S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPTỂ Ớ
TP.HCM Năm hoc: 2012 – 2013
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 120 phút ờ
Bai 1: (2 đi m) ể
Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau:ả ươ ệ ươ
a)
2
2 3 0− − =x x
b)
2 3 7
3 2 4
− =
+ =
x y
x y
c)
4 2
12 0+ − =x x
d)
2
2 2 7 0− − =x x
Bai 2: (1,5 đi m) ể
a) V đ th (P) c a hàm s ẽ ồ ị ủ ố
2
1
4
=y x
và đ ng th ng (D):ườ ẳ
12
2
= − +y x
trên cùng m t h tr c to đ .ộ ệ ụ ạ ộ
b) Tìm to đ các giao đi m c a (P) và (D) câu trên b ng phép tính.ạ ộ ể ủ ở ằ
Bai 3: (1,5 đi m) ể
Thu g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
1 2 1
1
= + −
−
+ −
x
Ax
x x x x
v i x > 0; ớ
1
x
(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3= − + − + −B
Bai 4: (1,5 đi m) ể
Cho ph ng trình ươ
(x là n sẩ ố)
a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m.ư ằ ươ ệ ệ ớ ọ
b) G i xọ1, x2 là các nghi m c a ph ng trình. ệ ủ ươ
Tìm m đ bi u th c M = ể ể ứ
2 2
1 2 1 2
24
6
−
+ −x x x x
đ t giá tr nh nh tạ ị ỏ ấ
Bai 5: (3,5 đi m) ể
Cho đ ng tròn (O) có tâm O và đi m M n m ngoài đ ng tròn (O). Đ ng th ng MO c t (O) t i Eườ ể ằ ườ ườ ẳ ắ ạ
và F (ME<MF). V cát tuy n MAB và ti p tuy n MC c a (O) (C là ti p đi m, A n m gi a hai đi mẽ ế ế ế ủ ế ể ằ ữ ể
M và B, A và C n m khác phía đ i v i đ ng th ng MO).ằ ố ớ ườ ẳ
a) Ch ng minh r ng MA.MB = ME.MFứ ằ
b) G i H là hình chi u vuông góc c a đi m C lên đ ng th ng MO. Ch ng minh t giác AHOBọ ế ủ ể ườ ẳ ứ ứ
n i ti p.ộ ế
c) Trên n a m t ph ng b OM có ch a đi m A, v n a đ ng tròn đ ng kính MF; n a đ ngử ặ ẳ ờ ứ ể ẽ ử ườ ườ ử ườ
tròn này c t ti p tuy n t i E c a (O) K. G i S là giao đi m c a hai đ ng th ng CO và KF.ắ ế ế ạ ủ ở ọ ể ủ ườ ẳ
Ch ng minh r ng đ ng th ng MS vuông góc v i đ ng th ng KC.ứ ằ ườ ẳ ớ ườ ẳ
d) G i P và Q l n l t là tâm đ ng tròn ngo i ti p các tam giác EFS và ABS và T là trung đi mọ ầ ượ ườ ạ ế ể
c a KS. Ch ng minh ba đi m P, Q, T th ng hàng.ủ ứ ể ẳ
BÀI GI IẢ
Bai 1: (2 đi m) ể
Gi i các ph ng trình và h ph ng trình sau:ả ươ ệ ươ
a)
2
2 3 0− − =x x
(a)
Vì ph ng trình (a) có a - b + c = 0 nên ươ
(a)
3
12
= − =�x hay x
b)
2 3 7 (1)
3 2 4 (2)
− =
+ =
x y
x y
⇔
2 3 7 (1)
5 3 (3) ((2) (1))
− =
+ = − −
x y
x y
⇔
13 13 ((1) 2(3))
5 3 (3) ((2) (1))
− = −
+ = − −
y
x y
⇔
1
2
= −
=
y
x
c)
4 2
12 0+ − =x x
(C)
Đ t u = xặ2 ≥ 0, ph ng trình thành : uươ 2 + u – 12 = 0 (*)
(*) có ∆ = 49 nên (*) ⇔
1 7 3
2
− +
= =u
hay
1 7 4
2
− −
= = −u
(lo i)ạ
Do đó, (C) ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±
3
Cách khác : (C) ⇔ (x2 – 3)(x2 + 4) = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±
3
d)
2
2 2 7 0− − =x x
(d)
∆’ = 2 + 7 = 9 do đó (d) ⇔ x =
2 3
Bai 2:
a) Đ th : ồ ị
L u ý: (P) đi qua O(0;0), ư
( ) ( )
2;1 , 4;4
(D) đi qua
( ) ( )
4;4 , 2;1−
b) PT hoành đ giao đi m c a (P) và (D) làộ ể ủ
2
1 1 2
4 2
= − +x x
⇔ x2 + 2x – 8 = 0
4 2= − =�x hay x
y(-4) = 4, y(2) = 1
V y to đ giao đi m c a (P) và (D) là ậ ạ ộ ể ủ
( ) ( )
4;4 , 2;1−
.
