Dưới vi phân tựa xấp xỉ của hàm Lipschitz địa phương và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này giới thiệu khái niệm dưới vi phân tựa xấp xỉ cho hàm Lipschitz địa phương trên Rn, dựa trên các kết quả về đạo hàm suy rộng kiểu Clarke. Các tính chất lồi, đóng, và bị chặn của tập dưới vi phân tựa xấp xỉ được khảo sát.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dưới vi phân tựa xấp xỉ của hàm Lipschitz địa phương và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 77 (06/2021) No. 77 (06/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ DƯỚI VI PHÂN TỰA XẤP XỈ CỦA HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Approximately quasi subdifferentials for locally Lipschitz functions and applications Hứa Khắc Bảo Học viên cao học Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT n Bài báo này giới thiệu khái niệm dưới vi phân tựa xấp xỉ cho hàm Lipschitz địa phương trên , dựa trên các kết quả về đạo hàm suy rộng kiểu Clarke. Các tính chất lồi, đóng, và bị chặn của tập dưới vi phân tựa xấp xỉ được khảo sát. Các phép tính của dưới vi phân tựa xấp xỉ cho tổng hai hàm và cho tích của một hằng số với một hàm được thiết lập. Các điều kiện tối ưu cho một điểm là điểm tựa xấp xỉ cực tiểu của hàm Lipschitz địa phương được đề nghị. Một số ví dụ minh họa được giới thiệu. Từ khóa: Tựa  -nghiệm, Tựa  -cực tiểu, Tựa  -dưới vi phân ABSTRACT In this paper, using the generalized directional derivative in the sense of Clarke, we study approximately quasi subdifferentials for locally Lipschitz functions. The properties of convex, closed and bounded of the set of approximately quasi subdifferentials are investigated. The approximately quasi subdifferential calculus with the sum rule and the scalar product rule are establishted. Optimality conditions for approximately quasi minimums of locally Lipschitz functions are proposed. Examples are given. Keywords:  -quasi solution,  -quasi mimimum,  -quasi subdifferential 1. Phần giới thiệu được chú ý hơn và điều này cũng được chú Nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu là ý với nghiệm xấp xỉ. Trong bài báo này, vấn đề đã được nghiên cứu từ khá lâu. Chủ chúng tôi quan tâm đến một loại nghiệm đề này trong những năm gần đây vẫn thu xấp xỉ có tính địa phương cho các bài toán hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu không lồi, được giới thiệu bởi Loridan bởi trong các thuật toán tìm nghiệm theo [12], và gọi là tựa  -nghiệm. dãy lặp, thực chất cũng là tìm nghiệm xấp Với hàm số f là Lipschitz địa phương xỉ [1], [2], [3], [4], [5]. Trong bài toán lồi, trên n , cho trước   0, điểm z được gọi nghiệm tối ưu của bài toán luôn là nghiệm toàn cục, nhưng với các bài toán không lồi là tựa  -cực tiểu của hàm f nếu thì điều đó có thể không xảy ra. Vì vậy, với các bài toán không lồi, nghiệm địa phương f ( z )  f ( x)   x  z với mọi x n Email: huakhacbao561@gmail.com 57
