Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2018 - Cụm 5 trường THPT Chuyên

Chia sẻ: Ho Quang Dai | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hi vọng Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 môn Toán - Cụm 5 trường THPT Chuyên sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2018 - Cụm 5 trường THPT Chuyên

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ THPTQG NĂM HỌC CỤM 5 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 2017 – 2018 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] và u ( x ) �[ α; β] ∀x �[ a; b ] , hơn nữa f ( u ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào sau đây là đúng? b u( b) b b f ( u ( x ) ) u 'dx = A. � �f ( u ) du f ( u ( x ) ) u 'dx = � B. � f ( u ) du a u( a ) a a u( b) b b b C. �f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = � u( a ) f ( u ) du a f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = � D. � a a f ( x ) du Câu 2: Cho số tự nhiên n thỏa mãn C 2n + A 2n = 9n. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. n chia hết cho 5 B. n chia hết cho 3 C. n chia hết cho 7 D. n chia hết cho 2 Câu 3: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 6. Tính thể tích V của khối nón đó. πa 3 6 πa 3 6 πa 3 6 πa 3 6 A. V = B. V = C. V = D. V = 6 3 2 4 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 4z + 1 = 0. Đường thẳng ( d ) qua điểm A, song song với mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số đường thẳng ( d ) x = 1 + 5t x = 1− t x = 1 + 3t x=t A. y = 2 − 6t B. y = 2 + 6t C. y = 2 + 2t D. y = 2t z = 3+ t z = 3+ t z = 3+ t z = 2+t Câu 5: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 9x + 6x + 4 2 x+2 A. x = −2 và y = −3 B. x = −2 và y = 3 C. y = 3 và x = 2 D. y = −3, y = 3 và x = −2 Câu 6: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển P ( x ) = ( x + 1) 20 Trang 1
A. C720 B. A 720 C. A 2013 D. P7 Câu 7: Cho số phức z1 = 2 + 3i, z 2 = −4 − 5i. Tính z = z1 + z 2 A. z = 2 − 2i B. z = −2 − 2i C. z = 2 + 2i D. z = −2 + 2i Câu 8: Cho 3 số a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác 1. Biết cũng theo thứtự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là a s 0. Tính s 4 4 A. 3 B. C. D. 9 9 3 1 Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = ( x + 1) 2 1 −2 1 −1 A. dx = + C B. dx = +C ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 2 3 2 1 1 1 2 C. dx = +C D. dx = +C ( x + 1) x +1 ( x + 1) ( x + 1) 2 2 3 Câu 10: Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x − 1) ? 1 ln 2 1 1 A. y ' = B. y ' = C. y ' = D. y ' = 2 ( x − 1) ln 2 x −1 2 ( x − 1) ( x − 1) ln 2 Câu 11: Tìm nghiệm thực của phương trình 2 x = 7 7 A. x = log 7 2 B. x = log 2 7 C. x = 7 D. x = 2 r r Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto u = ( x; 2;1) và vec tơ v = ( 1; −1; 2x ) . r r Tính tích vô hướng của u và v . A. −2 − x B. 3x + 2 C. 3x − 2 D. x + 2 a 2 + 4ab a Câu 13: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết � 1 � ( ) 3a 2 −10ab � � = 3 625 . Tính tỉ số 125 � � b 76 4 76 A. B. C. 2 D. 3 21 21 Câu 14: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1? A. ( 0; −1) B. ( 1; −2 ) C. ( −1; 2 ) D. ( 2;7 ) Trang 2
