Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:105

Thêm vào BST

Báo xấu

195
lượt xem 65
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình có kết cấu gồm 6 chương, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 3 trở đi, trình bày về lý thuyết độ đo và tích phân hiện đại. Giáo trình dành cho sinh viên năm 3 khoa Toán của các trường Đại học sư phạm. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 2

CHƯƠNG III ĐỘ ĐO VÀ HÀM Đ O ĐƯỢC Ạ. Đ Ộ Đ O SI. ĐẠI SỐ VÀ ơ - ĐẠI SỐ TẬP H ộ p Ì - Đại số tập hợp. Định nghía 1. Cho X là một t ậ p hợp tùy ý k h á c rỗng. Một lớp £ các tập con của X thỏa m ã n các điêu kiện sau được gọi là một đai số tập hợp. b) A e e => CA G e. cj A, B e e => AUB e t Bằng quy nạp, dễ d à n g thấy r ằ n g điểu k i ệ n c) đ ú n g cho mọi họ hữu hạn các tập trong t tảc là n ế u Aị, A , 2 An n e e thì UAj G e. i=l BỔ đè 1. & là một đ ạ i số các t ậ p con của X khi và chỉ khi & thỏa mãn các điều kiện a, b v à c': c') A, B e t => AnB e e Chứng minh. Giả sử & là một đ ạ i số các tập con của X, ta sẽ chảng tỏ r à n g & thỏa m ã n điêu k i ệ n c'. Cho A, B là những tập tùy ý thuộc s. Ta luôn có: 86
A n B = CC(A n B) = C(CA u CB). vì £ là một đại số tập hợp nên CA CB £ s (điều kiện b) do đó CA u CB G é (điêu kiện c). Một lần nữa áp dụng a) suy ra C(CA u CB) e s, do đò A n B efc. Ngược lại, giả sử rằng & thỏa mãn các điêu kiện a, b, c'. Để chứng tỏ & là một đại số ta sẽ chỉ ra rằng & thỏa man điều kiện c). Cho A, B là những tập tùy ý thuộc £ , ta luôn có. A u B = CC(A u B) = C(CA n CB) Từ b) suy ra. CA, CB G g. do đtí CA nCB e £ (điêu kiện c'). Một i ọ n nữa do điêu kiện a) C(CA nCB) G&, do đổ A UB e e. Bổ đè 2. Giao của một họ đại số các tập con của X cũng là một đại sò các tập con của X. Chứng minh. Cho Sj, i 6 ì là những đại số các tập con của X. Đặt % = n & . Vì £ j là đại số các tập con của X ( iei nên X E £ j , Vie ì {điều kiện a), do đó X E ng, = £ iei • Nếu A e & thì CA G &i Vi G ì, do đố CA e n e,=e. iG! Nếu A, B e & thì AuB e £ j V i e l , do đổ AuBe ne, iel = t . Vậy 6 thỏa mãn các điểu kiện a, b, c, £ là một đại số. Cho A là một lớp tùy ý các tập con của X. Nếu kí hiệu íP : = (RX) là lớp tất cả các tập con của X, thì p là một đại số , Í P D À. Đặt KỊA) = nựỉ): (t>\& đại SỔ D An Theo bổ đè 2 %{