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) [6]. Rõ ràng rằng, nếu z là tựa  -cực tiểu f ( z  td )  f ( z ) d  f ( z; d ) : lim inf . t 0 t và các điểm x thuộc lân cận U ( z ) có tâm Khi đó, với X * là không gian đối z và bán kính  , tức là x  z   , ta ngẫu của X , dưới vi phân Dini của hàm f có f ( z)  f ( x)   . Ta cũng nói rằng, z là tại z được ký hiệu và định nghĩa bởi   f ( z) : {x  X  ∣ d  f ( z; d )   x  , d , d  X }. một  -cực tiểu trong lân cận U ( z ). Điều Cũng với cấu trúc tương tự, khi f là hàm này nói lên rằng, một điểm là tựa  -cực Lipschitz địa phương xác định trên X , đạo tiểu của hàm f cũng là điểm  -cực tiểu hàm suy rộng Clarke [9] được cho bởi: f ( x  td )  f ( x) địa phương của hàm f . f c ( z; d ) : lim sup . t 0 t Chúng ta biết rằng nếu f là hàm xz Lipschitz địa phương và nếu z là một và dưới vi phân Clarke là: điểm cực tiểu thì 0 c f ( z ) trong đó c f ( z) : {x  X  ∣ f c ( z; d )   x , d , d  X }.  c f ( z ) là tập dưới vi phân suy rộng của Về mặt hình học có thể thấy tập dưới hàm f theo nghĩa Clarke (còn gọi là dưới vi phân Clarke là lớn hơn tập dưới vi phân vi phân Clarke) [9, tr.27]. Nếu f là hàm Dini như trong các định nghĩa nêu trên. Tuy nhiên, khi hàm f là chính quy tại z , lồi thì dưới vi phân Clarke trùng với dưới vi phân của hàm lồi, ký hiệu bởi f ( z ) tức là, f c ( z; d )  f  ( z; d ), khi đó các tập dưới vi phân nói trên là trùng nhau. Việc [11, tr.145]. Khi đó, điều kiện 0 c f ( z ) đạo hàm Clarke không yêu cầu tại điểm z trở thành 0f ( z ) và điều này, như đã hàm số có giá trị hữu hạn, đã làm cho đạo biết, sẽ dẫn đến kết luận z là điểm cực tiểu hàm này có tính linh hoạt hơn trong việc sử toàn cục của hàm f . Kết quả này đã được dụng. mở rộng cho nghiệm xấp xỉ của hàm lồi Từ định nghĩa dưới vi phân Dini, một với dưới vi phân xấp xỉ. Khi đó, nếu f là dạng dưới vi phân xấp xỉ đã được biết khá sớm trong bài báo [8] do Ioffe giới thiệu hàm lồi thì z là  -cực tiểu khi và chỉ khi liên quan đến đạo hàm Dini theo hướng, 0 f ( z ) [10, Định lý 10.4], trong đó gọi là  -dưới vi phân Dini, được định  f ( z ) là tập dưới vi phân xấp xỉ  của nghĩa như sau: hàm lồi f tại z. Rất tự nhiên, các kết quả  f ( z) : {x  X ∣ d  f ( z; d )   ‖ d ‖   x , d , d  X }. như thế cần được khảo sát cho lớp hàm Lipschitz địa phương. Mục đích của bài báo này là tìm hiểu Cần chú ý rằng, các cấu trúc dưới vi một dạng dưới vi phân xấp xỉ cho hàm Lipschitz bằng cách dùng đạo hàm Clarke phân thường liên quan đến đạo hàm. Đạo thay cho đạo hàm Dini trong công thức nêu hàm Dini tại điểm z theo hướng d của trên. Từ các kết quả đạt được, chúng tôi hàm f xác định trên không gian hữu hạn thiết lập điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài chiều X và f ( x)   được ký hiệu và toán tối ưu không lồi có ràng buộc tập. định nghĩa như sau [8] (xem thêm [7]): Bài báo được tổ chức như sau: Phần 58
HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN tiếp theo dành để trình bày các kiến thức cơ là tập lồi thì hàm chỉ và hàm tựa của S là sở dùng cho việc chứng minh các kết quả các hàm lồi. chính. Đặc biệt, chúng tôi nhắc lại Định lý Với hàm f cho trước, hàm liên hợp Homander trong việc làm trội một họ các của f được ký hiệu và định nghĩa bởi hàm tuyến tính bởi một hàm dưới tuyến tính và nửa liên tục dưới [11]. Phần cuối f  (v)  sup[ v, x  f ( x)]. xS của bài báo dùng để giới thiệu các kết quả Chú ý 2.1 Với hàm chỉ  S và hàm tựa liên quan về dưới vi phân tựa xấp xỉ dựa trên khái niệm dưới vi phân Clarke. Trong  S đã nói ở trên, ta luôn có: đó khái niệm véc tơ tựa xấp xỉ được giới ( S ) (v)   S (v). thiệu và các tính chất được khảo sát; tính