Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1 giáo trình, phần 2 sau đây trình bày nội dung chương 5 trở đi. Nội dung phần này gồm có: Không gian liên hợp của các không gian quan trọng, tập Compact trong một số không gian hàm, không gian Hilbert. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Không gian tuyến tính Tôpô Banach - Hilbert (Giải tích IV): Phần 2

CHƯƠNG V KHÔNG G I A N LIÊN HỢP C Ủ A CÁC K H Ô N G G I A N Q U A N T R Ọ N G T r o n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g ta m i ê u t ả k h ô n g gian liên hợp c ù a các k h ô n g gian quan t r ọ n g hay gập t r o n g g i ả i tích . ậy.l. KHÔNG GIAN LIÊN H ộ p CỦA KHÔNG GIAN C(S), s LÀ KHÔNG GIAN TÒPÒ. T h o ạ t t i ê n ta m ô t ả k h ô n g gian liên hợp của k h ô n g gian C(S), c á c h à m liên tục t r ê n k h ô n g gian t ô p ô s, với t r ư ờ n g hợp s là H a u s ơ đ o r f f compact. V ớ i m ỗ i f G C(S) ta đ ậ t . I |f| I = sup {|f(s)|: s e S} ỏ chương IV ta thấy f — ||f|| là m ộ t chuẩn trên c (S) và C(S) vối chuẩn n à y là k h ô n g gian Banach. Định lý sau đây miêu tả liên hợp của C(S) khi s là không gian tôpô compact. v.1.1. Định lý. Nếu s là không gian tôpô Hausơđorff compact thì giựa C'(S), k h ô n g gian liên hợp của s, và rai(S), k h ô n g gian Banach c á c đ ộ đ o c h í n h quy trên s, tồn tại một đảng cấu đảng cự mà trong đó nhựng phần từ tương ứng x * e C t a v à / | G rm(S) thỏa m ã n đ ẳ n g thức p x*(f) = / f ( ^ ( d s ) , f G C(S) (1) s thêm vào đó ||x*|| = I//1 = vựt,s), ở đó v(í/,s) là biến phân t o à n p h à n của đ ộ đo ịị. 119
Chứng nạnh. Trước hết về lý thuyết độ đo, độ đo chính quy và biến phân toàn phàn của một độ đo có thể xem ở giả! tích 3. 1) Ta chứng minh mỗi f e C(S) khả tích đối với m ỗ i độ đo fi chính quy trên s. Thật vậy bởi f(S) hoàn toàn bị chặn nên có thể phủ f(S) bởi các tập mở Gj, G->,... G n mà đường kính mõi Gị n h ỏ hơn f > 0 cho trước. j-i Dật A, = G„ Aj = Gj - U G | , j = 1.2,-n i=l Nếu Aj í * 0 thì chọn số «j e Aj. Nếu Aj = 0 thì coi Oj = 0. Vì Gj mở nên f''(Gj) cũng mở. Do vậy tập Bị = f''(Aj) thuộc m i ề n xác định của h à m /(. n Hơn nữa hàm f. t = otjXn là f( - đơn giản, à đó X . ( i là j r i hàm đặc t r ư n g của Bị. H ơ n nữa: , sup{ I f As) t - f(s) I : s e SI < f, Du đó hàm f là giới hợn hôi tụ tlf'u của dãy các hàm //-đơn giàn và víu, sì < oo n ê n f là ham [< - k h á tích. Mặt khác |/f(s)4«(3)| < ||f||.v
vự(,S)-e. G i ả s ử Cj là c á c t ậ p đ ó n g c ủ a E j sao c h o vựt,E Cị)
