Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

682
lượt xem 112
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III)" nhằm mục đích trình bày một số vẩn đề về tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ đo và tích phân Lebesgue. Phần 1 gồm nội dung 2 chương đầu. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 1

ĐẠI H Ọ C VINH THƯ VIỆN . NGUYỀN VĂN KHUÊ (Chủ biên) PTS. BÙI ĐẮC TẮC 514.071 NG-K/96 DT. 003835 KHÓM * • Ly thuyết Tích ph ĐẠI H Ọ C QUỐC G I A HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
GS. TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên) PTS BÙI ĐẮC TẮC KHÔNG GIAN TÔPÔ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
LÒI M Ỏ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tích phân cổ điển, giáo trình này nhàm mục đích trình bày một số uẩn đè vè tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ do và tích phân Lebesgue. Lý thuyết độ đo được trình bày trong mối liên hệ vói cáu trúc tôpô và vì vậy đây không hằn là lý thuyết độ đo thuần túy. Điêu này có thề thấy qua định lý quan trọng cớa Alexandrov về tính khả cộng đếm, dược cớa hàm tập hợp chính quy khả cộng hữu hận trên õ - đại số các tập Borel cớa một không gian compac- - Giáo trình gồm 6 chương. Các lớp không gian quan trọng trong giải tích như không gian chuẩn tác, không gian •compac, không gian paracompac dược trình bày trỏng 3 chương đầu. Phần còn lại dành cho việc trinh bày lý thuyết độ đo và tích phân hiện đại. Giáo trình này được dùng cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường Đại học sư phạm và được viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sự sáp xếp chinh lý bới GSTS. Nguyền Văn Khuê. Nội dung cuốn sách có lẽ không phải chỉ cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường ĐHSP mà nó sẽ còn rát có ích đối VÓI sinh viên năm cuối đặc biệt là các cao học viên chuyên ngành giải tích. Ngoài ra các NCS chuyển ngành giải tích có thè tim tháy à đáy những kiến thức cần thiết cho sụ học tập nghiên cứu cùa minh. Vi dậy là lần đầu xuất bản nên không thế tránh khỏi một số sai lăm thiếu xót rất mong bạn đọc góp ý. Nhăn dây chớ biên và tác giả cảm ơn GS. TS Phạm Ngọc Thao cùng PGS. TS Đặng Hùng Thảng và PTS Lé Mậu Hải vè những ý kiến cho sụ cải tiến cuốn sách này. Chủ biên GS. T S . Nguyên Văn Khuê Tác giả P T S . Bui Đác Tác 3
CHƯƠNG I KHÔNG GIAN M E T R I C T r o n g g i ả i t í c h ì v à l i c h ú n g t a đ ã đ ề cập đ ế n m ộ t l ớ p k h ô n g g i á p t ô p ô q u a n t r ọ n g , đ ó l à k h ô n g gian m e t r i c . T u y nhiên trong khuôn khổ giáo t r ì n h g i à n h cho sinh viên những n ă m đ ẩ u m ớ i l à m quen với g i ả i tích hiện đ ạ i c ù n g m ộ t lúc c h ư a t h ể g i ớ i t h i ệ u h ế t n h ữ n g v ấ n đ è liên q u a n đ ế n k h ô n g gian m e t r i c . Trong c h ư ơ n g n à y c h ú n g tôi t i ế p tục t r ì n h b à y m ộ t số vấn để x u n g quanh k h ô n g gian metric đủ, không gian m e t r i c compac, k h ô n g g i a n m e t r i c k h ả l i . T r ư ớ c h ế