chất lồi, đóng, bị chặn của tập tựa dưới vi Ngoài ra, giả sử C , D  n là các tập lồi, phân xấp xỉ được chứng minh, các quy tắc đóng, khác rỗng, khi đó tính tựa dưới vi phân xấp xỉ của tổng hai C  D   C ( x)   D ( x), x  n . hàm và tính tích của một hằng số với một hàm được thiết lập. Dựa trên các kết quả Với A là tập đóng khác rỗng trong đạt được, điều kiện tối ưu của một điểm là n , nón pháp của A tại điểm z  A được điểm tựa  -cực tiểu của hàm số Lipschitz cho bởi địa phương trên n được giới thiệu. N ( A, z) : {u  n ∣ u, v  0, v T ( A, z )}, 2. Kiến thức cơ bản trong đó T ( A, z) : {v  n ∣ d Ac ( z; v)  0} và Hàm f xác định trên n được gọi là dA là hàm khoảng cách đến tập A [11, Lipschitz địa phương tại z , nếu tồn tại lân tr.10]. Khi A là tập lồi, nón pháp này cận U ( z ) của điểm z và hằng số K  0 trùng lại với nón pháp trong Giải tích lồi: sao cho N ( A, z) : {u  n ∣ u, x  z  0, x  A}. | f ( x)  f ( y) |  K ‖ x  y ‖ , x, y U ( z ). Ngoài ra N ( A, z )   A ( z). Nếu bất đẳng thức nêu trên xảy ra với Hàm f xác định trên n được gọi là mọi x, y  n , ta nói hàm f là Lipschitz dưới tuyến tính nếu thỏa các tính chất: trên n và số K  0 bé nhất thỏa mãn bất thuần nhất không âm và dưới cộng tính, tức đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz. là thỏa mãn tương ứng các tính chất sau: Với S  n là tập khác rỗng, hàm chỉ i) f ( x)   f ( x),   0, x  n , của tập S và hàm tựa của tập S được ký ii) f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  n . hiệu và định nghĩa lần lượt như sau: Định lý 2.1 [11, Định lý 7.4.3, tr.147]  0, x  S  S ( x) :  Giả sử hàm f1 , f 2 : n  là các hàm , x  S , Lipschitz địa phương tại z. Ta có:  S ( x) : sup{ x, s, s  S}, x  n .  c ( f1  f 2 )( z)   c f1 ( z)   c f 2 ( z). Ký hiệu ,  dùng để chỉ tích vô hướng Chú ý rằng Định lý 2.1 có thể mở của hai véc tơ trong n . Chú ý rằng nếu S rộng cho hữu hạn các hàm Lipschitz địa 59
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) phương tại z. Định nghĩa 2.3 Cho f : n  là Chúng tôi cần đến một số khái niệm về hàm Lipschitz địa phương. Hàm f được nghiệm tối ưu xấp xỉ cho bài toán tối ưu gọi là  -giả lồi tại z nếu sau đây. Xét bài toán f c ( z; d )   ‖ d ‖  0 (P) Min f ( x) s.t. x  A,  f ( z  d )   ‖ d ‖  f ( z ), d  n . với f: n  là hàm Lipschitz địa Hàm f được gọi là  -giả lồi nếu f là phương và A  n là tập đóng khác rỗng.  -giả lồi tại mọi z n . Định nghĩa 2.1 [12] Cho   0. Đối Kết quả dưới đây nhận được trên với bài toán (), điểm z  A được gọi là không gian Banach X . Ký hiệu X * để chỉ không gian đối ngẫu của X . i)  -nghiệm nếu f ( z)  f ( x)   , với Xét hàm f : X  {}. Miền hữu mọi x A ; hiệu của f được ký hiệu và định nghĩa bởi ii) Tựa  -nghiệm nếu domf : {x  n ∣ f ( x)  }. Hàm f f ( z)  f ( x)   ‖ x  z ‖ với mọi x  A ; được gọi là chính thường nếu domf  . iii)  -nghiệm chính quy nếu z là một Bổ đề 2.1 [11, Định lý ( Homander ),  -nghiệm và là một tựa  -nghiệm. 2.3.1b] Giả sử X là không gian Banach Nếu trong định nghĩa nói trên có với X * là không gian đối ngẫu. Xét A  n ta sẽ thay từ “nghiệm” bởi từ cực p : X  {} là hàm chính thường, tiểu. nửa liên tục dưới và dưới tuyến tính trên Định nghĩa 2.2 [11, Định nghĩa 7.4.1, X . Khi đó, tập hợp tr. 146] Hàm f : n  được gọi là M p : {x  X  ∣  x , x  p( x), x  X } chính quy tại z nếu f  ( z; d ), f c ( z; d ) tồn là một tập lồi, đóng, khác rỗng, đồng thời tại và bằng nhau.  