Đường đi Hamilton

Chia sẻ: ACB ABC | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

284
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như điện tử, hóa học, ngôn ngữ học, kinh tế học, máy tính,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đường đi Hamilton

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính, .... Trong Lý thuyết đồ thị thì bài toán tìm đường đi, chu trình Hamilton có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Vì vậy nhóm 5 chọn đề tài “ Đường đi Hamilton” để nghiên cứu kỹ hơn. CÔNG VIỆC CỦA CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM 5 Nhận xét của TT Họ và tên Công việc Ghi chú Giáo viên Nghiên cứu về đường đị 1 Hồ Trung Cang và chu trình Hamilton Nghiên cứu chương Đại 2 Nguyễn Thành cương về đồ thị Nghiên cứu về đường đị 3 Phạm Đức Mạnh và chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 4 Hữu Đệ Đường đi, chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 5 Nguyễn Thị Xuân Đường đi, chu trình Hamilton
CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I. Các khái niệm cơ bản: 1. Đồ thị, đỉnh, cạnh: * Đồ thị vô hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự). v w * Đồ thị có hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e ạ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w có thứ tự. v w Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Nếu ta thay đổi mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của G. Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đô fthij có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v). Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V,E). Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề với đỉnh w. Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh v, w, ta viết e = (v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là cạnh song song. Cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập. Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị. Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn. Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song. Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ. 2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra: Cho đồ thị G = (V, E)
Bậc của đỉnh v ỉ V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v). Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như vậy: d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0. Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆G , số bậc nhỏ nhất của G gọi là δ G . Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1. Nửa bậc: Cho G = (V,E) là đồ thị có hướng, v ớ V. Nửa bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là dO(v), là số cung đi ra từ đỉnh v ( v là đỉnh đầu), và nửa bậc vào của đỉnh v ỉ V, kí hiệu dI(v), là số cung đi tới đỉnh v ( v là đỉnh cuối). Ví dụ : x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Trong đồ thị này, ta có : d(x1) = 6 , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = 3 , d(x5) = 0 , d(x6) = 1 Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc. Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2 và đỉnh x3. Đỉnh x5 là đỉnh cô lập. Đỉnh x6 là đỉnh treo. Ví dụ : Xét đồ thị có hướng sau x2 x6 x4 x1 x5 x3 Trong đồ thị có hướng này ta có: dI(x1) = 0 , dO(x1) = 2, dI(x2) = 1 , dO(x2) = 2 dI(x3) = 2 , dO(x3) = 1, dI(x4) = 2 , dO(x4) = 2 dI(x5) = 1 , dO(x5) = 1, dI(x6) = 2 , dO(x6) = 0 * Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E). Khi đó :
i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và = d (v) = 2* card(E) . vd V ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì : � (v) = � (v) = card(E) , trong đó card(E) là d v�V O d v�V I số phần tử của tập E. Chứng minh : i) Mỗi cạnh e = (u,v) ạ E tham gia tính 1 bậc của đỉnh u, một bậc của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức i). ii) Mỗi cung e = (u,v) ỗ E tham gia tính 1 bậc ra của đỉnh u, một bậc vào của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức ii). * Hệ quả : Số dỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn. Chứng minh: Cho đồ thị G = (V,E). Kí hiệu V1 là tập các đỉnh bậc lẻ, V2 là tập các đỉnh bậc chẵn. Theo bổ đề ta có : � (v) = � (v) + �d (v) d 2*card(E) = v�V d v� 1 V v� 2 V � d d (v) = 2*card(E) - d d (v) vd V1 vd V2 là số chẵn. Các số hạng d(v) trong tổng d d d (v ) d (v ) vd V1 đều là số lẻ. Vì vậy để cho tổng vd V1 là số chẵn thì các số hạng đó phải là số chẵn, tức card(V1) là số chẵn. Suy ra số đỉnh bậc lẻ trong V là số chẵn. + Ghi chú : Bổ đề trên có tên bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau: Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó tổng số lần bắt tay của tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn. * Đồ thị Kn là đồ thị đơn, đủ n đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên kết). Ví dụ sau đâylà đồ thị K5 * Mệnh đề. Mọi đỉnh của đồ thị Kn có bậc n-1 và có n(n-1)/2 cạnh. * Đồ thị lưỡng phân G = (V,E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và một đỉnh thuộc V2 , ký hiệu G = ({V1 ,V2},E). *Đồ thị Km,n là đồ thị lưỡng phân ({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1được nối với mỗi đỉnh của V2 bằng một cạnh duy nhất.
