Đề thi thử toán - số 54 năm 2011

Chia sẻ: HUI.VN | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi thử toán - số 54 năm 2011', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử toán - số 54 năm 2011

Đề số 54 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x 4 + 2m 2x 2 + 1 (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Câu II (2 điểm): � π� 1) Giải phương trình: 2sin2 � − � 2sin2 x − tan x = x � 4� 2log3 ( x 2 ﾖ 4) + 3 log3(x + 2)2 ﾖﾖlog3(x ﾖ2)2 = 4 − 2) Giải hệ phương trình: π 3 sin x Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= dx 2 cos x 3+ sin x 0 Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2 a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) t ạo v ới mp(ABC) m ột góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. x 4 − 4x 3 + 8x 2 − 8x + 5 Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x ) = x 2 − 2x + 2 II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( − 3;0) và đi � 4 33 � qua điểm M � �Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E). . 1; �5� x = 1− t 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: y = 2 + 2t . z=3 Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều. Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: 12Cn + 22Cn + 32Cn + ... + n2Cn = (n + n2).2n −2 , trong đó n là 1 2 3 n k số tự nhiên, n ≥ 1 và Cn là số tổ hợp chập k của n. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ r ạ độrOxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB to uuu uuu cắt trục Oy tại E sao cho AE = 2EB . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là � 13� 2; G � � Viết phương trình cạnh BC. . � 3� x −1 y +1 z = = và mặt 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 3 1 1 phẳng (P): 2x + y − 2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). x 3 + 4y = y 3 + 16x Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: . 1+ y 2 = 5(1+ x 2)
Hướng dẫn Đề số 54 www.VNMATH.com Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm: x ( x 3 + 2m 2x − 1) = 0 x 4 + 2m2x 2 + 1= x + 1 x 4 + 2m 2x 2 − x = 0 x=0 g(x ) = x 3 + 2m 2x − 1= 0(*) Ta có: g (x ) = 3x 2 + 2m 2 ﾖ 0 (với mọi x và mọi m ) Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m. Mặt khác g(0) = –1 0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0. Vậy đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. π + k .π (*). Câu II: 1) Điều kiện: cosx 0 x 2 � π� sin2x = 1 1ﾖcos� x − � 2sin2 x ﾖ tan x 1ﾖsin2x = tan x (sin2x ﾖ1) = 2 PT tan x = −1 2� � π π 2x = + k .2π x = + k .π π π 2 4 x = + k . . (Thỏa mãn điều kiện (*) ). π π 4 2 x = − + l.π x = − + l.π 4 4 x2 − 4 > 0 x2 − 4> 0 x>2 2) Điều kiện: (**) x −3 log3(x + 2)2 0 (x + 2)2 1 PT ⇔ log ( x 2 ﾖ 4) + 3 log (x + 2)2 ﾖﾖlog (x ﾖ 2)2 = 4 2 − 3 3 3 )( ) ( ⇔ log3(x + 2)2 + 3 log3( x + 2)2 − 4 = 0 log3(x + 2)2 + 4 log3(x + 2)2 − 1 = 0 ⇔ ⇔ log3(x + 2)2 = 1 ⇔ (x + 2)2 = 3 ⇔ x = −2 3 Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x = −2 − 3 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = −2 − 3 sin x cos x 4 − cos2 x . Ta có: cos2 x = 4ﾖ t 2 và dt = dx . Câu III: Đặt t = 3+ sin2 x = 3+ sin2 x π π 15 15 3 3 2 2 �1 sin x sin x.cosx 1� =1 dt I= .dx = dx = − �t d � �+ 2 t − 2� 2 4 t 4− t 3+ sin2 x 2 3+ sin2 x 0 cos x 0 cos x 3 3 15 1 � 15 + 4 3+ 2 � 1 ( ) ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2) . = 1 ln t + 2 2 − ln � �= ln = 4 � 15 − 4 3− 2 � 2 4 t −2 � � 3 Câu IV: Ta có SA ⊥ (ABC) SA ⊥ AB; SA ⊥ AC.. BC ⊥ AC BC ⊥ SC. Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB SB dưới góc vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu đường kính SB. Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; ﾷSCA = 600 là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC). SA = AC.tan600 = a 6 . Từ đó SB 2 = SA2 + AB 2 = 10a2 . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = π d 2 = π .SB2 = 10π a2 . Câu V: Tập xác định: D = R . 1 2 Ta có: f (x ) = x − 2x + 2 + 2 ( BĐT Cô–si). 2 x − 2x + 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x 2 ﾖ2x + 2 = 1ﾖ x = 1. � Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1.