M p  p. Trong bài báo [12], các tác giả đã nhắc Mệnh đề 2.1 Cho f là hàm Lipschitz lại khái niệm  -nửa lồi cho một hàm có n địa phương xác định trên n và z . tính Lipschitz địa phương. Theo đó, hàm f được gọi là  -nửa lồi tại điểm z nếu Hàm p : n  {}, được định nghĩa bởi tại đó hàm f là chính quy và điều kiện sau được thỏa mãn p(d ) : f c ( z; d )   ‖ d ‖ , f  ( z; d )   ‖ d ‖  0 là hàm chính thường, dưới tuyến tính và nửa liên tục dưới.  f ( z  d )   ‖ d ‖  f ( z ), d  n . Chứng minh: i) Hàm p là một hàm Bằng cách nới lỏng điều kiện chính chính thường: Ta có quy, trong bài báo [12], hàm  -nửa lồi được gọi là  -giả lồi và được định nghĩa p(0)  f c ( z;0)   ‖ 0 ‖  0  , lại như sau: hay p là một hàm chính thường. 60
HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN ii) Hàm p là dưới tuyến tính: Với Khi n tiến đến vô cùng, ta nhận được: d1 , d2  n và 1 , 2  0 ta có p(d )  lim inf p(dn ). n  p(1d1  2 d2 )  f ( z; 1d1  2d2 )   ‖ 1d1  2d2 ‖ . c 3. Dưới vi phân tựa xấp xỉ của hàm Vì f ( z; ) là hàm thuần nhất dương và c Lipschitz địa phương dưới tuyến tính (xem [9, Mệnh đề 2.1.1]), Từ các quan sát đã được chỉ ra trong nên phần giới thiệu và khái niệm tựa  -nghiệm nói trong Định nghĩa 2.1, chúng tôi đề nghị f c ( z; 1d1  2 d 2 )  f c ( z; 1d1 )  f c ( z; 2 d 2 ) khái niệm tựa  -dưới vi phân cho hàm  1 f c ( z; d1 )  2 f c ( z; d 2 ). Lipschitz địa phương như sau: Mặt khác, ta cũng có Định nghĩa 3.1 Cho f : n  là  ‖ 1d1  2 d 2 ‖   ‖ 1d1 ‖   ‖ 2 d 2 ‖ hàm Lipschitz địa phương tại z n . Với  1  ‖ d1 ‖  2  ‖ d 2 ‖ .   0 cho trước, một véc tơ u được gọi n Vậy, là  -tựa dưới gradient hay còn gọi là tựa dưới gradient xấp xỉ  của hàm f tại z p(1d1  2 d 2 )  1 ( f c ( z; d1 )   ‖ d1 ‖ ) nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn: 2 ( f c ( z; d 2 )   ‖ d 2 ‖ ) f c ( z; d )   ‖ d ‖  u, d ,d  n .  1 p(d1 )  2 p(d 2 ), Tập hợp tất cả các véc tơ u thỏa mãn hay p là một hàm dưới tuyến tính. bất đẳng thức nêu trên được gọi là tựa  - iii) Hàm p là nửa liên tục dưới: Lấy dưới vi phân của hàm f tại z và được ký (dn )n  n là một dãy tùy ý hội tụ về hiệu bởi c f ( z ), tức là d , ta có c f ( z) : {u  n ∣ f c ( z , d) p ( d )  f c ( z; d )   ‖ d ‖   ‖ d ‖  u, d ,d  n }.  f ( z; d  d n  d n )   ‖ d  d n  d n ‖ . c Trong định nghĩa nêu trên, để tương Chú ý rằng thích với khái niệm tựa  -nghiệm của f c ( z; d  dn  dn )  f c ( z; d  dn )  f c ( z; dn ). Loridan [6],  được dùng để xây dựng Vì f là Lipschitz địa phương, khi n khái niệm tựa  -dưới vi phân. Ngoài ra, đủ lớn, theo [9, Mệnh đề 2.1.1 b], tồn tại nếu   0 thì tựa  -dưới vi phân của hàm K  0 để f tại z trùng với dưới vi phân Clarke của hàm f tại z. f c ( z; d  dn )  K ‖ d  dn ‖ . Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết Hơn nữa, vì quả thu được từ khái niệm tựa  -dưới vi  ‖ d  dn  dn ‖   ‖ d  dn ‖   ‖ dn ‖ , phân. nên, Mệnh đề 3.1 Cho f : n  là hàm p(d)  f c ( z , dn )   ‖ dn ‖ ( K   ) ‖ d  dn ‖ Lipschitz địa phương tại z. Với   0 cho  p(dn )  ( K   ) ‖ d  dn ‖ . trước, ta có 61