Ví dụ sau đây là đồ thị K3,3 b a c x y z * Mệnh đề . Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong V2 có bậc là m và Km,n có m,n cạnh. 3. Đường đi, chu trình, tính liên thông * Định nghĩa : Cho đồ thị G= (V,E) Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w là dãy các đỉnh và các cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy µ gọi là độ dài của dãy µ. Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n được biểu diễn như sau µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) trong đó vi(i=1,…,n-1) là các đỉnh trên dãy và ei(i=1,…,n) là các cạnh trên dãy liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dãy có thể lắp lại. Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó cá cạnh không lặp lại Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (e 1, e2, ….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cùng của cung ei là đỉnh đầu của cung ei+1, i=1,…n-1. Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng, trong đó các cung không lặp lại. Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một đỉnh qua 1 lần.
Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó liên thông. Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u. * Định lý 1. (i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Trong đó đồ thị có hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi có hướng sơ cấp từ v đến w. Chứng minh (i) Cho µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) là dãy từ v đến w. Nếu (v1,….,vn-1) khác nhau thì µ là đường đi sơ cấp. Ngược lại tồn tại i,j,0 < i < j < n, thỏa vi = vj . Ta loại các đỉnh vi+1, ….,vj khỏi dãy µ và nhận được dãy từ v đến w có độ dài ngắn hơn. Như vậy ta loại được ít nhất một đỉnh lặp. Tiếp tục các đỉnh trên cho đến khi không còn đỉnh lặp nữa, ta sẽ nhân được đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Chứng minh tương tự như (i). * Định lý : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ. Chứng minh ( xem [ Christofides trang 21]) + Điều kiện cần hiển nhiên + Điều kiện đủ: Cho G= (V,E ) là đồ thị không chứa chu trình độ dài lẻ. Không mất tính tổng quát ta giả thiết G liên thông ( nếu không ta xét từng thành phần liên thông). Ta xây dựng các tập con V+ và V- của V như sau. Chọn một đỉnh x0 bất kỳ . Gán cho x0 nhãn là dấu + Với mỗi đỉnh x đã gàn nhãn, ta tìm các đỉnh chưa có nhãn và kề x và gán nhãn cho các đỉnh này là dấu ngược với dấu của x ( tức là dấu – nếu x mang dấu +, dấu + nếu x mang dấu - ). Lặp lại quá trình này cho đến khi xảy ra một trong các trường hợp sau. (i) Tất cả các đỉnh được gán nhãn (không có hai đỉnh kề nhau cùng nhãn) (ii) Xuất hiện hai đỉnh kề nhau cùng dấu Gọi a và b là hai đỉnh kề nhau cùng dấu. Tồn tại đường đi µ1 từ x0 đến a và µ2 từ x0 đến b . Ký hiệu x là điểm chung cuối cùng của µ 1 và µ2 . Theo cách gán nhãn, độ dài
đường đi µ1 (x,a) từ x đến a và độ dài đường đi µ2(x,b) từ x đến b cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Như vậy chu trình [µ1 (x,a), (a,b),µ2(b,x)] sẽ có độ dài lẻ, mâu thuẩn với giả thiết. * Trọng đồ (có hướng ) là đồ thị (có hướng ) mà mỗi cạnh (cung) của nó được gán một số . Trọng đồ được biểu diễn bởi G =(V,E,w), trong đó V là tập các đỉnh , E là tập các cạnh (cung) và w: E→R là hàm số trên E,w(e) là trọng số của cạnh (cung) e với mọi e ọE . Trong trọng đồ độ dài trọng số của đương đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó. + Ví