Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 2 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:118

Thêm vào BST

Báo xấu

277
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Giáo trình Toán cao cấp A3 tiếp tục giới thiệu đến bạn đọc nội dung từ chương 4 đến chương 6 về không gian vector, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Giáo trình được trình bày kết hợp giữa lý thuyết và bài tập, thiết kế bài tập sau mỗi chương giúp cho các bạn sinh viên và bạn đọc quan tâm đến vấn đề này dễ dàng nghiên cứu và học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 2 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Chương 4 KHÔNG GIAN VECTOR I. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR: 1.Khái niệm trường: Ðịnh nghĩa: Cho tập hợp K có ít nhất 2 phần tử. Giả sử K được trang bị 2 phép toán đại số là cộng (+) và nhân (.). Khi đó K được gọi là một trường nếu những điều kiện sau đây được thỏa: (i) (tính giao hoán của phép toán +) (ii) (tính kết hợp đối với phép toán +) (iii) Trong tập hợp K tồn tại một phần tử không , ký hiệu là 0, sao cho (iv) Với mọi , tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là - a, sao cho (v) (tính giao hoán đối với phép toán.) (vi) (tính kết hợp đối với phép toán.)
(vii) Trong tập K tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu là 1, sao cho: (viii) Với mọi tồn tại phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu là a-1, sao cho (ix) (tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng) Nhận xét: Trong định nghĩa trên ta có thể kiểm chứng được rằng phần tử 0 và phần tử 1 của trường K là duy nhất, , phần tử - -1 a cũng duy nhất, a≠0, phần tử nghịch đảo a cũng duy nhất. Ví dụ về trường: 1) Tập hợp R các số hữu tỉ với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. 2) Tập hợp R các số thực với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. Tập hợp các số phức C với các phép toán (+) và (.) số phức cũng là một trường. 3) với các phép toán (+) và (.) dưới đây là một trường: 2. Ðịnh nghĩa không gian vector: Ðịnh nghĩa: Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và K là một trường. Ta nói V là một không gian vector trên trường K hay là một K không gian vector nếu trên tập V ta có trang bị một phép toán đại
số (gọi là phép cộng và ký hiệu bởi dấu +) và có một phép nhân (.) mỗi với cho kết quả là một phần tử thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Tính giao hoán của phép cộng trên V: (ii) Tính kết hợp của phép cộng trên V: (iii) Tồn tại một phần tử không trong V, ký hiệu là 0, sao cho: (iv) Với mọi , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là -v thoả mãn: v + (-v) = 0 (v) Với mọi , với mọi u và v thuộc V, ta có: (vi) (vii) (viii) Nhận xét: có thể dễ dàng thấy rằng phần tử 0 trong V là duy nhất; và với mỗi , phần tử -v cũng duy nhất. Các phần tử của không gian vector V được gọi là các vector. Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng. Trong trường hợp
K = R (trường số thực) thì V được gọi là không gian vector thực. Nếu K = R thì ta gọi V là không gian vector phức. Từ phép cộng vector trên không gian vector V ta định nghĩa phép trừ (-) vector bằng công thức sau đây: u - v = u + (- v) Từ đó có thể chứng minh được tính chất phân phối đối với phép trừ: Sau đây là một số tính châ1t đơn giản của không gian vector có thể được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. Tính chất: Các ví dụ về không gian vector: Ở trên chúng ta đã nêu lên định nghĩa tổng quát của một không gian vector trên trường K. Trường K được gọi là trường cơ sở.
