zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình Toán học phần 4

Chia sẻ: Phuoc Hau Phuoc Hau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

70
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tích Phân Phức Với mọi a ∈ D tuỳ ý F (z) − F(a ) 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) =  z →a ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ  → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ z−a 2 πi Γ Γ Suy ra h m F có đạo h m cấp một trong miền D tính theo công thức (3.5.2) v do đó giải tích trong miền D.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học phần 4

Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc Víi mäi a ∈ D tuú ý F (z) − F(a ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ a → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ  = z→ z−a 2 πi Γ Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp mét trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) v do ®ã gi¶i tÝch trong miÒn D. Gi¶ sö h m F cã ®¹o h m ®Õn cÊp n - 1 trong miÒn D Víi mäi a ∈ D tuú ý n =1 ∑ (ζ − a ) (ζ − z ) n −1− k k (n − 1)! ( n −1) ( n −1) (z) − F F (a ) 2 πi ∫ f (ζ ) k = 0 dζ = z−a (ζ − a ) n ( ζ − z ) n Γ f (ζ ) n! ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ a →  z→ 2 πi Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp n trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D cã biªn ®Þnh h−¬ng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. NÕu h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D th× cã ®¹o h m mäi cÊp trong miÒn D. f (ζ ) n! ∫D (ζ − z) n +1 dζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, f(n)(z) = (3.5.3) 2πi ∂ Chøng minh NÕu D l miÒn ®¬n liªn th× biªn ∂D l ®−êng cong Γ ®Þnh h−íng d−¬ng, ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. Theo c«ng thøc (3.4.3) ta cã f (ζ ) 1 ∫D ζ − z dζ ≡ F(z) ∀ z ∈ D, f(z) = 2πi ∂ KÕt hîp víi c«ng thøc (3.5.2) suy ra c«ng thøc (3.5.3) NÕu D l miÒn ®a liªn biÕn ®æi miÒn D th nh miÒn D1 ®¬n liªn nh− trong hÖ qu¶ 2, §3. Sau ®ã sö dông kÕt qu¶ ® biÕt cho miÒn ®¬n liªn, tÝnh céng tÝnh v tÝnh ®Þnh h−íng cña tÝch ph©n. HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. 2 πi (n) f (z) ∫ (z − a ) ∀ a ∈ DΓ, dz = f (a) (3.5.4) ( n +1) n! Γ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.5.3) e z dz VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ®Þnh h−íng d−¬ng Γ ( z + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 51
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc H m f(z) = ez liªn tôc trªn h×nh trßn | z | ≤ 2, gi¶i tÝch trong h×nh trßn | z | < 2. Tho¶ m n c«ng thøc (3.5.4) suy ra 2 πi f”(-1) = πie-1 I= 2! HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý Morera) Cho h m f liªn tôc trªn miÒn D v víi mäi tam gi¸c ∆ ⊂ D ∫ f (z)dz = 0 (3.5.5) ∂∆ Khi ®ã h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Chøng minh Víi a ∈ D tuú ý, kÝ hiÖu B = B(a, δ) ⊂ D. V× h m f liªn tôc trªn B nªn kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n th¼ng [a, z] víi z ∈ B. z+h Do ®ã h m B z z a F(z) = ∫ f (ζ )dζ víi z ∈ B a x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trong h×nh trßn B v F(a) = 0. Ngo i ra víi mäi (z, h) ∈ D × ∀ sao cho [z, z + h ] ⊂ B z+h F(z + h) − F(z) 1 ∫ (f (ζ) − f (z))dζ ≤ sup{| f(ζ) - f(z) | : ζ ∈ [z, z + h]} − f (z) = h h z h → 0  Suy ra h m F gi¶i tÝch trong B v F’(z) = f(z). Tõ ®Þnh lý trªn suy ra h m f cã ®¹o h m trong B v do ®ã gi¶i tÝch trong B. §6. §Þnh lý trÞ trung b×nh §Þnh lý (VÒ trÞ trung b×nh) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã 2π n! )e − int dt ∫ f (a + Re ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, f(n)(a) = it (3.6.1) 2 πR n 0 Chøng minh Tham sè ho¸ ®−êng trßn S = ∂B+(a, R) γ(t) = a + Reit, dz = iReitdt víi t ∈ [0, 2π] Ap dông c«ng thøc (3.5.4) 2π n! f (z) n! )e − int dt ∫ (z − a ) n +1 dz = 2πR n ∫ f (a + Re it f(n)(a) = 2 πi S 0 Trang 52 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc HÖ qu¶ 1 (BÊt ®¼ng thøc Cauchy) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. n! M ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, | f(n)(a) | ≤ víi M = sup∂B| f(z) | (3.6.2) Rn Chøng minh Suy ra tõ −íc l−îng tÝch ph©n (3.6.1) 2π n! n! M )e − int dt ≤ ∫ f (a + Re | f(n)(a) | ≤ it 2π Rn 0 HÖ qu¶ 2 (§Þnh lý Liouville) H m gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh Gi¶ sö h m f gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp ∀. Khi ®ã ∀ (a, R) ∈ ∀ × 3+ , B(a, R) ⊂ ∀ Theo c«ng thøc (3.6.2) víi n = 1 | f’(a) | ≤ M → 0 víi M = sup∀| f(z) | R → +∞ R Suy ra ∀ a ∈ ∀, f’(a) = 0. VËy h m f l h m h»ng. HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý D’Alembert - Gauss) Mäi ®a thøc hÖ sè phøc bËc n cã ®óng n kh«ng ®iÓm phøc trong ®ã kh«ng ®iÓm béi k tÝnh l k kh«ng ®iÓm. Chøng minh Pn(z) = a0 + a1z + ... + zn v ∀ z ∈ ∀, Pn(z) ≠ 0 Gi¶ sö Ta cã a a a a | Pn(z) | = | z |n 1 +  n −1 + ... + 0  ≥ | z |n 1 −  n −1 + ... + 0  z zn  n z z   Suy ra rn   1 ∀ z ∈ ∀ : | z | ≥ r = Max  (n + 1)a k  ⇒ | Pn(z) | ≥ k n +1 k = 0.. n −1   KÝ hiÖu n mr = min{| Pn(z) | : | z | ≤ r}, m = min{mr , r } v g(z) = 1 , z ∈ ∀ n +1 Pn (z ) Khi ®ã 1 1 ∀ z ∈ ∀, | Pn(z) | ≥ m hay | g(z) | = ≤ | Pn ( z ) | m Nh− vËy h m g(z) l gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn ∀, theo ®Þnh lý Liouville nã l h m h»ng. Suy ra h m Pn(z) l h m h»ng! §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy ∃ z1 ∈ ∀ sao cho Pn(z1) = 0. Ph©n tÝch Pn(z) = (z - z1)Pn-1(z) víi degPn-1 = n - 1. LËp luËn t−¬ng tù ph©n tÝch Pn-1(z) v tiÕp tôc ph©n tÝch cho ®Õn khi Pn(z) = (z - z1)(z - z2) ... (z - zn) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 53
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc HÖ qu¶ 4 (Nguyªn lý module cùc ®¹i) Cho miÒn D giíi néi v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Khi ®ã hoÆc h m f(z) l h m h»ng hoÆc h m | f(z) | chØ ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. Chøng minh • Gi¶ sö h m f(z) kh«ng ph¶i l h m h»ng. Do h m | f(z) | liªn tôc trªn miÒn D ®ãng v giíi néi nªn ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn miÒn D . Chóng ta xÐt tr−êng hîp h m ®¹t trÞ lín nhÊt. Tøc l ∃ a ∈ D sao cho | f(a) | = MaxD | f(z) | NÕu a ∈ D0 th× a l ®iÓm cùc ®¹i ®Þa ph−¬ng v khi ®ã ∃ B(a, R) ⊂ D sao cho ∀ t ∈ [0, 2π], | f(a) | > | f(a + Reit) | ¦íc l−îng c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ f (a + Re | f(a) | ≤ ) dt < | f(a) | it 2π 0 §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy a ∈ ∂D. • LËp luËn t−¬ng tù cho tr−êng hîp h m ®¹t