Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br />
năm 2017<br />
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br />
<br />
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HẢI PHÒNG<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
Môn: Toán học<br />
<br />
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN<br />
Năm học 2013 – 2014<br />
ĐỀ THI MÔN TOÁN<br />
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br />
Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi<br />
<br />
Bài 1. (2.0 điểm)<br />
<br />
x<br />
x3<br />
7 x 10 <br />
x 7<br />
a) Cho A <br />
. Tìm x sao cho A 2 .<br />
<br />
<br />
:<br />
x 2 x 2 x 4 x x 8 x 2 x 4<br />
<br />
<br />
b) Tìm m để phương trình x 2 2 m 4 x 3m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa<br />
mãn x2 2 x1 3 .<br />
Bài 2. (2.0 điểm)<br />
<br />
x7<br />
.<br />
3<br />
2 x 2 xy y 2 3 y 2<br />
<br />
b) Giải hệ phương trình 2<br />
.<br />
2<br />
x y 3<br />
<br />
a) Giải phương trình<br />
<br />
5 x 1 3x 13 <br />
<br />
Bài 3. (3.0 điểm)<br />
Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB<br />
sao cho AC BC . Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến tại A ở D, cắt AB ở E.<br />
Hạ AH vuông góc với CD tại H.<br />
a) Chứng minh rằng AD.CE CH .DE .<br />
b) Chứng minh rằng OD.BC là một hằng số.<br />
c) Giả sử đường thẳng đi qua E, vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G. Gọi I là trung<br />
điểm AE. Chứng minh rằng trực tâm tam giác IFG là một điểm cố định.<br />
Bài 4. (1.0 điểm)<br />
1<br />
1<br />
a) Chứng minh rằng nếu x y 1 thì x y .<br />
x<br />
y<br />
1 1 1<br />
b) Cho 1 a , b, c 2 . Chứng minh rằng a b c 10 .<br />
a b c<br />
Bài 5. (2.0 điểm)<br />
a) Cho a, b là hai số nguyên dương thỏa mãn a 20 và b 13 cùng chia hết cho 21. Tìm số<br />
dư của phép chia A 4 a 9b a b cho 21.<br />
b) Có thể phủ kín bảng 20 13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có<br />
thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên<br />
nhau không?<br />
<br />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br />
<br />
Trang | 1<br />
<br />
Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br />
năm 2017<br />
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br />
<br />
Môn: Toán học<br />
<br />
----- Hết ----Họ tên thí sinh:……………….………………….Số báo danh: …………................................<br />
Họ tên giám thị 1:……….………...….................Họ tên giám thị 2: ………..………..............<br />
<br />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br />
<br />
Trang | 2<br />
<br />
Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br />
năm 2017<br />
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br />
<br />
Môn: Toán học<br />
<br />
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HẢI PHÒNG<br />
<br />
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN<br />
Năm học 2013 - 2014<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN<br />
<br />
Bài<br />
<br />
Đáp án<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
a) (1.0 điểm)<br />
ĐKXĐ: x 0 và x 4 .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x 2 x 4 x 3<br />
<br />
A<br />
<br />
<br />
<br />
0.25<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x2 x 4<br />
<br />
A 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
:<br />
<br />
<br />
x 4<br />
<br />
x 2 7 x 10<br />
<br />
x 2 x2<br />
<br />
4 x 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 7<br />
<br />
x2 x 4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
:<br />
<br />
x 2<br />
x 7<br />
<br />
x 7<br />
x2 x 4<br />
<br />
0.25<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 x 7 x 3 x 9.<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0 x 9<br />
.<br />
x4<br />
<br />
Kết hợp với điều kiện ta có <br />
1<br />
(2.0<br />
điểm)<br />
<br />
0.25<br />
<br />
b) (1.0 điểm)<br />
2<br />
<br />
1 7<br />
2<br />
<br />
' m 2 3m 2 m 2 m 2 m 0 m .<br />
2 4<br />
<br />
<br />
0.25<br />
<br />
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.<br />
2m 1<br />
<br />
x1 3<br />
x1 x2 2m 4<br />
<br />
<br />
Theo đề bài và định lý Viét ta có: <br />
<br />
x2 2 x1 3<br />
x 4m 11<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
0.25<br />
<br />
2m 1 4m 11<br />
<br />
3m 2<br />
3<br />
3<br />
<br />
0.25<br />
<br />
m 1<br />
.<br />
8m m 7 0 <br />
m 7<br />
<br />
8<br />
<br />
0.25<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
a) (1.0 điểm)<br />
1<br />
5<br />
<br />
ĐKXĐ: x .<br />
1<br />
5 x 1 3 x 13<br />
5 x 1 3 x 13 .<br />
6<br />
5x 1 3x 13 0 5x 1 3x 13 5x 1 3x 13 x 7 (thỏa<br />
