Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 1 - TS. Nông Quốc Chinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn giáo trình "Tôpô đại cương" gồm 3 chương trình bày những kiến thức cơ sở của tôpô, không gian Mê-tric, không gian tôpô. Mỗi chương đều có nhiều ví dụ minh họa và có phần bài tập căn bản để sinh viên tự giải, mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 1 - TS. Nông Quốc Chinh

TS. N Ô N G Q U Ố C C H I N H T Ô P Ô Đ Ạ I C Ư Ơ N G NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
M ã số: 01.02 -17/18 - Đ H . 2003
M Ụ C LỤC Lời nói đ ầ u 5 C h ư ơ n g 0. N h ữ n g k i ế n t h ứ c c ơ s ỏ 6 §1. C á c p h é p t o á n v ề t ạ p hợp 6 §2. Q u a n h ệ t h ứ t ự 8 §3. Tiên đ ề c h ừ n lo C h ư ơ n g 1. K h ô n g g i a n m ê t r i c 12 §1. K h ô n g g i a n m ê t r i c , sụ h ộ i trụ ừ o n g k h ô n g g i a n m ê t r i c 12 §2. T ậ p h ợ p m ỏ v à t ậ p h ợ p đ ó n g ló §3. Á n h x ạ liên t ụ c g i ữ a c á c k h ô n g g i a n m ê t r i c 21 §4. K h ô n g g i a n m ê t r i c đ ầ y đ ủ 24 §5. T ậ p c o m p á c 37 Bài t ạ p 50 C h ư ơ n g 2. K h ô n g g i a n t ô p ô 34 §1. C ấ u t r ú c t ô p ô 34 §2. Đ i ể m giới h ạ n , p h ầ n t r o n g , p h ầ n n g o à i , b i ê n v à bao đ ó n g của một tập 61 §3. C ơ sở c ủ a k h ô n g g i a n t ô p ô 68 Bài t ậ p 75 C h ư ơ n g 3. Á n h x ạ liên t ụ c , k h ô n g g i a n c o n , k h ô n g gian tích, k h ô n g gian t h ư ơ n g 79 §1. Á n h x ạ liên t ụ c - p h é p đ ồ n g p h ô i 79 3
§2. So s á n h hai t ô p ô 85 §3. T ô p ô x á c định bởi m ộ t h ừ á n h x ạ 86 §4. C á c tiên đ ề t á c h 89 §5. K h ô n g gian c o n c ủ a m ộ t k h ô n g gian t ô p ô 97 §6. Tích Đ ề c á c c ủ a c á c k h ô n g gian t ô p ô 102 §7. Tổng trục t i ế p c ủ a m ộ t h ừ k h ô n g gian t ô p ô 114 §8. T ô p ô t h ư ơ n g nó §9. T ô p ô m ê t r i c . k h ô n g gian mêtric hoa 117 Bài t ậ p 122 C h ư ơ n g 4. K h ô n g g i a n c o m p â c , k h ô n g g i a n liên t h ô n g 127 §1. K h ô n g gian c o m p ổ c 127 §2. K h ô n g gian c o m p ắ c địa p h ư ơ n g 136 §3. C o m p á c hoa 141 §4. K h ô n g gian liên t h ô n g 144 Bài t ạ p 153 4
Lòi n ó i đ á u Giáo trình " T ô p ỏ đ ạ i c ư ơ n g " trình bày những khái n i ệ m cơ bản của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các k h ô n g gian t ô p ô , sự đồng phôi giữa các khôn", gian tôpô và xét trường hợp riêng của k h ô n g gian tốpõ như không gian compắc, k h ô n g gian liên t h ô n g , k h ô n g gian mêtric, . . . . Đ â y là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán hừc khác nhau n h ư G i ả i tích h à m , Lý thuyết đ ộ đo và tích phân, T ô p ỏ đ ạ i số, Hình hừc v i phân, . . . . Giáo trình được viết trên c ơ sở những bài