xảy ra. Do tính compact của s, theo định lý Alêchxanđrôp [Giải tích 3] ịị là độ đo chính qui khả cộng đếm được, nghía là / > (E2 n F) + / I ( E -F) 2 (4) Muốn vậy ta xét các tập đóng rời nhau Fj và F . Vi s 2 Hausưđorff compact nên tòn t ạ i những lân cận không giao nhau G j và G của F [ và FT. Nếu G là một lân cận tùy ý của 2 Fị u F* thi Ầ(G) > ẦịGn G|) + A(Gn G ) 2 và do đó 122
/Í|(F| u F ) > ,«|(Kị) + /*|(F->) 2 (5) Bày giờ giả sử E và F là những tập tùy ý của s, F là tập đúng và giả sử F | chạy qua những tập đ ó n g cùa E n F còn F 2 chạy qua những tập đ ó n g của E - F . Khi đó từ (5) suy ra (4). Từ (4) và (3) suy ra f( (E) 2 = /< (EnF)+/Y,(E-F) 2 (6) với E c s, F đóng Vậy h à m Hi được x á c định trên đại số các tập con của s và túi (G) suy ra [Giải tích 3] nếu xét h à m li là hạn c h ế của / Í T lên đại số được sinh ra bói các tập đ ó n g thi ụ là một độ đo khả cộng hữu hạn trên đại sổ này. Từ định nghĩa của /í ị và /ly và /LI thì nếu F là tập đ ó n g ta có /
1=1 s ờ đ â y a, - i n f f(s). v ỉ t í n h chính q u i c ủ a /LI tồn tại những tập sei-iị đóng Fj C E ị sao c h o li ]Ta,N(F,) + 2 r > /f(s)//(ds) i=I s Bởi tính chuẩn t á c của s và tính liên t ụ c của f suy r a t ò n tại những tập mở không giao nhau G|, G->,..., G n sao cho Gj2Fj, i = Ì , 2,..., n sao c h o £ b, = inf f(s) > a, - j- I n séc, H Du đ ó ^kyúGị) + 3c > J"f(s)/
Nhưng vỉ 0 < l-f(s) < Ì nên trong (8) thay f bởi l - f v à kết h ợ p v ớ i bất đ ẳ n g thức cuối n à y t a đi đ ế n J(l-f(s)A(d8) = f(i-f(s))^(ds) s S Do đ ó JF(s)A(ds) = Jĩ(s)^(ds) s S Định l ý v.1.1 được chứng minh. v.1.2. Chú ý. Trong trường hợp s là k h ô n g gian tôpô Hausơđorff không compact và C ( S ) được trang bị tôpô m ở compact (xem ví d ụ 1.3.3.2, chương ì) thì liên hợp c ủ a C ( S ) là k h ô n g gian các độ đo chính q u i /LI t r ê n s v à bằng 0 ngoài m ộ t tập compact ( p h ụ thuộc v à o ụ), tức là t ồ n tỏi t ậ p compact s a o c h o ụ(A) = 0 với mọi tập A-Ị( đo được không giao với K ^ . T h ậ t v ậ y cho X*GC'(S). V Ì tôpô m ở compact là tôpô hội tụ đ ề u trên các tập compact n ê n t ồ n t ỏ i t ậ p compact K và hằng số c > 0 sao cho với mọi f E C(S) |x'(f)| < C||f|| k Vậy X * c ó thể x é t n h ư phiếm h à m tuyến tính liên tục trên không gian con {f| :f K e C(S)} của không gian C ( K ) . Bởi định lý Haln-Banach X * c ó t h ế coi n h ư t h u ộ c C'(K). B ở i đ ị n h l ý 1.1, tòn tỏi m ộ t đ ộ đ o c h í n h q u i ụ' trên K s a o cho x'(f) = /f(s)4u'(s) K X á c đ ị n h đ ộ đ o [Ắ t r ê n s bởi ( ụ'(Ả) nếu A c K ì 0 nếu A n K = 0 Khi đó ụ thỏa m ã n đẳng thức 125
