107
Ch ¬ng 15
Lý thuyÕt tæng qu¸t vÒ chong chãng lý t ëng
vµ thiÕt bÞ ®Èy lý t ëng
15.1. Nh÷ng nhËn ®Þnh ban ®Çu
ViÖc tÝnh to¸n c¸c ®Æc tÝnh thuû ®éng lùc cña chong chãng theo c¸c c«ng thøc cña
ch ¬ng III cÇn ph¶i x¸c ®Þnh tr íc c¸c gãc tiÕn c¶m øng b1 vµ gãc tíi c¶m øng aI, mµ
khi x¸c ®Þnh chóng l¹i ph¶i biÕt c¸c tèc ®é c¶m øng. §Ó x¸c ®Þnh c¸c tèc ®é nµy tr íc
hÕt ph¶i x©y dùng ® îc m« h×nh to¸n häc cña chong chãng ®Ó liªn kÕt c¸c tèc ®é c¶m
øng víi c¸c ®Æc tÝnh thuû ®éng lùc. Dùa theo lý thuyÕt dßng ch¶y ta cã thÓ x©y dùng
® îc m« h×nh to¸n häc ®¬n gi¶n nhÊt.
Khi thiÕt bÞ ®Èy cã kÕt cÊu bÊt kú lµm viÖc ®éc lËp sÏ t¹o ra dßng n íc h íng vÒ
phÝa ng îc chiÒu víi chiÒu chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña nã. Tuy nhiªn trong c¸c ®iÒu
kiÖn lý t ëng th× ®éng n¨ng cña khèi chÊt láng lµm t¨ng liªn tôc vËn tèc cña dßng chÊt
láng trong vÕt thuû ®éng. Khi nghiªn cøu thiÕt bÞ ®Èy lµm viÖc trong chÊt láng kh«ng
nhít cÇn ph¶i gi¶ thiÕt r»ng vÕt ®ã kÐo dµi tíi v« tËn. Theo c¸ch lËp s¬ ®å nµy ng êi ta
thÊy r»ng lùc kÐo TE cña thiÕt bÞ ®Èy chÝnh b»ng sù biÕn ®æi ®éng l îng cña khèi chÊt
láng trong vÕt sau mét ®¬n vÞ thêi gian, cßn l îng tæn thÊt c«ng suÊt DPD chÝnh b»ng
l îng t¨ng ®éng n¨ng cña khèi chÊt láng trong vÕt sau mét ®¬n vÞ thêi gian.
Nh vËy viÖc t¹o ra lùc ®Èy bëi thiÕt bÞ ®Èy lu«n lu«n liªn quan ®Õn sù h×nh thµnh
vÕt thuû ®éng mµ ph¶i tiªu tèn c«ng suÊt ®Ó t¹o thµnh nã.
Tæng c«ng suÊt truyÒn vµo thiÕt bÞ ®Èy PD
b»ng tæng c«ng suÊt cã Ých do thiÕt bÞ
®Èy t¹o ra TE
v
A vµ tæn thÊt c«ng suÊt DPD nãi trªn.
HiÖu suÊt lµm viÖc cña thiÕt bÞ ®Èy ® îc biÓu thÞ b»ng c«ng thøc sau:
( )
AEDDAE
AE
D
AE
IvTPPvT
vT
P
vT
D+
=
D+
== 1
1
h
(15.1.1)
NÕu thiÕt bÞ ®Èy kh«ng lµm viÖc ®éc lËp th× lùc kÐo nãi trªn gåm cã lùc ®Èy t¸c
dông lªn thiÕt bÞ ®Èy T vµ c¸c lùc t¸c dông lªn tÊt c¶ c¸c vËt cßn l¹i n»m trong chÊt
láng.
Trong ch ¬ng nµy ta chØ xÐt thiÕt bÞ ®Èy lµm viÖc ®éc lËp, khi mµ trong chÊt láng
kh«ng cã c¸c vËt thÓ vµ c¸c lùc t ¬ng øng, chØ cã lùc kÐo b»ng lùc ®Èy:
TE = T (15.1.2)
C¨n cø vµo c¸c gi¶ thuyÕt ® îc dïng trong lý thuyÕt dßng ch¶y ta ph©n ra hai m«
h×nh to¸n häc, ®ã lµ chong chãng lý t ëng vµ thiÕt bÞ ®Èy lý t ëng. Chong chãng lý
t ëng lµ m« h×nh to¸n häc cña chong chãng ®Ó ý ®Õn c¸c tæn thÊt c«ng suÊt chØ liªn
quan ®Õn sù xuÊt hiÖn c¸c thµnh phÇn h íng trôc vµ tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng.