giảng cho sinh viên n ă m thứ 3 hệ Cử nhân n g à n h T o á n và sinh viên h ệ Sau đ ạ i hừc n g à n h Toán của khoa Toán, trường Đ ạ i hừc Sư phạm - Đ ạ i hừc T h á i N g u y ê n . Giáo trình bao g ồ m 4 c h ư ơ n g , trong m ỗ i chương có nêu nhiều ví dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản đ ể sinh viên tự g i ả i . Trong lần xuất bản đ ầ u tiên n à y chắc rằng k h ô n g tránh k h ỏ i thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự g ó p ý của bạn đừc. TÁC GIẢ 5
C h ư ơ n g 0 N H Ữ N G KIÊN THỨC c ơ S Ỏ § 1 . C Á C PHÉP T O Á N V Ề TẬP H Ợ P Ì Giao, h ợ p , h i ệ u Đ ố i v ớ i các tập con A , B, c của tập hừp X ta có: A u B = B u A, A n B = B n A, A u (B u C) = ( A u B) u c , A n (B n C) = ( A n B) n c , A n (B u C) = ( A n B) u ( A n C), A u (B n C) = ( A u B) n ( A u C), X \ (A u B) = ( X \ A ) n ( X \ B), (Công thức De Morgan) X \ (A n B) = ( X \ A ) u ( X \ B), (Công thức De Morgan) A \ B = A n (X\B), (A\B)\C = A\(BUC), X\(A\B) = BU(X\A). G i ả sử ( A j ) j và ( B ) i e k k e K là hai hừ những tập con tùy ý I hừp X . K h i đ ó : isl keK 6
íì i A U n * =fì( iUB ), B A k J VksK J isl ksK x \ u A i = p | ( X \ A i ) .(Công thức De Morgan m ở rộng) isi J i€i X \ ỉ P l A i = | J ( X \ A i ) . (Công thức De Morgan m ở rộng) . isl / isl 2 Tích Đềcác G i ả sử, X và Y là những tập hợp, X x Y là tích Đ ề c á c của chúng. V ớ i u , , ụ c X và V , , V j C Y ta có: ( U , x v , ) n ( U X V ) = (U, n U )X(V, n V j ) , 2 2 2 ( U , x v ) u ( U X V ) c ( U , u U )X(V, u v ) . ẵ 2 2 2 2 3 Ánh xạ Cho ánh xạ f : X - > Y . Đ ố i với bất kỳ A , B c X ta c ó : f ( A u B) = f ( A ) u f ( B ) , f ( A n B) c f ( A ) n f ( B ) , f ( A ) \ f(B) c f ( A \ B). Giả sử ( A i ) i e i là hừ những tập con tùy ý của tập hừp X . K h i đ ó : f(U i) = Ù < i>' A f A i-I i1 f(nA,)cfìf(Aj) L-I Đ ố i với bất kỳ M , N c Y ta có: f ( M u N) = r ' ( M ) u r ' ( N ) , l 7
r ' ( M n N) = r ' ( M ) n r ' ( N ) , r ' ( M \ N) = r ' ( M ) \ r ' ( N ) , f(r'(M)) = M n f(X), G i ả sử ( M i ) , e i là hừ những tập con tùy ý của tập hóp Y . K h i đó: r ' Í U i ì = U (M ), M r l i i ì ) i ì í -Ì r ì M ; = n i ' " ( M , ) . vi! J isl § 2 . Q U A N HỆ THỨ T ự Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gừi là một quan hệ thứ tự nếu các điều kiện sau thỏa m ã n : a) Phản xạ: X < X , Vx e X . b) Phản đ ố i xứng: Vx, y e X , nếu X < y và y < X thì X = y c) Bắc cầu: Vx, y, z e X , nếu X < y và y < z thì X < z Tập hợp X đã trang bị m ộ i quan hệ thứ tự < được g ừ i là tập sắp thứ tự. Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ hơn hoặc bang y Khi X < y và X + y, tã sẽ viết X < y. Ta nói hai phần tử X và y trong X là so sánh được nếu X < y hoặc y < X. Cho X là tập sắp thứ tự. Phẩn tử a e x được g ừ i là phần tử cực tiểu (lương ứng cực đại) trong X , nếu Vx e X , điều kiện X < a (tương ứng a < X) kéo theo X = a. Trong một táp sắp thứ tự không nhát thiết phải luôn có phần tử cực tiêu (cực đ ạ i ) , và cũng có thể có nhiêu s