Câu VI.a: 1) Ta có F1 ( − 3;0) , F2 ( 3;0) là hai tiêu điểm của (E). Theo định nghĩa của (E) suy ra : 2 2 � 33 � � 33 � ( 1+ 3) ( 1− 3) 2 2 4 4 2a ﾖ MF1 + MF2 = = �+ � = 10 +� +� �5 � �5 � 3 và a2 ﾖ b 2 ﾖ c 2 ⇒ b2 = a2 − c 2 = 22 = a = 5. Mặt khác: c = Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; – 22 ) ; B2 ( 0; 22 ). r 2) d có VTCP ud = (−1;2;0) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. uuuu r Giả sử H ( 1ﾖ t; 2 + 2t;3) ⇒ AH = ( 1− t;1+ 2t;0) uuu r r 1 �8 � 6 Mà AH ⊥ d nên AH ⊥ ud ⇒ −1( 1− t ) + 2( 1+ 2t ) = 0 ⇔ t = − ⇒ H � ; ;3� 5 �5 � 5 35 ⇒ AH = . 5 2AH 2 15 15 = Mà ∆ ABC đều nên BC = hay BH = . 5 5 3 2 2 Giả sử B(1− s;2 + 2s;3) thì � 1 − s � + � + 2s � = 15 2 25s2 + 10s ﾖ2 = 0 − � �� 5 5 � 25 �� −1 3 ⇔s= 5 � − 3 8+ 2 3 � � + 3 8− 2 3 � 6 6 Vậy: B � và ; ;3� C � ; ;3� �5 5 �5 5 � � � + 3 8− 2 3 � � − 3 8+ 2 3 � 6 6 hoặc B � ;3�và C � ; ; ;3� �5 5 �5 5 � � Câu VII.a: Xét khai triển: (1+ x )n = Cn + xCn + x 2Cn + x 3Cn + ... + x nCn 0 1 2 3 n Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n(1+ x )n −1 = Cn + 2xCn + 3x 2Cn + ... + nx n −1Cn 1 2 3 n Nhân 2 vế cho x, rồi lấy đạo hàm lần nữa, ta được: n � + x )n −1 + x (n − 1)(1+ x )n −2 � 12C1 + 22 xC 2 + 32 x 2C 3 + ... + n2x n−1C n = (1 � � n n n n Cho x = 1 ta được đpcm. uuu 2 uuur r Câu VI.b: 1) Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AG = AM ⇒ M(2; 3). Đường thẳng EC qua M và có 3 uuu � 8� r uuu r uuu r VTPT AG = � − � ên có PT: y = 3 ⇒ E(0; 3) ⇒ C(4; 3). Mà AE = 2EB nên B(–1; 1). 0; n � 3� ⇒ Phương trình BC: 2x − 5y + 7 = 0 . 2) Gọi I là tâm của (S). I ∈ d ⇒ I (1+ 3t; −1+ t;t ) . Bán kính R = IA = 11t 2 − 2t + 1 . 5t + 3 = R ⇔ 37t 2 − 24t = 0 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d (I ,(P )) = 3 t = 0 � R =1 24 77 . ⇔ t= �R= 37 37 Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 1. x 3 + 4y = y 3 + 16x (1) Câu VII.b: 1+ y 2 = 5(1+ x 2) (2) Từ (2) suy ra y 2 ﾖ5x 2 = 4 (3).
( ) Thế vào (1) được: x 3 + y 2 ﾖ5x 2 .y = y 3 + 16x x 3 ﾖ5x 2y ﾖ16 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x 2 ﾖ5xy ﾖ16 = 0 y = 2. y2 = 4 • Với x = 0 2 x 2 − 16 �2 � (4). Thế vào (3) được: � − 16 � − 5x 2 = 4 x 2 • Với x ﾖ5xy ﾖ16 = 0 ⇔ y = 5x � 5x � x = 1 (y = −3) ⇔ x 4 ﾖ32x 2 + 256ﾖ125x 4 = 100x 2 ⇔ 124 x 4 + 132x 2 ﾖ256 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = −1 (y = 3) . Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)