dụ Người ta cần khoan một số lỗ trên các tấm kim loại dưới sự kiểm soát của máy tính. Để giảm chi phí sản xuất và tiết kiệm được thời gian, máy khoan phải khoan tất cả các lỗ trong thời gian ngắn nhất có thể được. Ta mô phỏng công việc bằng đồ thị 4 a 2 8 ` o o 3 6 d 5 c 6 9 b o o o 4 12 e Tấm kim loại cần khoan Đồ thị mô phỏng lỗ Trong hình trên, các đỉnh tương ứng với các lỗ khoan. Hai đỉnh bất kì được nối với nhau bởi một cạnh. Mỗi cạnh có gán một số, chỉ thời gian máy di chuyển giữa hai lỗ. Con đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh duy nhất một lần và có chiều dài ngắn nhất là đường đi tối ưu của máy khoan phải đi theo để tiết kiệm thời gian nhiều nhất. Đồ thị con : Cho đồ thị G = ( V, E ). Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi là đồ thị con của G nếu V’ ế V và E’ E Nếu F ế E, htif ký hiệu G – F là đồ thị con ( V, E-F ) của G gồm tập đỉnh V và tập cạnh ( cung ) E – F Nếu U ế V, thì ký hiệu G- U là đồ thị con của G thu được từ G sau đó loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng Cho U V, đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu < U >, là đồ thị ( U, EU) với EU = { e E / e liên thuộc đỉnh trong U }
Đồ thị con G’ = ( V’, E’ ) của đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi là thành phần liên thông (mạnh ) của đồ thị G , nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức là không tồn tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ của G thỏa V’ ỏ V”, E’ E” + Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ở ví dụ trước. x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} và E1= { e1, e2, e3, e4} là đồ thị con của đồ thị G nhưng khong phải thành phần liên thông. Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > là thành phần liên thông của G. * Định lý 3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, và k thành phần liên thông. Khi đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) n–k m 2 Chứng minh (i) Bất đẳng thức (n-k) ứ m chứng minh bằng quy nạp theo m Nếu m = 0 , tức G là đồ thị hoàn toàn không liên thông, bất đẳng thức đúng vì n=k Giả sử G có m cạnh, m ạ 1. Gọi G’ = (V’, E’) là đồ thị thu được từ G bằng cách bỏ bớt một cạnh. Ký hiệu n’,k’ và m’ là số đỉnh , số thành phần liên thông và số cạnh của G’. Khi đó có 2 khả năng - Trường hợp 1: n’ = n, k’ = k và m’ = m-1 Theo giả thuyết qui nạp n - k = n’- k’ m’ m - Trường hợp 2 : n’= n, k’= k +1 và m’= m-1 n - k = n’- k’ +1 m’+1 = m (ii) Ta chứng minh bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) m (*) 2 qui nạp theo k. ni (n − 1) - Bước cơ sở : k = 1. Khi đó m ở vì đồ thị đơn n nhiều đỉnh nhiều cạnh nhât 2 là kn
- Bước quy nạp : Giử sử bất đẳng thức (*) đúng với mọi đồ thị có số thành phần liên thông nhỏ hơn k Cho G = ( V, E ) là đồ thị có k thành phần liên thông: Gi = ( Vi,Ej ) có ni đỉnh và mj cạnh, ∀ i=1,…,k Hiển nhiên là n1 + n2 + n3 +…+ nk = n và m1 + m2 + m3 +…+ mk = m (1) Đặt h = n1 + n2 và gọi G’ là đồ thị có n’ = n’ – 1 đỉnh gồm k-1 thành phần liên thông Kh-1, G3,….,Gk (Kh-1 là đơn đồ thị đủ có h-1 đỉnh ). Theo giả thuyết qui nạp, số cạnh m’ của G’ thỏa [(n '− ( k − 1)].[n '− (k − 1) + 1] (n − k )(n − k + 1) m’ m’ m (2) 2 2 Tiếp theo ta có n1 (n1 − 1) n2 ( n2 − 1) h (h − 1) m1 + m2 + (3) 2 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng tương đương (n1 - 1)(n2 -1) - 0 Bây giờ từ (1),(2),(3) ta suy ra (n − k )(n − k + 1) M m’ (đpcm.) 2 (n − 1)(n − 2) * Hệ quả: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn là liên thông. 