Trong các áp dụng và các lĩnh vực khác nhau các không gian vector có thể là những tập hợp rất khác nhau. Trong mục này sẽ nêu lên một số ví dụ quan trọng về không gian vector. Ví dụ 1: với K là một trường và , xét tập hợp gồm tất cả các bộ n phần tử của n K. Trên K , đã xét các phép toán được định nghĩa như sau: Với mọi và với mọi : Dễ dàng kiểm chứng rằng các phép toán này thoả mãn tất cả các tính chất nêu trong định nghĩa không gian vector. Vậy Kn là một không gian vector trên K. Trong giáo trình này chúng ta sẽ thường xuyên làm việc với các không gian vector Rn và Cn . Nhận xét: Tập hợp các vector tự do trong mặt phẳng với phép toán cộng 2 vector và phép toán nhân vector với số thực thông thường (đã được biết trong chương trình toán phổ thông) là một không gian vector trên trường số thực. Về mặt tính toán tọa độ vector trong mặt phẳng Oxy, có thể nói không gian vector này chính là không gian vector R2. Tương tự, tập hợp các vector tự do trong không gian là một không gian vector trên trường số thực. Đây cũng chính là không gian R3. Ví dụ 2: Với K=R hoặc C, đặt Mmxn(K) là tập hợp tất cả các ma trận có các phần tử thuộc K, trong đó m và n là 2 số nguyên dương cho trước. Tập hợp Mmxn(K) với phép cộng 2 ma trận và phép nhân
số với ma trận thông thường là một không gian vector trên trường K. Ví dụ 3: Đặt Rn[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc lớn hơn hoặc bằng n, trong đó n là một số nguyên dương, và đặt R[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Với phép toán cộng 2 đa thức và phép toán nhân một số với đa thức thông thường thì R[x] và Rn[x] là các không gian vector trên R. Ví dụ 4: Gọi C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Định nghĩa các phép toán trên C[a,b] như sau: Nếu thì Dễ dàng kiểm chứng rằng C[a,b] là một không gian vector trên R, trong đó phần tử không 0 là hàm số hằng zero, tức là hàm bằng 0 với mọi x, và phần tử đối của f là -f với II. KHÔNG GIAN VECTOR CON: 1. Ðịnh nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và W là một tập hợp con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vector con của V nếu W là một không gian vector trên K ứng với các phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng trên W. Ví dụ: Tập hợp {0} và V là các không gian vector con của không gian vector V.
Để kiểm tra một tập hợp có phải là một không gian vector con của V không ta chỉ cần kiểm tra 2 điều kiện được nêu trong định lý sau đây: Định lý: Tập con của một không gian vector V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: (i) (ii) Ghi chú: các điều kiện (i) và (ii) trong định lý trên có thể được thay thế bằng điều kiện dưới đây: Ví dụ:Cho K=R hoặc C, và A là một ma trận cấp mxn với các phần tử thuộc K. Đặt: tức là W là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A. Ta sẽ chứng minh W là một không gian vector con của Kn. Cho , và tùy ý thuộc W. Ta có:
Suy ra: nghĩa là Vậy W là một không gian vector con của Kn. 2. Không gian giao, không gian tổng: Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V cũng là một không gian con của V. Chứng minh: Xét
Trong đó là một họ các không gian con của V. Vì nên và do đó . Giả sử và (tùy ý). Khi đó nên suy ra . Vậy W là một không gian con của V. Định lý: Giả sử W1 và W2 là các không gian con của một không gian vector V. Đặt: . Khi đó W1 + W2 là một không gian vector con của V, được gọi là không gian tổng của W1 và W2. Lưu ý: trong trường hợp , thì không gian tổng được viết là và được gọi là tổng trực tiếp của các không gian W1 và W2. III. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH: 1. Ðịnh nghĩa tổ hợp tuyến tính: Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và là các vector thuộc V. Một vector được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector nếu tồn tại các vô hướng sao cho :
Đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn tuyến tính của x theo Ví dụ: 1). vector là một tổ hợp tuyến tính của các vector vì: vector không phải là một tổ hợp tuyến tính của v1 , v2 vì nếu ngược lại thì tồn tại sao cho mà hệ phương trình (*) với các ẩn và là vô nghiệm nên sẽ có mâu thuẫn. 2). Vector 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của một họ bất kỳ các vector 3). Trong không gian vector V=Rn cho m vector và
Tìm điều kiện cần và đủ để v là một tổ hợp tuyến tính của các vector là tồn tại các số thực sao cho (1) là một đẳng thức vector, nếu so sánh từng thành phần tương ứng của các vector ở 2 vế của (1) ta được: là một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn gồm n phương trình với: Ma trận hệ số là : = ma trận gồm các vector cột và cột hệ số vế phải là
Vậy là một tổ hợp tuyến tính của các vector khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm . Áp dụng: Tìm m để cho vector v = (1,m,3) là một tổ hợp tuyến tính của 2 vector , và viết v thành tổ hợp tuyến tính của Điều kiện để v là tổ hợp tuyến tính của là hệ phương trình tuyến tính theo 2 ẩn với ma trận mở rộng là có nghiệm. Dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìm được m = 3, và trong trường hợp này nghiệm 2. Ðịnh nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. Định nghĩa: cho V là một không gian vector trên trường K, và là các vector thuộc V. Ta nói họ vector là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng không đồng thời bằng không (tức là có ít nhất một vô hướng là khác 0) sao cho:
Họ vector không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ vector độc lập tuyến tính. Ví dụ: 1) Trong V = R3 các vector , và là phụ thuộc tuyến tính vì 2) Trong một mặt phẳng bất kỳ 2 vector không cùng phương nào cũng độc lập tuyến tính, nhưng bất kỳ ba vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính. 3) Trong không gian (R3) bất kỳ ba vector không đồng phẳng nào cũng độc lập tuyến tính nhưng bốn vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề: các vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Chứng minh: Nếu các vector phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho trong đó có ít nhất một hệ số khác 0, chẳng hạn . Khi đó:
với các . Do đó vn là một tổ hợp tuyến tính của . Ngược lại, nếu tồn tại một vector trong các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại, chẳng hạn thì tức là là phụ thuộc tuyến tính. Ngoài ra, từ định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính ta có thể kiểm chứng dễ dàng các tính chất sau đây: (i) Các vector độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu . (ii) Mọi họ vector, trong đó có vector 0 đều phụ thuộc tuyến tính. (iii) Với mọi , {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi . (iv) Họ vector là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số.