x*(f) = /f(s)d^'(s) = / f ( s ) d ^ ( s ) K s §.v.2. KHÔNG GIAN LIÊN Hộp CỦA KHÔNG GIAN P L (X,5»(P>1) G i ả sử X là một tập đo được với độ đo Lebesgue {4, nghĩa là ụ là một h à m t ậ p hợp k h ô n g â m trên 2 " dại s ố các tập con của X v à /ị là a - cộng tính và ơ - hữu hạn. T a ký hiệu ' •X.V,/(ì (p > 1) là k h ô n g gian tuyến t í n h các h à m f tìí X vào K (K. = c hoặc R ) sao cho |f|p k h ả tích Lebesgue trên X . Với mỗi f 0í,ỵ,fi). v.2.1. Định lý. Liên hợp của khống gian LP(X,2,u) với ú l i 1
Thật vậy, giả sử X = UBj, ở đó Rj là c á c t ậ p con của X J= l n thỏa mãn 0 < /^(Bj) < 00. Đ ậ t B("ì = UBj. Với mỗi tập j=l n B c B ( ) , B l à ụ - đo được t h ì h à m đặc t r ư n g Xỵ(s) của t ậ p B P thuộc L ( X , ỵ, ụ). Do đ ó h à m tập hợp M'(B) = ỉ(ỵ ) là ơ - B cộng t í n h v à Ịí - l i ê n tục t u y ệ t đ ố i t r ê n B c Bí"). B ở i đ ị n h lý Lebesgue - N i k o d y m [Giải tích 3] tồn t ờ i h à m y (s) G n l L W\ỵ, ụ) sao cho 4>(B) = JV (s),«(ds) đ ố i với mọi B là fi - n tì đo được, B c B(n). 1 Đ ặ t y(s) = y (s)n khi s G BO ), ta được s f(X ) = JV( >'(ds) B B đ ố i với m ọ i B có d ờ n g B = B Ị n BC") với Bị l à f4 - đo được. Do đó đối với m ọ i h à m đơn g i ả n X ta có f(x) = Jx(s)y(s>(ds) X Với y e UQL,ỵ, ụ). Ta lấy X G LP(X,2>) và đặt I n x(s) khi |x(s)| < n và á e B< ) 0 v ớ i c á c g i á trị k h á c của s Ta chia {z: | z | < n } của mặt phảng c t h à n h m ộ t số hữu hờn c á c h ì n h v u ô n g m ở k h ô n g giao nhau {M n k t } (t=l,2,...,d ) k n có đ ư ờ n g chéo < Đ ố i với m ỗ i h à m x (s)n ta xác định hàm x (s)n k như sau: với mọi s e x^MMnki) thỉ x n k (s) luôn nầận cùng một giá trị z thuộc bao đóng của Mn£t và 127
|z|=inf{|w|:we M n k t }. N h ư vậy |x n k (s)| < |x (s)|, n limx (s) n k If*-* = x (s)n và {x (s)} n k là dãy các hàm đơn giản. Theo b ổ đ ề Fatou lim I | x n k - x j Ip = 0 k-»oo Do đó f(x ) n = limf(x ) n k = lim J*x (s)y(s)^/(ds) n k k-»a; k-»°° X r = / limx (s)y(s)//(ds) = nk J x (s)y(s)//(ds) |t (2) X k-00 ' . X Mặt k h á c lim I | x n - x | Ip = 0 v à do đó, l i m f ( x ) = f(x). n 11-« oe n-»» Với m ỗ i số phức z, x é t h à m a(z) = e i ỡ nếu z = re ì ớ và a( J) = 0. K h i đo llxllp > ||(|x |.a(y))|| n p và do đ ó | | f | | Ị | x | | p > |f(|x |a(y))| n = / | x ( s ) | |y(s)|/i(đs) n X Áp dụng bổ đ ề F a t o u t a cá ||f||||x||p > /|x(s)||y(s)|^(ds) X Như v ậ y x(s)y(s) G L ' ( X , ] ị > ) . T r o n g (2) cho n - t o và áp d ụ n g đ ị n h lý Lebesgue t a có f(x) = Jx(s)y(s)^(ds) X Xảy ra với m ọ i X G L P ( X ^ ) . q Bây giờ t a c h ứ n g m i n h y e L (X,2^)- Xét h à m 11 ( y(s) khi s e B^ ) v à |y(s)| < n 10 t ạ i c á c g i á t r ị k h á c của s 128