2 * Tập tách Cho đồ thị G = (V,E). Tập cạnh F ạ E goijlaf tập hợp tách cạnh của đồ thị liên thông G, nếu G-F không liên thông. Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cự tiểu ( tức không tồn tại F’ ạ F, F’ F F, F’ là tập tách cạnh ), thì F gọi là tập cắt cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có một cạnh,thì cạnh đó gọi là cầu Đại lượng λ (G ) = min{card (F) /F là tập tách cạnh của G} gọi là số liên thông cạnh của G. Đồ thị G gọi là k cạnh liên thông, nếu mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh. + Ghi chú. Từ định nghĩa ta có λ (G ) λ k ∀ k,G là k cạnh liên thông và λ (G ) = max {k/ G là k cạnh liên thông}
Tập đỉnh U ỉ V gọi là tập hợp tách đỉnh của đồ thị liên thông G, nếu G- U không có liên thông. Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không tồn tại U’ ạ U, U’ U U, U’ là tập hợp tách đỉnh) thì U gọi là tập cắt đỉnh. Nếu tập tách đỉnh chỉ có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách . Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U là tập tách đỉnh của G} gọi là số liên thông đỉnh của G Đồ thị G gọi là k- liên thông, nếu mọi tập tách đỉnh có ít nhất k đỉnh. + Ghi chú : Từ định nghĩa ta có k(G) k ∀ k, G là k - liên thông và k(G) = max { k/ G là k - liên thông} + Ghi chú : (i) Tập V và V – {v} ∀ vv V đều không phải là tập tách đỉnh (ii) Đồ thị đủ Kn không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông đỉnh của Kn là (n-1). + Ví dụ : Xét đồ thị sau. 5 1 e f a a 3 4 i 6 d g h c 7 2 Các tập cạnh sau. {b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d} Là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh. Các tập cạnh sau {2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7} Là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh {3,4} là đỉnh tách , {5,7} là các tập cắt đỉnh. * Định lý 4 (Bất đẳng thức Whiney). Với mọi đồ thị G ta có k(G) λ (G ) λ δ (G) Chứng minh Tập các cạnh liên thuộc đỉnh v có bậc nhỏ nhất δ (G) là tập tách. Suy ra λ (G ) λ δ (G). Để chứng minh bất đẳng thức k(G) ứ λ (G ) ta xét các trường hợp sau
- Trường hợp λ (G ) = 0 : Đồ thị G chỉ có 1 đỉnh hoặc không liên thông, kéo theo k(G) =0 - Trường hợp λ (G ) =1 : Đồ thị G có cầu (u,v). Nếu G chii có hai đỉnh u và v thì G là đồ thị đủ K2 , và theo qui ước k(G) = 1.Nếu G có hơn 2 đỉnh thì một trong 2 đỉnh u và v phải có bậc lớn hơn 1, và đỉnh đó là đỉnh tách, suy ra k(G) = 1 - Trường hợp λ (G ) >1: Nếu ta xóa λ (G ) -1 cạnh của tập tách cạnh với λ (G ) -1 cạnh, ta sẽ nhận được đồ thị liên thông với cầu (v,w). Với mỗi cạnh xóa ta chọn đỉnh liên thuộc khác v và w . Kí hiệu U là tập đỉnh chọn . Nếu chọn G-U không liên thông thì ta có k(G) < λ (G ) . Nếu G- U liên thông, vì λ (G − U ) =1 nên theo trường hợp trên k(G -U) = 1, tức là G- U sẽ có đỉnh u mà khi xóa u sẽ nhận đồ thị chỉ có 1 đỉnh hoặc đồ thị không liên thông . Như vậy tập U và đỉnh u sẽ là tập tách đỉnh của G. Suy ra k(G) ủ λ (G ) . (đpcm) * Định lý 5: Đồ thịG = (V,E) bậc n là k-liên thông (1 k k n − 1 ) nếu δ (G ) δ (n + k − 2) / 2 n Chứng minh: Nếu G là đồ thị đủ thì G là k-liên thông vì k ủ n-1= k(G) (theo qui ước ). Giả thuyết G không đủ và không k- liên thông. Như vậy sẽ tồn tại tập tách