trÞ bÐ nhÊt. §7. H m ®iÒu ho • H m thùc u(x, y) liªn tôc trªn D , thuéc líp C2 trong D gäi l h m ®iÒu ho trong nÕu nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace. Tøc l ∀ (x, y) ∈ D, ∆u = ∂ u + ∂ u = 0 2 2 (3.7.1) ∂x 2 ∂y 2 §Þnh lý PhÇn thùc, phÇn ¶o cña h m gi¶i tÝch l h m ®iÒu ho . Chøng minh Cho h m f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã h m f(z) cã ®¹o h m mäi cÊp suy ra c¸c h m u(x, y) v v(x, y) cã c¸c ®¹o h m riªng liªn tôc v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann u ′ = v ′y v u ′y = − v ′ x x Suy ra ∆u = u ′′ + u ′yy = v ′yx − v ′′y = 0 v ∆v = v ′′ + v ′yy = − u ′yx + u ′xy = 0 ′ ′ ′ ′ ′ xx x xx • Sau n y chóng ta gäi cÆp h m ®iÒu ho v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann l cÆp h m ®iÒu ho liªn hîp. §Þnh lý Cho h m thùc u(x, y) ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn. Khi ®ã cã h m phøc f(z) Trang 54 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc gi¶i tÝch trong miÒn D sao cho u = Ref hoÆc u = Imf. Chøng minh • Do h m u ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn nªn d¹ng vi ph©n ω = − u ′y dx + u ′ dy x l d¹ng vi ph©n ®óng. Suy ra tÝch ph©n cña nã kh«ng phô thuéc v o ®−êng lÊy tÝch ph©n. Cè ®Þnh a ∈ D víi mäi z ∈ D, h m z v(x, y) = ∫ − u ′y dx + u ′x dy (3.7.2) a thuéc líp C2 trong miÒn D v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann v ′ = - u ′y v v ′y = u ′ x x Suy ra h m phøc f(z) = u(x, y) + iv(x, y) l gi¶i tÝch trong miÒn D v u = Ref. • LËp luËn t−¬ng tù ®Ó t×m h m f(z) sao cho u = Imf. VÝ dô Cho h m u = x2 - y2 t×m h m w = f(z) gi¶i tÝch sao cho u = Ref KiÓm tra trùc tiÕp h m u l h m ®iÒu ho u ′ = 2x = v ′y , u ′y = - 2y = - v ′x v ∆u = u ′′ + u ′yy = 0 ′ x xx T×m h m v ®iÒu ho liªn hîp víi h m u v(x, y) = ∫ v ′ dx = ∫ 2ydx = 2xy + ϕ(y) x §¹o h m theo biÕn y v ′y = 2x + ϕ’(y) ≡ 2x ⇒ ϕ’(y) = 0 ⇒ ϕ(y) = C Suy ra h m phøc f(z) = (x2 - y2) + i(2xy + C) l h m gi¶i tÝch cÇn t×m. HÖ qu¶ 1 H m ®iÒu ho cã ®¹o h m riªng mäi cÊp v c¸c ®¹o h m riªng cña nã còng l h m ®iÒu ho . Chøng minh Theo c¸c ®Þnh lý ë trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Khi ®ã ®¹o h m c¸c cÊp cña h m f còng l h m gi¶i tÝch v cã phÇn thùc, phÇn ¶o l c¸c ®¹o h m riªng cña h m u. HÖ qu¶ 2 H m ®iÒu ho ®¹t trÞ trung b×nh t¹i t©m cña h×nh trßn n»m gän trong miÒn D. 2π 1 ∫ u(a + Re )dt ∀ R > 0 : B(a, R) ⊂ D, u(a) = it (3.7.3) 2π 0 Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Theo c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ Re f (a + Re )dt it u(a) = Ref(a) = 2π 0 HÖ qu¶ 3 H m u ®iÒu ho ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 55
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc Chøng minh Sö dông c«ng thøc (3.7.3) v lËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh nguyªn lý cùc ®¹i. HÖ qu¶ 4 H m ®iÒu ho v bÞ chÆn trªn to n tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh T−¬ng tù nh− trªn u = Ref víi f l h m gi¶i tÝch. Tõ gi¶ thiÕt h m u bÞ chÆn v c«ng thøc (3.7.4) d−íi ®©y suy ra h m f bÞ chÆn. Theo ®Þnh lý Liouville suy ra h m f l h m h»ng. Suy ra h m u l h m h»ng. C«ng thøc Schwartz Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D v B(0, R) ⊂ D. Re i.t + a 2π 1 2π ∫ ∀ a ∈ B(0, R), f(a) = u(Re i.t ) i.t dt + iv(0) (3.7.4) Re − a 0 Chøng minh Víi mäi a ∈ B(0, R) 2π 2π Re i.t 1 f(z) 1 dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t )dt 2 πi ∂∫ z - a 2π ∫ f(Re i.t ) i.t dz = f(a) = Re − a 2π 0 B 0 R2 Do a ∈ B(0, R) nªn a1 = ∉ B(0, R) suy ra a 2π ae i.t 1 f(z) 1 2 πi ∂∫ z - a 1 2π ∫ i.t dz = 0= f(Re ) i.t dt ae − R B 0 BiÕn ®æi 2π 2π 2π i.t 1 f(Re i.t )dt - 1 f(Re i.t ) ae dt = 1 ∫ f(Re i.t ) i.t R dt - ∫ ∫ f(0) = ae − R ae − R 2π 0 2π 0 2π 0 i.t 2π +R 2π 1 i.t 1 i.t ae -R ∫ f(Re ) ae i.t − R dt + 2 π ∫ f(Re ) ae i.t − R dt i.t 0= 2π 0 0 Suy ra 2π 2π f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re -i.t + a dt v f(0) = 1 ∫ f(Re i.t ) Re i.t + a dt -i.t i.t Re − a Re − a 2π 0 2π 0 2π f(a) - iv(0) = f (a ) − 1 [f (0) − f (0)] = 1 ∫ u(Re i.t ) Re i.t + a dt i.t Re − a 2 2π 0 •H m S(a, t) = Re i.t + a i.t Re − a gäi l nh©n Schwartz. Theo c«ng thøc (3.7.4) nÕu biÕt gi¸ trÞ trªn biªn cña phÇn thùc u v gi¸ trÞ v(0) th× suy ra ®−îc gi¸ trÞ cña h m f bªn trong h×nh trßn B(0, R). BiÕn ®æi Trang 56 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc 2 R Im(ae − it ) R 2 − | a |2 +i S(a, t) = | Re it + a | 2 | Re it − a | 2 Hm P(a, t) = ReS(a, t) = R − | a | 2 2 2 | Re + a | it gäi l nh©n Poisson. Tõ c«ng thøc (3.7.4) suy ra 2π u(a) = Ref(a) = 1 ∫ u(Re it ) R − | a | 2 dt 2 2 (3.7.5) 2π 0 | Re it + a | gäi l c«ng thøc Poisson. Sau n y chóng ta cã thÓ dïng c«ng thøc (3.7.5) ®Ó t×m nghiÖm cña b i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn. B i tËp ch−¬ng 3 • Tham sè ho¸ ®−êng cong ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ e dz víi Γ l cung parabole y = x3, 1 ≤ x ≤ 2 z 1. Γ ∫ tgzdz víi Γ l cung parabole x = y2, 0 ≤ y ≤ 1 2. Γ ∫ z Im zdz víi Γ l 3. ®−êng gÊp khóc nèi c¸c ®iÓm 1, i, -1 v -i Γ ∫ (z + zz )dz víi Γ l cung trßn | z | = 1, 0 ≤ arg z ≤ π 2 4. Γ z ∫ z − 1 dz víi Γ l ®−êng ellipse x2 + 4y2 = 4 5. Γ • Sö dông ®Þnh lý Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. ∫ z sin zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm 0 v πi 6. Γ ∫ (z − 1) cos zdz víi Γ l ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm π, πi 7. Γ dz ∫ z − 1 víi Γ l 8. ®−êng cong bÊt k× nèi hai ®iÓm -1 v 1 + i Γ ∫ | z | zdz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = { | z | = 1, Im z ≥ 0 } 9. Γ z ∫ | z | dz víi Γ l biªn ®Þnh h−íng cña miÒn D = {1 < | z | < 2, Im z ≥ 0 } 10. Γ Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 57
Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc dz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 11. +1 2 Γ • Sö dông c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy ®Ó tÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. z 2 dz ∫ z − 2i víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1 v | z | = 3 12. Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2i | = 1 v | z + 2i | = 1 13. +4 2 Γ dz ∫z víi Γ l c¸c ®−êng trßn | z | = 1, | z - 2 | = 1 v | z | = 3 14. + 2z 2 Γ zshzdz ∫z víi Γ l ®−êng cong kÝn kh«ng ®i qua ®iÓm ±i 15. +1 2 Γ • TÝnh c¸c tÝch ph©n sau ®©y. cos zdz 16. ∫ 2 víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 Γ z −1 sin zdz ∫z víi Γ l ®−êng trßn | z | = 3 17. − 2z 2 Γ ze z dz ∫ (z + i) 3 víi Γ l ®−êng trßn | z + i | = 1 18. Γ shzdz ∫ (z − 1) víi Γ l ®−êng trßn | z - 1 | = 1 19. (z + 3) 2 Γ ln( z + 3 ) dz víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ∫ 20. ( z 2 − 1) 3 Γ z sin z ∫ (z dz víi Γ l ®−êng ellipse 4x2 + y2 - 2y = 0 21. + 1) 2 3 Γ • T×m h m gi¶i tÝch biÕt phÇn thùc, phÇn ¶o. y u(x, y) = x3 - 3xy2 u(x, y) = x2 - y2 + 5x + y - 22. 