NÕu kh«ng ®Ó ý ®Õn thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng th× ta ® îc m« h×nh
to¸n häc ®¬n gi¶n h¬n gäi lµ thiÕt bÞ ®Èy lý t ëng. M« h×nh nµy tiÖn cho viÖc nghiªn
cøu kh«ng nh÷ng cho thiÕt bÞ ®Èy lµ chong chãng mµ cßn cho c¸c thiÕt bÞ ®Èy kh¸c.
NÕu trong m« h×nh to¸n häc ®ang xÐt ta cho c¸c tèc ®é c¶m øng lµ bÐ so víi tèc ®é tÞnh
tiÕn cña thiÕt bÞ ®Èy vA
th× m« h×nh ®ã gäi lµ m« h×nh cña thiÕt bÞ ®Èy t¶i träng thÊp.
NÕu kh«ng cã mét gi¶ thuyÕt nµo vÒ ®é bÐ cña tèc ®é c¶m øng th× m« h×nh ®ã gäi lµ
108
m« h×nh thiÕt bÞ ®Èy t¶i träng lín. Nã ® îc sö dông trong mäi giíi h¹n lµm viÖc cña
thiÕt bÞ ®Èy tõ chÕ ®é buéc ®Õn chÕ ®é kh«ng lùc ®Èy.
15.2. Chong chãng lý tKëng t¶i träng thÊp
M« h×nh lý t ëng cña chong chãng lý t ëng lµm viÖc ®éc lËp xÐt trong môc nµy
cho phÐp x¸c ®Þnh ® îc hiÖu suÊt lµm viÖc, c¸c thµnh phÇn h íng trôc vµ tiÕp tuyÕn
cña tèc ®é c¶m øng t¹i mÆt ®Üa cña chong chãng. C¸c yÕu tè ®· cho lµ lùc ®Èy T, ® êng
kÝnh D, tèc ®é quay W, tèc ®é tiÕn
v
A vµ mËt ®é r cña chÊt láng. Dùa vµo m« h×nh
to¸n häc ®· nãi ta gi¶ thiÕt r»ng thiÕt bÞ ®Èy lµm viÖc trong chÊt láng kh«ng nhít, v«
h¹n, kh«ng träng l îng vµ kh«ng chÞu nÐn, dßng ch¶y ph¸t sinh lµ dßng cã thÕ kh¾p
n¬i bªn ngoµi vÕt thuû ®éng vµ t¹i ®Üa thiÕt bÞ ®Èy. Bëi lÏ trong m« h×nh nµy ng êi ta
kh«ng chó ý ®Õn sè l îng c¸nh vµ ®Þnh h×nh trôc nªn thiÕt bÞ ®Èy ® îc coi lµ ®Üa trßn
máng vµ ph¼ng víi b¸n kÝnh R. Ta g¾n vµo t©m ®Üa hÖ to¹ ®é h×nh trô E*(0, x*, r, q),
trôc x*vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®Üa vµ cã chiÒu h íng vÒ phÝa ng îc chiÒu víi chiÒu
chuyÓn ®éng tiÕn cña thiÕt bÞ ®Èy. MÆc dï ta xÐt chong chãng ®ang quay nh ng ®Ó tiÖn
kh¶o s¸t vÉn ph¶i coi hÖ to¹ ®é E* lµ kh«ng quay xung quanh trôc x*, mµ chØ cïng víi
®Üa chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo h íng trôc ®ã víi tèc ®é
v
A. Lóc bÊy giê vÐc t¬ tèc ®é
c¶m øng
w
r
t¹i mét ®iÓm bÊt kú trong kh«ng gian liªn quan tíi vÐct¬ tèc ®é dÞch
chuyÓn
v
Ax
i
r
vµ vÐc t¬ tèc ®é t ¬ng ®èi R
v
r
b»ng c«ng thøc quen thuéc:
xAR ivv
r
r
r
-=
w
(15.2.1)
trong ®ã: x
i
r
- vect¬ ®¬n vÞ cña hÖ to¹ ®é E*.