Câu 15: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 − z + 1 = 0 là z = a + bi, a, b R. Tính a + 3b A. 2 B. 1 C. −2 D. −1 π Câu 16: Tính tích phân I = sin �π − x � 2 � dx � 0 �4 � π A. I = −1 B. I = 1 C. I = 0 D. I = 4 Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình chính tắc của mặt cầu có đường kính AB với A ( 2;1;0 ) , B ( 0;1; 2 ) A. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 B. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 4 D. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 4 2 2 2 2 2 2 Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ: x − 0 2 + f '( x ) 0 + f ( x) 2 + + − 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây ? A. ( 0; 2 ) B. ( − ; 2 ) C. ( 2; + ) D. ( 0; + ) Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau : Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x ) = 1 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung diểm của cạnh SC. Khẳng định nào sau đây sai ? Trang 3
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( IBD ) và ( SAC ) là IO B. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAB ) C. Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là 1 tứ giác. D. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ( SAD ) Câu 21: Gọi x1 là điểm cực đại, x 2 là điểm cực tiểu của hàm số y = − x 3 + 3x + 2. Tính x1 + x 2 A. 0 B. 2 C. 1 D. −1 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z + 3 = 0, cách điểm M ( 3; 2;1) một khoảng bằng 3 3 biết rằng tồn tại một điểm X ( a; b;c ) trên mặt phẳng đó thỏa mãn a + b + c < −2? A. 2 B. 1 C. Vô số D. 0 Câu 23: Trong tất cả các loại hình đa diện sau, hình nào có số mặt nhiều nhất ? A. Loại { 3;5} B. Loại { 5;3} C. Loại { 4;3} D. Loại { 3; 4} Câu 24: Tính giới hạn lim 4x 2 + x + 1 − x 2 − x + 3 x − 3x + 2 1 1 2 2 A. B. − C. D. − 3 3 3 3 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến là r n = ( 2; −1;1) . Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của ( P ) ? A. ( −2;1;1) B. ( −4; 2;3) C. ( 4; 2; −2 ) D. ( 4; −2; 2 ) Câu 26: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − 2x + 3 + 2x − x 2 . Tính tích các nghiệm của phương trình f ( x ) = M A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60o. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Trang 4
2 2 2 2 A. B. C. D. 35 7 5 7 Trang 5
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và điểm I ( 0;1;1) . Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) , cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S. A. 36 2π B. 18π C. 36π D. 18 2π 1 e − nx dx Câu 29: Cho I n = ,n ﾥ . Đặt u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n1 ) − n . 0 1 + e− x Biết lim u n = L. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L �( −2; −1) B. L �( −1;0 ) C. L ( 1; 2 ) D. L ( 0;1) Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = 1+ t x −1 y z d1 : = = , d 2 : y = 2 + t . Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho đường thẳng d1 2 1 3 z=m 5 và d 2 chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng . Tính tổng các phần tử của S. 19 A. 11 B. −12 C. 12 D. −11 Câu 31: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 = 2, z 2 = 3. Gọi M, N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz 2 . Biết MON = 300. Tính S = z1 + 4z 2 ? 2 2 A. 5 B. 4 7 C. 3 3 D. 5 2 ax+b Câu 32: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ, a, b, c là các số nguyên. Tính giá x+c trị của biểu thức T = a − 3b + 2c A. T = −9 B. T = −7 C. T = 12 D. T = 10 Trang 6