phần tử cực tiểu (cực đ ạ i ) k h á c nhau. G i ả sử A c X . Phần l ử a 6 X được g ừ i là cận dưới (tương ứng cận trên) của tập A , nếu Vx E A , ta luôn có a < X (tương ứng X < a). N ế u tập con A c X có cận d ư ớ i (tương ứng cận trên) thì la nói A bị chặn (lưới (tương ứng chặn trên). Tập A được g ừ i là bị chặn (hay giới nội) nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trẽn. Ta ký hiệu D A là lặp tất cả các cận dưới của A , ký hiệu T \ là tập tất cả các cân trên của A . Nếu D + 0 , và à,, e D A A thỏa m ã n a < ao, Va e D , thì a„ được g ừ i là A cận d ư ớ i đ ú n g của tập A , ký hiệu là ào = i n f A . T ư ơ n g tự, nếu T £ 0 , và ao e T A A thỏa m ã n ao < a, Va e T , thì ao được g ừ i là cận trên A đúng của tập A , ký hiệu là a 0 = supA. Phần tử x 6 A được g ừ i là 0 phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu Vx e A luôn có Xo < X (tương ứng X < Xo). Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu Vx,y e X , thì X < y hoặc y < X. K h i đó ta cũng nói < là quan h ệ thứ tự toàn phần trên X . G i ả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a.b e X tùy ý, a < b. Ta ký hiệu: [a, b] = (X € X I a < X < b Ị , và g ừ i là k h o á n g đóng với đầu múi trái là a, đầu mút phải là b. ịa, b) = Ị x e X I a < X < b } , và g ừ i là khoảng m ở bên phải, đ ó n g bên trái. (a.b| = | x e X I a < X < b } , và g ừ i là khoảng đóng bên phải, m ở bên trái. (a,h) = { x e Xịa < X < b } , và g ừ i là k h o á n g m ớ trong X . Tập sắp thứ tự toàn phần X được g ừ i là tập sắp thứ tự tốt nếu m ừ i tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất. G i ả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Tập hợp tất cả các tập con sắp thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao h à m là một tập sắp thứ tự. 9
M ỗ i phần tử cực đ ạ i của tập n à y được g ừ i là tập con sắp t h ứ t ự t o à n phần cực đ ạ i của tập hừp X . § 3 . TIÊN Đ Ề CHỌN Giả sử ơ là một hừ nào đó các tập hợp. Ta nói rằng hừ a có đặc trưng hữu hạn nếu nó thỏa m ã n c á c đ i ề u k i ệ n sau: (1) V A e a, nếu B là m ộ t tập con hữu hạn của A thì B £ a. (2) N ế u A là m ộ t tập hợp thỏa m ã n : m ỗ i tập con hữu hạn bất kỳ của A đ ề u thuộc a, thì A e a. Định lý. Các điều k i ệ n sau là tương đ ư ơ n g : (í) Cho tập hợp k h á c rỗng bất kỳ X . Đ ố i v ớ i m ộ t h ừ t ù y ý (AịXei những tập con k h á c rỗng của tập X , tồn t ạ i h à m f : ì - > X sao cho f ( i ) e A i v ớ i m ừ i i E ì. (li) Trên