Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh

Chia sẻ: 9 9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:279

Thêm vào BST

Báo xấu

187
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh trình bày những nội dung về mặt phẳng và hàm biến phức, tập hợp số phức, mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, không gian các hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, biểu diễn tích phân hàm điều hòa. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức: Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr. Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE . ’. ´ ˆ´T CO SO LY THUYE ` ˆ´ ´. HAM BIEN PHU C NHA ˆ´T BA ` XUA ’ N DAI HOC QUO . . ˆ´C GIA HA ` NO ˆ. I H` a Nˆo.i – 2006
Mu.c lu.c o.i n´ L` `au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oi dˆ 8 1 M˘ a.t ph˘ a’ng ph´ u.c v`a h`am biˆ e´n ph´ u.c 10 1.1 Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 D u.c . . . . . . . - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Ph´ep tr` u. v`a ph´ep chia sˆo´ ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 M˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo´ ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1.7 Da.ng m˜ u cu’a sˆo´ ph´ . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.8 Kh´ai niˆe.m vˆ `e m˘a.t ph˘a’ng mo’. rˆo.ng . . . . . . . . . . . . 30 1.1.9 Khoa’ng c´ach trˆen C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co. ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c . . . . . . . 35 1.2.1 Tˆopˆo trˆen C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.2 Phˆ `an trong v`a phˆ`an ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.3 - iˆe’m D tu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2.4 Biˆen cu’a tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.2.5 Tˆa.p ho..p comp˘´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.2.6 Tˆa.p ho..p liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.2.7 H`am ph´ u c biˆe´n thu..c. Tuyˆe´n . v`a du.`o.ng cong . . . . . . 46 1.2.8 Ph´ep dˆ`ong luˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2.9 Miˆ`en do.n liˆen v`a da liˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 MU . C LU .C 1.3 H`am biˆe´n ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.1 D - i.nh ngh˜ıa h`am biˆe´n ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.2 C´ac v´ı du. vˆ `e ´anh xa. do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . . . 62 1.3.3 Gi´o.i ha.n cu’a h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3.4 T´ınh liˆen tu.c v`a liˆen tu.c dˆ `eu . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.4 y thuyˆe´t d˜ay v`a chuˆo˜ i trong miˆ L´ `en ph´ u.c . . . . . . . . . . . . 72 1.4.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay diˆe’m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.4.2 Chuˆo˜ i sˆo´ ph´ u.c v`a su.. hˆo.i tu. cu’a n´o . . . . . . . . . . . 75 1.4.3 D˜ay v`a chuˆ˜o i h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.4.4 Chuˆo˜ i l˜ uy th` u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.4.5 Su.. hˆo.i tu. dˆ`eu trˆen t` u.ng comp˘´ac . . . . . . . . . . . . . 92 1.5 H`am arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.5.1 T´ınh liˆen tu.c cu’a h`am arg z . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.5.2 Sˆo´ gia cu’a acgumen do.c theo du.`o.ng cong . . . . . . . . 96 1.5.3 Nh´anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h`am arg z . . . . . . . . . . 98 1.6 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2 H`am chı’nh h`ınh 105 2.1 H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.1 H`am R2 - kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.2 D - a.o h`am theo phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.1.3 H`am C - kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.1.4 Mˆo´i liˆen hˆe. gi˜ u.a C - kha’ vi v`a R2 - kha’ vi . . . . . . . 114 2.1.5 H`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . 121 2.2 Mˆo.t sˆo´ h`am chı’nh h`ınh so. cˆa´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.2.1 D - a th´u.c v`a h`am h˜ u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 √ 2.2.2 H`am w = z n v`a z = n w, n ∈ N . . . . . . . . . . . . . 122 2.2.3 H`am ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.2.4 H`am lˆogarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.5 H`am l˜ uy th`u.a z α, α ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.2.6 C´ac h`am so. cˆa´p kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