đỉnh S ỉ V, s= card(S) < k. Ký hiệu H là thành phần liên thông của đồ thị không liên thông G – S với số đỉnh là ít nhất là r. Khi đó r ấ (n-s-r), kéo theo r n (n − s ) / 2 . Nếu v v H , thì bậc của v trong G thỏa dG (v ) d (r − 1) + s Suy ra : dG (v) d ( n − s ) / 2 − 1 + s = ( n + s − 2) / 2 < (n + k − 2) / 2 Điều này mâu thuẫn với giả thiết (đpcm) * Độ lệch tâm, bán kính, tâm đồ thị * Cho đồ thị G = (V,E) ta định nghĩa khoảng cách từ u đến v, ∀ n, v n V, là độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v và ký hiệu là d(u,v) Đại lượng e(v) = max {d(u,v)/ v V} gọi là độ lệch tâm của đỉnh v, ∀ v v V. Bán kính của đồ thị G, kí hiệu r(G), là độ lệch tâm nhỏ nhất r(G) = min{e(v)/v V} Đỉnh vỉ V gọi là đỉnh tâm nếu e(v) = r(G). Tập hợp tất cả các đỉnh tâm gọi là tâm của đồ thị và kí hiệu là C(G).
+ Ví dụ: A B C D A B Xét đồ thị sau E G F E D C G2 G1 Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,E,F,G của đồ thị G1 tương ứng là 4,3,2,4,3,2,3. Suy ra bán kính r(G) =2, các đỉnh tâm là C và F, và tâm C(G1) = {C,F} Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,D,E của đồ thị G tương ứng là 2,2,2,2,1. Suy ra bán kính r(G2) = 1, đỉnh tâm duy nhất là E, và tâm C(G2) = {E}.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON I. Định nghĩa: Cho đồ thị ( có hướng) G = (V,E). Chu trình (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Đường đi (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Như vậy mọi chu trình Hamilton có độ dài bằng số đỉnh và mọi đường đi Hamilton có độ dài bằng số đỉnh trừ 1. Đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton gọi là Đồ thị Hamilton. + Ví dụ: Cho đồ thị. a b f d c g e Đồ thị trên không có chu trình Euler vì đỉnh g,c có bậc lẻ, nhưng có chu trình Hamilton a→b→c→d→e→f→g→a + Ví dụ : a b f *d c g e Đồ thị trên có chu trình Euler : a→g→f→b→a→f→e→d→b→c→e→a Nhưng không có chu trình Hamilton vì nếu ta bỏ đi 2 đỉnh b, e và các cạnh liên thuộc của chúng thì ta có 4 thành phần liên thông ( như hình vẽ). a* f *d * *c g*
II. Điều kiện cần. * Định lí 1: Gỉa sử đồ thị G có chu trình Hamilton C. Khi đó i) Đồ thị G lien thông ii) Mọi đỉnh của G lớn hơn hoặc bằng 2 và có đúng hai cạnh lien thuộc thuộc chu trình C. iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k thành phần lien thông Chứng minh Mệnh đề (i) và (ii) là hiển nhiên. Mệnh đề (iii) suy ra từ thực tế là khi xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các canh liên thuộc chúng thì chu trình C bị chia ra thành nhiều nhất k phần. * Hệ quả: Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường đi Hamilton P. Khi đó (i) Đồ thị G liên thông (ii) Có ít nhất n – 2 đỉnh bậc ≥2 và mỗi đỉnh có đúng hai cạnh liên thuộc thuộc đường đi P (iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k + 1 thành phần liên thông. + Ví dụ. Xét đồ thị v1 v5 v4 v2 * v3 Đồ thị không có chu trình Hamilton . Thật vậy, nếu tồn tại chu trình Hamilton C thì nó phải có 5 cạnh. Vì bậc d(v 2) = d(v4) = 3 nên một cạnh tới v2 và một cạnh tới v4 không thuộc chu trình C. Số cạnh còn lại là 4 nên C không thể có 5 cạnh được, mâu thuẩn. Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp Định lí 1. Nếu bỏ đi hai đỉnh v2 và v4 cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại là 3 đỉnh độc lập, có 3 thành phần liên thông. Như vậy theo mệnh đề (iii) thì đồ thị không có chu trình Hamilton.
+ Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị sau không có đường đi Hamilton. 1 4 2 5 6 3 Giả sử P là đường đi Hamilton. Đồ thị trên có 16 đỉnh, nên đường đi P có 15 cạnh (*) - Cách 1: Vì đồ thị có 27 cạnh nên đồ thị không nằm trên đường P phải là 12(**) Xét các đỉnh thuộc tập U = {1,2,3,4,5,6,7}. Gọi Ei, I = 1,….,7, là số cạnh liên thuộc đỉnh Iỉ U không nằm trên đường đi P. Vì mọi cặp đỉnh trong không kề nhau nên các tập E i cũng rời nhau từng cặp 1. Như vậy số cạnh liên thuộc các đỉnh của U không nằm trên P là 7 n= = card(E ) i =1 i Vì số cạnh liên thuộc 1 đỉnh nằm trên đường đi P nhiều nhất là 2 nên mỗi tập E1, E2, E3, E7,có ít nhất 1 cạnh và mỗi tập E4, E5,E6 có ít nhất 3 cạnh. Vì vậy N ≥4*1 +3*3 = 13. mâu thuẫn với (**). - Cách 2: Xét 9 đỉnh còn lại . Đây là các đỉnh không kề nhau từng cặp một, trong đó ít nhất 7 đỉnh có 2 cạnh liên thuộc thuộc P và 2 đỉnh còn lại có ít nhất 1 cạnh liên thuộc thuộc P. Như vậy số cạnh thuộc P ít nhất là 7*2+2 =16, mâu thuẫn với (*) - Cách 3: Xóa 7 đỉnh 1,2,3,4,5,6,7 và các cạnh liên thuộc thì đồ thị còn lại có 9 đỉnh cô lập, tức 9 thành phần liên thông. Theo hệ quả (iii), đồ thị không có đường đi Hamilton. + Ví dụ: Bài toán xếp chỏ ngồi: 9 người bạn cùng ngồi ăn trong bàn tròn 4 lần. Mỗi lần họ được xếp ngồi theo một thứ tự. Hãy thay đổi chổ ngồi một lần sao cho không có 2 người ngồi gần nhau hơn 1 lần.
Ta lập đồ thị 9 đỉnh 1,2,…9, đỉnh I chỉ người i. Ta đặt đỉnh 1 tại tâm và các đỉnh còn lại trên đường tròn như hình vẽ. Mỗi cách xếp là mỗi chu trình Hamilton của đồ thị. 5 3 7 2 1 9 4 8 6 Chu trình thứ nhất như hình vẽ là 1→2→3→4→5→6→7→8→9→1 Xoay lần lượt chu trình các góc π 4 theo chiều kim đồng hồ ta nhận được cac chu trình, cũng là các cách xếp sau: 1→3→5→2→7→4→9→6→8→1 1→5→7→3→9→2→8→4→6→1 1→7→9→5→8→3→6→2→4→1 III. Điều kiện đủ * Định lí 1: Đồ thị đủ Kn với n lẻ n ≥3 có n – ½ chu trinh Hamilton từng đôi một không giao nhau Chứng minh Tương tự như lời giải bài toán xếp 9 người trên bàn tròn, ta xây dựng cách xếp theo chu trình Hamilton trên đồ thị sau (n = 2k +1) 1→2→3→…→2k→2k +1→1 5 3 2k-1 2 1 2k+1 4 2k 6
Xoay chu trình lần lượt 1 góc π k theo chiều kim đồng hồ ta nhận được k cách xếp. * Định lý 2 ( Dirac) : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ n/2 với mọi đỉnh v của G thì G có chu trình Hamilton. Chứng minh: (i) Hiển nhiên định lý đúng với n = 3. (ii) Giả sử n > 3. Gọi P=(v1, v2, ..., vp) là đường đi sơ cấp dài nhất trong G, có độ dài là p – 1. Vậy mọi đỉnh kề với v1 và mọi đỉnh kề với vp phải thuộc P. v1 v5 v2 v3 v4 Nếu p – 1