1 1 Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x + tan x + cot x + + s inx cos x A. 2 2 − 1 B. 2 + 1 C. 2 2 + 1 D. 2 − 1 Trang 7
Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a; b;c;d ι R, a 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết 3 2 rằng đồ thị ( C ) đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho bởi hình vẽ sau đây. Tính giá trị H = f ( 4 ) − f ( 2 ) A. H = 51 B. H = 54 C. H = 58 D. H = 64 x −1 Câu 35: Cho hàm số y = , gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x+2 bằng m − 2 . Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A ( x1 ; y1 ) và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B ( x 2 ; y 2 ) . Gọi S là tập hợp các số m sao cho x 2 + y1 = −5 . Tính tổng bình phương các phần tử của S. A. 4 B. 0 C. 10 D. 9 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy? A. 2 mặt phẳng B. 5 mặt phẳng C. 1 mặt phẳng D. 4 mặt phẳng Câu 37: Từ các chữ số { 0;1; 2;3; 4;5;6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1a 2 a 3a 4a 5a 6 . Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện a1 + a 2 = a 3 + a 4 = a 5 + a 6 5 4 4 3 A. p = B. p = C. p = D. p = 158 135 85 20 Trang 8
Câu 38: Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho ( ) S = 2 + ( C10 + C02 + ... + C0n ) + C11 + C12 + ... + C1n + ... + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + Cnn là một số có 1000 chữ số. A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 ( ) +( 4+ 7) x x Câu 39: Cho bất phương trình m.3x +1 + ( 3m + 2 ) 4 − 7 > 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x �( −�;0 ) 2−2 3 2−2 3 2+2 3 2−2 3 A. m B. m > C. m > D. m − 3 3 3 3 Câu 40: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a 6 . Góc giữa mặt phẳng ( AB'C ) và mặt phẳng ( BCC ' B' ) bằng 60o . Tính thể tích V của khối đa diện AB 'CA 'C '. a3 3 3a 3 3 a3 3 A. B. C. D. a 3 3 3 2 2 Câu 41: Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] a 1 thỏa mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀x [ 0;a ] . Tính tích phân I = 1+ f ( x ) dx. 0 a 2a a A. I = B. I = a C. I = D. I = 2 3 3 Câu 42: Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆ . Trên đường thẳng ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C và trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cũng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là : a 3 2a 3 a 3 A. B. C. a 3 D. 3 3 2 Câu 43: Trước kỳ thi học kỳ 2 của lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVA giao cho học sinh để cương ôn tập gồm 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kỳ của lớp FIVA sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Trang 9
Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO không phải thi lại ? 2 1 3 1 A. B. C. D. 3 2 4 3 Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) �1 2 3 � với a, b, c > 0. Biết rằng ( ABC ) đi qua điểm M � ; ; �và tiếp xúc với mặt cầu �7 7 7 � 72 1 1 1 ( S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 2 2 2 . Tính 2 + 2 + 2 7 a b c 7 1 A. B. C. 14 D. 7 2 7 Câu 45: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = s inx, y = cos x, x = 0, x = a π π� 1 (với a � � �4 2 � � 2 ( ) ; là −3 + 4 2 − 3 . Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây? �11 3 � �51 11 � �7 � � 51 � A. � ; � B. � ; � C. � ;1� 1; � D. � �10 2 � �50 10 � �10 � � 50 � x2 − m x + 4 Câu 46: Cho hàm số y = . Biết rằng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phân x− m biệt A, B. Tìm số giá trị m sao cho ba điểm A, B, C ( 4; 2 ) phân biệt thẳng hàng. A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Câu 47: Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y = f ( x ) được cho như hình vẽ sau: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = g ( x ) = � f '( x ) � �− f ( x ) .f '' ( x ) và trục Ox. 2 � A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 Trang 10
x � π π� Câu 48: Cho f ( x ) = 2 trên �− ; � và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số xf ' ( x ) cos x � 2 2� � π π� thỏa mãn F ( 0 ) = 0 . Biết a ��− ; � thỏa mãn tan a = 3. Tính F ( a ) − 10a + 3a . 2 � 2 2 � 1 1 1 A. ln10 B. − ln10 C. − ln10 D. ln10 2 4 2 Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 450 . Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) a 1315 2a 1315 2a 1513 a 1513 A. d = B. d = C. d = D. d = 89 89 89 89 Câu 50: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn và z1 + 1 − i = 2 và z 2 = iz1. Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức z1 − z 2 . A. m = 2 B. m = 2 2 + 2 C. m = 2 2 D. m = 2 + 1 Đáp án 1A 2C 3D 4D 5D 6A 7B 8D 9B 10D 11B 12C 13B 14C 15A 16C 17A 18A 19B 20C 21C 22D 23A 24B 25D 26A 27A 28A 29B 30B 31B 32A 33A 34C 35C 36B 37B 38A 39A 40D 41A 42D 43B 44A 45B 46B 47A 48A 49D 50B LỜI GIẢI CHI TIẾT Trang 11
Câu 1: Đáp án A Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = u ( x ) Cách giải: x = a � t = u ( a) Đặt t = u ( x ) � dt = u ' ( x ) dx. Đổi cận x = b � t = u ( b) b u( b) u( b) f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = I=� �f ( t ) dt = �f ( u ) du a u( a ) u( a ) Câu 2: Đáp án C n! n! Phương pháp: Sử dụng các công thức C n = ; A kn = k k!( n − k ) ! ( n − k) ! Cách giải: ĐK n 2 n! n! 3 C 2n + A 2n = 9n � + = 9n � n ( n − 1) = 9n � n − 1 = 6 � n = 7 2!( n − 2 ) ! ( n − 2 ) ! 2 Câu 3: Đáp án D 1 Phương pháp: Vnon = πR 2 h trong đó R; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối 3 nón. a 6 1 2 πa 3 6 Cách giải: Ta có R = = h � V = πR h = 2 3 4 Câu 4: Đáp án D uuur r Phương pháp: Giả sử đường thẳng ( d ) cắt trục Oz tại điểm B ( 0;0; b ) � AB ⊥ n P Cách giải: uuur Giả sử đường thẳng ( d ) cắt trục Oz tại điểm B ( 0;0; b ) � AB ( −1; −2; b − 3 ) r r d / / ( P ) � u d ⊥ n ( P ) = ( 2;1; −4 ) � −2 − 2 − 4 ( b − 3) = 0 � −4b + 8 = 0 � b = 2 � B ( 0;0; 2 ) uuur � AB ( −1; −2; −1) = − ( 1; 2;1) Câu 5: Đáp án D Phương pháp: Nếu xlim y = a hoặc lim y = a Đồ thị hàm số có hai TCN là y = a. + x − Trang 12