k 2. Đại số c á c gian trong R . Trong không gian các số thực R ta xét một lớp 7 các khoảng có dạng: : v [a, b], [a,b), (a,b], (a, b), [a, +00), (a, +00), (-00, a), (-00,a), (-00, +00). Quy ước thêm rằng 0 e 7. k k Trong không gian R (k > 1), ta gọi tập hợp A c R có dạng A = lị X I 2 X ... X I , Ij e k 7 là một gian Kí hiệu s là lớp tất cả các tập biểu diễn được dưới dạng hợp hữu hạn các gian rời nhau trong Bổ đề 3. £ là một đại số các tập con cừa R . k Chứng minh. Nêu chọn I j = I . . . = I 2 k = R e 7 thì k R = Rx R X ... X R G t k lẩn Điều kiện a) được thỏa mãn Cho A A' G s. Theo định nghĩa lóp £ , A và B sẽ được biểu diên dưới dạng: m V A = u Aị với Ai n Aị. = 0 , i * i ' i=l n B = u A'j với A'j n A'j. = 0, ị * y j=l k Aị, A'j là những gian trong R . Ta có. AnB = u (Ai n A'j) = u Ajj , Aij = Ai n A'j ij i,j Vì giao cừa hai gian là m ộ t . gian nên Àịj cũng là các gian trong »R . Hơn nữa chúng còn là các gian rời nhau k từng đôi một (nếu (ij) * thì i * i ' hoặc Chẳng 88
hạn í * i ' , ta sẽ có Aịj n Aj.j. c Aj n A ' j = 0 , do đó ta cũng có Ajj n Aj.j. = 0)1 Vậy A n Ã' G e và s thỏa m ã n điểu kiện c' của bổ đ ề 1. Bây giờ cho A e £ ta còn phải chứng tỏ r ằ n g CAe&. Muốn t h ế trước h ế t ta n h ậ n xét rằng nếu ì là m ộ t khoảng trong R thì h i ể n n h i ê n R \ ì là hợp của k h ô n g qua hai gian rời nhau trong R. G i ả sử A = I j X I X ... x . I . Ta 2 k có: k CA = R \ A = [
n CÓ dạng A = u Aj , Aj e M, do độ Aj e (tỉ v ỉ
[ tát cả những ơ-đại số bao hàm A cũng là một ơ-đại số bao hàm Ạ kí hiệu ơ-đại số này bởi !F(A) và ta gọi lị A là ơ-đại số sinh bởi A. Nếu X là một không gian metric và A là lớp tất cả các tập mở trong X thỉ mỗi tập A G 3ịJỊ) được gọi là tập Bôren của X. , 4. Các ví dụ về đại s ố và ơ - đại số tập hợp. Ví dụ Ì. Cho X là một tập khác 0 . Lớp é = { 0 , x} là một đại số tập hợp. • Ví dụ 2. Cho X là một tập gồm vô hạn phển tử. Kí hiệu £ là lớp các tập con của X mà. A e £ A hữu hạn hoặc CA hữu hạn. Khi đó t là một đại số nhưng không là a - đại số Thật vậy, hiển nhiên A e Ễ » C A E Ễ . Giả sử A, B £ e." Nếu A và B đêu hữu hạn thi A u B hữu hạn, do đố AuB e t . Trong trường hợp trái lại hoặc CA hữu hạn hoặc CB hữu hạn do đó CAnCB hữu hạn. Suy ra C(AUB) hữu hạn bởi vì C(AUB) = CAnCB. Do đó AUB e e. Vậy t là một đại số tập hợp. Để chứng tỏ £ không phải là ơ-đại số tập hợp, ta hãy lấy ta từ X một dãy các phển tử khác nhau { x } . Đặt A n n > 1 = { x . . . . ne N } , A = { x } . 2n n n A là tập chỉ gồm một phển tử nên A e ẽ . Nhưng n n A=UA Ệ. & vì A và CA đều là những tập vô hạn phần 2n tử. 91
§2. HÀM TẬP CỘNG TÍNH ĩ. Hàm tập. Định nghía 1. Ta gọi h à m t ậ p hợp (gọi t á t là h à m tập) là một ánh xạ xác định t r ê n một họ n à o đtí các tập hợp nhận giá trị trong không gian các số thực R hoặc phức c hoặc trong không gian các số thực mở rộng R = R U { - o o , + o o } . Riêng trong trường hợp cuối c ù n g ta quy ước t ậ p giá t r ị của ánh xạ chỉ chứa nhiều nhất một trong hai giá trị +00 hoặc -00. Định nghía 2. H à m tập ụ xác định t r ê n một họ các t ậ p DK được gọi là cộng t í n h nếu nó thảa m ã n : a) fi(0) =' 0 b) À,B e 3Ki A n B = 0 => /í (A u B) = fi(A) + ụ(B). Ngoài ra nếu điều kiện b) đ ú n g với mọi họ đ ế m được các tập rời nhau từng đôi một thì fi gọi là ơ - cộng t í n h . Ví dụ ĩ. Giả sử X là m ộ t t ậ p hợp gồm vô số phẩn tử. Theo định nghĩa, một t ậ p con A Cxi X " thuộc họ 316 khi và chỉ khi A hoặc X\A có hữu hạn phần tử. Đặt s :=...... in nếu A gốm n phẩn tử - Ị ao nếu A vô hạn Khi đó ụ là h à m t á p cộng t í n h . Ví dụ 2. Giả sử X là m ộ t tập gốm vô số phần tử và { a } là một dãy các phán n n tử của X. Với mỗi tập con A c X , kí hiệu N = {n : a A e n A } . K h i đó hàm tập ịi xác định bởi công thức dưới đây sẽ là cộng tính t r ê n họ t ấ t cả các tập cọn của X.
0 nếu N =0 A MA) 2^ 2 nếu N A hữu hạn nEN A +00 nếu N A vô h ạ n 2. B i ế n p h â n của hàm tập. Định nghĩa 3. G i ả sử là m ộ t h à m t ậ p x á c đ ị n h t r ê n m ộ t đ ạ i số 6 c á c t ậ p con của X . Đ ố i v ớ i m ỗ i E e S , t a g ọ i b i ế n p h â n t o à n p h ầ n của u t r ê n E là số V (tí, E) được đ ị n h nghĩa n h ờ c ô n g t h ứ c v(M, E ) = sup ỵ \ụ(Eị)\ ằ đây cận t r ê n được l ấ y theo t ấ t cả c á c h ọ h ữ u hạn {Eji i = Ì, 2, n } c t r ờ i n h a u t ừ n g đôi m ộ t , E j c E. Ta nói rằng hàm lập ịi có biến phân bị chắn nếu v(p,X)(Ei) - 2>(Eị) = M U Ei) - ,«(U Ej) iel ier iei ier ier 93
ở đây I + = {i 6 f l , 2, n } : (Eị) M 3= 0 } ì- = {i G { Ì , 2, .... n } : ụiEỘ < 0} Do đó • vin, X) = sup{2 |/ẩ(Eị)| : Eị s e, Ej n Ej = 0, (i * j ) } iei = sup te(UEj) - A(UEị) } + iel iei~ sỉ sup{^(A) - /í(B): A, B e í 2M. Đối với trường hợp tổng quát viết ụ = jUị + ĩụ 2 v ớ i ụ ị, ụ2 là những hàm tập giá trị thực v ớ i sup Ị M ( E ) I ( 1 í M và EGX sup Iụ (E)ị 2 Sỉ M F.ex Đối với m ỗ i hủ hữu hạn {Ej ỉ i € 1} ở t r ê n , ta có Ì lA(Eị)| ^ 2 lACj(Ej)| + 2 I A 2 ( E Ì ) | ^ 2M + 2M ÍGI iEI Ì6I Suy ra v(w, X ) =s 4 M BỔ dè 2. Biến phân toàn phần của một hàm tập cộng tính trên đ ạ i số 6 c ù n g là c ộ n g tính. Chứng minh. Cho E, F G e, E n F = 0. Xét một họ tùy ý các tập {Aị c EuF: i E 1} c t ròi nhau từng đôi một. Đặt Ej = E n Aj, Fj = F n Aị Ta có Ì lMAj)l « ì lA(Ej)| + 2U(Fi)| ^ «
Trong trường hợp v(fi, EUF) < +00, với m ọ i £ > 0 có t h ể tìm được các họ hữu hạn rời nhau t ừ n g đôi m ộ t . {EjC E: i e 1} c e và (Fj c F: j e J} c e sao cho v(M, E) ^ ỵ \ụ(Ẽộ\ + ị ; vặt, F) < ỵ \ụ(Eị)\ + ị iGI Ì6J Suy ra v{jụ, E) + v(ụ, F) sỉ V (ụ, EuF) + E. Do £ nhỏ tùy ý, viụ, E) + vin, F) « EuF) (2) Từ (1) và (2) suy ra u(a,EuF) = t>(^, E) + v{ụ, F). Nhận xét. Bổ đề còn đúng trong t r ư ờ n g hợp 6 - cộng tính. , . 3. Đ ị n h Ú khai t r i ể n eỉocđ&ng dối với hàm tập c ộ n g tỉnh g i á trị thực. Định nghía 1. Giả sử ụ là h à m tập cộng t í n h với giá trị thẳc. Ta gọi biến phân t r ê n ụ và biến p h â n dưới ỊX~ là + những h à m tập được xác định l ẩ n lượt bởi các đ ẳ n g thức sau: + fi (E) = ị(v(M, E) + 0(E)), p-.(E) = ị {vin, E) - ^(E)) Dinh lí Ì (ơocdăng). Nếu ụ là hàm t ậ p cộng t í n h , bị chặn xác định trên một đ ạ i số s thì với m ọ i E €E & . + fi (E) = sup. {ft(F) : F c E, F e £} /T(E) = - i n f {|*(F) : F c E, F e £} + Các hàm /u , /u~ là cộng tính, không âm và với m ọ i E e £ ta có + + ụ(E) = ụ (E) - //-(E), u^u, E) = ^ ( E ) + fi~(E) 95
Chứng minh. Nếu F c E, E, Fe g thì 2ụ(F)= ụ(F) + ụ(E) - ụ(E \ F) í ]u(E).+ U ( F ) | + U ( E \ F ) | + sỉ / / ( E ) + vặt, E)- - 2 (E). ( M + Do đó sup^(F) sỉ ụ (E) FCE Mặc khác với mọi £ > 0, bao giò cũng tìm được m ộ t h( hữu hạn các tập rời nhau từng đôi một {Ej : i G 1} c ĩ sao cho UEị = E v à V (ụ, E) - £ < 2MEi) ÌGI iei Suy ra + 2ụ (E) - £ = v(fi, E) + ụ(E) - £ *s 2 ^ ( E ị ) | + ụ(E) E = 2>(Ej) - 2/*( i) + M U Ej) + M U E j ) ] + ÌGI + ÌG1~ iei ier = 2 / i ( U E,) ^ 2sup^í(E) + iei F C E Vì £ n h ỏ t ù y ý, t a có + H (E) Sỉ s u p ^ E ) F C E Vậy ịU+(E) = SUp//(E) F C E Từ hai đẳng thức định nghĩa hàm ụ+ và ụ' ta C( + ụ ~ = ( - f i ) , do đó. // (E) = -inf>(F) F C E Cuối cùng cũng t ừ hai đ ng thức định nghĩa h à m pứ Ví ụ~ ta có ngay. + ụ(E) = ,« (E) - ụ-(É), v(ft, E) = /
4. Hàm tập chỉnh quy - định lí Alexandrov. Hàm tập cộng tính ụ, xác định trên một đại số t các tập con của không gian tôpô X, gọi là chính quy nếu với mọi E e £ và với mọi £ > 0 tổn t ạ i các tập F, G G t sao cho F c E c Ỡ và \f*(C)\ < E với mọi c G e, c c G \ F BỔ đè 3. Hàm tập cộng tính ụ trên đại số s là chính qui khi và chỉ khí với mọi E e & và với mọi £ > 0 tổn tại các tập F, G G 6 sao cho F c E c 6, V (/í, G \ F) < £ Chứng minh. Giả sử ụ. là hàm tập chính quy. Khi đó với mọi E 6 Ễ và với mọi £ > 0, tổn tại F, G G t sao cho F c E c & và |^(C)| < Ị , V C e e , C c G \ F Theo bổ đê 2 ta có V(M, G \ F ) =S 4.sup{|/i(C)| : CG e, c c G \ F} Do đó VÌẬI, G \ F) < £ Ngược lại, nếu V(ỊẲ, G \ F) < £ thì hiển nhiên |//(C)| < e, V c c G \ F, c G e. Dinh lí 2. (Alexandrov) Giả sử £ là một đại số các tập con của một không gian tôpô compac X. Nếu ụ: & -> c là hàm tập cộng tính, chính quy, bị chỗn thì ỊU là ơ - cộng tính Chứng minh: Cho { E } c & là một dãy các tập con rời n 00 nhau từng đôi một sao cho E = u E G t . Với mọi r>0, n n=l _ theo bổ đề 3, tổn t ạ i một tập F G % sao cho F c E và v(ụ, E \ F) < £. Ngoài ra với m ỗ i ' n ^ Ì, tổn tại G SE & sao cho n 97
E c n Ồ n v à v(M, G n \ E ) n < Ệ . B ở i vì ỵ Ô n D F v à F 1; n=l t ậ p compac, t ồ n t ạ i m e N* sao cho u & n D F n=i T ừ đó ta có 00 00 m n=l n=l n=l > v(fi, F) - € 3= V(ỊI, E) - 2e. 00 Suy ra 2 fO/.Ej > "Cu, E) n=l M ặ t khác, ta có. n v(ụ, E) > v(fi, UEj) = 2>G".Ei), V n G N*. 11=1 i=i E V Ể Do đtí vin, E) > ỵ ại,Ej. v V ậ y v(,it, E) = 2>0". n) n=l n=l vifi, .) l à ơ - cộng t í n h . B ở i vỉ ụ là h à m t ậ p bị c h ặ n , theo b ổ đ ể 1. 00 2w(w,Ei) < + 0 ° i= l Suy ra ví^, u Ej) dẩn đến 0 (khi n - * oo). Điêu nà] i=i n-l 00 kết hợp v ớ i bất đẳng th c |/*(E) - « V^M, u Ej) i=l i=n 00 cho t a ụ(E) = ỵ O.En). n=l 98
§3. Đ ộ ĐO T R Ê N ĐẠI số T Ậ P HỢP 1. Định nghĩa v à c á c ví dụ. Định nghía 1. Cho £ là một đại số tập hợp. Hàm tập ỊẤ xác định trên £ được gọi là một độ đo nếu nó là ũ -cộng tính. Độ đo ụ được gọi là độ đo dương nếu ụ(A) > 0 với mọi A e £ . Trên cơ sở định lí Jocđăng và bằng cách biểu diễn độ đo giá trị phức ụ dưới dạng ụ = Re fi + iĨTíụi việc nghiên cứu độ đo với giá trị thực hoặc phức được đưa về việc nghiên cứu độ đo dương. Vì vậy tữ nay vẽ sau ta chỉ xét độ đo dương. Định nghía 2. Cho £ là một đại số các tập con của X. Độ đo Ịi: 5 -* R được gọi là hữu hạn (ơ - hữu hạn) nếu + 00 ^(X) < +00 (nếu tổn tại dãy tập X e £ sao cho X = U X n n n=l và ụ (X ) < +00, Vn). n Một lớp độ đo thường được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết hàm đo được và lí thuyết tích phân là lớp các độ đo đủ. + Định nghía 3. Độ đo fi : 7 -* R xác định trên ơ-đại số tập hợp 7 được gọi là một độ đo đủ nếu mọi tập con của một tập thuộc 7 và t ó độ đo 0 thì cũng thuộc 7 và có độ đo 0. Các ví dụ Ví dụ 1. Giả sử X là một tập khác rỗng. t = {0, X} 0 nếu A=0 khi đó ụ(A) = .Ì nếu A=x \ V là mót đô đo hữu han trện đai số e. Ví dụ 2. Giả sử X là ựiột. tập vô số phẩn tử. Kí hiệu f = #}X) là ơ - đại số tất cả các tập con của X. Khi đố 99
h à m tập ỊX xác định bởi biểu thức sau sẽ là một độ đo t r ê n 7. 0 nếu A = 0 ụ. (A) = n nếu A gồm n phấn tử +00 nếu A v ô h ạ n p h ẩ n t ử Ngoài ra, nếu X là t ậ p có lực lượng đ ế m được thỉ ụ là độ đo ơ - h ữ u hạn n h ư n g không hữu hạn, còn nếu X có lực lượng continum thì ụ không phải độ đo ố - hữu hạn. 2. Các t í n h c h ấ t cơ bản của độ do. Định lí 1. Độ đo là một h à m tập ơ-cộng tính dưới, tức 00 • là nếu A N G e, Vn > Ì và u AJJES thì n=l /*
n+i-1 t A' m = A'nH = A " ' \ U A k c A"+1 \ A „ C A"+i \ A ' n k=l Suy ra A* m n'A'n = 0. Cuối cùng ta còn phải kiểm tra tính chất iii). H i ể n 00 00 nhiên u c u Aj, . Ta sẽ chứng minh bao hàm thức n=l n=l 00 ngược lại. Lấy một phần tử tùy ý X € u Aj, . n=l Đặt n Q = min {n : X e A } . Suy ra n xeA^UJAfc =A;cUA' . n .k=l n=l 00 00 Vậy u \ c UA' n n=l n=l Áp dụng tính chất ơ-cộng tính của độ đo ỊI vào dãy { A ' } và chú ý đến tính đơn điệu tăng của fi ta được n ft(ù \ ) = MỮA' ) = i^A'n) < ẼMAn) n n=l. n=l n=l n=l Định nghĩa 4. Giả sử {A„} là một dãy các tập con của tập hợp X, ta gọi giổi hạn trên của dãy { A } , (kí hiệu bởi limsupA,,) là n n-Mo tập hợp được xác định bởi cổng thức sau: co 00 limsupAn = n u Afl+k n-»oo n=lk=l Tương tự giổi hạn dưổi của dãy { A } , kí n hiệu bởi liminfAn được xác định bởi công thức. n-M0 loi
liminfAj, = u n n-»oo n=lk=l Trong trường hợp liminfAj, = l i m sup Aj, = A, ta gọi A n-»00 n-»°° là giới hạn của dãy { A } , kí hiệu bởi HniAj, = A n u Aj, nếu A j C A C . . . 2 1=1 Từ định nghĩa ta suy ra limAj, = 00 n Aj, n ế u A j D A D . . . 2 i=l Định lí 2. Giả sử s là một đ ạ i số các tập con của X, fi: s - * R+ là một độ đo t r ê n t . Cho A e £ n = Ì, 2,... n 1. Nếu { A } là dãy t ă n g (tức là A j c n A 2 c . . . ) và nếu limA n e & thì liir¥í(A ) n = ^(limA ) n n-» 2. N ế u { A } là dãy giảm n (tức là A j D A 2 D ...), limAj, n-»00 G £ và ịi (kị) < +00 thặ liny^Aj,) = ^(limA,,) rr-»oo Chứng minh. 1. Trước hết ta nhận xét rằng nếu ( M(A )=+OO ĩ1 với một chặ số n 0 nào đó thì i«(A ) N = +00 Vn?n , 0 do đó liĩĩỊtí(A ) n = +00. M ặ t khác từ bao hàm thức n-»00 oo 00 u \ D suy ra ^ ( l i m A ) = / M i U A j n > /"(An) = +00 n=l ° n=l Vậy l i m ^ ( A ) = ^(limAn) = +00 n Bây giờ ta có t h ể giả t h i ế t r ằ n g fi(A ) n < +00, Vn > 1. Vì { A } là dãy t ă n g n ê n n 00 00 limA n = UA n = uc^wo (A 0 = 0) n=l n=l 102
Sử dụng tính chất ơ - c ộ n g tính c ủ a đ ộ đo ta được 00 00 Ị MlimA ) n = MUCAnWj)) = ỵ MK \An-l) = rr->co n—Ì n=l n = lim2 [u(A ) - ^ ( A _ ! ) ] = k k HIHMA,,) n-^oo k = i n-»M 00 2) Vì { A } l à d ã y giảm n ê n HmAj, = n n c A ị , do đ ó n—»00 n— Ì MlimAJ í ụiAị) < +00 n->00 Đặt E n = Ai \ A , n = n Ì, 2, ... K h i đó { E n } là d ã y 00 tăng, h ơ n nữa l i m E n = A j \ n An G s. n-*oc n= Ì 00 Aí(limE ) n = MAj) - \ ) = ụịẤị) - MlimA ) n (1) n=l Mặt khác, theo 1) ta có ụ(\imE ) n = linyto Từ (1) v à (2) suy r a ìiĩiụii^ = ^(limA ). n n-»00 Định lí 3. G i ả sử (Ì: t - * R + là h à m tập cộng tính trên đại số 6. N ế u liiĩ\«(A ) n = /ídimAn) đ ố i với m ằ i d ã y n-»00 n— 00 tăng {A } c n n s, u An E s t h ì fi là m ộ t đ ộ đ o . n=i Chứng minh. T a sẽ chứng tỏ rằng fi có tính chất ỡ-cộng tính. 103
Cho { B } là d ã y tập hợp rời nhau từng đ ô i m ộ t trong n £ 00 n sao cho B = U B n E s. Đật A n = uB k , n = Ì, 2... n=l n=l K h i đó { A „ } l à d ã y t ă n g c á c tập hợp trong n £ và UA n = UB n = B e e n n Từ giả thiết suy r a liĩiụi(A^) = ^(limA )= a(UA )=^(B). n 1 n Mặt khác, do ụ là cộng t í n h hữu h ạ n t a c ó : n n /í(A ) n = MUB k ) = I > ( B k ) ; Do đó k=l k=l ìimfi(A ) n = f>(B ) k k=l Vậy ụ(B) = SMBR). k=l §4. T Ậ P H Ợ P ĐO ĐƯỢC - Đ Ộ ĐO C Ấ M S I N H B Ở I Đ Ộ ĐO NGOÀI 1. Đ ộ do n g o à i . Định nghía 1. Cho X l à m ộ t tập hợp k h á c rỗng. H à m tập hợp ụ* : íRX) - * R được gọi là một đ ộ đo n g o à i n ế u + i) ỊI* l à ơ - cộng t í n h dư i : 00 00 /**(5>i) ^ ỵ^iAị), V {Aị} c (PX). i = 1 i=l ii) ụ*(0) = 0 iii) ịi* đơn đ i ệ u tăng 104
ví dụ 1. G i ả sử X là một tập hợp chỉ gồm hai phần tử: X = {a, b } . 0 nếu A = 0 Đ ặ t fi*(A) = Ì nếu A = a 2 nếu A=bhoặcA=a,b Khi đó fi* là m ộ t độ đo ngoài n h ư n g không phải là một độ đo t r ê n íRX). Ví dụ 2. Cho X là m ộ t tập vô hạn p h â n tử. K h i đó fi* : ơịX) -* R+ xác định bởi b i ể u thức dưới đây sẽ là một độ đo ngoài t r ê n (RX). 0 nếuA=0 Ì /