Giáo trình Xác suất và Thống kê Toán (Nâng Cao) - TS Trần Nhân Tâm Quyền

Chia sẻ: Vdfv Vdfv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

200
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu này được biên soạn nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc giảng dạy cũng như học tập môn Xác suất thống kê tại trường Đại học Duy Tân Đà Nẵng. Tài liệu này có thể được sử dụng như tài liệu học tập hoặc tài liệu tham khảo tại các trường có cùng nội dung giảng dạy môn Xác suất thống kê.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất và Thống kê Toán (Nâng Cao) - TS Trần Nhân Tâm Quyền

ĐẠI HỌC DUY TÂN ĐÀ NẴNG Xác suất và Thống kê Toán (Nâng Cao) TS. Trần Nhân Tâm Quyền ĐÀ NẴNG, MÙA THU NĂM 2013
CHƯƠNG 1: XÁC XU T C A BI N C §1. Bi n c và quan h gi a các bi n c 1.1. Phép th và bi n c : Vi c th c hi n m t nhóm các i u ki n cơ b n quan sát m t hi n tư ng nào ó ư c g i là m t phép th còn hi n tư ng có th x y ra hay không trong k t qu c a phép th ư c g i là bi n c . Thí d : 1. Tung m t con xúc x c là m t phép th , còn vi c l t lên m t nào ó là bi n c . 2. B n m t phát súng vào bia thì vi c b n súng là phép th còn viên n trúng bia (hay trư c bia) là bi n c . 3. T m t lô s n ph m g m chính ph m và ph ph m. L y ng u nhiên m t s n ph m, vi c l y s n ph m là m t phép th ; còn l y ư c chính ph m (hay ph ph m) là bi n c . Như v y ta th y r ng m t bi n c ch có th x y ra khi m t phép th g n li n v i nó ư c th c hi n. 1.2. Các lo i bi n c : Trong th c t ta có th g p các lo i bi n c sau ây: a) Bi n c ch c ch n: Là bi n c nh t nh s x y ra khi th c hi n phép th . Bi n c ch c ch n ư c ký hi u là Ω. Thí d : 1. Khi th c hi n phép th : tung m t con xúc x c, g i Ω là bi n c xúc x c xu t hi n m t có s ch m nh hơn ho c b ng sáu thì Ω là bi n c ch c ch n. 2. G i Ω là bi n c nư c sôi nhi t 1000C, dư i áp su t 1 atm thì Ω là m t bi n c ch c ch n. b) Bi n c không th có: Là bi n c không th x y ra khi th c hi n phép th . Bi n c không th có ư c ký hi u là ∅.
Thí d : 1. Khi tung m t con xúc x c. G i ∅ là bi n c xu t hi n m t 7 ch m, khi ó ∅ là bi n c không th có. 2. Bi n c nư c sôi nhi t 500C, v i áp su t 1 atm là bi n c không th có. c) Bi n c ng u nhiên: Là bi n c có th x y ra ho c không x y ra khi th c hi n phép th . Các bi n c ng u nhiên thư ng ư c ký hi u là A, B, C ho c là A1, A2, …, An, … Thí d : Khi tung m t ng xu, g i A là bi n c xu t hi n m t S p thì A là bi n c ng u nhiên. T t c các bi n c ta g p trong th c t u thu c m t trong ba lo i bi n c trên. Tuy nhiên bi n c ng u nhiên là lo i bi n c thư ng g p hơn c . 1.3. M i quan h gi a các bi n c : nh nghĩa 1: A và B ư c g i là hai bi n c tương ương n u A x y ra thì B cũng x y ra và ngư c l i. Ký hi u: A=B Thí d : Khi tung m t con xúc x c, g i A là bi n c xu t hi n m t 6 ch m, B là bi n c xu t hi n m t ch n l n hơn 4. Ta th y n u A x y ra thì B cũng x y ra và ngư c l i n u B x y ra thì A cũng x y ra. V y A = B. nh nghĩa 2: Bi n c C ư c g i là t ng c a hai bi n c A và B n u C x y khi và ch khi có ít nh t m t trong hai bi n c A, B x y ra. Ký h u C = A + B ho c C = A ∪ B . Thí d :