Khi đó y n e UHXSj*) v à n h ư đa l ã m ờ trên ta co': ||f||.||x||p > f(|x|a(y)) = J|x(s)||y(s)|/#(ds) > X / | x ( s ) | |y (s)|//(ds) n X Đặt x(s) = I y ( s > Ị Kp v à d ù n g bất đ a n g t h ứ c H o l d e r n l Jlx(s)||y (s)|/,(ds) n = (J|x(s)|p ,(ds))^ (/|y (s)|4/ (/IxỊíXds))^ (/|y (s)r^(ds)) n Vậy H l ||f||(/|y |^(ds)) n > Jly„|ty(ds) x X Tù đó IKII * l | y „ l l q = (J|y |'V(ds)) n l / 4 X q q Áp dụng bổ đ ề Fatou ta c ó ||f|| > (/|y| ) v à do đ ó p yG UHX^ụi). Như vậy nếu f e (L (X,t^))'thi tồn tai v.eL'HX.VMì v ớ i p— +q — = Ì ( Ì < p < oo) sao cho v ớ i moi r xEL''(X,V,(/) ta c ó f(x) = /x(3)y (s)/
Và lly,ll M s l|f|| Ngược lại với mỗi y G L KX,2>> ị l + - = Ì, ta xác định p q p h i ế m h à m f t r ê n L ' ' ( X , y , í / ) bởi qui t á c : f(x) = J"x(s)y(s)/,(ds) X Phiếm h à m f tuyến tính v à bởi bất đảng thức Holder ta có l / t l l / p |f(x)| < (/|y(s)|M / í (ds)) (/|x(s)|l>(ds)) X X Vậy |f(x)| < ||x|| ||y|| . p H Do đó n i ê n tục và ||f|| < I |y| | . q T ừ đó Ị Ị ri I = I l y I I',. 2) Với p = Ì, khi đó q = 0° Thoạt tiên ta mỏ tả không gian L*(X,V,//). Một hàm xít) do được trên X g ọ i là thực chất bị c h ậ n trên X nêu tòn t ạ i t ậ p A - ft đ o được, A c X , MÍA) = 0 sao cho supị I x í t ) Ị: t G X \ A } < 00 Khi đõ số ||x|| x = inf (sup||x(t)|:teX\AỊ) ACX " /«(A) = 1> được x á c đ ị n h , h ữ u h ạ n và n ó được g ọ i là c ậ n t r ê n cốt yếu c ù a XU) v à còn đ ư ợ c ký h i ệ u V r a i max |x(t)| hoặc ess sup |x(t)| tex iex x Tập hợp L ( X , V , / / » c á c h à m đo được và thực chất l)ị c h ặ n trên X, là một không gian tuyến tính và là một không gian Ban;u:h v i | | x ị | x dược x á c đ ị n h ở ' t r ê n . Bời đ ị n h ly Lebesgue lao »
- Nikodyni vẫn đ ú n g với p = l nên lập lại chứng minh như à phần Ì) ta kết luận X 1} < 00} lả khùng gian Banach với | | x | | = s u p | | Ễ | : k > 1} k Mõi phần tử X e l i (tương ứng Ì ) có t h ế coi là hàm f : 1 00 N* -» c và do đó có thê* coi li' = DHN*, ụ) với /
Khi đó 2 / / , , hội tụ tuyệt đối. Thật vậy, xét ^T|>7 |. n Với m ố i 11=1 n=| 00 số m, xét tống riêng S m = 2 \rj \ n = u(x) với X = (signal, n=l sigiu/ , 0, 0, ...). m Vậy ||x|| = Ì và do đó s m < I tui I . Do đó ỵ^TỊ n hội tụ n=l tuyệt đối. Từ đó phàn tử TỊ = (rj ) E Ì'. n Ngược lại nế u TỊ = (r/ ) 6 n 1 Ì , ta có t h ể xác định u e (C )' () oe bài phép đặt u(e ) n = TJ„ và nế u X e (C ) có dạng 0 X = 2] e £n n n=i oe thì đặt u(x) = 9nín- Rõ r à n g 11 = 1 |u(x)| < B U P { | | n | : n e m.\\n\\ = l|x||.|M|. Vậy u l à dạng tuyế n tính liên tục trên (C ). 