Mặt khác cạnh (u,v) thêm vào chu trình C tạo thành đường đi dài lớn hơn P, mâu thuẫn với giả thiết P là đường đi dài nhất. Vậy C chứa mọi đỉnh của G, tức C là chu trình Hamilton. * Định lý 3: Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ (n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường đi Hamilton. Chứng minh : Nếu n = 1 thì G có đường đi Hamilton tầm thường là 1 đỉnh. Giả sử n>1. Ta lập đồ thị H bằng cách thêm vào G đỉnh v và tất cả các cạnh nối v với mọi đỉnh của G. Đồ thị H có n + 1 đỉnh và d(v) = n. Với mọi đỉnh u ỉ G, ta có : dH(u) = dG(u) + 1 ≥ (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 Theo định lý Dirac thì H có chu trình Hamilton C. Bỏ đi v và các cạnh tới v ta được đường đi Hamilton. * Định lý 4 : Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n≥3). Giả sử u và v là 2 đỉnh không kề nhau của G sao cho d(u) + d(v) ≥ n Khi đó G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi đồ thị G + (u,v) có chu trình Hamilton. Chứng minh : Nếu G có chu trình Hamilton thì đó cũng là chu trình của G + (u,v). Giả sử C là chu trình Hamilton G + (u,v). Nếu (u,v) ế C thì C cũng là chu trình Hamilton của G. Giả sử (u,v)ử C. Khi đó chu trình Hamilton C có thể biểu diễn như sau : C = ( u=v1,v2,……,vn=v, u) u v vi-1 vi
Tồn tại đỉnh vi , 3 i i n − 1 , sao cho v1 kề với vi và nn kề với vi-1. Thật vậy, giả sử n không có đỉnh vi như vậy. Gọi k là số đỉnh kề u trong G. Số đỉnh không kề v trong G sẽ lớn hơn hoặc bằng k, như vậy số đỉnh kề v trong G không quá n-1-k. Suy ra : D(u) + d(v) k + (n – 1 – k) = n – 1 mâu thuẫn với giả thiết định lý Chu trình (v1, vi, vi+1, …., vp-1, vp, vi-1, vi-2, …., v2, v1) sẽ là chu trình Hamilton trong G ( đpcm) * Định lý 5 : Cho G là đồ thị đơn giản n đỉnh. Giả sử G’ và G’’ là 2 đồ thị thu được từ G bằng cách qui nạp nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau có tổng các bậc ít nhất bằng n. Khi đó ta có G’ = G’’. Chứng minh : Giả sử e1, e2, …, em và f1, f2, …, fn là các cạnh thêm vào G để có tương ứng G’ và G’’. Ta chứng minh mỗi cạnh ei phải thuộc G” và mỗi cạnh fi phải thuộc G’. Giả sử có cạnh ei không thuộc G”. Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho ek+1 = (u,v) không thuộc G”. Đặt H = G + {e1, e2, …, ek}. H là đồ thị con của G’ và G”. Ta có dH(u) + dH(v) ( n Do đó : dG”(u) + dG”(v) ( dH(u) + dH(v) ( n Điều này vô lý vì u, v không kề nhau trong G”. Như vậy mỗi cạnh e i phải thuộc G”. Tương tự mỗi cạnh fi cũng thuộc G’, do đó G’ = G” Từ định nghĩa trên ta có thể định nghĩa khái niệm bao đóng của đồ thị . * Bao đóng : C(G) của đồ thị G n đỉnh là đồ thị thu được từ G bằng cách , theo quy nạp, nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau mà tổng số bậc ít nhất bằng n cho đến khi không còn cặp đỉnh nào như vậy nữa. Ví dụ : Minh họa cách xây dựng bao đóng