t c h ú n g t a n h ớ l ạ i r ằ n g k h ô n g gian m e t r i c , đ ó là t ậ p X c ù n g v ớ i m ộ t k h o ả n g c á c h p t r ê n n ó , tịc là c ù n g v ớ i m ộ t h à m t h ự c p t r ê n X X X t h ỏ a m ã n ba t í n h c h ấ t sau: Mị . />(x, y) ĩzO, Vx, y eX v à />(x, y) = 0 « X = y (tính xác định d ư ơ n g ) M . f i x , y ) = f ( y , x ) , Vx, y 2 G X (tỉnh đối xịng) M , f ( x , z) 2 í p(y, x) + /Hy, z), Vx, y, z G X (bất đẳng thịc tam giác). Một dãy { x } t r o n g X được n g ọ i là d ã y Côsi nếu y ° ( x , x ) —» 0 k h i m, n — » 0 0 . K h ô n g gian m e t r i c X g ọ i là đ ủ n m (hay đ ầ y đ ủ ) n ế u m ọ i d ã y C ô s i t r o n g n ó đ ể u h ộ i t ụ . 5
§1. M Ộ T S Ố VÍ D Ụ VÈ KHÔNG G I A N M E T R I C Đ Ủ THƯỜNG G Ặ P Ví dụ Ì. Không gian metric (X, p) với 0 nếux=y p (x,y) = a nếux5*y (a > 0 cố định) là đủ T h ậ t vậy, cho { x } là m ó t dãy Côsi trong (X, p). N ế u n chọn 0 < € < a, phải có số nguyên dương n sao cho G />(x ,x ) n m < E, Vn, m 5= n . 0 Suy ra /5(x n > X ) = 0 , Vn > n„ o Vậy l i m x n = x n n—»00 Ví dụ 2. X = N * = {Ì, 2, 3...}, không gian metric c x , d) là đủ với metric. 0 nếu m = n d(m, n) = Ì Ì H nếum^n m+n Tính đủ của không gian n à y được suy ra bằng lập luận t ư ơ n g tự n h ư trong ví dụ 1. 1 Ví dụ 3. Không gian Ì t ấ t cả các dãy sò thực hoặc phức khả tổng t u y ệ t đ ố i với metric. 00 x e 1 1 l à đ ủ />(x, y) = El*n-y l> n = ten}' y = {y }n n=l , n 1 T h ậ t vậy, cho x = {xy, x§....} là m t dãy Côsi t r o n g Ì Với mọi E > 0, t ổ n t ạ i Ti f sao cho: 00 ỵ |xp-x, Vn, m > n í: (ì: i= l Do đó với m ỗ i i = Ì, 2... ta cũng có
\xf - xỊ"| =s E, Vn, m > n . £ 1 Tức là d ã y t ọ a độ t h ứ i {xỊ } là d ã y Côsi trong không g i a n m e t r i c đ ủ R (hoặc C ) . Đ ặ t 1 limxỊ = Xị v à X = ( X ị , x , ...) 2 n-*oo T a sẽ c h ứ n g t ỏ r ằ n g X e Ì 1 và dãy n { x } hội tụ đến X theo k h o ả n g c á c h p. T ừ b ấ t đ ẳ n g thức (1), đ ố i v ớ i m ỗ i số t ở n h i ê n k 35 Ì ta có: k 2 |xf -xỊ^I € t. Vn, m > n . E i=l T r o n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c n à y cho m —» 00, t a được k 2 IxỊ 1 — Xjl í £ Vu, m í n E (2) i=i ^ Dặc biệt với n 0 Si n £ thì k k ỵ \xị\ ^ E + ỵ Ixfoi i=l i=l B ở i vì k là t ú y ý n ê n 00 00 2 í Xi! «s £ + ỵ |x[M < +00. i=l i=l 1 Vậy X G Ì . Cuối c ù n g c h ú ý r ằ n g b ấ t đ ẳ n g thức (2) đ ú n g v ớ i m ọ i k nên 2 I xp — Xịl í £ Vn » n. y i=l 7
n Vậy limx = X. n-»00 VÍ dụ 4. K h ô n g gian metric M(X) các h à m số giá trị thực hoặc phức bị chặn t r ê n tập X là đầy đủ (với k h o á n g cách p{ĩ, g) = supl f ( x ) - g ( x ) | ) . XGX Thật vậy, cho { f } là d ã y . C ô s i trong M(X); tức l à với n mọi £ > 0 tổn t ạ i n sao cho £ />(f , f ) í n m £,.Vn, m > n £ hay là |f (x) - f (x)| n m =s E, Vn, m > n , V X e X £ (1) Theo bất đảng thức này với m ỗ i X e X, dãy số { f ( x ) } n là Côsi trong R (hoặc trong C), do đó nó hội t ụ . Đ ặ t f(x) = limf (x). Ta sẽ chủng tẳ rằng f e M(X) và { f } h ộ i tụ n n n-»°0 đến f theo khoảng cách p. Trong bất đẳng thức (1) cho m -* 00, ta được. | f ( x ) - f(x)| í n E, Vn > n , Vx 6 X £ (2) Dặc biệt với n = n . £ |f n £ (x) - f(x)| *s É, X e X Suy ra supịf(x)| í £ + s u p | f ( x ) | < + 00 n xGX XGX Vậy f bị chặn t r ê n X, tức là f e M(X). Cuối cùng, t ừ bất đẳng thức (2) suy ra />(f n i 0 « £, v n > n £ tức là l i m f n = f n-»oo Nhận xét. Trong trường hợp đặc biệt X = N thì M(X) chính là không gian t ấ t cả các dãy số bị chặn. Không gian 00 này thường được ký hiệu là Ì . : 8
ví dụ 5. Không gian metric C| a b j các h à m số liên tục trên đoạn [a,b] là đủ (với metric PẠĨ, g) F= sup|f(x)-g(x)r xe[a,b] Bởi vì m ọ i h à m số liên tục t r ê n t ậ p compac đ ể u bị chặn nên C j aj là không gian con của M j Ị . H ơ n nữa metric b a b xét trển C j Ị chính là metric cảm sinh bởi metric t r ê n a b MỊ 3 j bởi vậy đ ể chứng minh C ị b j là đủ ta chỉ cỗn a b chứng minh rằng C j j là đ ó n g trong M Ị. Nếu a b [ a b { f n } c c [ a b ] và hội t ụ thèo metric p đ ế n h à m f e M[a b] t h ì {f„} hội t ụ đêu đến f t r ê n [a, b]. Do đó h à m giới hạn f phải liên tục trên [a, b ] , tức là f G C[ j . Vậy C j đống a b a b trong M .( a b ] Chú ý r ằ n g trên c ù n g một tập X khác rỗng có t h ể đ ư a vào nhiều, metric khác nhau. K h i đó X có t h ể là đủ đ ố i với metric này n h ư n g l ạ i k h ô n g đủ với metric kia. Chẳng hạn t ậ p X t ấ t cả các h à m số liên tục t r ê n đ o ạ n [0,1] là không > gian metric đủ đối với metric / (f,g)=sup| f(x)—g(x)| (ví dụ 5) xe [0,1] nhưng nđ l ạ i là không gian metric không đủ với metric Ì d(f,g) = Ị Ịf(x) - g(x)|dx. Thật vậy, xét dãy hàm f ( x ) = n 2,-TTT, X G [0, 1]. Ta có K 1 k=l Ị. n +p x k n + p ị R L 0k=n+ĩ k=n+\ ^ ) Do đó { f } là dãy Côsi theo metric d. Với mỗi hàm số f n liên tục t r ê n đoạn [0, 1], đ ặ t supl f(x)| = a < +00 xe [0,1] I
0 0 Ì Bởi vì c h u ỗ i k=4 2 ụ phân k ỉ , có t h ể chọn n D đủ lớn sao n+l„ cho f (l) n = 2]—>a+l. L ạ i vì f n liên tục tại X = Ì, tổn k - . k =2 t a i 0 sao cho f n (x) > a + Ì , Vx G ti - ổ, ĩ ] v à do đó o f (x) n > a + Ì Vi 6 [Ì - ổ, 1], V n > n Q Ta có. Ì Ì d(f n > f) = Ị |f (x) n - f(x)|dx ỉ* J(|f (x)|-|f(x)|dx n > ố l-ẻ Ì Ị l.dx = 0 tổn tại N ( p h ụ t h u ợ c í ) sao cho d ( x , x ) < £, n m V n , m ỉĩ N 10
Ì Với £ = — tổn t ạ i n j sao cho Li d(x , x )n m < ị , Vn, m > nj Với £ = — tổn t ạ i n 2 (có t h ể chọn n 2 > n j ) sao cho d(x , x ) n m < —, Vn, m > n 2 Cứ t h ế tiếp tục mãi, ta sẽ nhận được một dãy tăng ngặt { n } sao chok d(x , x ) n m J_ Vn, m > < -=T, n k k 2' Ì r a d x Suy < ry X n k + 1 ) < ^ Đặt B k = B ( X n k , -—ộ, k = Ì, 2... Khi đó { B } là dãy k hình cẩu đóng t h Ị t dấn. Thật vậy nếu X G B k + 1 thì Ì Ì Ì d(x, x_ ) « d(x, x_ ) A + d(x_. x_ ) < — + — Vậy X G B . Vì X là tùy ý, B k k + 1 c B . Theo g i ả t h i ế t k 00 - ỊÌ n B k = { x } . Bởi v ì . d ( x 0 0 > x^) =s - jk—- jl - -* 0 n ê n X 2 k=l N h ư vậy dãy Côsi { x } chứa một dãy con n { x ^ } hội t ụ đến x 0> do đó bản t h â n dãy { x } cũng hội tụ đ ế n x . n 0 Định lý 2. Nếu mọi hình cẩu đóng trong không gian metric X là compac thì X là đủ. Chứng minh. Cho { x } là n dãy Côsi trong không gian li