MU . C LU .C 3 2.2.7 Nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am da tri. . . . . . . . . . . . . 134 2.3 H`am chı’nh h`ınh v`a ´anh xa. ba’o gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.3.1 Y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a acgumen cu’a da.o h`am . . . . . . 138 2.3.2 Y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a mˆodun da.o h`am . . . . . . . . . 140 2.3.3 Anh ´ xa. ba’o gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.3.4 Anh ´ xa. liˆen tu.c v`a ´anh xa. chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . 143 2.4 C´ac d ˘a’ng cˆa´u so. cˆa´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.4.1 D - ˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.4.2 Anh ´ xa. w = ez v`a z = log w . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.4.4 C´ac d˘a’ng cˆa´u so. cˆa´p kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2.4.5 Mˆo.t sˆo´ v´ı du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2.5 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3 L´y thuyˆe´t t´ıch phˆ an h` am chı’nh h`ınh 188 3.1 T´ıch phˆan trong miˆ `en ph´ . u c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.1.1 D - i.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 . 3.1.2 U ´o.c lu.o..ng t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘`ang phu.o.ng ph´ap qua gi´o.i ha.n . . . . 194 3.1.4 Da.ng vi phˆan d´ ung v`a da.ng vi phˆan d´ong . . . . . . . 200 . . 3.1.5 T´ıch phˆan du `o ng phu. thuˆo.c tham sˆo´ . . . . . . . . . . 213 3.2 L´y thuyˆe´t Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.2.1 Nguyˆen h`am di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh . . . . . 217 3.2.2 Nguyˆen h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh theo tuyˆe´n . . . . . . 223 3.2.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i c´ac tuyˆe´n dˆ `ong luˆan227 3.2.4 Cˆong th´ u.c t´ıch phˆan co. ba’n th´ u. nhˆa´t cu’a Cauchy . . . 231 3.2.5 Nguyˆen h`am trong miˆ `en do.n liˆen . . . . . . . . . . . . 234 3.2.6 Cˆong th´ u.c t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´ u.c co. ba’n th´u. hai cu’a Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.2.7 Biˆe’u diˆ ˜e n t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i da.o h`am cu’a h`am chı’nh h`ınh241 3.2.8 D - iˆ`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am f chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 250 3.2.9 H`am diˆ `eu h`oa v`a mˆo´i liˆen hˆe. v´o.i h`am chı’nh h`ınh . . . 250
4 MU . C LU .C 3.2.10 T´ıch phˆan da.ng Cauchy. Cˆong th´ u.c Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3.2.11 Biˆe’u diˆ ˜e n t´ıch phˆan h`am diˆ `eu h`oa . . . . . . . . . . . . 270 3.3 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 4 C´ac t´ınh chˆ a´t co. ba’n cu’a h` am chı’nh h`ınh 278 4.1 C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´ ut ra t` . u t´ıch phˆan Cauchy . . . 279 4.1.1 D - i.nh l´ y gi´a tri. trung b`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.1.2 D - .inh l´ y Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.1.3 D - i.nh l´ y Weierstrass vˆ `e chuˆ˜o i h`am hˆo.i tu. dˆ `eu . . . . . . 284 4.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a h`am chı’nh h`ınh. Chuˆo˜ i Taylor288 4.1.5 C´ac quan diˆe’m kh´ac nhau trong viˆe.c xˆay du..ng l´ y thuyˆe´t h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 4.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 310 4.2.1 Khˆong diˆe’m (0-diˆe’m) cu’a h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . 310 4.2.2 T´ınh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . 313 4.2.3 Nguyˆen l´ y th´ac triˆe’n gia’i t´ıch . . . . . . . . . . . . . . 317 4.2.4 Nguyˆen l´ y mˆodun cu..c da.i . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.3 D- iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 4.3.1 Chuˆo˜ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 4.3.2 D - iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo lˆa.p do.n tri. . . . . . . . . . . . . . 337 4.3.3 D´ang diˆe.u cu’a h`am ta.i diˆe’m vˆo c` ung . . . . . . . . . . 348 4.3.4 Phˆan loa.i h`am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 350 4.4 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.4.1 Nguyˆen l´ y acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 4.4.2 D - .inh l´ y Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 4.4.3 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a tˆa.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . . . . 363 4.5 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5 H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann 369 . . 5.1 Phu o ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass . . . . . . . . . . . . 370 5.1.1 Phˆ `an tu’. ch´ınh t˘´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
MU . C LU .C 5 5.1.2 - iˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a phˆ D `an tu’. ch´ınh t˘´ac . . . . . . . . 372 5.1.3 Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass . . . . . . . . 373 5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe’n gia’i t´ıch . . . . . . . . 378 5.2 C´ac phu.o.ng ph´ap kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.2.1 Th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo tuyˆe´n . . . . . . . . . . . . . . 380 5.2.2 Th´ac triˆe’n dˆo´i x´u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 5.3 H`am gia’i t´ıch d u’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 5.3.1 Kh´ai niˆe.m h`am gia’i t´ıch du’ . . . . . . . . . . . . . . . 391 5.3.2 Mˆo.t v`ai v´ı du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.3.3 T´ınh do.n tri. v`a da tri.. D y do.n tri. (monodromie) . . . . . . . . . . - i.nh l´ . . . . 396 5.3.4 Nh´anh v`a phu.o.ng ph´ap t´ach nh´anh chı’nh h`ınh . . . . 399 5.3.5 Kh´ai niˆe.m vˆ `e diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng . . . . . . . . . . . . . 405 5.4 Kh´ai niˆe.m vˆ `e diˆe.n Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 5.4.1 Mˆo.t sˆo´ v´ı du. mo’. dˆ `au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 5.4.2 Phu.o.ng ph´ap du..ng diˆe.n Riemann . . . . . . . . . . . . 419 5.5 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 6 L´y thuyˆe´t th˘ a.ng du. v` au´.ng du.ng 422 6.1 Co. so’. l´y thuyˆe´t th˘a.ng du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 6.1.1 D - i.nh ngh˜ıa th˘a.ng du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh th˘a.ng du. . . . . . . . . . . . . . . . 425 6.1.3 D y co. ba’n cu’a l´ - i.nh l´ y thuyˆe´t th˘a.ng du. . . . . . . . . . 436 6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe´n d´ong . . . . . . . . . . 444 ´.ng du.ng cu’a l´ 6.2 Mˆo.t sˆo´ u y thuyˆe´t th˘a.ng du. . . . . . . . . . . . . 448 6.2.1 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . 448 Z2π 6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da.ng I = R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ . . . . . . 451 0 Z+∞ 6.2.3 T´ıch phˆan da.ng I = R(x)dx . . . . . . . . . . . . . 454 −∞
6 MU . C LU .C Z 6.2.4 T´ıch phˆan da.ng I = eiax R(x)dx . . . . . . . . . . . . 459 Z R 6.2.5 T´ıch phˆan da.ng I = R(x)xα dx . . . . . . . . . . . . 463 R+ 6.2.6 Mˆo.t sˆo´ v´ı du. kh´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 6.2.7 T`ım tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 6.3 H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 6.3.1 H`am phˆan h`ınh. B`ai to´an Cousin th´ u. nhˆa´t trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 6.3.2 H`am nguyˆen. B`ai to´an Cousin th´ u. hai trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 6.4 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 ´ 7 Anh xa. ba’o gi´ ac 515 7.1 C´ac kh´ai niˆe.m chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 7.1.1 H`am do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 7.1.2 D - iˆ`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`am do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . . . 522 7.1.3 Su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay h`am do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . . 524 7.1.4 T´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng cu’a ´anh xa. chı’nh h`ınh c´o da.o h`am b˘a`ng 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 7.1.5 T´ınh chˆa´t chung cu’a ´anh xa. ba’o gi´ac . . . . . . . . . . 527 7.1.6 D - ˘a’ng cˆa´u v`a tu.. d˘a’ng cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 7.1.7 D - iˆ `on ta.i d˘a’ng cˆa´u . . . . . . . `an dˆe’ tˆ `eu kiˆe.n cˆ . . . . . 532 7.1.8 D - iˆ`eu kiˆe.n chuˆa’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 7.2 D y co. ba’n cu’a l´ - i.nh l´ y thuyˆe´t ´anh xa. ba’o gi´ac . . . . . . . . . 537 7.2.1 Tˆa.p ho..p bi. ch˘a.n trong H(D) . . . . . . . . . . . . . . 538 7.2.2 Tˆa.p ho..p liˆen tu.c dˆ `ong bˆa.c . . . . . . . . . . . . . . . . 539 7.2.3 Nguyˆen l´ y comp˘´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 7.2.4 Phiˆe´m h`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 7.2.5 D - o.n gia’n h´oa c´ach d˘a.t b`ai to´an Riemann . . . . . . . . 546 7.2.6 D - i.nh l´y Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 7.2.7 D - .inh l´y duy nhˆa´t cu’a ´anh xa. ba’o gi´ac . . . . . . . . . . 553
MU . C LU .C 7 7.2.8 Su.. tu.o.ng u ´.ng u.a c´ac gi˜ u.c Christoffel- biˆen v`a cˆong th´ Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 7.3 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 T` e.u tham kha’o . . ai liˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
o.i n´ L` `au oi dˆ Co. so’. l´y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c (LTHBP) du.o..c d˘a.t nˆ `en m´ong t` u. gi˜ u.a thˆe´ ky’ XVIII bo’.i c´ac cˆong tr`ınh cu’a L. Euler. V´o.i tu. c´ach mˆo.t nh´anh dˆo.c lˆa.p, LTHBP du.o..c h`ınh th`anh v`ao gi˜ u.a thˆe´ ky’ XIX nh`o. c´ac cˆong tr`ınh cu’a O. Cauchy, C. Weierstrass v`a B. Riemann. Ng`ay nay LTHBP l`a mˆo.t trong nh˜ u.ng phˆ `an quan tro.ng nhˆa´t cu’a to´an ho.c. D´o l`a khoa ho.c v` u.a cˆo’ diˆe’n v` u.a hiˆe.n da.i, v`u.a g˘a´n b´o mˆa.t thiˆe´t v´o.i c´ac nh´anh hiˆe.n da.i nhˆa´t cu’a to´an ho.c l´ y thuyˆe´t la.i v`u.a g˘´an b´o v´o.i nhiˆ`eu b`ai to´an vˆa.t l´y v`a co. ho.c cu. thˆe’. Tu. tu.o’.ng v`a kˆe´t qua’ cu’a n´o d˜a thˆam nhˆa.p sˆau v`ao nhiˆ `eu phˆ `an kh´ac nhau cu’a to´an ho.c. C´ac phu.o.ng ph´ap cu’a LTHBP d˜a tro’. th`anh quen thuˆo.c ca’ trong nhiˆ `eu ng`anh u ´.ng du.ng nhu. thu’y dˆo.ng ho.c, v`a kh´ı dˆo.ng ho.c, l´ y thuyˆe´t d`an hˆ `oi,... V`ı l´y do d´o m`a LTHBP l`a mˆon ho.c `an tˆa´t yˆe´u cu’a gi´ao du.c to´an ho.c dˆo´i v´o.i c´ac hˆe. d`ao ta.o: b˘a´t buˆo.c, l`a mˆo.t phˆ To´an, To´an - Co., To´an - Tin u ´.ng du.ng cu’a tru.`o.ng Da.i ho.c Khoa ho.c Tu.. nhiˆen (Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i). Gi´ao tr`ınh “Co. so’. l´y thuyˆe´t h` am biˆe´n ph´ u.c” n`ay du.o..c biˆen soa.n theo s´at chu.o.ng tr`ınh H`am biˆe´n ph´ u.c du.o..c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ban h`anh. Khˆo´i lu.o..ng v`a cˆa´u tr´ uc chung cu’a cuˆo´n s´ach l`a ho`an to`an tu.o.ng u ´.ng v´o.i nˆo.i dung v`a cˆa´u tr´ uc cu’a chu.o.ng tr`ınh hiˆe.n h`anh cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i. N´o du.o..c biˆen soa.n du..a trˆen nˆo.i dung cuˆo´n s´ach “Co. so’. l´ y thuyˆe´t H`am biˆe´n ph´ u c” tru ´o c dˆay cu’a t´ac gia’ v`a kinh nghiˆe.m tr`ınh b`ay LTHBP o’. tru.`o.ng Da.i . . . ho.c Tˆo’ng ho..p H`a Nˆo.i tru.´o.c dˆay v`a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i ng`ay nay. Nh˘`am mu.c d´ıch gi´ up sinh viˆen hiˆe’u thˆa´u d´ao co. so’. l´ y thuyˆe´t cu’a LTHBP, khi biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay ch´ ung tˆoi d˜a cˆo´ g˘´ang du.a v`ao nhiˆ `eu v´ı du. minh