Nếu xlim y = ; lim− y = Đồ thị hàm số có hai TCĐ là x = x 0 . x 0+ x x0 Cách giải: TXĐ: D = R \ { −2} Ta có xlim y = 3; lim y = −3 Đồ thị hàm số có hai TCN là y = 3 và y = −3 + x − lim + y = + ; lim − y = − Đồ thị hàm số có hai TCĐ là x = −2 x ( −2 ) x ( −2 ) Câu 6: Đáp án A n Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( a + b ) = n Ckn a n b n −k k =0 20 Cách giải: P ( x ) = ( x + 1) 20 = Ck20 .x k . k =0 Để tìm hệ số của x 7 ta cho k = 7 , khi đó hệ số của x 7 là C720 Câu 7: Đáp án B Phương pháp: z1 = a1 + b1i; z 2 = a 2 + b 2i � z1 + z 2 = ( a1 + a 2 ) + ( b1 + b 2 ) i Cách giải: z1 + z 2 = ( 2 + 3i ) + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i Câu 8: Đáp án D Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát của CSC u n = u1 + ( n − 1) d và tính chất của CSN u n −1u n +1 = u 2n Cách giải: a, b, c lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là s 0 nên b = a + 3s ta có a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác 1 nên ta c = a + 7s có a ac = b 2 � a ( a + 7s ) = ( a + 3s ) � a 2 + 7as = a 2 + 6as + 9s 2 � 9s 2 = a s � 9s = a � 2 =9 s Câu 9: Đáp án B 1 1 Phương pháp: Sử dụng công thức =− +C ( a x + b) 2 a ( a x + b) 1 −1 Cách giải: dx = +C ( x + 1) x +1 2 Trang 13
Câu 10: Đáp án D u' Phương pháp: [ log a u ] ' = u ln a 1 Cách giải: y ' = ( x − 1) ln 2 Câu 11: Đáp án B Phương pháp: a x = b � x = log a b Cách giải: 2 x = 7 � x = log 2 7 Câu 12: Đáp án C r r rr Phương pháp: a ( x1 ; y1 ; z1 ) , b ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) a.b = x1.x 2 + y1.y 2 + z1.z 2 rr Cách giải: u.v = x.1 + 2. ( −1) + 1.2x = 3x − 2 Câu 13: Đáp án B Phương pháp : Đưa về cùng cơ số. Cách giải : a 2 + 4ab 3a 2 −10ab �43 � �1 � ( ) 3a 2 −10ab � (5 ) 2 −3 a + 4ab � � = 3 625 =� 5 � 125 � � � � 10 2 4a 2 − ab 40 4 a 4 � 5−3a −12ab =5 3 � −3a 2 − 12ab = 4a 2 − ab � 7a 2 = ab � = 3 3 b 21 Câu 14: Đáp án C Phương pháp : Thay tọa độ các điểm vào hàm số. Cách giải : Ta thấy ( −1) − 2 ( −1) − 1 = −2 �� ( −1; 2 ) không thuộc đồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 4 2 2 Câu 15: Đáp án A Phương pháp : Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 − z + 1 = 0 bằng MTCT. Cách giải: Sử dụng MTCT ta tính được nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình trên là 1 a= 1 3 2 1 3 z= + i �� a + 3b = + =2 2 2 3 2 2 b= 2 Trang 14
Câu 16: Đáp án C 1 Phương pháp: sin ( a x + b ) dx = − cos ( a x + b ) + C a π π Cách giải: I = sin �π − x � �π � 2 2 22 � dx = cos � x � = � − = 0 0 �4 � �4 �0 2 2 Câu 17: Đáp án A Phương pháp: AB Mặt cầu có đường kính AB nhận trung điểm của AB làm tâm và có bán kính R = . 2 Cách giải: Gọi I là trung điểm của AB ta có I ( 1;1;1) , AB = ( −2 ) 2 + 02 + 22 = 2 2 AB Vậy mặt cầu đường kính AB có tâm I ( 1;1;1) và bán kính R = = 2 2 � pt : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 2 2 2 Câu 18: Đáp án A Phương pháp: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) � f ' ( x ) < 0∀x �( a; b ) Cách giải : Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên ( − ;0 ) và ( 0; 2 ) Câu 19: Đáp án B Phương pháp: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x ) = 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 1 Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm duy nhất. Do đó f ( x ) = 1 có 1 nghiệm. Câu 20: Đáp án C Phương pháp: Suy luận từng đáp án. Cách giải: A đúng. Ta có IO / /SA IO / / ( SAB ) và IO / / ( SAD ) B, D đúng. Mặt phẳng ( IBD ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện chính là tam giác IBD. C sai. Câu 21: Đáp án C Trang 15