metric (X, d). K h i đổ {x } n n bị chặn, tức là tổn tại a e X, r>0 sao .cho {x } n c B(a, r). Theo giả thiết B(a, r) là tập compac, tdựỊ tại d ã y con c {x } n sao cho - » X . Suy- ra x n — X. V ậ y (X, d) là đủ. §3. ĐỊNH LÝ B E R O Định nghía Ì, Cho A là một tập con của không gian o metric X nếu Ã = 0 thì ta nói rằng A là tập không đâu t r ù m ậ t trong X. Từ định n g h ĩ a suy ngay r a r ằ n g n ế u A là t ậ p không đâu t r ù m ậ t t h ì CA là t ậ p t r ù m ậ t t r o n g X tức l à CA = X. Bổ dề 1. T ậ p A k h ô n g đ â u t r ù m ậ t t r o n g X, k h i v à chỉ k h i , với m ọ i hình cấu mờ B trong X đều tổn t ạ i một hình cầu B c B sao cho B n A = 0 0 C) Chứng minh. G i ả sợ A l à t ậ p k h ô n g đ â u t r ù m ậ t t r o n g X. V ớ i m ọ i h ì n h c ầ u m ở B t r o n g X đ ể u t ổ n t ạ i y £ B\A. N h ư n g B^S là t ậ p m ở n ê n y là đ i ể m t r o n g của B\s, nghía là t ổ n t ạ i r > 0 đ ể B = B(y, r ) c B \ & . suy ra B Q c B và Q B DA = 0 . Q N g ư ợ c l ạ i , g i à sợ m ọ i h ì n h c ầ u m ở t r o n g X đ ể u bao h à m m ộ t h ỉ n h c ấ u m ở k h ô n g giao v ớ i A. K h i đ ó với m ọ i h ì n h c ầ u m ở B(x, r ) , X e Ã, r > 0 sẽ có h ì n h c ầ u B ( X | , r ' ) c B(x, r ) , sao cho B( J, X r') n A = 0 ; nghĩa l à X | Ể Ẫ . Suy ra B(x, r) í s. vi X l à phẩn tủ tùy o ý v à r là số d ư ơ n g nhỏ tùy ý nên Ẫ = 0. Dinh lý Ì ÍBerơ). Mọi không gian metric đủ đêu không 12
thể biểu diễn dưới dạng hợp đếm được của các tập không đâu trù mật. Chứng minh. Giả thiết phản chứng ràng không gian metric đủ (X, d) biếu diễn được dưới dạng hợp đếm được của các t ậ p không đâu trù mật: 00 X = uE n , E n = 0 n=l Cho B D = B(x , Q r ) Q là hỉnh cầu mở trong (X, d). Vỉ Ej là tập không đâu trù mật nên tổn tại hình cầu Bị = - EKXỊ,! !) c B 0 sao cho Bjfi Ej = 0. Có thể giảm bán kính TỊ đ ể đổng thời xảy ra ri ^ y, Bj c B G và Bj n E[ = 0 Tương tự đồi với h ì n h cầu B Ị , VÌ E 2 là tập không đâu trù mật nên l ạ i có hình cấu B 2 = B(x , 2 r ) 2 c Bị sao cho B 2 n E 2 = 0- L ạ i có thể giảm bán kính r 2 để đồng thời xảy ra. Ì* r r 2 > -ị < ị , B 2 c B i và B 2 n E 2 = 0 Bằng quy nạp, ta nhận được dãy giảm các hình cẩu đóng { B } có n các t í n h chất sau: / • r n « — , r n là b á n kính hình cầu B n (1) n Ôn ' l i li B n + 1 c B , Vn n í Ì (2) B n n E n = 0, Vn 5 Ì (3) Từ (1) và (2) suy ra B n lã d ã y hình cẩu đóng thát dẩn. 00 00 Theo n g u y ê n lí C a n t o r n B n = {x}. Nhưng xGX=UE n n = 1 n=l 13
nên một mặt phải có chỉ số n Q để X G E và do đó thec o (3) X Ệ. B , n mát khác từ (2) suy ra X Ể B + 1 . D i ề u nà} mâu t h u ẫ n với t í n h chất X thuộc giao của các tập B . Vậy n X không t h ể biểu diễn được dưới dạng hỗn hợp đếm được của các t ậ p không đâu t r ù mật. Định lý 2. Trong không gian metric đủ giao của một hẹ đ ế m được các tập mứ t r ù m ậ t khắp nơi là tập t r ù mật khắp nơi. Chứng minh. Cho { G } là dãy các tập mứ t r ù mật n n trong k h ô n g gian metric đủ (X, d). Lấy một p h â n tử tùy ý X G X. Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi £ > 0, tốn t ạ i 00 x'eriG n sao cho d(x', x) < £ n=l — £ Vì G j = X, 3 x j G G j sao cho d(x, Xj) < ị , tức là £ x x e B(x, -T) n Gj. Bứi vì Xị là điểm trong của n G c ổ t h ể c h o n £ đ ủ n h ỏ £ < s a o c h o B(x, „ ) l' 1 ( 1 o> B ( x j , £j) c B(x v Bị) c B(xj, | ) nGj Lại vì G 2 = X, 3 x 2 G B(x 1; £j) nG , 2 chọn £ 2 đù nhò < — ( £ 2 Ị ) sao cho: iu B(x , £ ) c 2 2 B (x , £ ) c 2 2 (B(xj, £j) nG 2 Cứ t h ế tiếp tục mãi, ta nhận được dãy hình cảu đóng t h ắ t dần { B ( x , £ ) } với n n n £ n < ị n . Ẽ ( x n , £n) c G , v n n 14
Theo nguyên lí Cãntor t ổ n tại x' E n B(x ,£ ) c n n n G n mn=Ì n=Ì Ta CỐ £ d(x, x') sỉ d(x, Xj) + d i x j , x') < I + £ 1 < I . Chú ý: Định lý Ì có t h ể được suy trực t i ế p từ định lý 2 dựa vào nhận xét ngay sau định nghĩa 1. §4. B Ổ S U N G Đ Ủ CỦA M Ộ T KHÔNG G I A N M E T R I C Định lí 1. Đối với m ọ i J t h ô n g gian metric X đều t ổ n t ạ i một không gian metric đủ X có các t í n h chất: a) X đẳng cự với một không gian con Y của X b) Y t r ù mật trong X. Chứng minh. Gọi ổ là lớp t ấ t cả các dãy Cờsi trong không gian metric (X, d). Cho {x }, {y } e n n Ổ nếu l i m d ^ y j = 0 thì ta bảo dãy { x } t ư ơ n g đ ư ơ n g n với dãy n—00 { y } và viết { x } ~ { y } . Kí hiệu X là tập t ấ t cả các lớp n n n tương đương theo quan hệ vừa định nghĩa. K h i đó với x,yex và { x } e X, { y } G y bao giờ cũng t ổ n t ạ i n n limdíx^y,^. Thật vậy, ta luôn có n-»oo d(x , n y ) n =s d ( x n> x ) m + d(x , m y ) m + d(y , m y ). n Suy ra d(x , y ) - d ( x , y ) n n m m < d(x n> x ) + d(y , m n y ) m H o à n toàn tương tự ta cũng có: d x d x d x x + d ( m. y ) m - ( n. y ) n * ( n> m) (y . n y )-m 15
Do đó: | d ( x , y ỵ - d ( x , y ) | . =s d(x , x ) + d(y , y ) -» 0 (khi n n m m n m n m m, n, -» oo). Vậy { d ( x , y ) } là dãy Côsi trong R, do đó t ố nn n t ạ i limd(x y ). H i ể n nhiên giới hạn này độc lập với cách n> n n-»00 chọn các Jihấn tử đ ạ i diện { x } , { y } trong các lớp n n tương đương X, y tương ứng. Đặt d(x, y) = limd(x ,y ). K h i đó d là khoảng cách trong n n X. Thật vậy, cho X, y, z G X và {x } G n X, { y } e n y, {z }€Ez. Ta luôn có n d x d x + z V n < n> y ) n « < n> y )n %h> n> . Cho n —* 00 ta được d (x, z) =s d(x, y) + d(y, 7.) tức là d thỏa m ã n bất địng thức tam giác. Thêm nữa hiển nhiên rằng d(x, y) = d(y, x) và d(x, y) = 0 X = y. Vậy d là một khoảng cách. Xét ánh xạ ự>: X —* X xác định bởi công thức ự,(x) = X (ở đây X là lớp t ư ơ n g đương chứa dãy hăng {x, X, X...}. Dặt Y = Ự'(X). K h i đó ụ>: X -» Y là một song ánh bảo toàn khoảng cách: . d(V'(xj, V'(x')) = d(x, X') = l i m d ( x , j í ' ) = d(x,x') Vx.x'e X n n n—> (ỏ đây x n = X, x' n = x', Vn) Vậy (X, d) địng cự với (Y, ủ). Do đó lõ tự nhiên có t h ể đổng nhất mỗi phấn tử X £ X với một phẩn tử X = ự'(x) £ Y c X với phép đổng nhất như vậy ta có t h ể viết: đ(x,x') = d(x,x') nếu X , x' £ X (1) Hỉ .'