o.i n´ L` `au oi dˆ 9 ho.a du.o..c cho.n lo.c k˜ y c`ang v`a du.o..c gia’i mˆo.t c´ach chi tiˆe´t. Ch´ ung tˆoi hy vo.ng r˘`ang gi´ao tr`ınh n`ay c` ung v´o.i gi´ao tr`ınh “Hu.´ o.ng dˆ ˜ an gia’i B` ai tˆa.p H` am biˆe´n ph´u.c” (Nh`a Xuˆa´t ba’n Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i, 2003) cu’a ch´ ung tˆoi s˜e l`a bˆo. s´ach d´ap u´.ng du.o..c nh˜ u.ng yˆeu cˆ `au co. ba’n vˆ `e LTHBP cu’a DHQG H`a Nˆo.i. Ch´ ung tˆoi chˆan th`anh b`ay to’ l`ong biˆe´t o.n dˆe´n Bˆo. mˆon Gia’i t´ıch, Khoa To´an - Co. - Tin ho.c tru.`o.ng Da.i ho.c Tˆo’ng ho..p H`a Nˆo.i tru.´o.c dˆay v`a tru.`o.ng Da.i ho.c Khoa ho.c Tu.. nhiˆen ng`ay nay d˜a ta.o diˆ `eu kiˆe.n cho tˆoi ho`an th`anh ba’n tha’o gi´ao tr`ınh n`ay. Ch´ ung tˆoi chˆan th`anh ca’m o.n GS. TSKH Nguyˆ ˜e n V˘an Mˆa.u v`a PGS. TS Nguyˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a c´o nh˜ u.ng trao dˆo’i v`a d´ong g´op nhiˆ ´ kiˆe´n qu´ `eu y y b´au cho t´ac gia’ khi chuˆa’n bi. ba’n tha’o gi´ao tr`ınh n`ay. T´ac gia’ chˆan th`anh mong nhˆa.n du.o..c su.. quan tˆam v`a g´op y ´ cu’a ba.n do.c xa gˆ`an vˆ `e nˆo.i dung v`a h`ınh th´ u c dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du o. c ho`an thiˆe.n ho.n. . . . H` a Nˆ o.i, M`ua thu 2005 T´ ac gia’
Chu.o.ng 1 M˘a.t ph˘ u.c v` a’ng ph´ a h` e´n am biˆ ph´u.c 1.1 Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´u.c, m˘ a’ng ph´ a.t ph˘ u.c . . . . . . . . 11 1.1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 o´ ph´ 1.1.2 o´ cu’a sˆ Da.ng da.i sˆ u.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 o´ ph´ 1.1.3 u. v` Ph´ep tr` a ph´ep chia sˆ u.c . . . . . . . . . . . 18 o´ ph´ 1.1.4 M˘ a.t ph˘ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a’ng ph´ 1.1.5 Mˆ odun v` a acgumen cu’a sˆ u.c . . . . . . . . . . 20 o´ ph´ 1.1.6 Ph´ep khai c˘ an sˆ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . 28 o´ ph´ 1.1.7 Da.ng m˜ o´ ph´ u cu’a sˆ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.8 Kh´ai niˆe.m vˆ`e m˘a.t ph˘a’ng mo’. rˆ o.ng . . . . . . . . . 30 1.1.9 Khoa’ng c´ ach trˆen C . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 C´ ac kh´ ai niˆ e.m tˆ o co. ba’n trˆ opˆ en m˘ a.t ph˘ u.c 35 a’ng ph´ 1.2.1 Tˆ o trˆen C opˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.2 `an trong v` Phˆ `an ngo` a phˆ ai . . . . . . . . . . . . . . 38 1.2.3 - iˆe’m tu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 D
1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c 11 1.2.4 Biˆen cu’a tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.2.5 a.p ho..p comp˘ Tˆ ´c . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 41 1.2.6 a.p ho..p liˆen thˆ Tˆ ong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.2.7 H` am ph´ u.c biˆe´n thu..c. Tuyˆe´n v` a du.` o.ng cong . . . . 46 1.2.8 `ong luˆ Ph´ep dˆ an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2.9 `en do.n liˆen v` Miˆ a da liˆen . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.3 H` am biˆ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e´n ph´ 59 1.3.1 - .inh ngh˜ıa h` D am biˆe´n ph´u.c . . . . . . . . . . . . . 59 1.3.2 C´ac v´ı du. vˆ ´nh xa. do.n diˆe.p . . . . . . . . . . . . 62 `e a 1.3.3 Gi´ o.i ha.n cu’a h` am . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.3.4 T´ınh liˆen tu.c v` `eu . . . . . . . . . . . . 67 a liˆen tu.c dˆ 1.4 L´ y thuyˆ e´t d˜ay v` a chuˆ ˜ i trong miˆ o `en ph´u.c . . . . 72 1.4.1 o.i ha.n cu’a d˜ Gi´ ay diˆe’m . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.4.2 Chuˆ ˜ i sˆ o u.c v` o´ ph´ a su.. hˆ o.i tu. cu’a n´ o . . . . . . . . . 75 1.4.3 D˜ ay v` ˜ i h` a chuˆ o am . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.4.4 ˜ i l˜ Chuˆ o u.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 uy th` 1.4.5 Su.. hˆ u.ng comp˘ `eu trˆen t` o.i tu. dˆ ´c . . . . . . . . . . 92 a 1.5 H` am arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.5.1 T´ınh liˆen tu.c cu’a h`am arg z . . . . . . . . . . . . . 95 1.5.2 o´ gia cu’a acgumen do.c theo du.` Sˆ o.ng cong . . . . . 96 1.5.3 Nh´ anh do.n tri. liˆen tu.c cu’a h` am arg z . . . . . . . 98 1.6 B` ai tˆ a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.1 a.p ho..p sˆ Tˆ u.c, m˘ o´ ph´ a.t ph˘ u.c a’ng ph´ Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c c´o hai cˆa´u tr´ uc da.i sˆo´ cu’a mˆo.t tru.` uc: cˆa´u tr´ o.ng v`a dˆ `ong th`o.i n´o c´o cˆa´u tr´ uc tˆopˆo cu’a mˆo.t khˆ ong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆ `eu,