Bai 3:Thu g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
1 2 1
1
= + −
−
+ −
x
Ax
x x x x
2
2
1
− − −
= +
− −
x x x x x
x x x
2 2
( 1) 1
−
= +
− −
x x
x x x
2 1 1
1
� �
= − +
� �
−� �
x
x x
2 ( 1)
( 1)
−
=−
x x
x x
2
=x
v i x > 0; ớ
1
x
(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3= − + − + −B
1 1
(2 3) 52 30 3 (2 3) 52 30 3
2 2
= − + − + −
2 2
1 1
(2 3) (3 3 5) (2 3) (3 3 5)
2 2
= − + − + −
1 1
(2 3)(3 3 5) (2 3)(3 3 5) 2
2 2
= − + − + − =
Câu 4:
a/ Ph ng trình (1) có ươ ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 v i m i m nên ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t v iớ ọ ươ ệ ệ ớ
m i m.ọ
b/ Do đó, theo Viet, v i m i m, ta có: S = ớ ọ
2
bm
a
− =
; P =
2= −
cm
a
M =
2
1 2 1 2
24
( ) 8
−
+ −x x x x
=
2 2
24 6
4 8 16 2 4
− −
=
− + − +m m m m
2
6
( 1) 3
−
=− +m
. Khi m = 1 ta có
2
( 1) 3− +m
nh nh tỏ ấ
2
6
( 1) 3
− =�− +
Mm
l n nh t khi m = 1ớ ấ
2
6
( 1) 3
−
=�− +
Mm
nh nh t khi m = 1ỏ ấ
V y M đ t giá tr nh nh t là - 2 khi m = 1ậ ạ ị ỏ ấ
Câu 5
a) Vì ta có do hai tam giác đ ng d ng MAE và MBFồ ạ
Nên
MA MF
ME MB
=
MA.MB = ME.MF (Ph ng tích c a M đ i v i đ ng tròn tâm O)ươ ủ ố ớ ườ
b) Do h th c l ng trong đ ng tròn ta có MA.MB = MCệ ứ ượ ườ 2, m t khác h th c l ng trong tam giácặ ệ ứ ượ
vuông MCO ta có MH.MO = MC2
MA.MB = MH.MO nên t giác AHOB n i ti p trong đ ngứ ộ ế ườ
tròn.
c) Xét t giác MKSC n i ti p trong đ ng tròn đ ng kính MS (có hai góc K và C vuông).V y ta có :ứ ộ ế ườ ườ ậ
MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC. Do đó MF chính là đ ng trung tr c c a KC nên MS vuông gócườ ự ủ
v i KC t i V.ớ ạ
d) Do h th c l ng trong đ ng tròn ta có MA.MB = MV.MS c a đ ng tròn tâm Q.ệ ứ ượ ườ ủ ườ
T ng t v i đ ng tròn tâm P ta cũng có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông góc v i MS và là đ ngươ ự ớ ườ ớ ườ
trung tr c c a VS (đ ng n i hai tâm c a hai đ ng tròn). Nên PQ cũng đi qua trung đi m c a KSự ủ ườ ố ủ ườ ể ủ
(do đ nh lí trung bình c a tam giác SKV). V y 3 đi m T, Q, P th ng hàng.ị ủ ậ ể ẳ
TS. Nguy n Phú Vinhễ
(Tr ng THPT Vĩnh Vi n – TP.HCM)ườ ễ
M E F
K
S A
B
T
P
Q
C
H O
V
H NG D N GI IƯỚ Ẫ Ả
Bài 1 : a)
2
2x x 3 0− − =
có d ng : a - b + c = 2 – (-1) – 3 = 0 nên có nghi m ạ ệ
1
x=
-1 ;
2
c 3
xa 2
= − =
( có th gi i b ng công th c nghi m hay công th c nghi m thu g n)ể ả ằ ứ ệ ứ ệ ọ
b)
2x 3y 7 4x 6y 14 13x 26 x 2
3x 2y 4 9x 6y 12 3x 2y 4 y 1
� � � �
− = − = = =
� � �
� � � �
+ = + = + = = −
� � � �
.
V y h ph ng trình có nghi m (x=2; y= -1)ậ ệ ươ ệ
c) x4 + x2 – 12 = 0 đ t t = xặ2, t
0. Ph ng trình có d ng : tươ ạ 2 + t – 12 = 0
∆
= b2 – 4ac = 1 – 4(-12) = 49, t1 =
1 7
2
− +
= 3 (nh n) , tậ2 =
1 7
2
− −
= -4 < 0 (lo i)ạ
V i t = 3 thì xớ2 = 3
x =
3
. V y ph ng trình có nghi m là: x = ậ ươ ệ
3
.
d) x2 - 2
2
x – 7 = 0 có
' '
2 7 9, 3∆ = + = ∆ =
nên:
1 2
x 2 3, x 2 3.= + = −
V y nghi m c a ph ng trình là:ậ ệ ủ ươ
1 2
x 2 3,x 2= + =
Bài 2:
a) B ng giá tr :ả ị
x -4 -2 0 2 4
2
1
y x
4
=
4 1 0 1 4
x 0 2
x
y 2
2
= − +
2 1
b) Ph ng trình hoành đ giao đi m c aươ ộ ể ủ
(D) và (P) là:
2
1 1
x x 2
4 2
= − +
2
x 2x 8 0+ − =�
, có:
' 9, ' 3∆ = ∆ =
nên:
1 2
x 2;x 4= = −
.
V i ớ
1
x 2=
thì
2
1
1
y (2) 1
4
= =
2
x 4= −
thì
2
2
1
y ( 4) 4
4
= − =
V y t a đ giao đi m c a (D) và (P) và (2;1) và (-4;4).ậ ọ ộ ể ủ
Bài 3 :
1 2 x 1
Ax( x 1) ( x 1)( x 1) x( x 1)
= + −
+ + − −
x 1 2 x x ( x 1)
x( x 1)( x 1)
− + − +
=+ −