có  cos 2 x cos x cos 2 x.cos x + sin 2 x.sin x  1 + cot 2 x.cot x = 1 + .  = sin 2 x sin x sin 2 x.sin x  cos x 1  = =  2sin 2 x.cos x 2sin 2  x Do vậy 2 (1 + cot 2 x.cot x )  1 1 1  + = 48 Û + = 48  sin 2 x cos 4 x sin 4 x 4  cos  x  Û sin 4 x + cos 4 x = 48.sin 4 x.cos 4 x Û 1 - 2sin 2 x.cos 2 x = 3.sin 4 2 x  1  Û 1 - sin 2 2 x = 3.sin 4 2 x Û 6sin 4 2 x + sin 2 2 x - 2 = 0  2  é 2  1  êsin 2 x = 2  Ûê 0,25  êsin 2 2 x = - 2  ê ë  3  -2  Phương trình  sin 2 2 x =  vô nghiệm.  3  0.25  -2  sin 2 2 x = Þ sin 2 x ¹ 0  3  Vậy 2 (1 + cot 2 x.cot x ) 1 1  + = 48 Û sin 2 2 x = Û 1 - 2sin 2 2 x = 0  sin 2 x 4  cos  x  2  0,25  p p p Û cos4x=0 Û 4x=  + kp Û x = + k ( k ΠZ )  2 8 4  3  1,00
  9. www.VNMATH.com Điều kiện  x > 0  Với điều kiện đó 2 x.log 3 x - 4log3 x - x + 1 > 0 Û ( 2 x - 4 ) log 3  x > x - 1  éì x > 2 é ì x > 2  êï êï í ê log 3 x > x -1 ê ílog 3  x - x - 1  > 0  êïî 2x - 4 êïî 2 x - 4  Ûê Ûê ê ì0 < x < 2 ï ê ì0 < x < 2  ï êí x -1 êí x - 1  êï log 3 x < êï log 3  x - < 0  ëî 2x - 4 ë î 2 x - 4  0,25  x - 1  Xét hàm  f ( x) = log  x - 3  trên D = ( 0; 2 ) È ( 2; +¥ )  2 x - 4  1 2  Ta thấy f '( x ) = + 2  Þ f '( x) > 0  x Î D  " x ln 3  ( 2 x - 4 )  Suy ra  f ( x  đồng biến trên các khoảng  (0; 2)  và ( 2;+¥ )  )  0,25  Mà  f (3) = f (1) = 0  Do vậy  é ì x > 2  êï é ì x > 2  ê ílog 3  x - x - 1  > 0  ê í êïî 2 x - 4  î f ( x) > f (3)  ê Ûê ê ì0 < x < 2  ê ì0 < x < 2  ï êí êí x - 1  ë f ( x) < f (1)  ê ïlog 3  x - < 0  ê î 0,25  ë î 2 x - 4  é ì x > 2  êí ê î x > 3  Û é x > 3  ê ì0 < x < 2  ê 0 < x < 1  ë êí ê î x < 1  ë  0,25  4  1,00  1  2 2  2 1  -2  1 - x  Ta có  I = ò 3  dx = - ò  x  dx  0,25 1  1 x + x  1  + x  x
  10. www.VNMATH.com ì 1  ï dt = 1 - 2  dx  x  1  ï ï Đặt  t = x + Þ í x = 1 Þ t = 2  x  ï 5  0,25  ï x = 2 Þ t = ï î  2  5  2  dt  5  Þ I = - ò  = - ln  t  2  t 2  2  0,25  æ 5 ö 4  - ç ln - ln 2 ÷ = ln  è 2 ø  5 0,25  5  1,00  S D  C  H A  B  Gọi  H  là hình chiếu của  S  trên ABCD  SA = SB = SC Þ HA = HB = HC  Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam  giác ABC  5 + 6 + 9  Gọi  p  là nửa chu vi tam giác  ABC  Þ p = = 10  2  Þ S ABC  = p ( p - 5)( p - 6)( p - 9) = 10.5.4.1 = 10 2 .  0,25  Gọi  R  là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC  Þ HA = HB = HC = R AB. AC.BC AB. AC.BC  5.6.9 27  0,25  Mặt khác  S ABC  = Þ HA = R = = =  4R S 4  ABC  4.10 2 4 2  27  Þ SH = SA2 - AH 2  =  0,25  4 2  S ABCD = 2 S ABC  = 20 2  1 1 27  Thể tích khối chóp  S . ABCD  là  VS . ABCD = S ABCD .SH = .20 2. = 45  0,25  3 3  4 2  6  1,00  ì x, y, z Î ( 0; +¥ )  ï Đặt x = 2 a , y = 2b , z = 2  Þ í c  ï xyz = 1  î  0,25 