chỉ có nghiệm zero. Định nghĩa: (i) Một họ khác rỗng các vector của không gian vector V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính. (ii) Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vector của V gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính. IV. KHÔNG GIAN CON SINH BỞI MỘT TẬP HỢP: Cho V là một không gian vector trên trường K, và S là một tập vector trong . Ta có thể thấy rằng họ các không gian vector con của V chứa S là khác rỗng vì V là một không gian con của V chứa S. Theo định lý về “không gian giao” trong II.2, thì phần giao của họ các không gian con của V chứa S cũng là một không gian con của V.Không gian con này sẽ được ký hiệu là ( hay vắn tắt là thì ta nói S là một tập hợp sinh của V, hay không gian V được sinh ra bởi tập S. Nếu V được sinh bởi một tập hợp hữu hạn phần tử thì V được gọi là hữu hạn sinh. Nhận xét rằng . Với S là một tập hợp khác rỗng các vector của V. Khi đó Nói cách khác, không gian vector sinh bởi tập S chính là tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S. Chứng minh:
Theo định nghĩa thì là không gian vector con nhỏ nhất của V chứa tập S. Ký hiệu tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của S là W, ta cần chứng minh . Giả sử và . Khi đó v và v’ có dạng: với Suy ra: cũng là một vector thuộc W. Vậy W là một không gian vector con của V. Hiển nhiên W là không gian con của V chứa S, và W nằm trong mọi không gian con của V chứa S. Từ đó ta có: . Hệ quả: Cho S và S’ là các tập hợp con khác rỗng của V. Nếu mỗi vector của S đều viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S’ và ngược lại, thì . Ví dụ: 1) Trong R3, cho với và . Ta có:
2) Cho W là một không gian vector con của R4 gồm các vector thỏa hệ phương trình tuyến tính: Tìm một tập hợp sinh của W. Biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính ta có: Suy ra hệ phương trình tương đương với hệ phương trình mới sau đây: Hệ số có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do.  Suy ra một tập hợp sinh của W gồm các vector
Mệnh đề: Giả sử W1 và W2 là các không gian vector con của Kn có các tập hợp sinh tương ứng là S1 và S2. Khi ấy không gian tổng W1 + W2 có một tập hợp sinh là . Nói cách khác. Ví dụ: Trong không gian vector R4 cho các vector và . Gọi W1 là không gian vector con sinh bởi và W2 là không gian vector con sinh bởi . Tìm điều kiện để vector , nghĩa là tìm W. Theo mệnh đề trên thì W sinh bởi , nên vector khi và chỉ khi. Điều kiện này có nghĩa là hệ phương trình (với ẩn là ) sau đây có nghiệm. Hệ phương trình có nghiệm nếu và chỉ nếu:
Suy ra V. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU: 1. Ðịnh nghĩa cơ sở. Cho V là một không gian vector trên trường K, và B là một tập hợp các vector trong V. Tập vector B được gọi là một cơ sở của V khi. (i) B độc lập tuyến tính, và (ii) B sinh ra V, nghĩa là Ví dụ: 1) B = {} (tập rỗng) là cơ sở của V = {0} 2) V = Kn là không gian vector trên K có một cơ sở là , với Thật vậy, với ta có
và mỗi nên . Hơn nữa, nếu thì hay nên độc lập tuyến tính. Vậy E là một cơ sở của không gian vector Kn (trên trường K). Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc của Kn. 3) Trong không gian R3 cho các vector . Chứng minh là một cơ sở của R .3 Cho tùy ý của R3. Ta đã biết v là một tổ hợp tuyến tính của khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính sau (với nghiệm là ) có nghiệm. với . Dễ thấy rằng A khả nghịch nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là. Điều này cho thấy rằng v có thể viết dưới dạng và nếu v=0 (vector 0) thì .