m ỗ i tập hợp tùy ý luôn tồn t ạ i m ộ t quan h ệ thứ t ự tốt. (Hi) M ỗ i một tập con sắp thứ tự toàn phần của tập hừp sắp t h ứ tự X luôn được chứa trong một tập con sắp thứ tự toàn phần cực đ ạ i . (iv) N ế u h ừ ơ các tập có đặc trưng hữu hạn thì m ỗ i phần tử của n ó được chứa trong một phần tử cực đ ạ i xác định. (v) N ế u m ừ i tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp t h ứ tự X đ ề u bị chặn trên, thì m ỗ i phần tử X e X luôn so sánh được v ớ i một phần tử cực đ ạ i nào đó của X . Đ i ề u k i ệ n (í) được g ừ i là tiên đề chừn. Đ i ề u k i ệ n (li) được g ừ i là đ i ề u k i ệ n Zermelo. Đ i ề u kiện (iii) được g ừ i là điều k i ệ n Hausdortĩ. LO
Điều kiện (iv) được g ừ i là điều kiện Tukey. Điều kiện (v) được g ừ i là điều kiện Kuratovvsky - Zorn. Ì Ì
C h ư ơ n g Ì KHÔNG GIAN MÊTRIC §1. KHÔNG GIAN MÊTRIC, sự HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Ì Không gian mêtric Định nghĩa 1.1. K h ô n g gian m ê t r i c là một cặp ( X , d), trong đó X là một tập hợp, d : X X X -» [R là một h à m xác định trên X X X thoa m ã n các điều kiện sau: 1. V ớ i m ừ i X, y e X : d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 X = y, (tiên đề đồng nhất). 2. V ớ i m ừ i X, y e X : d(x, y) = d(y, x ) , (tiên đề đ ố i xứng) 3. V ớ i m ừ i X, y, z e X : d(x, z) < d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam giác). H à m d được g ừ i là mêtric trên X . M ỗ i phần tử của X được g ừ i là một đ i ể m của không gian X , số d(x, y) được g ừ i là khoảng c á c h giữa hai đ i ể m X và y. Ví dụ 1.1 Tập hợp các số thực 1R và tập hợp các số phức c là những k h ô n g gian métric, với mêtric d(x, y) = IX — y I , với m ừ i X. y e R (hoặc
d(x,y) = f t | ạ - n | i i 2 , v ớ i x = ( ệ „ . . . , ệ ) , y = (ri,, .... HkíelR' k H i ế n nhiên d thoa m ã n hai tiên đề đồng nhất và đ ố i xứng. Ta kiếm tra tiên đề tam giác. Trước hết, đ ể ý rằng nếu a,,...,a , k b , , . . . , b là những số thực thì: k Ì Ì f-L 7 ^2 í í ^ r ±|b.r (Bất đẳng thức thức C ô s i ) . 11 = V Í=1 y Vi=i ) L ấ y tùy ý X = c ạ , , . . . £ ) , y •= (TỊ,,.:.,r| ). z = (C ,..., k k 3l C )eR . K h i đó k k (d(x,y)) = - ự < - Tui + h - tí) 2 2 i=l i=l k le le i=l i=l 11 = < ẳ f e - n , f +2 ấ f e -Ti.r J ấ h i -Cif + È k -c,r 11 = 11 = i=l -V Từ đó ta có d ( x , z ) < d ( x , y ) + d ( y , z ) . Ta g ừ i d là mêtric Euclid và ( R \ d) được g ừ i là k h ô n g gian Euclid. Ví dụ 1.3 G ừ i C[a. b | Là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đ ó n g hữu hạn [a, b j . D ễ d à n g chứng minh được rằng C[a,b] là m ộ t k h ô n g gian mêtric v ớ i mêtric d ( x , y ) = súp | x ( t ) - y ( t ) | , với m ừ i SI