Phương pháp: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Cách giải: TXĐ: D = R Ta có: y ' = −3x 2 + 3 = 0 � x = �1 x CD = x1 = −1 Vì a = −1 < 0 � x CD < x CT �� x1 + 2x 2 = 1 x CT = x 2 = 1 Câu 22: Đáp án D Phương pháp : Gọi ( Q ) : x + y + z + a = 0 ( a 3 ) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P). Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng. Cách giải : Gọi ( Q ) : x + y + z + a = 0 ( a 3 ) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P). 6+a a = 3 ( ktm ) d ( M; ( Q ) ) = =3 3 � 6+a =9 � 3 a = −15 Với a = −15 � ( Q ) : x + y + z − 15 = 0 X ( a; b;c ) �( Q ) � a + b + c = 15 ( ktm ) . Vậy không có mặt phẳng ( Q ) nào thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 23: Đáp án A Câu 24: Đáp án B 1 Phương pháp : Chia cả tử và mẫu cho x và sử dụng giới hạn lim = 0 ( n > 0) x xn Cách giải : 1 1 1 3 − 4+ + 2 + 1− + 2 4x 2 + x + 1 − x 2 − x + 3 x x x x = −2 + 1 = − 1 lim = lim x − 3x + 2 x − 2 3 3 3+ x Câu 25: Đáp án D r r Phương pháp : Nếu n là 1VTPT của ( P ) kn ( k 0 ) cũng là 1 VTPT của ( P ) Câu 26: Đáp án A Phương pháp: Đặt t = x 2 − 2x + 3 = ( t − 1) 2 + 2 �� 2 t ) 2; +� Cách giải: Đặt t = x 2 − 2x + 3 = ( t − 1) 2 + 2 �� 2 t 2; +� ) Trang 16
Khi đó ta có f ( t ) = − t + 4t + 3 = − ( t − 2 ) + 7 �� max f ( t ) = 7 � t = 2 � M = 7 2 2 7 2; + ) f ( t ) = 7 � x 2 − 2x + 3 = 2 � x 2 − 2x − 1 = 0 Khi đó tích hai nghiệm của phương trình này bằng 1 Câu 27: Đáp án A uuur uuur Phương pháp: Sử dụng công thức SA.AC = SB.AC.c os ( SB; AC ) Cách giải: HC = BH 2 + BC2 = a 2 + a 2 = a 2 Ta có ( SC; ( ABCD ) ) = ( SC; HC ) = SHC = 60 o Xét tam giác vuông SHC có SH = HC.tan 60o = a 2. 3 = a 6 Ta có: AC = AB2 + BC 2 = 4a 2 + a 2 = a 5 SB = SH + HB = 6a + a = a 7 2 2 2 2 Ta có: uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( ) SB.AC = SH + HB .AC = SH.AC 1 2r 3 + HB.AC = HB.AC 0 uur uuur AB SB.AC = HB.AC.cos ( HB; AC ) = HB.AC.cos BAC = HB.AC. = a.2a = 2a 2 AC uur uuur uur uuur SB.AC 2a 2 2 Lại có SB.AC = SB.AC.cos ( SB; AC ) � cos ( SB; AC ) = = = SB.AC a 7.a 5 35 Câu 28: Đáp án A Phương pháp: uuur r � � � u∆ � MI; r Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng ∆ : d ( M; ( ∆ ) ) = r với u ∆ là 1 u∆ VTCP của ∆ và I �∆ là 1 điểm bất kì. r uur Cách giải: Đường thẳng ∆ nhận u = OI = ( 0;1;1) là 1 VTCP. uuuur r � � � u � b + 2a OM; 2 2 Gọi M ( a; b;0 ) �( O xy ) � d ( M; ∆ ) = r = =6 u 2 a 2 b2 a2 b2 � b 2 + 2a 2 = 72 � + =1� 2 + =1 ( ) 2 36 72 6 6 2 Trang 17
a2 b2 Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 6 + = 1( E ) ( ) 2 6 2 � S = S( E ) = πab = π.6.6 2 = 36 2π Câu 29: Đáp án B Phương pháp: Tính tổng quát n ( I n + I n +1 ) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính u n và sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn u n . Cách giải: e ( 1 + e − x ) dx 1 − nx 1 1 1 −( n +1) 1 − nx e nx dx e dx −e − nx −e − n + 1 Ta có: I n + I n +1 = � − x + � − x = � = � e dx = = 0 1+ e 0 1+ e 0 1 + e− x 0 n 0 n � n ( I n + I n +1 ) = 1 − e − n � u n = 1( I1 + I 2 ) + 2 ( I 2 + I3 ) + 3 ( I3 + I 4 ) + ... + n ( I n + I n +1 ) − n 1� 1 � 1 1− n � n −1 −1 −2 −n �1 1 1 � e� � e �= e u