Để dễ dàng bước qua kì thi tuyển sinh vào lớp 10, cách ôn luyện hiệu quả nhất là giải các đề thi tuyển sinh của các năm trước. Xin giới thiệu đến các em "Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Nam Định", nội dung đề thi bám sát chương trình học, cấu trúc đề trình bày rõ ràng và khoa học. Mời các em tham khảo!
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Nam Định
- Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NAM ĐỊNH Năm học 2014 – 2015
Môn: TOÁN (chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (2,0 điểm):
1 1 1
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 và a + b + c = 1.
a b c
Chứng minh rằng a 1 b 1 c 1 0 .
n n
2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh 3 5 3 5 là số nguyên dương.
Bài 2: (2,5 điểm):
1) Giải phương trình
x 6 x 2 1 x 2 4 x 12 8 .
x 3 xy 2 y 6 y 4
2) Giải hệ phương trình 4 1 3
bài này hôm qua tôi đánh nhầm
2 y 1 3 4 x
x2 1
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1;
CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A.
1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK.
HA HB HC
2) Hãy tính .
AA1 BB1 CC1
3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm thứ
2
AN AB1
hai là E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng
NE EB1
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x 3 y 3 3xy 1
Bài 5: (1,5 điểm):
1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới
bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị
xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu
được 1006 hay không ? Tại sao ?
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 xyz . Chứng minh rằng:
x2 y2 z2 3
4
4
4
.
x yz y xz z xy 2
Hết
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 1
- Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: (2,0 điểm):
1 1 1
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 và a + b + c = 1.
a b c
Chứng minh rằng a 1 b 1 c 1 0 .
1 1 1 1 1 1 1 1 ab ab
Từ GT ta có: 0 0
a b c a bc a b c abc ab c a b c
ab ab
0 a b c a b c ab 0 a b ca cb c 2 ab 0
ab c a b c
a b 0
a b c b a c 0 c b 0
c a 0
Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 => a 1 b 1 c 1 0
Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 => a 1 b 1 c 1 0
Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 => a 1 b 1 c 1 0
Vậy ta có đpcm.
n n
2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh 3 5 3 5 là số nguyên dương.
Bài 2: (2,5 điểm):
1) Giải phương trình
x 6 x 2 1 x 2 4 x 12 8 .
ĐKXĐ x 2 , đặt x 6 a 0; x 2 b 0 a 2 b 2 8 PTTT:
a b
a b 1 ab a 2 b 2 a b 1 ab a b 0
1 ab a b 0
+) với a b taco : x 6 x 2 vô nghiệm
a 1 x 6 1 x 6 1 vonghiem
+) với 1 ab a b 0 a 1 b 1 0
b 1 x 2 1 x 2 1 x 3(TM )
PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
x3 xy 2 y 6 y 4 1
2) Giải hệ phương trình 4 1
2 y 1 2 3 4 x3 2
x 1
x y2 0 x y2
1 x 3
y 6
xy 2
y 4
x y 2
x 2
xy 2
y 4
y 2
0 2 2 4 2
x xy y y 0 3
2
1 2 3 4 x 0
3 x y y y2 0 Thỏa mãn (2)
2 4 y 0
Với x y 2
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x3 y 3 3xy 1
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 2
- Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
3
x3 y 3 3 xy 1 x y 3 xy x y 3 xy 1 , đặt x + y = a và xy = b (a, b nguyên) ta có:
a 3 3ab 3b 1 a 1 a 2 a 1 3b a 1 2 a 1 a 2 a 1 3b 2
Vì a, b nguyên nên có các TH sau :
a 0
a 1 1
1) 2 1 (loại)
a a 1 3b 2 b 3
a 1 2 a 1 x y 1
2) 2 (nhận) x; y 0;1 , 1; 0
a a 1 3b 1 b 0 xy 0
a 1 1 a 2 x y 2
3) 2 (nhận) x; y
a a 1 3b 2 b 3 xy 3
a 1 2 a 3 x y 3
4) 2 (nhận) x; y
a a 1 3b 1 b 4 xy 4
Vậy x; y 0;1 , 1;0 A
N
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC E
a) góc A1 = góc C2 = góc C1 1
=> ∆CHK cân C, CA1 là đ/cao + đ trung trực => đpcm
b) Có:
B1
HA HB HC HA1 HB1 HC1
1 1 1 C1
AA1 BB1 CC1 AA1 BB1 CC1
H
O
HA HB1 HC1
3 1
AA1 BB1 CC1
S S S
3 HBC HAC HBA 3 1 2 2
S ABC S ABC S ABC B A1 M 1 C
c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ∆B1MC
cân tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N
=> ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B1 N AE
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có: K
2
AB1 AN . AE AN
(đpcm)
EB1 EN .EA EN
Bài 5: (1,5 điểm):
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 xyz . Chứng minh rằng:
x2 y2 z2 3
A 4
4
4
.
x yz y xz z xy 2
Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
1 1 x2 1
+) 2 x 2 yz x 4 yz 4
4 1
2 x 2 yz x yz x yz 2 yz
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 3
- Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2 1 1 1 11 1
+) (2)
yz y z 2 yz 4 y z
x2 11 1 y2 11 1 z2 11 1
Từ (1) và (2) => : 4 . Tương tự : 4 ; 4
x yz 4 y z y xz 4 x z z xy 4 x y
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xy yz zx
A (3)
4 y z x z x y 2 y z x 2 xyz
Lại có xy yz zx x 2 y 2 z 2 (4)
1 x 2 y 2 z 2 1 3xyz 3
Từ (3) và (4) có : A đpcm
2 xyz 2 xyz 2
Dấu « = » xảy ra khi x y z 1
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 4
- Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.
https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 5
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