  11. www.VNMATH.com x y z  Ta được  P = 4 + 4 + 4 x + 2 x 2 + 2 y 2 + 7 y + 2 y 2 + 2 z 2 + 7 z + 2 z 2 + 2 x 2  + 7  Áp dụng bất đẳng thức cô si  ta được:  x 4 + 1 + 1 + 1 ³ 4 x; x 2 + y 2  ³ 2 xy Þ x 4 + 2 x 2 + 2 y 2  + 7 ³ 4 x + 4 xy + 4 = 4 ( x + xy + 1  )  Chứng minh tương tự ta được y 4 + 2 y 2 + 2 z 2  + 7 ³ 4 ( y + yz + 1  ; )  0,25  4 2 2  z + 2 z + 2 x + 7 ³ 4 ( z + zx + 1  )  1 æ x y z  ö P £ ç + + 4 è x + xy + 1 y + yz + 1 z + zx + 1 ÷ ø  Mà  xyz = 1  nên  x y z  + + x + xy + 1 y + yz + 1 z + zx + 1  x xy xyz  0,25  = + + x + xy + 1  xy + xyz + x xyz + x 2 yz + xy  x xy  1  = + + = 1  x + xy + 1 xy + 1 + x 1 + x + xy 1  Þ P £  4  Dấu bằng xảy ra khi  x = y = z = 1 Þ a = b = c = 0  0,25  1  Vậy  m  axP=  đạt được khi  a = b = c = 0  4  7a  1,00 D  vuông  góc  với  đường  thẳng ( d )  nên  có  phương  trình  dạng  x - 3 y + m = 0  Thay 3y = x + m vào phương trình ( E )  ta được 2  4 x 2 + ( x + m ) = 36 Û 5 x 2 + 2mx + m 2  - 36 = 0 (1  )  0,25  Đường thẳng D cắt ( E )  tại hai điểm phân biệt  A, B  khi và chỉ khi phương  trình  (1)  có  hai  nghiệm  x1 , x  2  phân  biệt  Û D ' > 0 Û 180 - 4m 2 > 0 Û m 2 
  12. www.VNMATH.com 2  2 2 2 æ x1 - x  ö 2  10  2  Þ AB = ( x1 - x2 ) + ( y2 - y1 ) = ( x1 - x2 ) + ç ÷ = ( x1 - x  )  2  è 3 ø 9  2  2 2  æ -2 m ö m 2 - 36 720 - 16  2  m  ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1.x  = ç 2  ÷ - 4  = è 5 ø 5 25  10  Þ AB = . 720 - 16  2  m 15  m  1  m . 720 - 16  2  m  d (O, D ) =  Þ SOAB  = AB.d (O, D) =  0,25  10  2 30  m . 720 - 16  2  m  SOAB  = 3 Û = 3  30  90 3 10  Û 16m 4 - 720m 2 + 8100 = 0 Û m 2  = Û m = ±  4 2  (thỏa điều kiện  m 2  0 5  0,25 ( P ) ^ ( Q ) Û 5A - 2B + 5C = 0 Û B = ( A + C )  (1)  2 ( P )  tạo với ( R )  góc  45 o nên  o  A - 4B - 8C 1  A - 4B - 8C  cos45  = Û = (2)  A 2 + B2 + C 2 1 + 16 + 64 2  A 2 + B2 + C2 .9 0,25  25  2  Từ (1) , ( 2 ) Þ 2 A - 10 ( A + C ) - 8C = 9 A 2 + ( A + C )  + C 2  4 éC = -A  Û 21A 2 + 18AC - 3C2  = 0 Û ê 0,25  ë  = 7A C Với  C = - A chọn  A = 1,C = -1 Þ B = 0 Þ Phương trình mặt phẳng ( P )  là  x - z = 0  Với  C = 7 A chọn  A = 1, C = 7 Þ B = 20 Þ Phương trình mặt phẳng (P) là  0,25  x + 20 y + 7 z = 0 .  9a  1,00