n = 1 − e + 1 − e + ... + 1 − e − n = − � + 2 + ... + n �= − �e e e � 1 e −1 1− e −1 � L = lim u n = �−0,58 �( −1;0 ) e −1 Câu 30: Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: uuuuuur uur uur M1M 2 . � �u1 ; u 2 � � d ( d1 ;d 2 ) = uur uur �u ; u � � 1 2 � uur uur Với u1 ; u 2 lần lượt là các VTCP của d1 ;d 2 ; M1 �d1M 2 �d 2 Cách giải: uur uur uur uur �1 ; u 2 �= ( −3;3;1) Ta có u1 = ( 2;1;3) ; u 2 = ( 1;1;0 ) lần lượt là các VTCP của d1 ;d 2 . Ta có � u � uuuuuur Lấy M1 ( 1;0;0 ) �d1 ; M 2 ( 1; 2; m ) �d 2 � M1M 2 = ( 0; 2; m ) uuuuuur uur uur M1M 2 . ��u1 ; u 2 � � 6+m 5 m = −1 � d ( d1 ;d 2 ) = uur uur = = � � S = { −1; −11} �u ; u � 19 19 m = − 11 �1 2 � Câu 31: Đáp án Phương pháp: Tìm các điểm biểu diễn và đưa về bài toán hình học. Trang 18
Cách giải : Đặt z 3 = iz 2 � z 3 = −z 2 � S = z1 + 4z 2 = z1 − 4z 3 = z1 − 2z 3 z1 + 2z 3 2 2 2 2 2 2 M, N là các điểm biểu diễn cho z1 , z3 � OM = 2, ON = z 3 = iz 2 = i. z 2 = 3 Gọi P là điểm biểu diễn cho 2z 3 và Q là điểm biểu diễn cho −2z 3 , ta có N là trung điểm của OP và P, Q đối xứng nhau qua O. Khi đó S = MP.MQ Áp dụng định lí Cosin trong ∆OMP có: 3 MP 2 = OP 2 + OM 2 − 2OP.OM.cos30 = 12 + 4 − 2.2 3.2. = 4 � MP = 2 2 Áp dụng định lí Cosin trong ∆OMQ có: 3 MQ 2 = OM 2 + OQ 2 − 2OM.OQ.cos1500 = 4 + 12 + 2.2.2 3. =2 7 2 � S = MP.MQ = 2.2 7 = 4 7 Câu 32: Đáp án A Phương pháp: Dựa vào các đường tiệm cận và các điểm đi qua của đồ thị hàm số. Cách giải: ax+b Đồ thị hàm số y = có đường TCĐ x = −c � −c = 1 � c = −1, TCN y = a � a = −1 x+c b Đồ thị hàm số đi qua ( 0; −1) � −2 = � b = −2c = 2 c � T = a − 3b + 2c = −1 − 3.2 + 2 ( −1) = −9 Câu 33: Đáp án A Phương pháp: Đặt s inx = a, cos x = b Cách giải: Đặt s inx = a, cos x = b ta có a 2 + b 2 = 1 a b 1 1 ab ( a + b ) + a + b + a + b ab ( a + b ) + a + b + 1 2 2 Khi đó y = a + b + + + + = = b a a b ab ab �� t 2 = a 2 + b 2 + 2ab = 1 + 2ab � ab = t − 1 , khi đó ta có : 2 Đặt t = a + b �� − 2; 2 � � 2 2 ( t + 1) 2 2 y= t+ = t+ = t −1+ +1 t −1 2 t −1 t −1 2 Nếu t +1 +� 0 + t+−� 1
N ế u 1 1 1 t− − 1 �0+− +��−1+�� t 2− +2� >− t 1 2 2 t 1 1 1 2 2 y 2 2 1 t −1 t −1 t −1 Vậy y 2 2 − 1 Dấu bằng xảy ra � ( 1 − t ) = 2 � t = 1 − 2 ( t < 0 ) 2 � π� � π � 1− 2 � s inx + cos x = 1 − 2 � 2 sin �x + �= 1 − 2 � sin �x + �= � 4� � 4� 2 Câu 34: Đáp án C Phương pháp : Xác định hàm số f ' ( x ) từ đó tính được f ( x ) = f ' ( x ) dx Cách giải : Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là y = 3x 2 + 1 � f ' ( x ) = 3x 2 + 1 � f ( x ) = f ' ( x ) dx = x 3 + x + C Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ � C = 0 � f ( x ) = x + x 3 � f ( 4 ) = 68; f ( 2 ) = 10 � H = 58 Câu 35: Đáp án C Phương pháp : +) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m − 2 : y = f '( m − 2) ( x − m + 2) + y ( m − 2) ( d ) +) Xác định các giao điểm của d và các đường tiệm cận 2 ; y1 +) Thay vào phương trình x 2 + y1 = −5 giải tìm các giá trị của m. Cách giải: TXĐ: D = R \ { −2} 3 3 m − 2 −1 m − 3 Ta có y ' = � y '( m − 2) = ; y ( m − 2) = = ( x + 2) m−2+2 2 2 m m =>Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m − 2 là: 3 m −3 2 ( y= x − m + 2) + ( d) m m x −1 Đồ thị hàm số y = có đường TCN y = 1 và tiệm cậm đứng x = −2 x+2 Trang 20