intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p2

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
66
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ quả 1 Cho h m f giải tích trên miền D. Kí hiệu Z(f) = {z ∈ D : f(z) = 0}. Khi đó Z(f) = D hoặc Z(f) có không quá đếm được.Với h m g(z) giải tích trong lân cận điểm a v g(a) = cm ≠ 0. Do đó ∃ ε 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), g(z) ≠ 0 Suy ra ∀ zn ∈ B(a, ε), f(zn) = (zn - a)mg(zn) ≠ 0! Điều n y mâu thuẫn với giả thiết. Vậy m(a) = + ∞ . Tức l ∀ z ∈ B(a, R), f(z)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p2

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∃ δ > 0 : ∀ n ≤ N , ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ | un(z) - un(a) | < ε / 3N Suy ra ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ N ∑| u | S(z) - S(a) | ≤ | S(z) - Sn(z) | + (z) − u n (a ) | + | S(a) - Sn(a)| < ε n k =0 VËy h m S(z) liªn tôc trªn miÒn D. 2. TÝch ph©n tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m S(z) còng kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. n»m gän trong miÒn D v n =0 +∞    +∞   ∑ u n (z ) dz = ∑  ∫ u n (z)dz  ∫  n =0 (4.1.3)    Γ  n =0  Γ  Chøng minh Theo tÝnh chÊt 1. h m S(z) liªn tôc v Γ tr¬n tõng khóc nªn kh¶ tÝch trªn Γ. b KÝ hiÖu s(Γ) = ∫ | γ ′(t ) | dt . Do tÝnh héi tô ®Òu a ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / s(Γ) Suy ra n ∫ S(z)dz − ∑ ∫ u n (z)dz ≤ ∫ S(z) − S (z) dz < ε n k =0 Γ Γ Γ +∞ D ∑u 3. §¹o h m tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v (z) = S (z) th× n n =0 h m S(z) còng gi¶i tÝch trong miÒn D. +∞ D ∑ u (nk ) (z) = S ( k ) (z) ∀ k ∈ ∠, (4.1.4) n =0 Chøng minh Víi mäi z ∈ D, ∃ B(z, R) ⊂ D. KÝ hiÖu Γ = ∂B+ v G = D - B(z, R/2) khi ®ã u (ζ ) u (ζ ) G S (ζ ) +∞ gi¶i tÝch trong G v ∑ n ∀ n ∈ ∠, n = ζ−z n =0 ζ − z ζ−z Sö dông c«ng thøc (3.4.3) v c«ng thøc (4.1.3) 1 +∞ u n (ζ ) 1 S (ζ ) +∞ ∑ ∫ ζ − z dζ = 2πi ∫ ζ − z dζ S(z) = ∑ u n (z) = 2πi n =0 Γ n =0 Γ Theo ®Þnh lý vÒ tÝch ph©n Cauchy h m S(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v do ®ã cã ®¹o h m mäi cÊp trªn miÒn D. KÕt hîp c«ng thøc (3.5.3) v c«ng thøc (4.1.3) u n (ζ ) S (ζ ) +∞ +∞ k! k! dζ = ∑ dζ = ∑ u (nk ) (z) ∫ 2 πi ∫ (ζ − z) k +1 ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = n = 0 2 πi Γ (ζ − z ) k +1 n =0 Γ Trang 60 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 4. X¸c ®Þnh trªn biªn NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D , gi¶i tÝch trong miÒn D +∞ +∞ ∂D D ∑ u n (z) = S(z) th× ∑u (z ) = S(z) . v n n =0 n =0 Chøng minh Theo nguyªn lý cùc ®¹i n n ∑u ∑u ∀ z ∈ D, ∃ a ∈ ∂D : | S(z) - (z) | ≤ | S(a) - (a ) | < ε k k k =0 k =0 §2. Chuçi luü thõa phøc • Chuçi h m phøc +∞ ∑c (z − a ) n = c0 + c1(z - a) + ... + cn(z - a)n + ... (4.2.1) n n =0 gäi l chuçi luü