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) i)  c g ( z )  c f ( z ) trong đó u , x  z   g ( x )  g ( z ) g ( x)  f ( x)   ‖ x  z ‖ . Dấu bằng trong  f ( x)   ‖ x  z ‖  f ( z ), x  n . Đặt x  z   d với   0 đủ nhỏ và d bao hàm thức xảy ra khi f là hàm lồi. bất kỳ. Khi đó ii) ‖ v ‖  sup ‖ u ‖   , v c f ( z ). uc f ( z )  u , d   f ( z   d )  f ( z )    ‖ d ‖ . Chứng minh: Vậy i) Lấy u  c g (z ). Khi đó, f ( z  d )  f ( z) u, d   lim   ‖d‖  0  u, d   g ( z; d ), d  c n .  f ( z; d )   ‖ d ‖ . c Mà Ta nhận được u c f ( z ). g ( z; d)  ( f ()   ‖   z ‖ ) ( z; d) c c ii) Lấy tùy ý v c f ( z ). Ta được:  f ( z; d)   ‖ d ‖ , d  c n . v, d    ‖ d ‖  f c ( z; d ), d  n . Từ những điều trên, ta được Do f lồi nên u, d   f c ( z; d )   ‖ d ‖ , d  n .  v , d   ‖ d ‖  sup u, d Hay u c f ( z ). u c f ( z ) Hơn nữa, giả thiết thêm f là hàm   ‖ d ‖  ‖ d ‖ sup ‖ u ‖ , d  n . u f ( z ) c lồi thì g cũng là hàm lồi. Lấy Vậy u c f ( z ). Khi đó, u, d   f c ( z; d )   ‖ d ‖ , d  n . ‖ v ‖ ‖ d ‖   ‖ d ‖  sup u, d u c f ( z ) Với x  n , đặt d  x  z , ta được   ‖ d ‖  ‖ d ‖ sup ‖ u ‖ , d  n . u c f ( z ) u, x  z  f c ( z; x  z )   ‖ x  z ‖ . Vì f là một hàm lồi nên Suy ra f c ( z; x  z )  f  ( z; x  z ) ‖ v ‖    sup u, d . uc f ( z ) f ( z   ( x  z ))  f ( z ) Ví dụ 3.1 Tìm dưới vi phân tựa xấp xỉ tại  inf .  0  1 Từ đó suy ra x  0 của f ( x)  x với   . 4 f c ( z; x  z )  f ( x)  f ( z). Với x  0 , ta có f c (0; d ) | d | . Từ Từ những điều trên, ta được định nghĩa của dưới vi phân tựa xấp xỉ với u , x  z   f ( x )   ‖ x  z ‖  f ( z ) 1 3   , ta nhận được | d |  u.d , d  . 4 2  g ( x)  g ( z ). Bất đẳng thức trên xảy ra với mọi d  Hay u g ( z ). Ngược lại, lấy u g (z ), 3 khi | d |  u d , d  . Tính toán ta ta được 2 62
HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 3 3 u  (1   )v, d    ‖ d ‖ , d  T ( K , z),   (0,1), được c f (0)  [ ; ]. 2 2 tức là u  (1   )v  NQ ( K , z ) . Vậy NQ (K , z ) Dùng kết quả của Mệnh đề 3.1, ta có là một tập lồi. thể tìm dưới vi phân tựa xấp xỉ nói trên ii) NQ ( K , z ) là tập đóng: Lấy (un )n theo một cách khác như sau: Vì f ( x)  x là một dãy thuộc NQ ( K , z ) sao cho un hội là hàm lồi tại x  0, ta tính được tụ về u khi n tiến đến vô cùng, ta có c f (0)  f (0)  [ 1,1] nên sup ‖ v ‖  1. vf (0) u , d   u  un , d   un , d  Theo công thức ii) trong Mệnh đề 3.1,  ‖ un  u ‖ ‖ d ‖   ‖ d ‖ , d  T ( K , z ). 1 với u  f (0), ta có c | u |  1  . Vậy Khi n tiến đến vô cùng, ta được 2 3 3 u, d    ‖ d ‖ , d  T ( K , z ). c f (0)  [ ; ]. 2 2 Vậy u  NQ (K , z ), hay, NQ ( K , z ) là Định nghĩa 3.2 Cho K  là tập n một tập đóng. hợp khác rỗng và z  K . Với   0 , tập các Định lý 3.2 Cho f : n  là hàm pháp véc-tơ tựa xấp xỉ  của K tại z Lipschitz địa phương tại z. Với   0, được định nghĩa bởi c f ( z ) là một tập lồi đóng và bị chặn. N ( K , z) : {u  Q  n ∣ u, d    ‖ d ‖, d T ( K , z)}. Chứng minh: Khi   0 và K là tập đóng, tập Q i) Tính lồi: Lấy tùy ý u, vc f ( z ). N ( K , z ) thu về nón pháp N ( K , z ) theo Khi đó, ta có: nghĩa Clarke. Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì f c ( z; d )   ‖ d ‖  u, d , d  n , tập NQ ( K , z ) trùng với nón pháp trong Giải tích lồi. f c ( z; d )   ‖ d ‖  v, d , d  n . Định lý 3.1 Cho K  n là tập hợp Với   (0,1), nhân lần lượt hai bất khác rỗng và z  K . Với   0, tập đẳng thức trên với  và 1   rồi cộng theo NQ ( K , z ) là tập lồi đóng. vế ta được Chứng minh f c ( z; d )   ‖ d ‖  u  (1   )v, d , d  n , tức là u  (1   )v  f ( z ). Vậy  f ( z ) c c i) NQ ( K , z ) là một tập lồi: Lấy tùy ý là một tập lồi. u, v NQ ( K , z ). Ta được: ii) Tính đóng: Gọi Lấy (un )n là một u, d    ‖ d ‖ , d  T ( K , z ), dãy thuộc c f ( z ) sao cho un hội tụ về u v, d    ‖ d ‖ , d  T ( K , z ). khi n tiến đến vô cùng, ta có Với   (0,1), nhân lần lượt hai bất  u , d    u  un , d    u n , d  đẳng thức trên với  và 1   rồi cộng theo  ‖ un  u ‖ ‖ d ‖  f c ( z ; d )   ‖ d ‖ . vế ta được Khi n tiến đến vô cùng, ta được 63
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) u, d   f c ( z; d )   ‖ d ‖ . hay Vậy, u c f ( z ) , hay, c f ( z) là một tập đóng. u, yn    ‖ yn ‖ , khi n tiến đến vô cùng, ta có iii) Tính bị chặn: Giả sử c f ( z ) không u , d    ‖ d ‖ . bị chặn. Lấy wk c f ( z ) sao cho ‖ wk ‖  . wk Vậy u  NQ (K , z ). Xét điểm zk : z  . Hiển nhiên z k bị ‖ wk ‖ Bổ đề 3.1 Nếu K  n là tập lồi đóng chặn. Khi đó, và khác rỗng thì NQ ( K , z )  c  K ( z ). f c ( z; d )   ‖ d ‖   wk , d , d  n . Chứng minh: Chú ý rằng Với d  zk  z , ta nhận được: c  K ( z )  {u  n ∣  Kc ( z; x  z ) f ( z; zk  z )   ‖ zk  z ‖   wk , zk  z, c   ‖ x  z ‖  u, x  z , x  K }. hay wk Lấy u  NQ (K , z ). Theo Định nghĩa f ( z; zk  z )   ‖ c ‖  ‖ wk ‖ . 3.1 dễ dàng suy ra u c  K ( z ). ‖ wk ‖ Khi k   vế phải của bất đẳng Ngược lại, lấy u c  K ( z). Vì K là thức tiến về , kéo theo về trái cũng tiến tập lồi nên, hàm  K là hàm lồi. Khi đó, về . Điều này mâu thuẫn với tính bị  Kc ( z; x  z )   K ( z; x  z )  0. chặn của đạo hàm Clarke khi hàm f Vì vậy, ta nhận được u  NQ ( K , z ). Lipschitz. Chú ý 3.1 Khi   0, ta nhận được kết Hệ quả 3.1 Nếu K  n là tập lồi quả quen thuộc trong Giải tích lồi đóng khác rỗng thì N ( K , z )   K ( z). NQ ( K , z )  {u  n ∣ u , x  z  Định lý 3.3 Cho các hàm số f , g : n    ‖ x  z ‖ , x  K }. là Lipschitz địa phương tại z. Khi đó, Chứng minh: Lấy u  NQ (K , z ). Theo i) c ( f  g )( z )   0 ,  c f ( z )  c g ( z ). 1 2 1 2 Định nghĩa 3.2 ta được u thuộc vế phải. 1   2   Ngược lại, lấy u thuộc vế phải. Vì K Dấu bằng trong bao hàm thức xảy ra là tập lồi nên T ( K , z)  cl (cone( K  z)). khi f và g là chính quy tại z. Khi đó, với d bất kì thuộc T ( K , z ) tồn tại ii) c ( f )( z )   c f ( z ),   0. 2 dãy yn  n ( xn  z ) hội tụ về d khi n tiến Chứng minh: đến vô cùng, trong đó xn  K và n  0. i) Với Do u thuộc vế phải nên c1 f ( z ) : {u  R n ∣ u, d   f c ( z; d )  1 ‖ d ‖, d  n }, u, xn  z   ‖ xn  z ‖ .  g ( z ) : {u  R ∣ u, d   g ( z; d )   2 ‖ d ‖, d  c n c n }, 2 Từ đó dẫn đến c ( f  g )( z ) : {u  R n ∣ u, d   ( f  g )c ( z; d ) u, n ( xn  z )   ‖ n ( xn  z ) ‖ ,   ‖ d ‖ , d  n }. 64
HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Chú ý rằng hàm p(d ) : f c ( z; )   ‖  ‖ Mà   1   2 và là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và ( f  g )c ( z; d )  f c ( z; d )  g c ( z; d ), d  n , dưới tuyến tính. Áp dụng Bổ đề 2.4, cho các tập hợp c f ( z), c g ( z) và c ( f  g )( z). nên, 1 2 Ta có ( f  g ) c ( z; d )   ‖ d ‖  f c ( z; d )   1 ‖ d ‖  c f (z) ( d )  f c ( z; d )   1 ‖ d ‖ ,  g c ( z; d )   2 ‖ d ‖ . 1  ( d )  g c ( z; d )   2 ‖ d ‖ Mà c 2 g ( z )  c f ( z ) c2 g ( z ) ( d )  f c ( z; d )   1 ‖ d ‖ 1 và  (d )  ( f  g )c ( z; d )   ‖ d ‖ .  