intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p6

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
88
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến Đổi Fourier V Biến Đổi Laplace η(t) = 1 0  δ(t, h) = t ≥ 0 gọi l h m nhảy đơn vị t h, Đạo h m gốc Giả sử h m f v các đạo h m của nó l các h m gốc. f’(t) ↔ zF(z) - f(0) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ zn F(z) - zn-1f(0) - ... - f(n-1)(0) (5.8.5) Chứng minh f’(t) ↔Dịch chuyển gốc Nếu h m f khả tích tuyệt đối thì với mọi số thực α h m f(t - α) cũng khả tích tuyệt đối. (5.4.2) ∀ α ∈ 3, f(t - α)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích các tính chất của hàm điều hòa có đạo hàm riêng trong tập số phức p6

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k t ≥ 0 gäi l h m nh¶y ®¬n vÞ η(t) = 1 0 t
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1. Do h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn bÞ chÆn trªn 3 ∀ (t, τ) ∈ 32, | f(τ)g(t - τ) | ≤ || g ||∞ | f(τ) | Do f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn tÝch ph©n suy réng (f∗g)(t) héi tô tuyÖt ®èi v bÞ chÆn ®Òu +∞ +∞ +∞  +∞  || f ∗ g ||1 = ∫ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ dt ≤ ∫ | f (τ) |  ∫ | g(t − τ) | dt dτ = || f ||1 || g ||1    −∞  −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ = ∫ f (t − θ)g(θ)dθ = (g∗f)(t) ∀ t ∈ 3, (f∗g)(t) = 2. −∞ −∞ +∞ h 1 ∫ f (t − τ) lim δ(τ, h)dτ = lim h∫ ∀ t ∈ 3, (f∗δ)(t) = f (t − τ)dτ = f(t) 3. h →0 h →0 −∞ 0 4. Suy ra tõ tÝnh tuyÕn tÝnh cña tÝch ph©n §2. C¸c bæ ®Ò Fourier Bæ ®Ò 1 Cho h m f ∈ L1. Víi mçi f ∈ 3 cè ®Þnh kÝ hiÖu fx(t) = f(t - x) víi mäi t ∈ 3 Khi ®ã ¸nh x¹ Φ : 3 → L1, f → fx l liªn tôc theo chuÈn. Chøng minh Ta chøng minh r»ng ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ 3, | x - y | < δ ⇒ || Φ(x) - Φ(y) ||1 < ε ThËt vËy Do h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn 1 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∫ | f (t ) | dt < ε 4 | t |≥ N Trong kho¶ng [-N, N] h m f cã h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i mét a1 = - N < a2 < ... < am = N víi ∆ = Max{| ak - ak-1 | : k = 1...m} v trªn mçi kho¶ng con [ak-1, ak] h m cã thÓ th¸c triÓn th nh h m liªn tôc ®Òu ε ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : | x - y | < δ ⇒ | f(x) - f(y) | < 2 m∆ Tõ ®ã suy ra −íc l−îng +∞ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt || Φ(x) - Φ(y) ||1 = −∞ ak m ∑ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt ∫ f (t − x) − f (t − y) dt + ≤
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ 1 ∫∞H(λt )e dt ixt H(t) = e-|t| v hλ(x) = (5.2.1) 2π − Bæ ®Ò 2 C¸c h m H(t) v hλ(x) cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y ∀ t ∈ 3, 0 < H(t) ≤ 1 lim H(λt) = 1 lim H(λt) = 0 1. λ →0 λ → +∞ +∞ 1λ ∫h ∀ (λ, x) ∈ 3 × 3* 2. hλ(x) = (x)dx = 1 + λ π λ2 + x 2 −∞ +∞ +∞ 1  ∫∞ −∫∞f (s)e ds H(λt )e dt ∀ f ∈ L1 (f ∗ hλ)(x) = ist ixt 3. 2π −     ∀ g ∈ L∞ liªn tôc t¹i x ∈ 3 lim (g ∗ hλ)(f) = g(x) 4. λ →0 ∀f∈L lim || f ∗ hλ - f ||1 = 0 1 5. λ →0 Chøng minh 1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa h m H(t) 2. TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n (5.2.1) +∞ 1  ( λ + ix ) t  11λ 0 1 1  ∫e dt + ∫ e ( − λ + ix ) t dt  =  2 π  λ + ix − − λ + ix  = π λ2 + x 2 hλ(x) =  2π  −∞    0 3. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ +∞ 1   ∫ f (x − y)e i ( x − y ) t dy H(λt )e ixt dt (f ∗ hλ)(x) = ∫ f (x − y)h λ (y)dy = 2 π −∫  −∞  ∞  −∞ §æi biÕn s = x - y ë tÝch ph©n bªn trong nhËn ®−îc kÕt qu¶. 4. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ ∫ g(x − y)h λ (y)dy = ∫ g(x − λs)h (s)ds víi y = λs (g ∗ hλ)(x) = 1 −∞ −∞ ¦íc l−îng trùc tiÕp ∀ (x, s) ∈ 32, | g(x - λs)h1(s) | ≤ || g ||∞ | h1(s) | Suy ra tÝch ph©n trªn bÞ chÆn ®Òu. Do h m g liªn tôc nªn cã thÓ chuyÓn giíi h¹n qua dÊu tÝch ph©n. +∞ ∫ g( x ) h (g ∗ hλ)(x) λ → 0 (s)ds = g(x) → 1 −∞ 5. KÝ hiÖu +∞ ∫ | f (x − y) − f (x) | dx ≤ 2|| f || ∀ y ∈ 3, g(y) = || fy - f ||1 = 1 −∞ Theo bæ ®Ò 1. h m g liªn tôc t¹i y = 0 víi g(0) = 0 v bÞ chÆn trªn to n 3 Tõ ®Þnh nghÜa chuÈn, tÝch chËp v h m hλ Trang 82 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ +∞ ∫ | (f ∗h ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h || f∗hλ - f ||1 = )(x) − f (x) | dx = (y)dy dx λ λ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞   ∫  ∫ | f (x − y) − f (x) | dx h ≤ (y)dy = (g∗hλ)(0) λ→ g(0) = 0 0   λ →   −∞ − ∞ Suy ra tõ tÝnh chÊt 4. cña bæ ®Ò 2. §3. BiÕn ®æi Fourier • Cho c¸c h m f, F ∈ L1 kÝ hiÖu ) +∞ − i ωt ∫ f (t )e ∀ ω ∈ 3, f (ω) = dt (5.3.1) −∞ ( +∞ 1 itω ∫∞F(ω)e dω ∀ t ∈ 3, F (t) = (5.3.2) 2π − Ngo i ra h m f v h m g gäi l b»ng nhau hÇu kh¾p n¬i trªn 3 nÕu ∫ | f (x) − g(x) | dx = 0 R §Þnh lý Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn ) ) ∀ f ∈ L1 f ∈ C0 ∩ L1 v || f ||∞ ≤ || f ||1 1. ( ( ∀ F ∈ L1 F ∈ C0 ∩ L1 v || F ||∞ ≤ || f ||1 2. ) ( h. k .n NÕu f = F th× F = f 3. Chøng minh 1. Theo gi¶ thiÕt h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã ∀ (ω, t) ∈ 32, | f(t)e-iωt | = | f(t) | ) Suy ra tÝch ph©n (5.3.1) bÞ chÆn ®Òu. Do h m f(t)e-iωt liªn tôc nªn h m f (ω) liªn tôc. BiÕn ®æi tÝch ph©n ) π +∞ +∞ π − i ω( t + ) dt = - ∫ f (t − )e − iωt dt f (ω) = ∫ f (t )e ω ω −∞ −∞ Céng hai vÕ víi c«ng thøc (5.3.1) suy ra ) +∞ π 2| f (ω) | ≤ ∫ | f (t ) − f (t − ) || e −iωt | dt = || f - f π ||1 ω→→ 0 +∞ ω −∞ ω Do ¸nh x¹ Φ liªn tôc theo chuÈn theo bæ ®Ò 1. Ngo i ra, ta cã Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 83
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ) ) +∞ || f ||∞ = supR| f (ω) | ≤ supR ∫ | f (t ) || e − iωt | dt = || f ||1 −∞ 2. KÝ hiÖu F-(t) = F(- t) víi t ∈ 3. BiÕn ®æi c«ng thøc (5.3.2) 1) ( +∞ 1 F(-σ)e − itσ dσ = 2 π −∫ F- (t ) víi σ = -ω F(t ) = 2π ∞ Do h m F ∈ L1 nªn h m F- ∈ L1 v kÕt qu¶ ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt 1. cña ®Þnh lý. 3. Theo tÝnh chÊt 3. cña bæ ®Ò 2 v tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÞ chÆn ®Òu 1) ( +∞ +∞ 1 f (ω)H(λω)e itω dω = itω ∫∞ ∫∞F(ω)H(λω)e dω λ0→ F(t ) (f ∗ hλ)(t) =  → 2π − 2π − MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 5. cña theo bæ ®Ò 2 || f∗hλ - f ||1 λ→ 0 0 → Do tÝnh chÊt cña sù héi tô theo chuÈn h. k . n ∀ t ∈ 3, (f∗hλ)(t) λ→ f(t) 0 → Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra ( h. k .n F =f • CÆp ¸nh x¹ ) ( F : L1 → C0 , f α f v F-1 : L1 → C0 , F α F (5.3.3) x¸c ®Þnh theo cÆp c«ng thøc (5.3.1) v (5.3.2) gäi l cÆp biÕn ®æi Fourier thuËn nghÞch. ) ( Do tÝnh chÊt 3. cña ®Þnh lý sau n y chóng ta lÊy F = f v ®ång nhÊt f ≡ F . H m f gäi l h m gèc, h m F gäi l h m ¶nh v kÝ hiÖu l f ↔ F. VÝ dô ) +∞ 1 1. f(t) = e η(t) ↔ f (ω) = ∫ η(t )e −(a +iω) t dt = -at víi Re a > 0 a + iω −∞ ) +∞ 2λ 0 1 1 -λ|t| ( λ − iω) t dt + ∫ e −( λ + iω) t dt = (λ > 0) ↔ f (ω) = ∫ e f(t) = e + =2 λ − iω λ + iω λ + ω 2 −∞ 0 +∞ +∞ − iωt itω ∫ δ(t)e ∫ δ(ω)e 2. δ(t) ↔ u(ω) = dω = 1 ↔ F(ω) = 2πδ(ω) dt = 1 v u(t) = −∞ −∞ ) sin Tω T 1 | t |≤ T 3. f(t) =  − iωt ∫e 0 | t | > T ↔ f (ω) = dt = 2 ω  −T ( +∞ sin ωT sin ωT iωt 1 ∫∞2 ω e dω ≡ f(t) ngo¹i trõ c¸c ®iÓm t = ± T F(ω) = 2 ↔ F (t) = ω 2π − 1) ( T 1 | ω|≤ T 1 sin Tt F(ω) =  e itω dω = 2 π −∫ ↔ F (t) = ≡ f (t) 0 | ω | > T πt 2π  T Trang 84 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2