0 Phép tương ứng u e (C )' với 0 tị = (í/,,) e Ì 1 với ty =u(e ) n n chứng minh định lý 3.1. v.3.2. Chú ý. Nế u lấy s = {0, - : n > 1} thì C(S) là không gian các dãy hội tụ còn (C ) là không gian con của C(S) có đối l( chiếu bàng 1. Vậy (C )' = Ì có thế suy từ định lý tỏng quát 0 1 IV 1.1. Tuy nhiên ta có thể chứng minh trực tit'p như trên. ặV.4. LIÊN HÓP C Ử A KHÔNG GIAN KÕTHE. Trong phần này chúng ta miêu tủ không giun liên hợp của khùng gian Kb'the /?(A) được cho bởi ma trận A = (a {\ k i £ N - k) thỏa mãn a) 0 < aj k < aj k + | với mọi j , k E N 132
b) Với mỗi j e N tồn tại k e N sao cho aj k > 0 còn A*(A) = {X = (í,,... !„,...) e CN : Ydljla^)* < 00 } 1=1 với mọi k G N ] Khi s = Ì ta viết A(A) thay cho A (A). Ngo ài ra N A°(A) = {x G C : U m | | j | a j k = 0 Vk > 1} N A°°(A) = {x e C : sup l^j | a j < 00 V k >k Ì j*l v.4.1. Định lý. 00 1) [A»(A)]' = {y e CN : 3k > 1: y I V j | / a jk < » } J=1 2) [A'(A)]' = {y e CN : 3k > 1: suptoj|/a jk < oe} N s •ỏ) [/VÍA)]' = {y e C -.3k: I | V j | / a £ < 00 } Ì Ì (Ì < s < 00, - + f- = 1) s r ở đây nếu a j k = 0 ta co i TỊị = 0 Chứng minh. T a chứng minh 3), bởi vì 1) và 2) là tương S tự. Cho f E [ A ( A ) ] \ Dặt y = (rỊị) € CN với t]ị = f(6j) ở đây 8j = (Ọ, - , Ọ, 1, 0,..)Khi đó j 00 f(x) = 2 ềị Vị v ớ i m < ?i x e A S (A) j=l Bời vì f liên tục tồn tại c > 0 và k > Ì sao cho |i*j*i|-iíwi*c(f iijr-jO* j=i j=i S với mọi X = e A (A) 133
B ấ t đ ẳ n g t h ứ c n à y suy ra. s»ii'i Ì §v.5. KHÔNG GIAN LIÊN Hộp CỬA KHÔNG GIAN C Á C HÀM NGUYÊN MỘT BIẾN. v.5.1. Không gian các hàm nguyên một biến. Ký h i ồ u A ( C ) l à t ậ p c á c h à m n g u y ê n t r ê n c, nghĩa là tập các h à m phức giải t í c h t r ê n c. V ớ i hai phép t o á n cộng v à n h â n với m ộ t số p h ú c n h ư t h ô n g t h ư ờ n g , A ( C ) l à ruột k h ô n g gian t u y ế n t í n h t r ê n c. T a b i ế n A ( C ) t h à n h m ộ t k h ô n g gian lồi địa p h ư ơ n g đ ố i v ớ i t ô p ô được x á c định bởi h ọ c á c nửa chuẩn P (0 K = sup |f(z)|, r e A(C) zek ở đ ó K chạy qua m ọ i t ậ p compact của c. 134
v.5.2. K h ô n g gian l i ê n hợp c ủ a A ( C ) . Ta ký hiệu A = A(C). Ta có v.5.2.1. Định Một phiếm hàm giải tích ụ là nghía. một phàn tử của không gian A'. liên hợp của không gian A. Tập compact K gọi là xác định phiếm h à m giải tích fi nếu đối với mọi lân cận OI của K, tồn t ạ i hàng số 0(0 > 0 sao cho với mọi f £ A ta có. \ụ(ĩ)\ < c w sup |f| (3) tu Từ định nghĩa tôpô trên A và ịi e A' kéo theo luôn tồn tại một tập compact K đ ể xảy ra (3). Với z, ặ s c, xét hàm exp = expz£ V.5.2.2. Định nghía. Nếu