Tèc ®é tuyÖt ®èi lµ tèc ®é cña h¹t láng ® îc ®o trong hÖ to¹ ®é tuyÖt ®èi, nghÜa lµ
trong hÖ to¹ ®é mµ ®èi víi nã h¹t láng kh«ng bÞ kÝch thÝch, n»m rÊt xa phÝa tr íc thiÕt
bÞ ®Èy. Tõ ®ã rót ra mét tiÒn ®Ò quan träng cña lý thuyÕt ®ang xÐt lµ: M«®un cña vÐct¬
tèc ®é c¶m øng ë xa ®Üa thiÕt bÞ ®Èy vµ bªn ngoµi vÕt thuû ®éng sinh ra sau ®Üa vµ kÐo
dµi theo trôc x* tíi v« tËn. Trong hÖ to¹ ®é E* nãi trªn ta gi¶ thiÕt r»ng chÊt láng
chuyÓn ®éng dõng, nghÜa lµ tèc ®é c¶m øng kh«ng phô thuéc vµo thêi gian. VÕt thuû
®éng chØ gåm nh÷ng h¹t láng ch¶y qua ®Üa thiÕt bÞ ®Èy, v× vËy nã lµ vïng ®èi xøng
trôc, b¸n v« tËn vµ ®ång trôc víi trôc chong chãng. Vïng nµy bÞ h¹n chÕ bëi thiÕt bÞ
®Èy (Xem H15) vµ bÒ mÆt dßng ch¶y, nghÜa lµ bÒ mÆt cña chÊt láng kh«ng lät qua nã
ra ngoµi, v× vÐc t¬ cña tèc ®é t ¬ng ®èi tiÕp tuyÕn víi mÆt ®ã ë mäi ®iÓm. Tr êng tèc
®é vµ ¸p suÊt lµ liªn tôc trong toµn bé kh«ng gian, trõ ®Üa vµ c¸c biªn cña vÕt thuû
®éng. T¹i ®Üa xÈy ra hiÖn t îng nhÈy bËc cña thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng
vµ nhÈy bËc ¸p suÊt DP, cßn thµnh phÇn h íng trôc cña tèc ®é c¶m øng khi chuyÓn qua
®Üa vÉn liªn tôc. Trªn biªn cña vÕt xuÊt hiÖn b íc nhÈy thµnh phÇn tiÕp tuyÕn vµ h íng
trôc cña tèc ®é c¶m øng, cßn ¸p suÊt kh«ng cã b íc nhÈy. V× ta ®ang xÐt tr êng hîp
chong chãng lý t ëng t¶i träng thÊp nªn gi¶ thiÕt r»ng c¸c thµnh phÇn h íng trôc, tiÕp
tuyÕn vµ h íng b¸n kÝnh cña tèc ®é c¶m øng ®Òu bÐ bËc nhÊt so víi
v
A.
109
ViÖc nghiªn cøu sù lµm viÖc cña chong chãng lý t ëng nªn b¾t ®Çu tõ viÖc xÐt sù
lµm viÖc cña phÇn tö vµnh kh¨n, ® îc giíi h¹n trong mÆt ®Üa thiÕt bÞ ®Èy bëi hai vßng
trßn ®ång t©m b¸n kÝnh r vµ (r + dr). Sau mét ®¬n vÞ thêi gian khèi l îng chÊt láng
ch¶y qua phÇn tö vµnh kh¨n ®ã lµ dm, do quü ®¹o cña c¸c h¹t láng vµ ® êng dßng
trïng nhau, nªn chÊt láng kh«ng thÊm qua biªn cña èng dßng vµnh kh¨n (Xem H15).