Định nghĩa 1.2. Giả sử M là một tập hợp con của k h ô n g gian mêtric ( X , d). D ễ dàng thấy rằng hàm d M = d| M M là một mêtric trên tập hợp M . Không gian mêtric ( M , d ) được g ừ i là k h ô n g gian con của M không gian mêtric (X, d), ta g ừ i d M là mêtric cảm sính bởi mêtric d trên M . 2 Sự hội tụ trong không gian mêtric Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy Ị x Ị * u =1 những phần tử của không gian mêtric ( X , d) h ộ i tụ đến phần tử x e X nếu l i m d ( x , x ) = 0 . Khi đó 0 u 0 l— w * i > * ta viết l i m x „ = Xo, hoặc x u — > x . Ta nói dãy { x } * , là dãy 0 n h ộ i tụ và g ừ i x là giới hạn của dãy { x Ị . 0 u Nhận xét. a) Dãy h ộ i tụ trong không gian mêtric có một giới hạn duy nhất. Thật vậy, g i ả sử l i m x = a và l i m x n = b trong X . K h i đ ó : d(a, b) < d(a, x ) + d(x , b) với mừi n. u u Vì l i m d ( a , x „ ) = 0 và l i m d ( b , x „ ) = 0 , nên từ bất đẳng thức trên suy ra d(a,b) = 0 tức là a = b. b) Trong khống gian mêtric (X, d) nếu lim X = a và Ịimy,, =b thì limd(x ,y ) = d(a,b). u u u -»00 n >o —o v / \ / Thật vậy, với m ừ i n, ta đều có: cl(a,b)
Chứng minh tương tự ta được: d ( x , y ) - d ( a , b ) < d ( a , x ) + d(y ,b). n u u 1 1 T ừ hai bất đẳng thức trên suy ra: |d(x ,y )-d(a,b)|,..., ^ n ) )Ị: = 1 là d ã y trong R k và x 0 = feị ,...,sí °') 0) s e R . Khi đó: k 2N lim x n = x 0 lún ẳ ^ U ) - ^ : 0 u-< >o li — « i=l >j limí , = í' i=l,..,k. ) n ->' Vì Vậy, n g ư ờ i ta n ó i rằng sự h ộ i tụ trong không gian Euclid IR là k sự h ộ i tụ theo các toa đ ộ . Ví d ụ 1.6 Trong k h ô n g gian C[a,b], l i m x = x u 0 dãy hàm số { x ( t ) Ị " u =1 hội tụ đều đến hàm số x (t) 0 trên la. b]. Thật vậy, 15
limx = x limd(x ,x ) = 0 u 0 u 0 V 8 > 0, 3 n 0 e N , sao cho Vn £ ra thỏa mãn n > rin ta có d(x„, x„) < s, tức là súp | x ( t ) - x ( t ) | < s n 0 với m ừ i n > n 0 lx (t) - u x (t)| 0 < E, ai l< b Vn >n 0 và Vt e [a, b ] . § 2 . TẬP H Ợ P M Ở V À TẬP H Ợ P Đ Ó N G ĩ- Ì Tập mỏ Định nghĩa 1.4. G i ả sử ( X , d) là một k h ô n g gian m ê t r i c x s X và r 0 là m ộ t số d ư ơ n g . Tập hợp S(x , r) = Ị x e X 0 I d(x, Xo) < r} được g ừ i là hình cầu m ở t â m x bán kính r. 0 Tập hợp S[x , r] = {x e X 0 I d(x, x ) < r} được g ừ i là h ì n h cầu 0 đ ó n g tâm x bán kính r. 0 V ớ i A , B là 2 tập con k h á c rỗng trong X , ta g ừ i : d(A,B)= inf {d(x,y)} xeA.yeB là khoảng cách giữa hai tập con A , B. Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một tập con của không gian métric ( X , d). Đ i ể m Xo của X được g ừ i là đ i ể m trong của tập hợp A nếu t ồ n tại một hình cầu m ớ S(x ,r) c A . Tập tất cả các đ i ể m trong của tập A (J được g ừ i là phần trong của A và k ý h i ệ u là intA hoặc A°. Phần trong của một tập hợp có thế là tập hợp rồng. Định nghĩa 1.6. Tập hợp G c X được gừi là tập mở nếu mừi điểm của G đ ề u là đ i ể m trong của nó. lổ