ụ G A' thì phép biến đổi Laplace được xác định bỏi < z > /7(1) = ^ ( e ^ ) z ) ặ e c Bây giờ ta chứng minh định lý sau. v.5.2.3. Định Nếu /! G À' và ụ được xác định bỏi tập lý. compact K thì M(£) = ỊÁỈ;) là hàm nguyên của I và đối với mõi ỏ > 0 tồn t ạ i hằng số CẠ sao cho. \M(Ệ)\ < c ỗ exp(H (£) + Ồ\Ệ\), Ệ e K c (4) Ngược l ạ i nếu K là tập lồi compact và M là hàm nguyên thỏa m ã n (4) đối với mọi ố > 0 thi tòn t ạ i phiếm hậm giải tích ụ e À' được xác định bỏi tập compact K sao cho fk = M . Chứng minh. Càn. 7 Giả sử ụ £ A' và xảy ra (3). Đặt mề) = ịĩiề) = j" (e ^) z z n£n Khai t r i ể n e * 7 = —, và chú ý tới tính hội tụ đều của - 2 n! 7 chuỗi theo z trên mọi compact K về e-^, ta có 135
M 0 sao cho C„ ( exp /supRei?|)\ < c đ exp(H (f) k + -3Ị£|) ụ:, Ị Do đó |M
Alk k! = \£7k (V . e {Q < 9 < I) ta có k Ịa | k < Cu\e) . "Y < c.cf , ở đó c, là h ă n g àố. Bởi khai triển Laurent của hàm -p7 tai lân cân của z= 0 CÓ d ạ n g : z e ỉ i fc k! (k+1)! 2_ _ + Ị- + + _ + —: + k+1 Z Z k+I z k z Ì và bởi c ô n g t h ứ c t í n h t h ặ n g d ư t a i z = 0 của hàm —", ta có z k+ I tk Ì i_ = • Ị-,,- -k-i z dz k! (2,11 J ở d ó 7 là m ộ t đ ư ờ n g cong kín bao quanh .gốc o. Như vậy J° fck a = M(£) = 2 k'k> ( 2 7 l i ) ' ' J* e B ( z ) d z ( 5 ) k=0 Y oe a z k 1 T ì í b ấ t đ ả n t h ứ c a s C C n ê n ờ dó BU) = 2] k ể ỉ k! ^ khi o oe |zỊ > c + Ì chuỗi ^ a k z k 1 hội tụ đều trong miền k=0 Ịzị>C[-rl. Do Sò xảy ra khi ỵ thuộc miền |z| > C( + Ì bao quanh 2 = 0. Ba) gií< ' Cỉ.-ng minh B được thác triển tới hàm giải tịch trên phần bù CK cùa tập K. Với c
Bởi g i ả t h i ế t của đ i ề u k i ệ n đ ủ n ê n t í c h p h ả n ở v ế p h ả i h ộ i tụ t u y ệ t đ ố i v à x á c đ ị n h m ộ t h à m g i ả i tích t r o n g nửa m ặ t phảng {2 e C: HCÉ) < Re£z} Nếu Cịlll < Re£z t h ì k h i đ ổ o o : 00 co ikfck ai i' ^' f 0 0 t V 7 % »e« = /(ậk-ip**)* = ấ u / ' o o o e Xi o Do đ ó c á c h à m {B^(z)y x á c đ ị n h thác triển g i ả i t í c h của B lên t ạ p c á c đ i ể m z sao cho H(|) < Re^z với Ệ e c. Bởi K lồi, compact n ê n đ ó l à p h ầ n b ù của K . B â y g i ậ l ấ y y là m ộ t đưậng cong k í n bao q u a n h k. X é t p h i ế m hàm ụ(ỉ) = 7^7 /f(z)B(z)dz Ỳ Rõ ràng ụ(ĩ) là tuyến tính vấ tích phân được xác định không phụ t h u ộ c Y do B(z) là h à m giải tích t r ê n p h à n bù của K và f e A . Do đ ó ụ được x á c đ ị n h bôi t ậ p K v à r õ r à n g fi(e?Z) = M(e7Ỉ). N h ư n g tập c á c t ổ hợp tuyến tính của các hàm {e*£: z, £ e C} t r ù m ậ t k h ắ p nơi t r ê n A n ê n f i ( f ) = M(0 tại mọi f G A. Đ ị n h lý được c h ứ n g minh. 138