thõa t©m t¹i ®iÓm a. §Þnh lý Abel NÕu chuçi luü thõa héi tô t¹i ®iÓm z0 ≠ a th× nã héi tô tuyÖt ®èi v ®Òu trong mäi h×nh trßn B(a, ρ) víi ρ < | z0 - a |. Chøng minh +∞ Do chuçi sè phøc ∑ c n (z 0 − a ) n héi tô nªn lim cn(z0 - a)n = 0. Suy ra n → +∞ n =0 ∃ M > 0 sao cho ∀ n ∈ ∠, | cn(z0 - a)n | ≤ M Víi mäi z ∈ B(a, ρ) ®Æt q = | z - a | / | z0 - a | < 1 ta cã n z−a ∀ n ∈ ∠, ∀ z ∈ B(a, ρ), | cn(z - a) | = | cn(z0 - a) | ≤ M qn n n z0 − a +∞ ∑q n Do chuçi sè d−¬ng héi tô, theo tiªu chuÈn Weierstrass suy ra chuçi luü thõa héi tô n =0 tuyÖt ®èi v ®Òu. Hª qu¶ 1 NÕu chuçi luü thõa ph©n kú t¹i z1 th× nã ph©n kú trªn miÒn | z - a | > | z1 - a | Chøng minh Gi¶ sö tr¸i l¹i chuçi luü thõa héi tô t¹i z : | z - a | > | z1 - a |. Tõ ®Þnh lý suy ra chuçi luü thõa héi tô t¹i z1. M©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. HÖ qu¶ 2 Tån t¹i sè R ≥ 0 sao cho chuçi luü thõa héi tô trong ®−êng trßn | z - a | = R v Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 61
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ph©n kú ngo i ®−êng trßn | z - a | = R. Chøng minh Râ r ng chuçi luü thõa lu«n héi tô t¹i z = 0 v ph©n kú t¹i z = ∞. KÝ hiÖu R1 = Max{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa héi tô trong | z - a | < ρ} R2 = Min{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa ph©n kú ngo i | z - a | < ρ} Ta cã R1 = R2 = R • Sè R gäi l b¸n kÝnh héi tô cßn h×nh trßn B(a, R) gäi l h×nh trßn héi tô cña chuçi luü thõa. NÕu D l miÒn héi tô cña chuçi luü thõa th× ta lu«n cã B(a, R) ⊂ D ⊂ B (a, R) HÖ qu¶ 3 B¸n kÝnh héi tô ®−îc tÝnh theo mét trong c¸c c«ng thøc sau ®©y cn 1 R = lim = lim (4.2.2) c n +1 n → +∞ n → +∞ | cn | n Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù chuçi luü thõa thùc. • KÝ hiÖu +∞ ∑c (z − a ) n víi z ∈ B(a, R) S(z) = (4.2.3) n n =0 KÕt hîp c¸c tÝnh chÊt cña h m luü thõa víi c¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô ®Òu ta cã c¸c hÖ qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 4 H m S(z) liªn tôc trong h×nh trßn B(a, R) Chøng minh Suy ra tõ tÝnh liªn tôc cña h m luü thõa v chuçi héi tô ®Òu. HÖ qu¶ 5 H m S(z) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, n»m gän trong B(a, R) +∞ ∑ c ∫ (z − a ) ∫ S(z)dz = n dz (4.2.4) n n =0 Γ Γ Chøng minh Suy ra tõ tÝnh kh¶ tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc tÝch ph©n tõng tõ. HÖ qu¶ 6 H m S(z) gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) +∞ ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)c (z − a ) n − k ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = (4.2.5) n n=k Chøng minh Suy ra tõ tÝnh gi¶i tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc ®¹o h m tõng tõ. Trang 62 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1 (k) HÖ qu¶ 7 ∀ k ∈ ∠, ck = S (a) (4.2.6) k! Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (4.2.5) víi z = a. +∞ 1 ∑z n VÝ dô Chuçi luü thõa héi tô ®Òu trong h×nh trßn B(0, 1) ®Õn h m S(z) = . 1− z n =0 Suy ra dζ +∞ z z +∞ 1 ∑ ∫ ζ n dζ = ∑ n + 1 z n +1 = ∫ 1 − ζ = - ln(1 - z) ∀ z ∈ B(0, 1), n =0 0 n =0 0 (k) +∞ 1 k! ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)z n−k ∀ k ∈ ∠, =  = , ... 1 − z  (1 − z) k +1 n=k §3. Chuçi Taylor §Þnh lý Cho D = B(a, R), Γ = ∂D+ v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. f (ζ ) +∞ 1 ∑c ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ , n ∈ ∠ ∀ z ∈ D, f(z) = (z − a ) n víi cn = (4.3.1) n 2 πi Γ n =0 C«ng thøc (4.3.1) gäi l khai triÓn Taylor cña h m f t¹i ®iÓm a. Chøng minh Víi mäi z ∈ D cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy f (ζ ) 1 ∫ ζ − z dζ f(z) = (1) 2 πi Γ Víi ζ ∈ Γ ta cã q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triÓn n n 1 z−a f (ζ ) f (ζ )  z − a  +∞ +∞ 1 1 1 ∑ζ −a ζ −a v ζ −z = ∑ ζ − a  ζ − a  (2) = =     z−a ζ−a ζ−z     1− n =0 n =0 ζ−a Do h m f liªn tôc nªn cã module bÞ chÆn trªn miÒn D suy ra n f (ζ )  z − a  Mn ∃ M > 0 : ∀ ζ ∈ Γ, ≤   q ζ −a ζ −a R   Theo tiªu chuÈn Weierstrass chuçi (2) héi tô ®Òu trªn Γ, do ®ã cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ däc theo ®−êng cong Γ. TÝch ph©n tõng tõ c«ng thøc (1) suy ra c«ng thøc (4.3.1) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 63
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ KÕt hîp c«ng thøc (4.2.6) v (4.3.1) ta cã 1 (k) ∀ k ∈ ∠, ck = f (a) (4.3.2) k! NhËn xÐt Theo ®Þnh lý Cauchy cã thÓ lÊy Γ l ®−êng cong bÊt k× ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc bao a v z, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong B(a, R). Th«ng th−êng, chóng ta khai triÓn h m f(z) trong h×nh trßn B(0, R) chuçi nhËn ®−îc gäi l chuçi Maclorinh t−¬ng tù nh− h m thùc. VÝ dô +∞ zn zn +∞ zn 1 ∑ (−1) n ∑ n! v e-z = 1. ez = 1 + z+…+ +… = n! 1! n! n =0 n =0 (−1) n 2 n +∞ ( −i ) n n 1 i 1 1 1 ∑ (2n)! z 2. cos z = (eiz + e-iz) = ∑ ( + )z n = 1 - z2 + z4 + ... = 2 n! n! 2 2! 4! n =0 T−¬ng tù khai triÓn 1 iz -iz 1 1 (e - e ), ch z = (ez + e-z), sh z = (ez - e-z) sin z = 2i 2 2 m(m − 1)...( m − n + 1) n m ( m − 1) 2 +∞ z +… = ∑ 3. (1 + z)m = 1 + mz + z n! 2! n =0 Víi m = 1 1 +∞ ∑ (−1) = 1 - z + z2 - … = nn z 1+ z n =0 Thay z b»ng z2 +∞ 1 = 1 - z2 + z4 - … = ∑ ( −1) n z 2 n 1 + z2 n =0 Suy ra dζ z (−1) n n +1 +∞ z +∞ ∑ n + 1z ∑ (−1) n ∫ ζ n dζ = ∫1+ ζ = ln(1 + z) = n =0 n =0 0 0 (−1) n 2 n +1 z +∞ +∞ dζ z = ∑ (−1) n ∫ ζ 2 n dζ = ∑ 2n + 1z ∫ 1 + ζ 2 n =0 arctanz = n =0 0 0 §4. Kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch §Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = 0 th× ∃ R > 0 sao cho ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0. Trang 64 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2