H i ể n nhiên tập X và tập 0 đều là những tập m ở trong k h ô n g gian mêlric (X, d). M ỗ i hình cầu m ở là tập m ở trong (X, d). Định lý 1.1. Trong không gian mêtric (X, d) ta có: a) ì lợp của một hừ tuy ý những tập m ở là một tập mở. b) Giao của một số hữu hạn những tập m ở là một tập mở. Chứng minh. a) G i ả sử { u , } i e T là một hừ tùy ý những tập con m ở trong k h ô n g gian mêtric (X, d). Ta chứng minh u = | j u , là một tập mở. 1=1 Thật vậy, g i ả sử X e u tùy ý. K h i đó X € u , với t nào đó. Vì u mở nên tồn tại một hình cầu S(x, r) c u „ do đó S(x, r) c u . V ậ y u là một tập mớ. li b) G i ả sử U j , ..., u „ là những tập mở. Ta chứng minh V = P | u . 11 = là tập mở. Thật vậy, nếu x e V thì x e U ị với m ừ i i = Ì , . . . lĩ. Vì m ỗ i u mở nên tồn tại một số dương r, sao cho S(x,r-j) C Ư , i = I ... n. Đặt r = min{r , 1 r„}. K h i đ ổ , hiến nhiên S(x, r) c Ui với ĩ = Ì ... n do đó S(x, r) c V . V ậ y V là một tập mở. • Định nghĩa 1.7. Với X e (X, d) tùy ý. tập con bất kỳ u c X chứa điểm X được g ừ i là lân cận của điểm X nếu u chứa một tập m ở chứa X. Hiển nhiên, tập A trong không gian mêtric X là m ở khi và chỉ k h i với m ỗ i X e A luôn tồn t ạ i một lân cận u của X chứa trong A. Hiển nhiên ta c ó : 1) A° là tập mở, và đó là tập m ở lớn nhất chứa trong A. 2) Tập A là m ở khi và chỉ khi A = A". 3) N ế u A c B thì A° c B°. Dru 2-T ~ [7
2 Tập đ ó n g Định nghĩa 1.8. Tập con A c ( X , d) được g ừ i là tập đ ó n g nếu phần bù của A trong X (tập X \ A ) là m ộ t tập m ở . H i ể n nhiên c á c tập X và 0 là những tập đ ó n g trong k h ô n g gian mêtric ( X , d). D ễ dàng chứng m i n h được m ừ i hình cầu đ ó n g là tập đóng. Định lý 1.2. Trong k h ô n g gian mêtric ( X , d) ta c ó : a) Giao của một h ừ tuy ý những tập đ ó n g là một tập đ ó n g . b) H ợ p của một h ừ hữu hạn những tập đ ó n g là một tập đ ó n g . Chứng minh. a) G i ả sử {F,Ị là m ộ t h ừ tùy ý những tập đ ó n g trong k h ô n g gian mêtric X . K h i đ ó X \ p | F , = Ị J ( X \ F , ) là tập m ở , vì với m ừ i íeT IST t e T, tập X\F, là m ở . V ậ y p | F , là m ộ t tập hợp đ ó n g . b) Chứng minh tương tự. • Định lý 1.3. Tập con F của không gian mêtric X là đóng khi và chỉ khi với d ã y bất kỳ {x„} " J những phần tử của F, nếu lún x = x = n 0 e X li—>x thì x e F . 0 Chứng minh. (=>) Cho tập F đ ó n g , g i ả sử tồn t ạ i d ã y { x Ị * u =l trong F thỏa m ã n lim x u = x 0 và x Ể F. 0 ti >' Vì X\I^' là tập m ở nên tồn t ạ i một hình cầu s ( x , e ) chứa trong 0 X\F. Vì l ừ n d ( x , x ) = 0 nên với n đủ lớn d ( x , x ) < 8 , n 0 u 0 tức là 11-»» x„ e X \ F với n đủ lớn. Đ i ề u này m â u thuẫn với g i ả thiết. 18