23. x + y2 2 x x 24. u(x, y) = arctg 25. u(x, y) = - 2y x + y2 2 y v(x, y) = 2x2 - 2y2 + x 26. v(x, y) = 2xy + 3 27. y v(x, y) = ln(x2 + y2) + x - 2y v(x, y) = 3 + x2 - y - 28. 29. x( x + y 2 ) 2 Trang 58 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 4 CHUçI h m PHøC v ThÆng d− §1. Chuçi h m phøc • Cho d y h m (un : D → ∀)n∈∠. Tæng v« h¹n +∞ ∑u (z) = u0(z) + u1(z) + ... + un(z) + ... (4.1.1) n n =0 +∞ ∑u gäi l chuçi h m phøc. Sè phøc a gäi l ®iÓm héi tô nÕu chuçi sè phøc (a ) héi tô. n n =0 TËp c¸c ®iÓm héi tô gäi l miÒn héi tô v th−êng kÝ hiÖu l D. +∞ n Trªn miÒn héi tô h m S(z) = ∑ u n (z) gäi l tæng, h m Sn(z) = ∑ u k (z) gäi l tæng riªng n =0 k =0 thø n v h m Rn(z) = S(z) - Sn(z) gäi l phÇn d− thø n cña chuçi h m phøc. +∞ D ∑u (z) = S (z) nÕu Chuçi h m phøc gäi l héi tô ®Òu trªn miÒn D ®Õn h m S(z), kÝ hiÖu n n =0 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 sao cho ∀ z ∈ D, ∀ n ≥ N ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε +∞ ∑a Tiªu chuÈn Weierstrass NÕu cã chuçi sè d−¬ng héi tô sao cho n n =0 ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, | un(z) | ≤ an (4.1.2) th× chuçi h m phøc héi tô ®Òu trªn miÒn D. • Sau n y chóng ta xem c¸c chuçi héi tô ®Òu còng tho¶ m n tiªu chuÈn Weierstrass. Chuçi h m phøc héi tô ®Òu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m 1. TÝnh liªn tôc NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D v n =0 S(z) còng liªn tôc trªn miÒn D. Chøng minh Víi mäi a ∈ D v ε > 0 bÐ tuú ý Do tÝnh héi tô ®Òu ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ D ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / 3 v | S(a) - Sn(a) | < ε / 3 Do tÝnh liªn tôc Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 59
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− ∃ δ > 0 : ∀ n ≤ N , ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ | un(z) - un(a) | < ε / 3N Suy ra ∀ z ∈ D, | z - a | ≤ δ ⇒ N ∑| u | S(z) - S(a) | ≤ | S(z) - Sn(z) | + (z) − u n (a ) | + | S(a) - Sn(a)| < ε n k =0 VËy h m S(z) liªn tôc trªn miÒn D. 2. TÝch ph©n tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, +∞ D ∑ u n (z) = S(z) th× h m S(z) còng kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. n»m gän trong miÒn D v n =0 +∞    +∞   ∑ u n (z ) dz = ∑  ∫ u n (z)dz  ∫  n =0 (4.1.3)    Γ  n =0  Γ  Chøng minh Theo tÝnh chÊt 1. h m S(z) liªn tôc v Γ tr¬n tõng khóc nªn kh¶ tÝch trªn Γ. b KÝ hiÖu s(Γ) = ∫ | γ ′(t ) | dt . Do tÝnh héi tô ®Òu a ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ n > N , ∀ z ∈ Γ ⇒ | S(z) - Sn(z) | < ε / s(Γ) Suy ra n ∫ S(z)dz − ∑ ∫ u n (z)dz ≤ ∫ S(z) − S (z) dz < ε n k =0 Γ Γ Γ +∞ D ∑u 3. §¹o h m tõng tõ NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v (z) = S (z) th× n n =0 h m S(z) còng gi¶i tÝch trong miÒn D. +∞ D ∑ u (nk ) (z) = S ( k ) (z) ∀ k ∈ ∠, (4.1.4) n =0 Chøng minh Víi mäi z ∈ D, ∃ B(z, R) ⊂ D. KÝ hiÖu Γ = ∂B+ v G = D - B(z, R/2) khi ®ã u (ζ ) u (ζ ) G S (ζ ) +∞ gi¶i tÝch trong G v ∑ n ∀ n ∈ ∠, n = ζ−z n =0 ζ − z ζ−z Sö dông c«ng thøc (3.4.3) v c«ng thøc (4.1.3) 1 +∞ u n (ζ ) 1 S (ζ ) +∞ ∑ ∫ ζ − z dζ = 2πi ∫ ζ − z dζ S(z) = ∑ u n (z) = 2πi n =0 Γ n =0 Γ Theo ®Þnh lý vÒ tÝch ph©n Cauchy h m S(z) gi¶i tÝch trong miÒn D v do ®ã cã ®¹o h m mäi cÊp trªn miÒn D. KÕt hîp c«ng thøc (3.5.3) v c«ng thøc (4.1.3) u n (ζ ) S (ζ ) +∞ +∞ k! k! dζ = ∑ dζ = ∑ u (nk ) (z) ∫ 2 πi ∫ (ζ − z) k +1 ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = n = 0 2 πi Γ (ζ − z ) k +1 n =0 Γ Trang 60 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− 4. X¸c ®Þnh trªn biªn NÕu ∀ n ∈ ∠, un(z) liªn tôc trªn miÒn D , gi¶i tÝch trong miÒn D +∞ +∞ ∂D D ∑ u n (z) = S(z) th× ∑u (z ) = S(z) . v n n =0 n =0 Chøng minh Theo nguyªn lý cùc ®¹i n n ∑u ∑u ∀ z ∈ D, ∃ a ∈ ∂D : | S(z) - (z) | ≤ | S(a) - (a ) | < ε k k k =0 k =0 §2. Chuçi luü thõa phøc • Chuçi h m phøc +∞ ∑c (z − a ) n = c0 + c1(z - a) + ... + cn(z - a)n + ... (4.2.1) n n =0 gäi l chuçi luü thõa t©m t¹i ®iÓm a. §Þnh lý Abel NÕu chuçi luü thõa héi tô t¹i ®iÓm z0 ≠ a th× nã héi tô tuyÖt ®èi v ®Òu trong mäi h×nh trßn B(a, ρ) víi ρ < | z0 - a |. Chøng minh +∞ Do chuçi sè phøc ∑ c n (z 0 − a ) n héi tô nªn lim cn(z0 - a)n = 0. Suy ra n → +∞ n =0 ∃ M > 0 sao cho ∀ n ∈ ∠, | cn(z0 - a)n | ≤ M Víi mäi z ∈ B(a, ρ) ®Æt q = | z - a | / | z0 - a | < 1 ta cã n z−a ∀ n ∈ ∠, ∀ z ∈ B(a, ρ), | cn(z - a) | = | cn(z0 - a) | ≤ M qn n n z0 − a +∞ ∑q n Do chuçi sè d−¬ng héi tô, theo tiªu chuÈn Weierstrass suy ra chuçi luü thõa héi tô n =0 tuyÖt ®èi v ®Òu. Hª qu¶ 1 NÕu chuçi luü thõa ph©n kú t¹i z1 th× nã ph©n kú trªn miÒn | z - a | > | z1 - a | Chøng minh Gi¶ sö tr¸i l¹i chuçi luü thõa héi tô t¹i z : | z - a | > | z1 - a |. Tõ ®Þnh lý suy ra chuçi luü thõa héi tô t¹i z1. M©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. HÖ qu¶ 2 Tån t¹i sè R ≥ 0 sao cho chuçi luü thõa héi tô trong ®−êng trßn | z - a | = R v Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 61
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− ph©n kú ngo i ®−êng trßn | z - a | = R. Chøng minh Râ r ng chuçi luü thõa lu«n héi tô t¹i z = 0 v ph©n kú t¹i z = ∞. KÝ hiÖu R1 = Max{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa héi tô trong | z - a | < ρ} R2 = Min{ρ ∈ 3+ : chuçi luü thõa ph©n kú ngo i | z - a | < ρ} Ta cã R1 = R2 = R • Sè R gäi l b¸n kÝnh héi tô cßn h×nh trßn B(a, R) gäi l h×nh trßn héi tô cña chuçi luü thõa. NÕu D l miÒn héi tô cña chuçi luü thõa th× ta lu«n cã B(a, R) ⊂ D ⊂ B (a, R) HÖ qu¶ 3 B¸n kÝnh héi tô ®−îc tÝnh theo mét trong c¸c c«ng thøc sau ®©y cn 1 R = lim = lim (4.2.2) c n +1 n → +∞ n → +∞ | cn | n Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù chuçi luü thõa thùc. • KÝ hiÖu +∞ ∑c (z − a ) n víi z ∈ B(a, R) S(z) = (4.2.3) n n =0 KÕt hîp c¸c tÝnh chÊt cña h m luü thõa víi c¸c tÝnh chÊt cña chuçi héi tô ®Òu ta cã c¸c hÖ qu¶ sau ®©y. HÖ qu¶ 4 H m S(z) liªn tôc trong h×nh trßn B(a, R) Chøng minh Suy ra tõ tÝnh liªn tôc cña h m luü thõa v chuçi héi tô ®Òu. HÖ qu¶ 5 H m S(z) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ tr¬n tõng khóc, n»m gän trong B(a, R) +∞ ∑ c ∫ (z − a ) ∫ S(z)dz = n dz (4.2.4) n n =0 Γ Γ Chøng minh Suy ra tõ tÝnh kh¶ tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc tÝch ph©n tõng tõ. HÖ qu¶ 6 H m S(z) gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) +∞ ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)c (z − a ) n − k ∀ k ∈ ∠, S(k)(z) = (4.2.5) n n=k Chøng minh Suy ra tõ tÝnh gi¶i tÝch cña h m luü thõa v c«ng thøc ®¹o h m tõng tõ. Trang 62 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− 1 (k) HÖ qu¶ 7 ∀ k ∈ ∠, ck = S (a) (4.2.6) k! Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (4.2.5) víi z = a. +∞ 1 ∑z n VÝ dô Chuçi luü thõa héi tô ®Òu trong h×nh trßn B(0, 1) ®Õn h m S(z) = . 1− z n =0 Suy ra dζ +∞ z z +∞ 1 ∑ ∫ ζ n dζ = ∑ n + 1 z n +1 = ∫ 1 − ζ = - ln(1 - z) ∀ z ∈ B(0, 1), n =0 0 n =0 0 (k) +∞ 1 k! ∑ n(n − 1)...(n − k + 1)z n−k ∀ k ∈ ∠, =  = , ... 1 − z  (1 − z) k +1 n=k §3. Chuçi Taylor §Þnh lý Cho D = B(a, R), Γ = ∂D+ v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. f (ζ ) +∞ 1 ∑c ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ , n ∈ ∠ ∀ z ∈ D, f(z) = (z − a ) n víi cn = (4.3.1) n 2 πi Γ n =0 C«ng thøc (4.3.1) gäi l khai triÓn Taylor cña h m f t¹i ®iÓm a. Chøng minh Víi mäi z ∈ D cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy f (ζ ) 1 ∫ ζ − z dζ f(z) = (1) 2 πi Γ Víi ζ ∈ Γ ta cã q = | z - a | / | ζ - a | < 1 suy ra khai triÓn n n 1 z−a f (ζ ) f (ζ )  z − a  +∞ +∞ 1 1 1 ∑ζ −a ζ −a v ζ −z = ∑ ζ − a  ζ − a  (2) = =     z−a ζ−a ζ−z     1− n =0 n =0 ζ−a Do h m f liªn tôc nªn cã module bÞ chÆn trªn miÒn D suy ra n f (ζ )  z − a  Mn ∃ M > 0 : ∀ ζ ∈ Γ, ≤   q ζ −a ζ −a R   Theo tiªu chuÈn Weierstrass chuçi (2) héi tô ®Òu trªn Γ, do ®ã cã thÓ tÝch ph©n tõng tõ däc theo ®−êng cong Γ. TÝch ph©n tõng tõ c«ng thøc (1) suy ra c«ng thøc (4.3.1) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 63
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− HÖ qu¶ KÕt hîp c«ng thøc (4.2.6) v (4.3.1) ta cã 1 (k) ∀ k ∈ ∠, ck = f (a) (4.3.2) k! NhËn xÐt Theo ®Þnh lý Cauchy cã thÓ lÊy Γ l ®−êng cong bÊt k× ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc bao a v z, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong B(a, R). Th«ng th−êng, chóng ta khai triÓn h m f(z) trong h×nh trßn B(0, R) chuçi nhËn ®−îc gäi l chuçi Maclorinh t−¬ng tù nh− h m thùc. VÝ dô +∞ zn zn +∞ zn 1 ∑ (−1) n ∑ n! v e-z = 1. ez = 1 + z+…+ +… = n! 1! n! n =0 n =0 (−1) n 2 n +∞ ( −i ) n n 1 i 1 1 1 ∑ (2n)! z 2. cos z = (eiz + e-iz) = ∑ ( + )z n = 1 - z2 + z4 + ... = 2 n! n! 2 2! 4! n =0 T−¬ng tù khai triÓn 1 iz -iz 1 1 (e - e ), ch z = (ez + e-z), sh z = (ez - e-z) sin z = 2i 2 2 m(m − 1)...( m − n + 1) n m ( m − 1) 2 +∞ z +… = ∑ 3. (1 + z)m = 1 + mz + z n! 2! n =0 Víi m = 1 1 +∞ ∑ (−1) = 1 - z + z2 - … = nn z 1+ z n =0 Thay z b»ng z2 +∞ 1 = 1 - z2 + z4 - … = ∑ ( −1) n z 2 n 1 + z2 n =0 Suy ra dζ z (−1) n n +1 +∞ z +∞ ∑ n + 1z ∑ (−1) n ∫ ζ n dζ = ∫1+ ζ = ln(1 + z) = n =0 n =0 0 0 (−1) n 2 n +1 z +∞ +∞ dζ z = ∑ (−1) n ∫ ζ 2 n dζ = ∑ 2n + 1z ∫ 1 + ζ 2 n =0 arctanz = n =0 0 0 §4. Kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch §Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = 0 th× ∃ R > 0 sao cho ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0. Trang 64 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− Chøng minh Khai triÓn Taylor h m f trong l©n cËn ®iÓm a +∞ ∑c ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z − a ) n víi c0 = f(a) = lim f(zn) = 0 n +∞ n =0 KÝ hiÖu m(a) = min{n ∈ ∠ : cn ≠ 0} ≥ 0 (4.4.1) NÕu m(a) = m th× +∞ +∞ ∑ c n (z − a) n = (z - a)m ∑ c m + k (z − a) k = (z - a)mg(z) f(z) = n=m k =0 víi h m g(z) gi¶i tÝch trong l©n cËn ®iÓm a v g(a) = cm ≠ 0. Do ®ã ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), g(z) ≠ 0 Suy ra ∀ zn ∈ B(a, ε), f(zn) = (zn - a)mg(zn) ≠ 0! §iÒu n y m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy m(a) = + ∞ . Tøc l ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 HÖ qu¶ 1 Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. KÝ hiÖu Z(f) = {z ∈ D : f(z) = 0}. Khi ®ã Z(f) = D hoÆc Z(f) cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö. Chøng minh KÝ hiÖu A l c¸c ®iÓm tô cña tËp Z(f) ta cã A ⊂ Z(f) ⊂ D v tËp A l tËp ®ãng Theo ®Þnh nghÜa ∀ a ∈ A, ∃ d y zn ) → a v f(zn) = 0  Z(f Theo ®Þnh lý trªn ∃ ε > 0 : ∀ z ∈ B(a, ε), f(z) = 0 ⇒ B(a, ε) ⊂ A ⇒ tËp A l tËp më. Do tËp D liªn th«ng v tËp A ⊂ D võa ®ãng v võa më nªn HoÆc A = ∅ suy ra Z(f) cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö HoÆc A = D suy ra Z(f) = D NhËn xÐt Theo kÕt qu¶ trªn th× kh«ng ®iÓm cña h m gi¶i tÝch kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng lu«n l kh«ng ®iÓm c« lËp. Tøc l ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 HÖ qu¶ 2 Cho c¸c h m f, g gi¶i tÝch trong miÒn D v d y sè (zn)n∈∠ héi tô trªn miÒn D ®Õn ®iÓm a ∈ D. NÕu ∀ n ∈ ∠, f(zn) = g(zn) th× ∀ z ∈ D, f(z) = g(z). Chøng minh §Æt h(z) = f(z) - g(z), theo gi¶ thiÕt Z(h) cã ®Õm ®−îc phÇn tö, suy ra Z(h) = D Tøc l ∀ z ∈ D, h(z) = f(z) - g(z) = 0 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 65
Ch−¬ng 4. Chuçi H m Phøc V ThÆng D− HÖ qu¶ 3 Cho ®iÓm a l kh«ng ®iÓm cña h m f gi¶i tÝch v kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng trong miÒn D. Khi ®ã ∃! m ∈ ∠*, ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = (z - a)m g(z) (4.4.2) víi g l h m gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) v g(a) ≠ 0. §iÓm a gäi l kh«ng ®iÓm cÊp m cña h m f. Chøng minh Khai triÓn Taylor h m f trong l©n cËn ®iÓm a +∞ ∑c (z − a ) n víi c0 = f(a) = 0 f(z) = n n =0 Theo c¸c kÕt qu¶ trªn ®iÓm a l kh«ng ®iÓm c« lËp nªn ∃ R > 0 : ∀ z ∈ B(a, R) - {a}, f(z) ≠ 0 Theo c«ng thøc (4.4.1) nÕu m(a) = +∞ th× ∀ z ∈ B(a, R), f(z) = 0 tr¸i víi gi¶ thiÕt. Suy ra m(a) = m ∈ ∠*. Tøc l +∞ +∞ ∑ c n (z − a) n = (z - a)m ∑ c m + k (z − a) k = (z - a)mg(z) f(z) = n=m k =0 víi g l h m gi¶i tÝch trong h×nh trßn B(a, R) v g(a) = cm ≠ 0 §5. Chuçi Laurent §Þnh lý Cho miÒn D = { r < | z - a | < R} v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Víi mäi ρ ∈ (r, R) kÝ hiÖu B = B(a, ρ) ∩ D v Γ = ∂B+(a, ρ). f (ζ ) +∞ (z − a ) n víi cn = 1 ∫ ∑c ∀ z ∈ B, f(z) = dζ , n ∈ 9 (4.5.1) 2 πi Γ (ζ − a ) n +1 n −∞ C«ng thøc (4.5.1) gäi l khai triÓn Laurent cña h m f t¹i ®iÓm a. Chøng minh Víi mäi z ∈ B cè ®Þnh. Theo c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 1 ∫D ζ − z dζ = − 2πi Γ∫ ζ − z dζ + 2πi Γ∫ ζ − z dζ f(z) = (1) 2πi ∂ 1 2 Víi mäi ζ ∈ Γ1 : | ζ - a | = r, ta cã q = | ζ - a | / | z - a | < 1 ζ Γ suy ra khai triÓn n z 1 ζ −a +∞ 1 1 1 ∑z−az−a = = ζ−a z−a z−ζ   1− n =0 Γ2 Γ1 ζ z−a n f (ζ ) f (ζ )  ζ − a  +∞ ∑z−az−a v = (2) z−ζ   n =0 Trang 66 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.