§Ó ph©n tÝch tiÕp ta dïng c¸c mÆt c¾t b»ng c¸c mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc cña thiÕt
bÞ ®Èy (Xem H15) vµ ®Þnh c¸c ký hiÖu sau ®©y: PA
,
v
A
- ¸p suÊt vµ tèc ®é t ¬ng ®èi
h íng trôc x* t¹i mÆt c¾t A - A rÊt xa tr íc ®Üa thiÕt bÞ ®Èy; wx0, wq0- thµnh phÇn h íng
trôc vµ tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng cho c¸c ®iÓm cña mÆt c¾t 0 - 0 trïng víi mÆt ®Üa
thiÕt bÞ ®Èy; wq1, wq2, P1, P2 - thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng vµ ¸p suÊt cho
c¸c ®iÓm cña mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2 n»m s¸t tr íc vµ s¸t sau mÆt ®Üa; P¥, wx¥, wq¥ - ¸p suÊt
vµ c¸c thµnh phÇn h íng trôc, tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng cho c¸c ®iÓm thuéc mÆt
c¾t ¥ - ¥ n»m rÊt xa sau ®Üa; dA, dA0, dA¥ - diÖn tÝch mÆt c¾t ngang cña èng dßng
vµnh kh¨n ë rÊt xa tr íc ®Üa, t¹i ®Üa vµ rÊt xa sau ®Üa. Do dßng ch¶y ®èi xøng trôc nªn
tÊt c¶ c¸c ®¹i l îng nµy chØ phô thuéc vµo vÞ trÝ cña èng dßng ®ang xÐt, mµ ë mÆt c¾t 0
- 0 nã ®Æc tr ng b»ng ®¹i l îng r vµ ë mÆt c¾t ¥ - ¥ nã ®Æc tr ng b»ng ®¹i l îng r¥.
Theo gi¶ thiÕt nãi trªn ¸p suÊt ë c¸c mÆt c¾t ¥ - ¥ bªn ngoµi vÕt b»ng PA, nghÜa lµ P¥ =
PA.
Theo nguyªn lý b¶o toµn kh«Ý l îng, nªn qua c¸c mÆt c¾t cña èng dßng vµnh kh¨n
sau mét ®¬n vÞ thêi gian cïng mét khèi l îng chÊt láng dm, nghÜa lµ:
dm = r (
v
A
+ wx0) dA0 = r (
v
A
+ wx¥) dA¥ = r
v
A
dA (15.2.2)
§èi víi chong chãng lý t ëng t¶i träng thÊp, khi tèc ®é c¶m øng bÐ bËc nhÊt, nh
®· thÊy tõ c«ng thøc trªn, gÇn ®óng bËc nhÊt ¥
»dAdA0, nghÜa lµ mçi èng dßng vµnh
kh¨n còng nh vÕt nãi chung lµ nh÷ng bÒ mÆt h×nh trô vµ trong gÇn ®óng bËc nhÊt nã
tho¶ m·n:
r¥ = r (15.2.3)
Do biÕn ®æi c«ng suÊt nªn t¹i ®Üa thiÕt bÞ ®Èy xÈy ra b íc nhÈy ¸p suÊt Dp = p2 -
p1. LÊy b íc nhÈy ®ã nh©n víi diÖn tÝch h×nh vµnh kh¨n dA0 ta cã thÓ t×m ® îc lùc ®Èy
t¸c dông lªn phÇn tö ®ã:
dT = Dp dA0 (15.2.4)
§èi víi chong chãng lý t ëng toµn bé c«ng suÊt truyÒn vµo vµ ®Ó quay nã cÇn
th¾ng l¹i m«men cña c¸c lùc sinh ra trªn c¸c c¸nh cña nã. Momen ®ã vÒ mÆt trÞ sè
b»ng m«men t¸c dông lªn chÊt láng nh ng kh¸c dÊu. V× vËy c«ng suÊt dPD truyÒn vµo
phÇn tö vµnh kh¨n ph¶i b»ng tÝch cña m«men quay dQ t¸c dông lªn chÊt láng ch¶y qua
H×nh 15.
S¬ ®å chuyÓn
®éng cña chÊt láng ®èi
víi chong chãng lý
t ëng.