d(x,x') = limd(x ,x') n ế u n x' e X, X G X và {x } n G X (2) n-Mo Cũng n h ờ ^ đ ổ n g n h ấ t t r ê n ta c ò n suy ra r à n g : với mọi p h ấ n t ử X G X bao giờ c ũ n g x ả y r a đ ả n g t h ứ c : limd(x ,x) n = 0, V { x } e n X (3) n-»oo T h ậ t vậy, v ớ i m ọ i số d ư ơ n g € cho t r ư ớ c n h ỏ t ù y ý, vì { x } là d ã y Côsi n ê n p h ả i t ố n n t ạ i Uy đ ể d ( x , x ) n m si t, V n , m 5= ĩ\y Bất đảng thức này c ù n g v ớ i (2) cho ta 00 vì Í: là số n h ỏ tùy ý n ê n limd(x , n x) = 0 n-»oc Từ (3) suy ra X trù mật t r o n g X. Dể kết thúc chứụg minh định lý Ì, còn p h ả i chi ra rằng không gian metric (X, dỵ là đù. Cho { x } là d ã y n Côsi trong X. Vi X trù mật trong X nên với m ẵ i phấn tử x n G X, t ổ n tại x' n G X sao cho (J(x , x ' ) n n « — . Từ đó suy ra d(x' . x ' ) í n m d ( x ' , x ) + du,,, x ) + du,,,, x ' ) n n m m Ì Ì ~ - ~ < • • + — + d< x , n x ) m Do đó limd(x' ,x' ) n m = l i m d(x , n x > m = n.iJT-»» 11.111 * x /\ dãy Còsi, ký h i ệ u X là lớp t ư ơ n g d ư ơ n g chứa d ã y { x ' } n Theo (3i, ta có linuỉ
d(x , x) sá cKx^x'p) + d ( x ' , n n x) sỉ — + d ( x ' , n x) Dinh nghĩa 2: Ta gọi k h ô n g g i a n metric đủ thỏa mãn các t í n h chất a) và bi trong định lí Ì là b ổ s u n g đ ủ . c ủ a k h ô n g gian metric (X, d i . Dinh lý 2: Bổ sung đủ của một k h ô n g gian metric (X, d) ìà duy nhất sai khác một đẳng cự tức là nếu (X, (J) là không gian metric đủ thỏa mãn a) và b) của định lý Ì thì X đ ẳ n g cự v ớ i X. Chứng minh: Với mỗi X £ X, t ố n tại dãy {x } c X để Ịimx n = X (vi X t r ù mảt trong X) n h ư n g { x } l ạ i được c o i n n—>x: là dãy Côsi trong không gian đủ X nên tổn tại duy nhát xGX để limx n = X. Ta sẽ chứng tỏ rằng ánh xạ f cho tương ứng mỗi X E X với X G X là một đảng cự. Trước hết nếu limx n = X, limy, n->oc n-»» limx n = limy, n-»00 / \ Sì d(x, ý) == ' limd( n > y J x n—»* d(x,ỹ) = limd(x n>y n) n-*cc Do đó d(f(x), f(y)) = d(x,y) = liu, y) Sau nữa có t h ể t h ấ y ngay f á n h x ạ X lên X. Vảy f là đ ả n g cự g i ữ a X và X. Nhản xét. Qua trình làm đù một k h ô n g gian metric là 18