12 Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c v`a h`am biˆe´n ph´ u.c t´u.c l`a m˘a.t ph˘a’ng). Do d´o tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´ u.c c´o ca’ t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ lˆa˜ n t´ınh chˆa´t tˆopˆo. Trong mu.c n`ay ta s˜e nghiˆen c´ u.u c´ac t´ınh chˆa´t da.i sˆo´ cu’a tˆa.p ho..p sˆo´ ph´u.c. 1.1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D u.c o´ ph´ Ta x´et phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0. R˜o r`ang l`a phu.o.ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe.m thuˆo.c R v`ı x2 +1 > 1, ∀ x ∈ R. Do d´o mˆo.t vˆa´n dˆ `e tu.. nhiˆen d˘a.t ra l`a t`ım mˆo.t tˆa.p ho..p (ta k´y hiˆe.u l`a C) tho’a m˜an c´ac diˆ `eu kiˆe.n sau dˆay: 1. C l`a mˆo.t tru.`o.ng; 2. R ⊂ C; 3. Phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 c´o nghiˆe.m trong C. V`ı tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ thu..c R l`a mˆo.t tˆa.p ho..p con cu’a C nˆen khi x´ac di.nh c´ac ph´ep t´ınh sˆo´ ho.c co. ba’n trˆen c´ac sˆo´ ph´ u.c ta cˆ `an d`oi ho’i r˘`ang khi ´ap du.ng cho c´ac sˆo´ thu..c c´ac ph´ep to´an d´o du.a la.i kˆe´t qua’ nhu. kˆe´t qua’ thu du.o..c trong sˆo´ ho.c c´ac sˆo´ thu..c. M˘a.t kh´ac, nˆe´u ta mong muˆo´n c´ac sˆo´ ph´ u.c c´o nh˜ u.ng u ´.ng du.ng trong c´ac vˆa´n dˆ `an d`oi ho’i r˘`ang c´ac ph´ep to´an co. `e cu’a gia’i t´ıch th`ı ta cˆ ba’n du.o..c du.a v`ao d´o pha’i tho’a m˜an c´ac tiˆen dˆ `e thˆong thu.`o.ng cu’a sˆo´ ho.c c´ac sˆo´ thu..c. - i.nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu..c c´o th´ D u. tu.. (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o..c u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho..p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘a`ng nhau, ph´ep o´ ph´ go.i l`a mˆo.t sˆ cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o..c du.a v`ao theo c´ac di .nh ngh˜ıa (tiˆen dˆ`e) sau dˆay: a = c I. (a, b) = (c, b) ⇔ b = d. def II. Ph´ep cˆ o.ng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1 v`a c˘a.p (a + c, b + d) du.o..c o’ng cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d). go.i l`a tˆ 1 Def. l` ach viˆe´t t˘ a c´ u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) ´t cu’a t` a
1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c 13 def III. Ph´ep nhˆ an: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) v`a c˘a.p (ac − bd, ad + bc) . . du o. c go.i l`a t´ıch cu’a c´ac c˘a.p (a, b) v`a (c, d). IV. C˘a.p (a, 0) du.o..c dˆ `ong nhˆa´t v´o.i sˆo´ thu..c a, ngh˜ıa l`a def (a, 0) ≡ a. Tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´ u.c du.o..c k´ y hiˆe.u l`a C. Nhu. vˆa.y mo.i phˆ `an cu’a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ u.c dˆ `eu du.o..c ph´at biˆe’u b˘a`ng ngˆon ng˜ u. sˆo´ thu..c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´ ung. Trong di.nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆ `au thu..c chˆa´t l`a di.nh ngh˜ıa c´ac kh´ai `e dˆ niˆe.m kh´ac nhau: di.nh ngh˜ıa kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ ph´ u.c. Do d´o viˆe.c dˆo´i chiˆe´u c´ac tiˆen dˆ `e d´o v´o.i nhau s˜e khˆong dˆ˜a n dˆe´n bˆa´t c´ u. mˆau thuˆa˜ n n`ao. Diˆ `eu duy nhˆa´t c´o thˆe’ gˆay ra dˆoi ch´ ut lo nga.i l`a tiˆen dˆ`e IV. Vˆa´n `e l`a o’. chˆ˜o : vˆo´n d˜ı c´ac kh´ai niˆe.m b˘a`ng nhau, tˆo’ng v`a t´ıch c´ac sˆo´ thu..c c´o y dˆ ´ ngh˜ıa ho`an to`an x´ac di.nh v`a do d´o nˆe´u c´ac kh´ai niˆe.m n`ay khˆong tu o ng th´ıch . . v´o.i nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m du.o..c dˆ `e cˆa.p dˆe´n trong c´ac tiˆen dˆ `e I - III khi x´et c´ac sˆo´ thu..c v´o.i tu. c´ach l`a c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t th`ı buˆo.c pha’i loa.i tr` u. tiˆen dˆ `e IV. Do d´o ta cˆ `an dˆo´i chiˆe´u tiˆen dˆ . `e IV v´o i c´ac tiˆen dˆ `e I, II v`a III. 1) I - IV. Gia’ su’. hai sˆo´ thu..c a v`a b b˘a`ng nhau nhu. nh˜ u.ng c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t dˆ`ong nhˆa´t v´o.i ch´ ung: (a, 0) = (b, 0). Khi d´o theo tiˆen dˆ `e I ta c´o (a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, t´ . u c l`a nˆe´u ch´ ung b˘`ang nhau theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng. 2) II - IV. Theo tiˆen dˆ `e II, tˆo’ng hai sˆo´ thu..c a v`a c du.o..c x´et nhu. nh˜ u.ng c˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a`ng c˘a.p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0). Nhu.ng theo tiˆen dˆ `e IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c. Nhu vˆa.y . (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c u.c l`a dˆ t´ `ong nhˆa´t b˘`ang tˆo’ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng. 3) III - IV. Theo tiˆen dˆ `e III, t´ıch c´ac sˆo´ thu..c a v`a b du.o..c x´et nhu. nh˜ u.ng c˘a.p (a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘`ang c˘a.p (ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)
14 Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c v`a h`am biˆe´n ph´ u.c `e IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac. Nhu. vˆa.y v`a theo tiˆen dˆ (III) (IV ) (a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac u.c l`a dˆ t´ `ong nhˆa´t b˘`ang t´ıch a v´o.i c theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng. Nhu. vˆa.y tiˆen dˆ`e IV tu.o.ng th´ıch v´o.i c´ac tiˆen dˆ `e I, II v`a III. Ta c˜ ung lu.u y´ cˆong th´ u.c sau dˆay du.o..c suy tru..c tiˆe´p t` u. III v`a IV: m(a, b) = (ma, mb), m ∈ R. u. IV v`a III ta c´o Thˆa.t vˆa.y t` m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a) = (ma, mb). Nˆe´u m ∈ N th`ı theo II ta c´o (a, b) + (a, b) = (2a, 2b); (2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b), . . . u.c l`a (ma, mb) l`a kˆe´t qua’ cu’a ph´ep cˆo.ng liˆen tiˆe´p m sˆo´ ha.ng b˘a`ng (a, b). t´ Diˆ`eu d´o ph`u ho..p v´o.i biˆe’u tu.o..ng thˆong thu.`o.ng l`a ph´ep nhˆan v´o.i sˆo´ tu.. nhiˆen tu.o.ng u ´.ng v´o.i ph´ep cˆo.ng m sˆo´ ha.ng b˘a`ng nhau. Dˆ˜e d`ang thˆa´y r˘`ang c´ac tiˆen dˆ `e II v`a III l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i nhau v`a c´ac quy luˆa.t thˆong thu.`o.ng cu’a c´ac ph´ep t´ınh thu..c hiˆe.n trˆen c´ac sˆo´ vˆ˜a n du.o..c ba’o to`an khi chuyˆe’n sang sˆo´ ph´ u.c (du.o.ng nhiˆen pha’i c˘´at bo’ mo.i quy luˆa.t c´o quan hˆe. t´o.i dˆa´u >). - i.nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia’ su’. z = (a, b) ∈ C. Khi d´o sˆo´ ph´ D u.c (a, −b) du.o..c go.i u.c liˆen ho..p v´o.i sˆo´ ph´ o´ ph´ l`a sˆ u.c z v`a du.o..c k´ y hiˆe.u l`a z: z = (a, −b). Ta c´o di.nh l´ y sau dˆay:
1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c 15 - i.nh l´ D y 1.1.1. Tˆ a.p ho..p C lˆa.p th` anh mˆ o.t tru.` o.ng tho’a m˜ an c´ `eu kiˆe.n: ac diˆ 1. C ⊃ R; 2. C ch´ u.a phˆ `an tu’. i v´ o.i t´ınh chˆ a´t i2 = −1; phˆ `an tu’. i n` ay du.o..c go.i l` a . do n vi. a’o. Ch´u.ng minh. 1. C l` a mˆo.t tru.` o.ng. Hiˆe’n nhiˆen, phˆ `an tu’. do.n vi. cu’a C l`a c˘a.p (1, 0) v`ı r˘`ang (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); v`a phˆ `an tu’. - khˆong cu’a C l`a c˘a.p (0, 0) v`ı r˘a`ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b). u.ng to’ C l`a mˆo.t tru.`o.ng ta chı’ cˆ Dˆe’ ch´ `an kiˆe’m nghiˆe.m su. tˆ `on ta.i phˆ `an tu’. nghi.ch da’o (viˆe.c kiˆe’m nghiˆe.m c´ac tiˆen dˆ`e c`on la.i dˆo´i v´o.i mˆo.t tru.`o.ng l`a hiˆe’n nhiˆen). Gia’ su’. z = (a, b) 6= (0, 0) (t´ u.c l`a a2 + b2 > 0). Ta s˜e t`ım z 0 = (a0, b0 ) sao cho (a, b)(a0, b0) = (1, 0). u. I v`a III suy ra T` ) aa0 − bb0 = 1, ba0 + ab0 = 0. a b u. d´o r´ T` ut ra a0 = , b0 = − . Nhu. vˆa.y a2 + b2 a2 + b2 a b z0 = 2 , − , a + b2 a2 + b2 v`a r˜o r`ang l`a a b z · z 0 = (a, b) 2 , − a + b2 a2 + b2 a2 + b2 −ab + ab = ,− 2 = (1, 0). a2 + b2 a + b2 `e sau phˆ Vˆ `an tu’. nghi.ch da’o z 0 cu’a z thu.`o.ng du.o..c k´ y hiˆe.u l`a z −1 . 2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a.p da.ng (a, 0). Dˆ ˜e d`ang thˆa´y r˘`ang tˆa.p ho..p R0 = {(a, 0), a ∈ R} lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng con cu’a C. Ta x´et ´anh xa. t` u. R v`ao R0 a 7→ (a, 0).
16 Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c v`a h`am biˆe´n ph´ u.c Hiˆe’n nhiˆen r˘`ang nˆe´u (a, 0) = (a0 , 0) th`ı a = a0 v`a ngu.o..c la.i, dˆ `ong th`o.i a + b 7→ (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0), ab 7→ (ab, 0) = (a, 0)(b, 0). Do d´o ´anh xa. v` u.a x´et l`a mˆo.t d˘a’ng cˆa´u gi˜ u.a R v`a R0 v`a ph´ep d˘a’ng cˆa´u n`ay cho ph´ep ta xem R nhu. l`a mˆo.t tru.`o.ng con cu’a C. 3. Phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 c´o nghiˆe.m trong C, t´ u.c l`a C ch´ u.a phˆ`an tu’. i m`a i2 = −1. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. x = (a, b) ∈ C. Khi d´o trong C phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 c´o da.ng: (a, b)(a, b) + (1, 0) = (0, 0), hay l`a a2 − b2 + 1 = 0, 2ab = 0. T`u. d´o r´ ut ra a = 0, b = 1 v`a a = 0, b = −1. Ta k´ y hiˆe.u hai nghiˆe.m d´o l`a i = (0, 1) v`a −i = (0, −1). 1.1.2 o´ cu’a sˆ Da.ng da.i sˆ u.c o´ ph´ Ta c´o di.nh l´ y sau dˆay - .inh l´ D u.c z = (a, b) ∈ C dˆ o´ ph´ y 1.1.2. Mo.i sˆ ˜e n du.´ o thˆe’ biˆe’u diˆ `eu c´ o.i da.ng z = (a, b) = a + ib. u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o Ch´ z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib. Ph´ep biˆe’u diˆ u.c z = (a, b) du.´o.i da.ng a + ib du.o..c go.i l`a da.ng da.i ˜e n sˆo´ ph´ o´ hay da.ng Descartes cu’a sˆo´ ph´ sˆ u.c. Sˆo´ a du.o..c go.i l`a phˆ `an thu..c cu’a sˆo´ ph´ u.c
1.1. Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c, m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c 17 z v`a k´ y hiˆe.u l`a a = Re [z], sˆo´ b du.o..c go.i l`a phˆ `an a’o cu’a n´o v`a k´ y hiˆe.u l`a 2 b = Im [z]. Nˆe´u z = Re [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆo´ thu..c. Nˆe´u z = iIm [z] th`ı z l`a mˆo.t sˆ o´ thuˆ . . . `an a’o. V´o i quan diˆe’m c´ac ph´ep to´an trong tru `o ng c´ac sˆo´ ph´ . u c, sˆo´ thuˆ`an a’o bi c´o thˆe’ hiˆe’u nhu. l`a t´ıch cu’a sˆo´ thu..c b v´o.i do.n vi. a’o i v`a mˆo˜ i sˆo´ ph´u.c a + ib nhu. l`a tˆo’ng cu’a sˆo´ thu..c a v´o.i sˆo´ thuˆ`an a’o ib. . Do d´o trong c´ach xˆay du. ng sˆo´ ph´ u c n`ay ta d˜a su’. du.ng c´ac k´ . y hiˆe.u c´o mˆo.t y´ ngh˜ıa ho`an to`an cu. thˆe’ v`a v`ı thˆe´ tr´anh du.o..c t´ınh h`ınh th´ u.c do k´ y . hiˆe.u do n vi. a’o i mang la.i. Hˆe. qua’. Gia’ su’. z = a + ib ∈ C. Khi d´ o sˆ u.c liˆen ho..p z c´ o´ ph´ o thˆe’ biˆe’u diˆen du.´ o.i da.ng z = a − ib. Ph´ep chuyˆe’n t` u. sˆo´ ph´ u.c d˜a cho sang sˆo´ ph´u.c liˆen ho..p v´o.i n´o du.o..c go.i l`a a´y liˆen ho..p. ph´ep lˆ D y 1.1.3. Gia’ su’. z, z1 v` - i.nh l´ a z2 ∈ C. Khi d´ o 1. z1 + z2 = z 1 + z2 ; 2. z1z2 = z 1 · z2 , αz = αz, ∀ α ∈ R; 3. z = z. u.ng minh. 1. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2. Khi d´o Ch´ z1 + z2 = (a1 + a2) − i(b1 + b2 ) = (a1 − ib1) + (a2 − ib2) = z 1 + z2 . 2. Tu.o.ng tu.. z1z1 = (a1 a2 − b1b2 ) − i(a1b2 + a2 b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z 2 . 3. Hiˆe’n nhiˆen. 2 C´ac k´ y hiˆe.u Re v` a´t hiˆe.n do viˆe.c viˆe´t t˘ a Im xuˆ ´t c´ a u. tiˆe´ng Ph´ ac t` ap Reel (thu..c) v` a Imaginaire (a’o)
18 Chu.o.ng 1. M˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c v`a h`am biˆe´n ph´ u.c Mˆo.t sˆo´ ph´u.c tr` ung v´o.i sˆo´ liˆen ho..p v´o.i n´o khi v`a chı’ khi n´o l`a sˆo´ thu..c. Dˆ u. tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´ ˜e thˆa´y ´anh xa. t` u.c v`ao tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ ph´u.c liˆen ho..p v´o.i ch´ung: C 3 z 7→ z ∈ C l`a mˆo.t tu.. d˘a’ng cˆa´u cu’a C (Ba.n do.c h˜ay tu.. kiˆe’m tra !). 1.1.3 Ph´ u. v` ep tr` a ph´ ep chia sˆ u.c o´ ph´ C´ac ph´ep to´an tr` u. v`a chia du.o..c di.nh ngh˜ıa nhu. c´ac ph´ep to´an ngu.o..c v´o.i ph´ep cˆo.ng v`a nhˆan. Dˆo´i v´o.i ph´ep tr` u. ta c´o D y 1.1.4. Gia’ su’. z1 v` - i.nh l´ a z2 ∈ C. Khi d´ `on ta.i mˆ o tˆ a chı’ mˆ o.t v` o.t sˆ u.c o´ ph´ z sao cho z1 + z = z2 , cu. thˆe’ l` a z = (−z1 ) + z2. Ch´ u.ng minh. 1. Ta c´o z1 + ((−z1) + z2) = (z1 + (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2 v`a nhu. vˆa.y z = (−z1) + z2 tho’a m˜an d`oi ho’i cu’a di.nh l´ y. . . u. d´o 2. Ngu o. c la.i, nˆe´u z1 + z = z2 th`ı (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2. T` z = (−z1) + z2 v`a nhu. vˆa.y di.nh l´ y du.o..c ch´ u.ng minh. u.c z = (−z1) + z2 du.o..c go.i l`a hiˆe.u cu’a c´ac sˆo´ ph´ Sˆo´ ph´ u.c z2 v`a z1. Thˆong thu.`o.ng hiˆe.u d´o du.o..c k´ y hiˆe.u l`a z = z2 − z1, v`a nˆe´u z1 = a1 + ib1, c`on z2 = a2 + ib2 th`ı z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1 ). Dˆo´i v´o.i ph´ep chia ta c´o - i.nh l´ D y 1.1.5. Gia’ su’. z1 v` a z2 ∈ C, z2 = 6 0. Khi d´ `on ta.i mˆ o tˆ a chı’ mˆ o.t v` o.t o´ ph´ sˆ . u c z sao cho z2z = z1 , cu. thˆe’ l` −1 a: z = z2 z1 . u.ng minh. 1. Nˆe´u z = z2−1 z1 th`ı z2 z = z2 (z2−1 z1) = z1. Ch´ 2. Nˆe´u z2 z = z1 ⇒ z = z2−1 (z2 z) = z2−1 z1 .