-
-
-
-
èng dßng c¬ b¶n;
p
-
¸p suÊt;
D
p
-
l îng
t¨ng ¸p suÊt t¹i ®Üa thiÕt
bÞ ®Èy;
w
x,
wq
-
thµnh
phÇn h íng trôc vµ tiÕp
tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng
0
0
Wx
P
D
p
0A12
12
0
¥
¥A
P1
PA
Wq
110
phÇn tö ®ã vµ tèc ®é gãc quay cña chong chãng W (W = 2pn) ®Ó t¹o thµnh c«ng, vµ nh
vËy;
dPD = W dQ (15.2.5)
Chó ý tíi tÝnh ®èi xøng trôc vµ tÝnh cã thÓ cña dßng ch¶y bªn ngoµi vÕt thuû ®éng
ta cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng: tr íc ®Üa thiÕt bÞ ®Èy thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m
øng b»ng kh«ng, nghÜa lµ wq1 = 0. T¹i ®Üa do t¸c dông cña dQ nªn xÈy ra b íc nhÈy
cña thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng, nghÜa lµ dßng bÞ xo¾n vÒ phÝa chiÒu
quay cña chong chãng. Nh vËy, t¹i mÆt c¾t 2 - 2 ngay sau ®Üa thµnh phÇn tiÕp tuyÕn
cña tèc ®é c¶m øng wq2 kh«ng b»ng kh«ng. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn ®éng l îng
m«men dQ ® îc x¸c ®Þnh nh sau:
dQ = r wq2 dm (15.2.6)
§Ó x¸c ®Þnh c«ng suÊt dPD truyÒn vµo phÇn tö vµnh kh¨n ta nhËn thÊy r»ng c«ng
suÊt nµy dïng ®Ó t¨ng thªm ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña chÊt láng khi ch¶y qua ®Üa. Râ
rµng sau mét ®¬n vÞ thêi gian qua mÆt c¾t 1 - 1 ngay tr íc ®Üa, èng dßng ® îc cung cÊp
nguån ®éng n¨ng b»ng 0,5 [(
v
A + wx1)2 - wr12] dm vµ thÕ n¨ng b»ng p1dm/r. Qua mÆt
c¾t 2 - 2 ngay sau ®Üa, sau mét ®¬n vÞ thêi gian tõ thÓ tÝch ®ang xÐt ®éng n¨ng ph¶i bá
ra mét l îng b»ng 0,5 [(
v
A + wx2)2 + wq22 + wr22] dm vµ thÕ n¨ng b»ng p2dm/r. ChÊt
láng kh«ng thÊm qua c¸c bÒ mÆt bªn cña èng dßng, nªn viÖc trao ®æi n¨ng l îng
kh«ng xÈy ra. Lóc bÊy giê ta nhËn thÊy r»ng Dp = p2 - p1 vµ tèc ®é vÉn liªn tôc, nghÜa
lµ wx1 = wx2 = wx0 vµ wr1 = wr2 = wr0 ta cã thÓ nhËn ® îc:
dPD = (0,5 wq22 + Dp/r) dm (15.2.7)
ThÕ (15.2.7) vµ (15.2.6) vµo (15.2.5) ta dÔ dµng nhËn ® îc b íc nhÈy ¸p suÊt vµ
b íc nhÈy thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m øng t¹i ®Üa:
Dp = r wq2 (Wr - 0,5 wq2) (15.2.8)
hoÆc gÇn ®óng bËc nhÊt:
Dp = r r W wq2 (15.2.9)
V× trong vÕt sau ®Üa cña thiÕt bÞ ®Èy lµm viÖc ®éc lËp kh«ng cã vËt thÓ nµo vµ dÜ
nhiªn còng kh«ng cã sù t ¬ng t¸c lùc víi chÊt láng, nªn theo ®Þnh luËt b¶o toµn
m«men ®éng l îng, m«men ®ã vÉn kh«ng ®æi trong vÕt tõ mÆt c¾t 2 - 2 tíi mÆt c¾t ¥ -
¥, nghÜa lµ:
r wq2 dm = r¥ wq¥ dm (15.2.10)
Tõ ®ã, khi chó ý tíi (15.2.3) cho tr êng hîp chong chãng lý t ëng t¶i träng thÊp,
gÇn ®óng bËc nhÊt ta cã:
wq¥ = wq2 (15.2.11)
Trong lý thuyÕt ®ang xÐt ta gi¶ thiÕt r»ng: thµnh phÇn tiÕp tuyÕn cña tèc ®é c¶m
øng t¹i ®Üa b»ng nöa trÞ sè cña nã khi ë mÆt c¾t 2 - 2 s¸t sau ®Üa, nghÜa lµ chó ý ®Õn
(15.2.11):
wq0 = wq¥/2 (15.2.12)