Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT<br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> MÔN THI: TOÁN CHUYÊN<br /> Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1. (1,5 điểm)<br /> Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1, a  b  0 . Tính giá trị của biểu thức:<br /> <br /> P <br /> <br />  1 1<br /> 3  1 1<br /> 6  1 1<br />  2<br />  3  3<br />   <br /> 4  2<br /> b  a b a<br /> b  a b 5 a b<br /> a<br /> a b<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2. (2,5 điểm)<br /> a) Giải phương trình: 2x 2  x  3  3x x  3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) Chứng minh rằng: abc a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3  7 với mọi số nguyên a , b , c .<br /> Câu 3. (2 điểm)<br /> Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua Cvuông góc với CD cắt đường thẳng qua A<br /> vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của<br /> AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số<br /> <br /> KE<br /> .<br /> KF<br /> <br /> Câu 4. (1 điểm)<br /> Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a  b  1 .<br /> Chứng minh rằng: a 2 <br /> <br /> 3 a<br /> 9<br />  <br /> 4a b<br /> 4<br /> <br /> Câu 5. (2 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi Mlà trung điểm của cạnh<br /> BCvà N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường<br /> thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng:<br /> a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE<br /> b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC.<br /> Câu 6. (1 điểm)<br /> Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau<br /> đúng một trận. Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận và<br /> thua y2 trận, ..., người thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong một trận đấu<br /> quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> x1  x2  ...  x10  y1  y2  ...  y10<br /> <br /> HẾT<br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Câu 1.<br /> Với ab  1 , a  b  0 , ta có:<br /> <br /> P<br /> <br /> a 3  b3<br /> <br /> a  b ab<br /> <br /> <br /> <br /> 3 a 2  b2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6 a  b<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br />  b2  1a 2  b2  2  3 a 2  b2   6<br /> <br /> a  b<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  b2  2ab<br /> <br /> a  b<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> a  b<br /> <br /> <br /> <br /> 3 a 2  b2 <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> a 2  b2  1 3 a  b <br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> a  b<br /> a  b a  b<br /> <br /> 3<br /> <br /> a  b ab<br /> <br /> a 3  b3<br /> <br /> a  b<br /> a  b<br /> a2  b2  1 a  b2  3a2  b2   6<br /> <br /> 4<br /> a  b<br /> <br /> 3<br /> <br /> a  b ab<br /> <br /> <br /> <br /> 6 a  b<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br />  b2   4 a 2  b2   4<br /> 2<br /> <br /> a  b<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  b2  2<br /> <br /> a  b<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> a  b2 <br />  1<br /> <br /> 4<br /> a  b<br /> <br /> Vậy P  1 , với ab  1 , a  b  0 .<br /> Câu 2a.<br /> Điều kiện: x  3<br /> Với điều kiện trên, phương trình trở thành:<br /> <br />    0<br />  2 x   2 x   x  3   x   x  3    x  3   0<br />  2x  x  x  3   x  3  x  x  3   0<br />  x  3  x (1)<br />   x  x  3  2x  x  3   0  <br />  x  3  2x (2)<br />  <br /> <br /> 2 x<br /> <br /> 2<br /> <br />  <br /> <br /> 3 x<br /> <br /> x3 <br /> <br /> x3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x  0<br /> <br /> x  0<br /> x  0<br /> <br /> 1  13<br /> <br /> <br />  x  1  13<br /> <br /> x<br />  (1) : x  3  x  <br /> 2   2<br /> 2<br /> 2<br /> x  3  x<br /> x  x  3  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1  13<br />  x<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  0<br /> <br /> x  0<br /> x  0<br /> <br /> <br /> <br />   x  1  x  1<br />  (2) : x  3  2x  <br /> 2  <br /> 2<br /> 3<br /> x  3  4x<br /> 4x  x  3  0<br /> <br /> <br /> <br />  x   4<br /> <br /> So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là:<br />  1  13 <br /> <br /> <br /> S  1;<br /> <br /> 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 5.<br /> F<br /> a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE<br />  <br />  <br />  Ta có: DBA  ABC  900 , EBM  ABC  900<br />  <br />  DBA  EBM (1)<br />  Ta có: ONA  OME (c-g-c)<br />  <br />  EAN  MEO<br />   <br /> Ta lại có: DAB  BAE  EAN  900 ,<br />   <br /> và BEM  BAE  MEO  900<br /> D<br />  <br />  DAB  BEM (2)<br />  Từ (1) và (2) suy ra BDA # BME (g-g)<br /> BD BA<br /> BC<br /> <br /> <br />  BD .BE  BA.BM  BA.<br /> BM BE<br /> 2<br />  2BD .BE  BA.BC<br /> b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của  ABC<br />  Gọi F là giao của BD và CA .<br /> Ta có BD .BE  BA.BM (cmt)<br /> B<br /> BD BM<br /> <br /> <br />  BDM # BAE (c-g-c)<br /> BA BE<br />  <br />  <br /> <br />  BMD  BEA . Mà BCF  BEA (cùng chắn AB )<br />  <br />  BMD  BCF  MD / /CF  D là trung điểm BF .<br />  Gọi T là giao điểm của CD và AH .<br /> T H CT<br /> (HQ định lí Te-let)<br /> BCD có T H / /BD <br /> <br /> BD CD<br /> T A CT<br /> FCD có T A / /FD <br /> <br /> (HQ định lí Te-let)<br /> FD CD<br /> Mà BD  FD ( D là trung điểm BF )<br />  Từ (3), (4) và (5) suy ra T A  T H  T là trung điểm AH .<br /> <br /> A<br /> <br /> N<br /> T<br /> O<br /> <br /> H<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> <br /> (3)<br /> (4)<br /> (5)<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247<br /> - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi<br /> vào lớp 10 các trường chuyên.<br /> - Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong<br /> những năm qua.<br /> - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học<br /> sinh giỏi.<br /> <br /> - Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết<br /> quả tốt nhất.<br /> - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.<br /> - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.<br /> - Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> - Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.<br /> <br />  https://www.facebook.com/congdonglop10chuyen<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />