Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

315
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là tập IV trong bộ sách 4 tập về giải tích cho sinh viên khoa toán các trường Đại học sư phạm. Tập này có mục đích trình bày những vấn đề tổng quát và cụ thể quan trọng của Giải tích hàm được phát triển từ những năm 40 - 60 của thế kỷ này. Đó là lý thuyết tổng quát cùng các ví dụ quan trọng về không gian tuyến tính tôpô đặc biệt là không gian lồi địa phương và không gian Frechet. Và sau đó trình bày những uốn đề đặc biệt thuộc về lớp các không gian Banach và không gian Hilbert. Giáo trình gồm 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 1

ĐAI H Ọ C VINH m u VIỆN NGUYÊN VĂN KHUÊ (Chủ biên) P T S . LÊ MẬU HÀI 515.13071 NG-K/95 DT. 003724 ì^ưyến, ứnÁ XÔ VỒ BANACH - HUBERT ( G I Ả I T Í C H IV)
GS - TS NGUYỄN VĂN KHUÊ (CHỦ BIÊN) PTS. LÊ MẬU HẢI KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH TỎPÔ BANACH • HUBERT (GIẢI TÍCH IV) HÀ N Ộ I 1995
LÒI NÓI D Ầ U Dây là tập TV trong bộ sách 4 tập vê giải tích cho sinh viên khoa toán các trường Dại học sư phạm. Tập này có mục đích trình bày những vấn dê tổng quát vò cụ thể quan trọng cùa Giải tích hàm cittợc phát triền từ những nòm 40 - 60 cùa thế kỳ này. Dỏ lò lý thuyết tổng quát cùng các ví du quan trọng vè không gian tuyến tỉnh tôpô dốc biệt lò không gian lòi địa phương và không gian Free hét. Và sau dó trình bày những uốn dẻ dọc biệt thuộc ve láp các không gian Banach và không gian Hubert. Máu chốt và các áp dụng quan trọng cùa Giải tích hàm vào các linh vực khác nhau cùa toán học hiện dại: Giòi tích phức, lý thuyết phương trinh dạo hàm riêng, lý thuyết xốp xỉ VAI..., là ba nguyên /ý cơ bàn dược trinh bày dày dù trong chương u. Ngoài ra các định lý quan trọng vè lý thuyết các không gian tuyến tinh tôpô (Định lý Alaogìu - Bourbahi, định lý Macki - Arenxơ, dốc trưng của không gian phàn xạ i u ; . . J dược trình bày tmng chương HI. Lý thuyết các toán từ compact cùng phổ của chúng củng như dinh lí Hiỉbcrt - Schmid dược trinh bàv trong chương IV và VII. Ngoài ra việc miêu tả không gian liên hợp cùa các không gian hàm quan trọng cùng đốc trưng cùa các tập compact trong dó dược trinh bày trong các chương V và VI. Vói nội dung như vậy dây không hẳn chi là giáo trình Giãi tích hàm cho sinh viên năm cuối cùa khoa Toán các trường dại học Sư phạm mà còn là cuốn sách thom kháo hay một phàn có thề dung làm giáo trinh cho các học viên Cao học chuyên ngành Giải tích. Cóc nghiên cứu sinh viên chuyên ngành Giòi tích củng cỏ thề tim tháy ỏ dày các kiến thức cúng kết qua cho sự học tập và nghiên cứu cùa minh. Các giao viên phổ thông trung học cùng có thể láy dày là tài liêu tu học nòng cao trinh dô cùa minh nhàm /liều biết thêm vẽ toán /ụ*" lươn dại. 3
Dể dọc dược cuốn sách, người dọc cần có các hiếu biết Ưf> dại số tuyến tính và tỏ pô dại cương củng như lý tkuyết rì ộ do ỏ mức độ dại cương. s Cuốn sách này khác biệt. cơ bàn vói các giáo trình Giải tích hàm đã dược viết bời một số tác giả Việt Nam trước dây và hiện nay. Dó là vì có thể xem đày là cuốn sách trình bày dầy dù nhất vè các vốn dê cơ bàn cùa Giải tích hàm trong mói liên hệ vói Giải tích trong ecu: kliông gian hàm đặc biệt không gian các hàm khả vi và chinh hình. Cuốn sách này chưa có phán bài tựp bói vì chúng tôi sẽ soạn ti mi phân bài lạp trong một cuốn sách riêng ngay sau dây. Đề cho người dọc tiện theo dõi, chúng tôi bố trí cách sắp xếp à từng chương theo thứ tự chữ số La Mã dể chỉ số chương, chữ số thứ hai dế chỉ thứ tự cùa các mục trong mỗi chương và sau dó là chữ số tiếp theo dể chỉ thứ tự kết quà trong chương và mục dó Vỉ dây là lần xuất bàn dầu tiên nên không thể không gặp một số thiếu sót mặc dù chúng tôi dã có gàng trình bày cho sáng sủa dôi chỗ các chứng minh được dưa ra dưới dạng sơ cấp hơn (chảng hạn định lý Shauder) theo phương châm dùng cái ít nhát dể dạt dược cái nhiêu ntìắt. Cuốn sách dược viết bời Phó tiến sỉ Lé Mựu Hài, người đã có một số nơm giảng dạy Giải tích hàm cho sinh viên năm thứ IV và cao học khoa Toán ĐHSP1 Hà Nội và dược sắp xếp, bồ sung và sửa chữa bời Giáo sư, tiến sỹ Nguyên Vãn Khuê. Chúng tôi xin chân thành cám ơn những ý kiến đóng góp qui báu dể cho cuốn sách dược hoàn chinh hơn của Tiến sỉ Phạm Kỳ Anh; Phó giáo sư, tiên sỹ Dăng Hùng Tháng và Phó tiến sỹ Bùi Đác Tác. Hà Nội, ngày 23-2-1995 C h ủ b i ê n GS.TS. N g u y ê n Vãn Khuê T á c g i à PTS.Lè Mậu Hải 4
CHƯƠNG I ĐẠI C Ư Ơ N G V Ế KHÔNG G I A N TUYÊN TÍNH TÔPÔ K H Ô N G G I A N L ồ i ĐỊA P H Ư Ơ N G 8.1.1. KHỐNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.1.1. Đ ị n h nghĩa k h ô n g gian t u y ê n tỉnh. Trong phần này ta dùng kỉ hiệu K đế chi trường vô hướng gồm các số thực R hay các sô phức c. Một không gian tuyến tính X trên trường K là một tập hợp X cùng với hai phép toán. +: X X X -* X (x.yti—» x+y và phép nhàn với một lượng vô hướng K X X -* X (À,\) •—» Ằx thỏa mãn c á c tiên đẽ sau HI Với mọi X, V G X x+v = y + x b i Với mọi X . y. z E X X + I y + Z> = = I-X» + X = 0 5
e) Với mọi Ả, li 6 K và X e X (Ầ/i)x = X(jux) í) Với mọi Ả, ụ G K va X G X (A+/i)x = Ầx + /YX g) Với mọi Ả G K, X, y G X A(x+y) = Ắx + Áy h) Với mọi X e X l.x=x, ở đó Ì là phàn tử đơn vị của K. Từ các điều kiện trên có thể thấy phân tử 0 là duy nhất và với mỗi X G X phàn tử (-x) cũng là duy nhất. 1.1.2. H ệ dộc lập và phụ thuộc tuyến tính. Cu sở Hamen. 1.1.2.1. Dinh nghía. Giả sử E là một không gian tuyến tính. Tập con M c E, M * 0 gọi l à độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ hữu hổn { X j , x ,...,x } c M và mọi hệ {«J, a ,...,« } 2 n 2 n n c K, tù đảng thức ]Ị>] r t x i ị - 0 suy ra «j = 0 với mọi i= l i=l,2,..,n. Rõ ràng nếu M là độc lập tuyến tính và 0 / N c M thi N cũng độc lập tuyến tính. 1.1.2.2. Định lý. Giả sử M là một hệ độc lập tuyến tính. Nếu y Ễ E là một tổ hợp tuyến tính của những véc tơ thuộc M: x y = « Ị X J + « 2 2 + • • • + n n ( i £ M , ttj s K) (1.1) X a x thì cách biểu diễn ấy của y qua các véc tơ thuộc M là duy nhất. Chứng minh. Giả sử ngoài ( 1 . 1 ) y còn có biểu diễn an y = /3 + p u + ... + £ lUl 2 2 m U m (Uj e M, Pị e K với Ì < i < m). Gộp' hai hệ {xj, x ) và { U j , u ,..u } và ký hiệu hệ mới n 2 m là {Vị, v ,..., 2 v } n (Vị e M) thì ( 1 . 1 )và ( 1 . 1 )trở thành (1.2) y = ẰịVị + A v +...+A v 2 2 r r (1.2') y = lí Ì V Ị + f i 2 v 2 f ... + // v r r tì
ở đó có m ộ t số Ằị v à /Ẩị có t h ể b à n g 0. V ậ y 0 = (Aj - ^ J ) V J + a 2 - yM )v +...+ 2 2 a r - // )v r r Do M độc l ậ p t u y ế n tính n ê n Ả ị = /.(ị (ĩ = l,2,...,r). Do đó các b i ể u d i ễ n (1.2) và (1.2') trùng v ớ i nhau. Do đó (1.1) và ( ì . ỉ ' ) t r ù n g với nhau. 1.1.2.3. Định nghía. Nếu tập con M c E không độc lập tuyến tính t h ì M gọi l à p h ụ thuộc t u y ế n tính. 1.1.2.4. Định lý. Để tập con M c E là phụ thuộc tuyến tỉnh điều kiện cằn và đủ là tồn tại y 6 M là một tổ hảp tuyến t í n h của n h ữ n g véc tơ thuộc M . Chứng minh •ã) Cần. Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại một tổ hảp tuyến tính aịXị + a X2 2 + •••+a x n n = 0. t r o n g đ ó X j G M (i = 1,2...n) v à c á c « j , •••, «„ k h ô n g đ ồ n g t h ờ i b à n g 0. v Giả sử a l * 0. Vậy x X. =• (- 0(7) 2 + - + (-õ£)*n Vậy X j là m ộ t t ổ hảp t u y ế n t í n h của x , 2 x . n b) Đủ. Nếu y e M và nếu y = ẦịXị + A X 2 2 + ... + A x n n (Xj e M) thì ( - l ) y + AjXj + ... + A x n n = 0. Do đ ó M p h ụ thuộc tuyến tính. ỉ. 1.2.5. Định nghía. Một tập con B n h ữ n g véc tơ của một k h ô n g gian tuyến tính E gọi là m ộ t cơ sở Hamen của không gian E nếu: a) B là độc l ậ p t u y ế n tính. 7
b) Mọi véc tơ X € E đều là một tố hợp tuyến tính (hĩru hạn) của những véc tơ thuộc B. 11.2.6. Định lý. Để tập con B c E là một cơ sờ Hamen của E điêu kiện cần và đù là B lá một hệ độc lặp tuyên tinh cực đại, nghĩa là: B là độc lạp tuyến tính và nếu M D tí, M * B thỉ M là phu thuộc tuyến tính Chứng minh. ai Càn. Giả sụ B là một cơ sỏ của E và M D B , M * B. Lấy X G M B: Khi đó X là một tố hợp tuyến tính cù a nhưng véc tơ thuộc B. Vậy M là một hệ phụ thuộc tuyến tính. bi Dù. Nếu B là một hệ độc lập tuyến tính cực đ ạ i thi với mọi vét! tơ X £ X, tập B' = B u !x} là phụ thuộc tuyến tính. Do dó tồn tại X ; G B' (Ì < i < n) và các hệ số «j (Ì < i < n ) không đồng thời bàng 0 sao cho « | X | + í*->x •>+...+rt„x = 0. n Trong các véo tơ X j phai có một véc tơ là X vì nếu không trái với tính dộc láp tuyến tinh của B Giả sụ X = X ị . Khi đó
N ế u k h ô n g gian t u y ế n t í n h E c ó m ộ t cơ sở B gồm m ộ t số hữu h ạ n véc tư t h i E gọi là hữu h ạ n chiều, số các p h ầ n t ử của B gói là số c h i ê u c ù a E và ký h i ệ u là d i m E Ta có t h ế chứng minh được nếu không gian t u y ế n tính E là hữu h ạ n c h i ê u và nếu B và B ' là hai cơ sở tùy ý cùa E thì số phàn từ c ù a B h à n g số phần t ử của B' Do đó định nghĩ a số chiều của E như trên k h ô n g phụ thuộc vào cơ sỏ được chọn. T r o n g t r ư ỏ n g hợp k h ô n g gian t u y ế n t í n h E k h ô n g phải lã hữu h ạ n chiếu, nghĩ a là t r o n g E t ò n t ạ i m ộ t hệ độc l ậ p t u y ế n tính gồm vô h ạ n p h à n t ử . t h i E gọi là vò hạn chiêu. 1.1.3. K h ô n g g i a n c o n và khùng gian thương của một k h ô n g gian t u y ê n t í n h . ỉ. 1.3.1. Không gian con cùa một không giun tu ven tinh. (Má sử E là k h ô n g gian t u y ế n tính. Tập con Y c E gọi là một không gian con cùa E nếu Y là một không gian tuyên tinh đ ỏ i với cáo phép toán trên E han chẽ" t r ê n Y, nghía là nếu XẠ e V thi X + V e Y vá Ả e K . X G Y t h i Ầx G Y Già sử M là một t ậ p con t ù y ý của k h ô n g gian t u y ế n t í n h E K h i đó t ậ p cáo t ổ hợp t u y ế n t í n h (hữu h ạ m c ù a n h ữ n g véc tư thuộc M là m ộ t k h ô n g gian con t u y ế n t í n h của E. đó c ũ n g là k h ô n g gian con n h ò n h ấ t chứa M . K h ô n g giun n à y được gọi la k h ù n g gian con t u y ế n tỉnh gây bởi M Cho V vã z là hai khổng gian con của không gian tuyến tinh E Khi đó Y + z = !y + z : y € Y. z E 7.) là một không gian run rủa E và được gọi là t ố n g c ù a cáo k h ô n g gian con V vá z LI.ỉ.1.1. Mênh (lõ Già sử Y vá z là hai khòtiịi gian con lùm không pan t u y ế n , tỉnh K Dế moi V(''C ni X G Y-*-Z ĩc f'U có thí' tiịốn đi." tì tilt'lì một rách duy nhát dưới dụng X = y + z. vGY. Ỉ. s z đ]V'U kiên r à n và dù là Y n z = 'I í)
Ckứng minh. a) Càn. Nếu Y n z * {0} thì tồn tại u e YnZ, 1 1 5 * 0 . Nếu X = y + z v ớ i y G Y, z e z t h ì X c ò n có thể biểu diễn dưới dạng X = y' + z' v ớ i y' = y+u e Y, z' = z-ue z và y' í y, z' í * z. 6; £>íi. Giả sử Y n z = {0}. Nếu X e Y + Z và X = y + z = y ' + z \ v ớ i y , y ' G Y, c ò n z , z ' G z t h ì y - y ' = z'-z. vì y-y'€Y còn z'-z £ z nên y-y' = z'-z £ Y n z. vậy y-y' = 0, z'-z = 0 và do đó y = y ' , z = z'. Trong trường hợp Y n z = {0} thì Y + Z còn được gọi là tống trực tiếp cùa các không gian con Y và z. *• -ì Nếu E là tổng trực tiếp của Y và Z: E = Y + Z và Y n Z = { 0 ) thì Y gọi là phàn bù đại số của z, cũng như z là phần bù đại số của Y. Ta có ỉ.1.3.1.2. Mệnh đè. Mọi khống gian con tuyến tính Y của không gian tuyến tính E đều có phàn bù đại số z. Hơn nởa, ta có dim E = dim Y + dim z Chứng minh. Nếu Y = {0} th ì lấy z = E và nếu z =f {0} thì lấy Y = E. Do đó ta hãy giả thiet Y * {0} và Y * E. Do hệ qua 2.3.3. thì Y có cơ sở B. Khi đó B cũng là hệ độc lập tuyến tính trong E nhưng vì Y * E nên B không phải là hệ độc lập tuyến tính cực đại trong E. Theo định lý .2.3.2 tồn t ạ i một c ơ sở B' c ủ a E với B' D B và B' * B. Xét z là không gian con gây bởi B'\B thi E = Y + z và Y n z = {0}. Nếu z là một phân bù đại số của không gian con Y của E thì số chiêu của z gọi là số đối chiều của Y và ký hiệu là eodim Y. Khi đó codim z = dimY. Không gian c o n Y của E gọi là một không gian con cực d ạ i n i u Y 5* E và không tồn t ạ i một không gian con Y' của E với Y c Y' c E, Y * Y' và Y' * E. lù
ỉ.1.3.1.3. Mênh dê. Dế không gian con Y của E là không gian con cực đ ạ i điều kiện càn và đù là codimY = 1. Chửng minh. a) Cân. Gọi z là một phần bù đại số của Y. Nếu dim z > Ì thì có thể lấy véc tơ X € z tùy ý, X ví 0. Do Y n z = {0}, nên X Ể Y. Vậy nếu Y' àl không g i a n con gây bởi Y và X thì Y c Y', Y * Y' và Ý' * E. bì Dù. Giả sử codim Y = Ì và Ý' là một không gian con của Y với Y c Y', Y * Y'. Khi đó tịn t ạ i X e Y'\Y và do đó X k h ô n g p h ả i là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ thuộc Y. Giả sử B là một cơ sở của Y thì hệ B' = B u {x} là độc lập tuyến tính trong Y' và do đó độc lập tuyến tính trong E. Nhưng codim Y = Ì, vậy B' l à cơ sở của E. Do đó Y' = E. Ị.1.3.2. Không gian thương. Giả sử Y là không gian con của không gian tuyến tính E. Trên E ta xác định quan hệ R như s a u : X R y nếu x-y s Y đối với x,y e E. Có thế thấy rằng R là quan hệ tương đương trêrr E. Xét tập thương E/ _ , thường ký hiệu E/Y, gịm các lớp tương đương theo quan hệ tương đương R nói trên. Gọi là X là lớp tương đương chứa X e E, khi đó có t h ể thấy rằng X = X + Y = {x + y : y e Y} Trên E/Y ta xác định hai phép toán (x+Y) + (z+Y) = (x+z)+Y A(x+Y) = Ảx+Y đ ố i v ớ i mọi X , z e E v à Ả e K. Khi đo' E/Y trở thành một không gian tuyến tính gợi là không gian thương của E theo không gian con Y. Ta có: 1.1.3.2.1. Mệnh đè. Nếu Y là không gian con của không gian tuyến tính E thỉ dim (E/Y) = codim Y. Chứng minh. Gọi z là phần bù đại số của Y và B là cơ sở cùa z. Ta chứng minh tập B = {x+Y : X e B) là cơ sở c ủ a E/Y- Thật vậy, giả sử ta có: li
a, + rt,(x,+Y) + + a íx +Y) n n = 0 với X x n e B. a, G K (i = 1,2,...n). Do đó Ic. Vậy x+ Y= rt (x +Y)+«,ix +Y> 1 1 1 + ...+rt (x +Y>. n n Do đó B là cơ sở của E Y. ì. 1. 4. Phiếm hàm tuyến tính. K h ô n g gian c á c phiếm hàm tuyên tỉnh. / 1.4.1. Dinh nghía. Già sử E là k h ô n g gian t u y ế n t í n h trẽn trường K Một phiếm h à m t uyến t ính f xác định trên E là một ánh xạ t u y ê n tính f : E -» K . n g h í a là á n h xa thỏa mãn điêu ki ĩ-li: với moi x.v £ E. l í . /í G K f U í x + / 3 y » = ú ' f i X» + /3'f(\"). Ký hiệu E * là t ậ p các p h i ế m h à m t uyến t ính t rên E. Trên # É * t a xác đ ị n h hai phép toán: nếu f, g 6 E . Ả G K thi (f+g>ix> = f(x)+g, X e E ŨÍHXI = / f ( x i . /I e K. X e E. Khi đó E* là một không gian t u y ế n t í n h t r ê n K và được gọi là liên hợp đ ạ i sô của E. Ta có / 1.4.2. Đinh ly. Nếu cáo phiếm h à m t uyến t i n h f j . f\... í s É" là đ ỏ i ' l ặ p t u y ế n t í n h t h i t ò n t ạ i lì véc tơ X x n e E sao cho Ì nếu i=j tụi = 1. 2. ... n i 0 nếu Ì * j
Chứng minh. Với n = l . Do tị độc lập tuyến tính nên f j * 0 . x , _ ... . « , Do đ ó tồn tai x„ e X v ớ i f,(x,J 0. Láy X , = — thi ^ fj(x„) f|(X|)=l. Do vậy định lý được chứng minh. Giả sử định lý đúng cho n-1 phiếm hàm tuyến tính, ta chứng tỏ định lý đúng cho n phiếm hàm độc lập tuyến tính. Lấy ĩị, ỉ},.-; f £ E * độc lập tuyến tính. Theo giả thiết qui n e nạp t ồ n t ạ i n-1 véc tơ y2,.-.> y E sao cho fj(yj) = ójj (i, j = n 2, 3,.., n). Với mỗi X e E, xét y = X - (f->(x)y + ... +f (x)y ). Khi đ ó 2 n n fj(y) = 0 với j = 2, 3, n. Mặt khác nếu với mọi X E X ta đều có f j ( y ) = 0 v ớ i y = X - (f (x)y-,+...+f (x)y~) thỉ kéo theo2 n với mọi X G X : fj(x)= f (x)fj
1.2.2. C á c tỉnh chất và các kết qua quan trọng. 1.2.2.1. Mệnh dô. G i ả sử E là k h ô n g gian t u y ế n t í n h tôpô. Với m ỗ i a £ E. p h é p tịnh t i ế n f ( x ) = X + a là một p h é p đồng phôi của E l ê n c h í n h n ó . Đặc biệt n ế u u là cơ sỏ l â n cận của đ i ế m gốc t h i u + a là cơ sở l â n c ậ n c ù a a. Chứng minh. N ế u f(x) = X + a = y t h i f - ' i y ) = X = y-a. Do đ ó f là song á n h c ủ a E lên c h í n h n ó , h ơ n nụa f v à á n h x ạ n g ư ợ c c ủ a n ó là liên t ụ c . V ậ y f là p h é p đ ồ n g phôi. 1.2.2.2. Mênh dê. G i ả sử E là k h ô n g gian t u y ế n t i n h tôpô. Với mỗi s ố « * 0, a £ K , á n h x ạ f: f(x) sa ( Í X là p h é p đ ô n g phôi cùa E l ê n c h í n h n ó . Dặc b i ệ t n ế u ư là lân cận của góc t h i với m ọ i a * 0, « u là m ộ t l â n c ậ n của gốc. Chứng minh. Nếu fix) = «x = y thì f (y) = X = cr'y. 1 Vậy f là song á n h v à f, f liên t ụ c n ê n f là p h é p đ ò n g phôi. 1.2.2.3. Mệnh dê. G i ả sử E là m ộ t k h ô n g gian t u y ế n tính tôpỏ N H U 1 L là m ộ t cơ sở lân c ậ n của đ i ế m gốc t h ì : (iJ u là t ậ p h ấ p t h ụ với m ỗ i u G TI/. (in Với m ỗ i u e T I t ò n tại V é U : V + V e u. (iii) Với m ỗ i t i G T I / t ồ n tại l â n c ậ n c â n w c ư. Chứng minh. (ì) N ế u a £ E và ỈU) = t h i f liên t ụ c t ạ i Ằ = 0. Vậy với u 3 0 có lân c ậ n [À: \Ầ\ S e ) của 0 e K sao cho khi |x| < r thì ẰA e u . Do đ ó a G ft u khi I,//1 > -. Vây u là tập hấp thụ. ôi) Do g(x, y) = X + y liên tục tại X = 0, y = 0 nên với u d í hai lãn c ậ n Vị, V, sao cho Vị + v c u . T ô n tại VelO ; sao cho V c V, n V, Do đó V + V c ũ Xẹt h u . X) = Ầx t h i h liên t ụ c t ạ i X = 0, X = 0. Do dó có lân vận V v à số f > 0 sao cho e l i khi 1 ^ 1 < í và X e V. Do đó À V c ư k h i \Ằ\ < f v à kéo theo f V c ftll khi 14
\ft ị > 1. Vậy f V c w = n ,"U . Do f V là lân cặn của 0 nên vv là làn cận của 0. Nếu X G w và 0 < \Ầ ị < Ì thì với I//1 > Ì ta có X e JƯ. V ậ y Ảx G fi\J khi |x| < Ì và do đo' Ảx e w. Vậy w càn và w c u. Ta nói ràng tôpô tF trên không gian tuyến tính E bất biến đôi với phép tịnh tiến nếu mọi phép tịnh tiến t rê n E là phép đồng phôi. 1^2.2.4. Mênh dĩ. Giả sử E là một không gian tuyến tính và iF là mót tôpô trên E bất biến đ ố i với phép tịnh tiến. Nếu E có một cơ sở lân cận u của điếm gốc trong tôpô ỹ thỏa mãn: (i) Với mọi u £ Aị>, t ò n tại V e •U' sao cho V + Vc u (li) Mọi V G Ai, là cân và hấp thụ. thi tôpô ự tương thích với cấu trúc đại số của E và E là không gian tuyến tính tôpô. Chứng minh. Ta ch ng minh các phép toán trên E Hên tục s trong tôpõ 3 . Với x„, y 0 £ E và U | là lân cận tùy ý của GEE. Khi đó x , ( + y„ + Uị là lân cận tùy ý của x„ + y„. Tồn tại li G u. sao cho u c Ưị. Bởi (i) t o n tại V e -M»:'V+Vcll. Kill đ(í x„ + V và y„ + V là lân cận của x„ và y 0 và nếu X-X..GV, y - y„ £ V thì X + y • (x,, + y ) 0 e V + V c u. Do đó X + y e X,, + y„ + u c x„ + y 0 + ư|. Do đó phép cộng là liên tục. Láy Ả e K, x„ G E. Chỉ cần xét lân cận của A X 0 0 có dạng À X + u với lĩ tùy ý thuộc u Do (i) có V e te : V +VcU. Bởi Ui) V hút nên có f > 0 sao cho \Ằ - Ằ„ị < f thì ứ • Ả » X,, G V Chọn ft e K sao cho - > + f và xét vv=,«v K h i d ó w l à l á n c ậ n c ù a 0 v à n ế u X - x 0 e w và \Ằ-Ằ ,1 < e thi do V rân nôn Ả íx - x,,» e V. Vậy Ằx =
+u - /Ụ x„ + ;(x , x ) e ; , , x + V + V c A x + ư tl 0 khi o 0 \Ầ-Ầ \ < e và X G x + W- Do đó phép nhân vô hướng liên a 0 tục và E là không gian tuyến tính tôpô. 1.2.3. K h ô n g gian tuyến t í n h t ô p ỏ con v à k h ô n g gian thương 1.2.3.1. Định nghía. Giả sử E là không gian tuyến tính tôpô và F là không gian tuyến tính con của E. F gọi là không gian tuyến tính tôpô con của E nếu F là không gian tuyến tính tôpô đối với tôpô trên E cảm sinh trên F. 1.2.3.2. Không gian thương. Giả sử E là không gian tuyến tính tôpô và M là không gian tuyến tính con của E. Khi đó xác định được không gian thương. E/M = {x + M : X e E} Già sử : E -» E/M là ánh xạ chính tác ánh xạ E lên E/M được xác định bởi (x) = X + M . Tôpô thương trên E/M là tôpô mạnh nhất trên E/M sao cho liên tục. Như vậy những tập mỏ trên E/M là các tập có dạng (G) với G là tập mở trung E. TÍT đó ta thấy ( te ) là cơ sở lân cận của gốc trong E/M đối với mọi cơ sở lân cận của gốc trong E. Vì tuyến tính nên tôpô trên E/M bất biến đối với phép tịnh tiến và nếu tx là cơ sở lân cận trên E thỏa mãn (ì), (ii) và (in) của m n h đèl2.2.3. thì ( XẢ, ) thỏa mãn (i) và Ui) của m n h đê 1.2.2.4. Do đó E/M là không gian tuyến tính tôpô trên K và được gọi là không gian thương của không gian E theo không gian con M . 1.2.3.2.1. Mệnh, dê. Nếu E là không gian tuyến tính tôpô. và M là không gian con của E thì không gian thương E/M là ' RnustìđoríT khí và chi khi M là không gian con đóng của E. Chứng minh: Nếu E/M là Hausơđorff thì tập (0} c E/M là đóng. Do liên tục nên M = "' (0) là đóng Ngược lại nếu xe E/M, X * 0 thi X = (x>, X Ệ. M Do M dóng nên có lân 1G
cận u của góc sao cho (x + U) n M = 0. Khi đó (U) là lãn cận của 0 G E/M mà X e «I>(U). Vậy EM là Hausơđorff. 1.2.4. K h ô n g gian t u y ế n t i n h metric. 1.2.4.1. Định nghía: Không gian tuyến tính tồpô E gọi là không gian tuyến tính metric nếu tôpô của nó có thể metric hóa được, nghĩa là trên E tồn tại một metric sao cho tôpô do metric đó sinh ra trên E trùng với tôpô của E. 1.2.4.2. Mệnh dê- Không gian tuyến tính tôpô. Hansơđorff E là không gian tuyến tính metric khi và chi khi no có cơ sở lân cận (của điểm gốc) đếm được. Tôpô của một không gian tuyến tỉnh metric luôn luôn có thể xác định bởi một metric, bất biến đùi với các phép tịnh tiến. Chúng minh: Cần: Nếu E là không gian tuyến tính metric và gọi d là metric trên E sinh ra tôpô tương thích vôi cấu trúc Ì đại số của E thi họ {B }„ g , ở đó B„ = (xGE: d(x,0) < - } n N là một cơ sở lân cận đếm được cùa 0 G E. Dù: Giả sử { V : n e Nữ là cơ sở lân cận của 0 G E trong n không gian tôpô tuyến tính Hausơđorff E thỏa mãn (2.4.1) v n + l + v n + 1 c v n (n G N) Với mỗi tập con hữu hạn H c N ta xác định lân cận cân n Vị.) bởi V|| = ỵ^v„. Đặt P H = Y 2 . ' T ì í (2.4.1) bởi qui nạp p£N nen theo số phàn tử cùa H và định nghía V H ta có: (2.4.2) Nếu P < 2 " thỉ n < k với mọi k G H và do đó V c v . H n Xác định f: E -» R bởi f(x) = Ì nếu X không thuộc một V M nào và fix) = inf {P :H X e Vị ị}. Do định nghĩa P H nên H với mọi X e E, fix) < 1. l a . phưng, nunh .fbt.f-y) 5 f(x)+f(y) với mọi X, y e E. Nếu f(x) !+ f(y)i £( Ì thi ỉbầt-.đằngi thức là rõ 17
r à n g . G i à sử f ( x ) + ũy) < ỉ. Chon f > 0 sao cho f i x ) + f(y) + 2f < 1. BcM đ ị n h nghĩa của f i x ) và f(y) n ê n có t ậ p con hữu han, k h á c r ỗ n g H , K của N sao cho X e Vị ị, y e V và K p , l < f ( x ) + f và P < úy) + f. Vì P + P K < f i x ) + f(y) + n K 2f < Ì n ê n có t ậ p con hữu h ạ n M c N sao cho P = P|| + M P . Rỏi (2.4.1) n ê n Vị ị + V K c V . Do đo' X + y e V và K M M f i x + y.l < P = P + P M < f(x) + f ( y l + 2f. Do f t ù y ý n K nhủ n ê n f(x + y ) < f i x ) + f(y). Với mọi f > 0, đặt s, = {x e E: f(x) < f } . Ta chứng minh s c v c s , n e N l (2.4.3) :-n-i n :-n Nếu X G V n thi bời định nghĩa của P|| và f(x) kéo thva ftxt < 2-". Do đ ó X e s,-n. Mật k h á c nếu f(x) < 2 n l thì t ồ n tại H sao cho X G Vị ị và Pịị < 2 ". Do đó Vị! c V n nên X G V . n Ta chứng minh f i x )= 0 khi và chỉ khi X = 0. Vỉ E là Haurfưdorff nên X = 0 tương đương với x e n {V : n E n N) và bời (2.4.2) nên nó tương đương với f(x) = 0. Trên E xác định metric d hời d(x, V) = f(x-y). Bời (2.4.2.) nên tỏpô do d riinh ra t r ê n E t r ù n g v ớ i t ô p ô của E và do đó E là k h ô n g gian tuyến tinh metric Rõ ràng d(x + z, y + z) = d(x, y). 1.2.5. C á c ví dụ vê không gian tuyến tính tôpó 2.5.1. Không giòn các dãy ÁP (A) với 0 < p < 1. X é t một nia trận võ h ạ n A = ịí\ A thỏa mãn l • /j.keN li) 0 < a,, < a,, ., với moi j , k e N |.K I.K+1 (li) Với m ỗ i j £ N t ồ n t ạ i k G N sao cho a. k > 0. Với 0 < P < 1 ta x á c định k h ô n g gian các dãy ÁP (At cho b i 18