g c ( z; d )   2 ‖ d ‖ . c  ( f  g )( z ) Điều này dẫn đến: Với d cho trước, ta xét hàm  (d )   c (d ). q(u)  u, d , u c1 f ( z). ( f  g )( z ) ( z ) c2 g ( z ) c  1 f Áp dụng Chú ý 2.1, ta suy ra được Do q là hàm liên tục mà c1 f ( z ) là c ( f  g )( z )   01 , 2  c1 f ( z )  c2 g ( z ). tập compact nên tồn tại u0 c f ( z ) sao cho 1   1   2 max u, d   u0 , d . Nếu giả thiết thêm f và g là các hàm uc1 f ( z ) chính quy, khi đó ta có Chứng minh tương tự, khi đó tồn tại v0 c2 g ( z ) sao cho ( f  g ) c ( z; d )   ‖ d ‖  f c ( z; d )   1 ‖ d ‖ max v, d   v0 , d .  g c ( z; d )   2 ‖ d ‖ . v 2 g ( z ) c Từ đó ta có Với mọi u, v bất kì thuộc 1 f ( z ),  2 g ( z ), c c  (d )   c (d ) c  ( f  g )( z ) 1 f ( z ) c2 g ( z ) ta có Áp dụng Chú ý 2.1, ta suy ra được u  v0 , d   c f ( z )c g ( z ) (d ), d  n 1 2 c ( f  g )( z )   01 ; 2  c1 f ( z )  c2 g ( z ).  u, d   c f ( z )c g ( z ) (d )  v0 , d , d  n .   1   2 1 2 Vậy ii) Lấy u c ( f )( z). Khi đó, theo max u, d   c f ( z )c g ( z ) (d )  v0 , d , d  n định nghĩa  -tựa dưới vi phân, ta có uc1 f ( z ) 1 2  max u, d  v0 , d   c f ( z )c g ( z ) (d ), d  n ( f )c ( z; d )   ‖ d ‖  u, d , d  n ,   0. c u1 f ( z ) 1 2 Nên,   c f ( z ) (d )   c g ( z ) (d )   c f ( z )c g ( z ) (d ), d  n . 1 2 1 2  u Mà f c ( z; d )  ‖ d ‖   , d , d  n ,   0.    c f ( z )c g ( z ) (d )   c f ( z ) (d )   c g ( z ) (d ),d  n . 1 2 1 2 u Vậy Vậy,   c f ( z ) , tức là, u   c f ( z ).  2 2  c f ( z )  2c g(z) (d )   c f (z) (d )   c g(z) (d ). 1 1 2 65
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) Do đó, c ( f )( z )   c f ( z ) . (2.1) tương đương với g ( z)  g ( x), x  n . 2 Vì g cũng là hàm Lipschitz địa phương Ngược lại, lấy u   c f (z ). Khi đó, và z là cực tiểu của g trên n , nên 2 tồn tại v   c f ( z ) sao cho u  v. Vì 0  c g ( z ). Vì h( x)  ‖ x  z ‖ là hàm lồi 2 nên c h( z )  h( z )  B với B là hình cầu v    f ( z ), nên, c đóng đơn vị trong n . Vì vậy, ta có 2 c g ( z)  c { f ()   ‖  z ‖}( z)   c f ( z)   B,  f ( z; d )  c ‖ d ‖  v, d , d  n ,   0.  nên, 0  c f ( z )   B. Suy ra, tồn tại Do đó, w  c f ( z ) và b  B sao cho 0  w   b.  f c ( z; d )   ‖ d ‖  v, d , d  n ,   0. 0  0, d    w, d    b, d  Khi đó, Vậy ta có được u thuộc  ( f )( z). Tóm c  f c ( z; d )   ‖ d ‖ , d  n . lại,  ( f )( z )    f ( z ),   0. c c 2 Do đó, 0 c f ( z ). Chú ý 3.2 Nếu f , g : n  là các Định lý 3.5 Với bài toán (), giả sử hàm lồi. Khi đó, với   0 , ta có A là tập lồi đóng. Giả sử thêm rằng f là ( f  g )( z)  f ( z)  g ( z). hàm  -giả lồi tại z  A. Khi đó, z là tựa  -nghiệm của bài toán () nếu và chỉ nếu Định lý 3.4 Cho hàm Lipschitz địa tồn tại 1 ,  2 sao cho các điều kiện sau đây phương f : n  . Giả sử rằng f là được thỏa mãn: hàm  -giả lồi tại z. Khi đó, z là tựa  - cực tiểu của hàm f khi và chỉ khi  0  1 f ( z )  N 2 ( A, z ), c Q  0 c f ( z ). 1 ,  2  0, 1   2   .  Chứng minh: Hiển nhiên, nếu 0 c f ( z) thì Chứng minh f c ( z; d )   ‖ d ‖  0, d  n . Do f là "  " Nếu 0 c1 f ( z )  NQ2 ( A, z ), thì hàm  -giả lồi tại z nên kéo theo tồn tại u c1 f ( z ),  u  NQ2 ( A, z ). Khi đó, f ( z  d )   ‖ d ‖  f ( z ), d  n . (2.1) u, x  z   2 ‖ x  z ‖ , x  A, Đặt d : x  z với x bất kỳ, ta kết luận hay được z là tựa  -cực tiểu của f theo Định u, x  z    2 ‖ x  z ‖ , x  A. nghĩa 2.1. Vì u c1 f ( z ) nên Ngược lại, giả sử z là một tựa  -cực tiểu của f trên n , tức là, f c ( z ; x  z )   1 ‖ x  z ‖  u , x  z  f ( z)  f ( x)   ‖ x  z ‖ , x  n .    2 ‖ x  z ‖ , x  A, Đặt g ( x) : f ( x)   ‖ x  z ‖ , x  n . hay, f c ( z; x  z)  ( 1   2 ) ‖ x  z ‖  0, x  A. Ta có g ( z)  f ( z). Khi đó, bất đẳng thức Do f là hàm  -giả lồi tại z và 66
HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 1   2   , nên ta nhận được Đặt g ( x) : f ( x)   A ( x). Áp dụng Định lý 3.4, ta nhận được 0 c g ( z). Theo Định f ( x)   ‖ x  z ‖  f ( z ). lý 3.3, tồn tại 1 ,  2  0 và 1   2   Vậy z là tựa  -nghiệm của bài toán (P) theo Định nghĩa 2.1 ii). sao cho 0 c1 f ( z)  c2  A ( z). Mặt khác, do "  " Giả sử z là một tựa  -nghiệm A tập lồi nên theo Bổ đề 3.1, bao hàm thức của bài toán (P). Khi đó, z cũng là một được viết lại tựa  -nghiệm của bài toán (P ) : 0 c1 f ( z )  NQ2 ( A, z ). (P ) Min f ( x)   A ( x), Chứng minh kết thúc. s.t. x n . Kết luận không gian n . Dựa trên các kết quả thu Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu được về dưới vi phân tựa xấp xỉ cho tổng khái niệm dưới vi phân tựa xấp xỉ cho hàm hai hàm và các kết quả liên quan, chúng tôi Lipschitz địa phương và tập các pháp véc-tơ thiết lập các điều kiện tối ưu xấp xỉ cho một tựa xấp xỉ cho các tập đóng khác rỗng trên lớp bài toán tối ưu không lồi tổng quát. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F. Bai, Z. Wu, D. Zhu, “Sequential Lagrange multiplier condition for -optimal solution in convex programming”, Optimization, 57(5), 669-680, 2008. [2] T. D. Chuong, D. S. Kim, “Approximate solutions of multiobjective optimization problems”, Positivity, 20, 187-207, 2016. [3] Kim D. S, Son T. Q, “An Approach to 𝜖-duality Theorems for Nonconvex Semi- infinite Multiobjective Optimization Problems”, Taiwanese Journal of Mathematics, 22(5), 1261-1287, 2018. [4] T.Q. Son, N.V. Tuyen, C.F. Wen, “Optimality conditions for approximate solutions of nons-mooth semi-infinite multiobjective optimization problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 45, 435-448, 2020. [5] N.V. Tuyen, Y-B Xiao, T.Q. Son, “On AKKT optimality conditions for cone constrained vector optimization problems”, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 21(1), 105-117, 2020. [6] P. Loridan, “Necessary Conditions for 𝜖-Optimality”, Mathematical Programming Study, 19, 140-152, 1982. [7] A.D. Ioffe, “Approximate Sundifferentials and Applications. I: The Finite Dimensional Theory”, Transactions of the American Mathematical Society, 281(1), 389-416, 1984. 67
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021) [8] A.D. Ioffe, “Proximal Analysis and Approximate subdifferentials”, J. London Math. Soc, 41(2), 175-192, 1990. [9] Clarke F.H, Optimization and nonsmooth analysis, Willey-Interscience, 1983. [10] Dhara, J. Dutta, Optimality conditions in Convex Optimization: A Finite- Dimensional View, Taylor & Francis Group, 2012. [11] W. Schirotzek, Nonsmooth Analysis, Springer-Verlag, 2007. [12] T.Q. Son, J.J. Strodiot, V.H. Nguyen, “𝜖 -Optimality and 𝜖 -Lagrangian duality for a nonconvex programming problem with an infinite number of constraints”, Journal of Optimization Theory and Applications, 141, 389-409, 2009. Ngày nhận bài: 07/9/2020 Biên tập xong: 15/6/2021 Duyệt đăng: 20/6/2021 68