  13. www.VNMATH.com Đặt  z = x + yi ( x  y Î R  Þ z = x - yi  ,  )  0,25  Ta có:  z - 1 = 1 Û ( x - 1  2 + y 2  = 1 (  )  )  1  Vì  (1 + i  z - 1  = ( x + y - 1  + ( x - y - 1 i ;  )(  )  )  )  0,25  (1 + i )( z - 1) có phần ảo bằng 1 nên  x - y - 1 = 1 Û  x - 1 = y + 1  (  )  2  é y = 0  Thay (2) vào (1)  ta được :  ( y + 1  2 + y 2  = 1 Û 2 y 2  + 2 y = 0  Û ê )  0,25  ë y = -1  Với  y = 0 Þ x = 2 Þ z = 2  Với  y = -1 Þ x = 1 Þ z = 1 - i  0,25  Vậy có 2 số phức là z = 2 và z = 1 ­ i  7b  Ta có 2 2  x 2 + y 2  + 2 x - 4 y - 20 = 0 Û ( x + 1) + ( y - 2 )  = 25  0,25 Þ  Đường tròn nội tiếp tam giác  ABC  có tâm I ( -  2 ) , bán kính  R = 5  1; uur  IA = ( 5; -15  , tam giác  ABC  cân tại đỉnh A ( 4; -13  Þ IA ^ BC )  )  BC  có phương trình dạng  x - 3 y + m = 0  Vì  I  và  A  nằm  cùng  phía  đối  vói  BC  nên 0,25  é m > 7  ( -1 - 6 + m ).( 4 + 39 + m ) > 0 Û ( m - 7 ).( m + 43) > 0 Û ê ë m < -43  -1 - 6 + m  é m = 7 + 5 10  Ta có d ( I ; BC ) = 5 Û = 5 Û ê 0,25  10  ê m = 7 - 5 10  ë  Vậy  m = 7 + 5 10  Þ BC có phương trình  x - 3 y + 7 + 5 10 = 0  0,25  8b  Vì A Î d1;B Î d 2  Þ A ( -1 + a; -2 + 2a;a ) , B ( 2 + 2b;1 + b;1 + b ) , ta có uuu r  AB = ( -a + 2b + 3; -2a + b + 3; -a + b + 1)  r  ( P )  có véc tơ pháp tuyến n = (1;1; -2 )  0,25 uuu r  r ì AB ^ n  ï AB // ( P )  Û í ï A Ï ( P )  î uuu r r uuu r r ABuuu n Û AB.n = 0 Û -a + 2b + 3 - 2a + b + 3 + 2a - 2b - 2 = 0 Û b = a - 4 ^r  Þ AB = ( a - 5; -a - 1; -3)  0,25  Do đó: 2 2 2 2  AB = ( a - 5) + ( -a - 1) + ( -3) = 2a 2  - 8a + 35 = 2 ( a - 2 )  + 27 ³ 3 3 0,25
  14. www.VNMATH.com uuu r Suy  ra:  min AB = 3 3 , đạt được khi  a = 2  Þ  A (1;2; 2 ) , AB = ( -3; -3; -3  )  A (1;2;2 ) Ï ( P )  x - 1 y - 2 z - 2  Vậy, phương trình đường thẳng ( d )  là:  = =  .  0,25  1 1 1 9b  1,00  2 2  z -i x + y -1 -2 x  Đặt  z = x + yi ,( x; y ΠR ) . Þ = 2  2  + 2 2  i  z + i x + ( y + 1  )  x + ( y + 1)  0,25  ì x 2 + y 2  - 1  ï 2  2  = 0  z - i  p ï x + ( y + 1  ) ì x 2 + y 2  = 1  có một acgumen bằng Û í Ûí (1  )  0,25  z + i 2  ï -2 x  î x < 0  > 0  ï x 2 + ( y + 1)  î  2  Lại có z + 1 = z - i Û ( x + 1) + y = x - ( y + 1  i  ) 0,25  2 2  Û ( x + 1) + y 2 = x 2  + ( y + 1) Û x =  y ( 2 )  2 2 2  Từ (1) v à (2) suy ra  x = y = - Þz=- -  i 0,25  2 2 2  Lưu ý khi chấm bài:  ­Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.  Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.  ­Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.  ­Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được  điểm.  ­Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.  ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­ 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2