<br />
PT 5 x 1 3 x 13 <br />
<br />
2<br />
(2.0<br />
<br />
0.25<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
mãn).<br />
<br />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0.25<br />
0.25<br />
<br />
Trang | 3<br />
<br />
Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br />
năm 2017<br />
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br />
<br />
điểm)<br />
<br />
Môn: Toán học<br />
<br />
* 5 x 1 3x 13 6 (1)<br />
Nếu x 1 thì VT (1) > 4 16 6; còn nếu x 1 thì VT (1) < 4 16 6.<br />
Dễ thấy x 1 là nghiệm phương trình (1).<br />
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x1 1 ; x2 7 .<br />
b) (1.0 điểm)<br />
2 x 2 xy y 2 3 y 2 y 2 x 3 y 2 2 x 2 0 .<br />
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn y tham số x , ta có :<br />
2<br />
<br />
x 3 4 2 2 x<br />
<br />
2<br />
<br />
9x<br />
<br />
2<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
<br />
2<br />
<br />
6 x 1 3 x 1 .<br />
<br />
x 3 3x 1<br />
<br />
2x 2<br />
y <br />
2<br />
Suy ra <br />
.<br />
y x 3 3x 1 x 1<br />
<br />
<br />
2<br />
y 2x 2<br />
y 2x 2<br />
<br />
.<br />
) 2<br />
2<br />
2<br />
m<br />
x y 3 3x 8 x 7 0 V« nghiÖ do ' 5 0 <br />
<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
<br />
y x 1<br />
y x 1 x 2<br />
.<br />
) 2<br />
<br />
<br />
2<br />
y 1<br />
x y 3 x 2<br />
<br />
0.25<br />
<br />
D<br />
F<br />
H<br />
C<br />
<br />
A<br />
<br />
O<br />
<br />
I<br />
<br />
B<br />
<br />
E<br />
<br />
G<br />
<br />
a) (1.0 điểm)<br />
OC //AH <br />
<br />
3<br />
(3.0<br />
điểm)<br />
<br />
CH OA<br />
.<br />
<br />
CE OE<br />
<br />
(1)<br />
<br />
OA AD<br />
OD là phân giác của góc <br />
.<br />
ADE<br />
<br />
OE<br />
<br />
Từ (1) và (2) suy ra<br />
<br />
DE<br />
<br />
0.25<br />
<br />
(2)<br />
<br />
0.5<br />
<br />
CH AD<br />
<br />
AD.CE CH .DE .<br />
CE DE<br />
<br />
b) (1.0 điểm)<br />
Ta có ABC DOA (g – g).<br />
BC AB<br />
AB 2<br />
.<br />
<br />
OD.BC AB. AO <br />
AO OD<br />
2<br />
<br />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0.5<br />
0.5<br />
<br />
Trang | 4<br />
<br />
Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br />
năm 2017<br />
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br />
<br />
Môn: Toán học<br />
<br />
c) (1.0 điểm)<br />
EF EC EB 2 EB 2 EG<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
EF 2 EG.<br />
AD CD BO AB<br />
AD<br />
<br />
0.25<br />
<br />
2 EF .EG EF 2 EC 2 EB.EA 2 EB.EI .<br />
<br />
0.25<br />
<br />
<br />
BEF GEI c g c BFE GIE BF IG .<br />
<br />
0.25<br />
<br />
Mà BE FG IFG nhận B cố định là trực tâm.<br />
a) (0.25 điểm)<br />
<br />
0.25<br />
<br />
x y xy 1 .<br />
1<br />
1<br />
y <br />
0<br />
x<br />
y<br />
xy<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y .<br />
x<br />
<br />
0.25<br />
<br />
b) (0.75 điểm)<br />
Không mất tính tổng quát giả sử 1 a b c 2 , ta có:<br />
4<br />
(1.0<br />
điểm)<br />
<br />
5<br />
(2.0<br />
điểm)<br />
<br />
1 <br />
1 <br />
1 <br />
a b b c c a<br />
<br />
VT VP 7 x y xy 7<br />
x <br />
y <br />
xy <br />
b a c b a c <br />
<br />
b<br />
c<br />
2<br />
<br />
x 1, y 1, xy 2 y <br />
a<br />
b<br />
x<br />
<br />
1 2 x <br />
1<br />
3 x 3 9 3 x 1 x 2 <br />
<br />
x 2 7 <br />
<br />
0.<br />
x x 2 <br />
2<br />
2 x 2<br />
2x<br />
<br />
a b 1, c 2<br />
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <br />
và các hoán vị.<br />
a 1, b c 2<br />
<br />
a) (1.0 điểm)<br />
Từ giả thiết suy ra a 1 (mod 3) , a 3k 1(k ) ; b 2 (mod 3) ,<br />
b 3q 2 ( q ) .<br />
Suy ra A 4a 9b a b 1 0 1 2 (mod 3) hay A 4 (mod 3) .<br />
(1)<br />
a<br />
3k 1<br />
k<br />
Lại có: 4 4 4.64 4 (mod 7)<br />
9b 93q 2 23q 2 (mod 7) 9b 4.8q 4(mod 7) .<br />
Từ giả thiết ta còn suy ra a 1 (mod 7) , b 1 (mod 7) .<br />
Dẫn đến A 4a 9b a b 4 4 1 1 (mod 7) hay A 10 (mod 7) .<br />
Từ (1) suy ra A 10 (mod 3) ; mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau nên<br />
A 10 (mod 21) .<br />
Vậy A chia cho 21 dư 10.<br />
b) (1.0 điểm)<br />
Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1<br />
đen, dòng 2 trắng, dòng 3 đen, dòng 4 trắng, …<br />
Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô<br />
đen.<br />
Trong bảng, số ô đen bằng số ô trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng<br />
bằng số miếng lát phủ 3 ô trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát.<br />
Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể phủ được<br />
<br />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
0.25<br />
0.25<br />
<br />
0.25<br />
0.25<br />
0.25<br />
0.25<br />
<br />
Trang | 5<br />
<br />