Ch n ng u nhiên t 2 l p A, B m i l p 1 sinh viên. G i A là bi n c b n ch n t l p A là nam, B là bi n c b n ch n t l p B là nam và C là bi n c ch n ư c sinh viên nam. Rõ ràng bi n c C x y ra khi có ít nh t m t trong hai bi n c A và B x y ra. V y C = A + B. nh nghĩa 3: Bi n c A ư c g i là t ng c a n bi n c : A1, A2, …, An n u A x y ra khi và ch khi có ít nh t m t trong n bi n c ó x y ra. Ký hi u là: A = A1 + A2 + … +An ho c A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . nh nghĩa 4: Bi n c C ư c g i là tích c a hai bi n c A và B n u C x y ra khi và ch khi c A và B cùng ng th i x y ra. Ký hi u: C = A.B ho c C = A∩ B . Thí d : Hai l p A, B u có sinh viên s ng t i à N ng. Ch n ng u nhiên m i l p 1 sinh viên. G i A là bi n c ch n ư c sinh viên s ng à N ng l p A, B là bi n c ch n ư c sinh viên s ng à N ng l p B, C là bi n c c hai sinh viên s ng à N ng. Rõ ràng C x y ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. V y C = A.B nh nghĩa 5: Bi n c A ư c g i là tích c a n bi n c A1, A2, …, An n u A x y ra khi và ch khi t t c n bi n c y ng th i x y ra. Ký hi u là: A = A1.A2 …An ho c A = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An . Thí d : Xét phép th l y ng u nhiên l n lư t ra 4 con h c gi y t h p có 10 con h c (trong ó có 4 con h c màu tr ng). G i Ai là bi n c l n th i l y ư c l y ư c h c tr ng (i = 1,2,3,4). A là bi n c l y ư c 4 con h c tr ng. Ta th y A x y ra khi và ch khi c 4 bi n c A1, A2, A3 và A4 ng th i x y ra. V y: A = A1.A2.A3.A4. nh nghĩa 6: Hai bi n c A và B ư c g i là xung kh c nhau n u chúng không ng th i x y ra trong m t phép th . Nghĩa là
A.B = ∅ v i ∅ là bi n c không th x y ra. Thí d : Xét phép ch n ng u nhiên 1 sinh viên trong l p. G i A là bi n c sinh viên ư c ch n là nam và B là bi n c sinh viên ư c ch n là n thì A và B là hai bi n c xung kh c. nh nghĩa 7: Nhóm n bi n c A1, A2, …, An ư c g i là xung kh c t ng ôi n u hai bi n c b t kỳ trong n bi n c này xung kh c v i nhau. Nghĩa là Ai . A j = ∅, ∀i ≠ j. Thí d : Trong m t thùng hàng có 3 s n ph m lo i I, 4 s n ph m lo i II và 5 s n ph m lo i III. L y ng u nhiên 2 s n ph m t thùng hàng. G i A là bi n c l y ư c 2 s n ph m lo i I, B là bi n c l y ư c 2 s n ph m lo i II, C là bi n c l y ư c 2 s n ph m khác lo i. Khi ó A, B, C là 3 bi n c xung kh c t ng ôi. nh nghĩa 8: Các bi n c A1, A2, …, An ư c g i là nhóm bi n c y n u chúng xung kh c t ng ôi và t ng c a chúng là bi n c ch c ch n. Nghĩa là Ai . A j = ∅, ∀i ≠ j , A1 + A2 + ... + An = Ω Thí d : Xét phép th tung m t con xúc x c. G i Ai (i = 1,…,6) là bi n c xu t hi n m t i ch m. Các bi n c A1, A2, …, A6 t o nên m t nhóm các bi n c y vì chúng xung kh c t ng ôi m t và t ng c a 6 bi n c ó là bi n c ch c ch n A1 + A2 + ... + A6 = Ω . nh nghĩa 9: Bi n c A và B g i là hai bi n c i l p nhau (hay ph nh nhau) n u chúng t o nên m t nhóm bi n c y .
Bi n c i l p c a bi n c A ư c ký hi u là A . V y A và A l p thành m t nhóm y các bi n c . Thí d : Khi tung m t con xúc x c. G i A là bi n c xu t hi n m t ch n, B là bi n c xu t hi n m t l . Rõ ràng B là bi n c i l p c a bi n c A hay B = A . Lu t Demorgan: A1 + A2 + ... + An = A1. A2 ... An , A1. A2 ... An = A1 + A2 + ...+ An . Nh n xét: A+B = B+A; A.B = B.A A+A = A; A.A = A A.(B + C) = A.B + A.C A+ ∅ = A; A. ∅ = ∅ A+ Ω = Ω ; A. Ω = A A + A = Ω ; A. A = ∅ §2. nh nghĩa c i n v xác su t Quan sát các hi n tư ng t nhiên ta th y có nh ng hi n tư ng thư ng x y ra, có nh ng hi n tư ng ít x y ra. Xác su t là m t i lư ng th hi n m c x y ra (thư ng xuyên hay ít khi) c a m t bi n c . Trong l ch s Toán h c ã có nhi u nh nghĩa cho khái ni m xác su t. Trong ph n này, ta s xem xét m t s nh nghĩa tiêu bi u. 2.1. nh nghĩa xác su t c i n a) nh nghĩa Xác su t xu t hi n bi n c A là t s gi a s các trư ng h p thu n l i bi n c A x y ra và s trư ng h p cùng kh năng có th x y ra khi th c hi n phép th . N u ký hi u P(A) là xác su t c a bi n c A, m là s trư ng h p thu n l i cho bi n c A, n là s trư ng h p cùng kh năng có th x y ra thì ta có công th c: m P( A) = . n Thí d 1:
T 1 lô hàng có 13 chính ph m và 7 ph ph m có kích thư c và hình d ng như nhau, l y ng u nhiên 1 s n ph m. G i A là bi n c l y ư c chính ph m, ta có 13 P( A) = . 20 G i B là bi n c l y ư c ph ph m, ta có 7 P( B ) = . 20 Thí d 2: M t b bài có 52 quân, rút hú h a 3 quân. Tìm xác su t trong 3 quân rút ra có duy nh t m t quân Cơ. Gi i: M i cách rút 3 quân t 52 quân là m t t h p ch p 3 t 52 ph n t , do ó s trư ng h p cùng kh năng x y ra là: 3 n = C52 . G i A là bi n c x y ra m t quân Cơ và 2 quân còn l i không là quân Cơ khi rút 3 quân. S trư ng h p thu n l i cho A x y ra là: 1 2 m = C13C39 . V y 38.39 1 2 13. m C C 13 39 2 = 0, 4359. P( A) = = = n 3 C52 50.51.52 6 Thí d 3: M t lô hàng có 10 s n ph m, trong ó có 8 chính ph m và 2 ph ph m. L y ng u nhiên t lô s n ph m ó 3 s n ph m. Tìm xác su t : a) C 3 s n ph m l y ra u là chính ph m. b) Trong 3 s n ph m l y ra có 2 chính ph m.
Gi i: G i A là bi n c l y ư c 3 chính ph m. S k t qu cùng kh năng x y ra trong phép th là: 3 n = C10 = 120. S k t qu thu n l i cho bi n c A x y ra là mA = C83 = 56. Do ó 56 P( A) = = 0, 4667. 120 G i B là bi n c trong ba s n ph m l y ra có 2 chính ph m. S k t qu thu n l i cho B x y ra là: mB = C82C2 = 56. 1 Do ó 56 P( B ) = = 0, 4667. 120 Thí d 4: M t lô hàng 12 s n ph m trong ó có 3 s n ph m b h ng. Chia ng u nhiên 12 s n ph m ó cho 3 khách hàng, m i khách hàng 4 s n ph m. Tính xác su t c a các bi n c : i/ M i ngư i u có m t s n ph m b h ng. ii/ Có m t ngư i có úng 2 s n ph m b h ng. Gi i: S k t qu ng kh năng x y ra trong vi c chia 12 s n ph m cho 3 khách hàng (l y ng u nhiên 4 s n ph m trong 12 s n ph m chia cho ngư i th nh t, l y ng u nhiên 4 s n ph m trong 8 s n ph m còn l i chia cho ngư i th hai, và l y 4 s n ph m còn l i chia cho ngư i th ba) n = C12 .C84 .C4 . 4 4 i/ G i A là bi n c m i ngư i u có m t s n ph m b h ng. Khi ó s k t qu thu n l i cho A là
3 1 3 1 3 1 mA = (C9 C3 ).(C6 C2 ).(C3 C1 ). V y 3 1 3 1 3 1 C9 C3C6 C2C3 C1 16 P( A) = = . C12 .C84 .C4 4 4 56 i/ G i B là bi n c có m t ngư i có úng 2 s n ph m b h ng. Khi ó s k t qu thu n l i cho B là mB = C3 (C92C32 ).(C84 ).(C4 ). 1 4 V y C3C92C32C84C4 36 1 4 P( A) = = . C12 .C84 .C4 4 4 56 2.2. nh nghĩa th ng kê v xác su t a) nh nghĩa t n su t: T n su t xu t hi n bi n c A trong n phép th là t s gi a s phép th mà trong ó bi n c A xu t hi n và t ng s phép th ư c th c hi n. N u ký hi u s phép th là n, s l n xu t hi n bi n c A là k, t n su t xu t hi n bi n c A là k f ( A) = . n Cùng v i khái ni m xác su t, khái ni m t n su t là m t trong nh ng khái ni m cơ b n c a lý thuy t xác su t. Thí d 1: Khi kh o sát ng u nhiên 40 sinh viên ngư i ta phát hi n ra 5 sinh viên gi i. N u g i A là bi n c xu t hi n sinh viên gi i thì t n su t xu t hi n sinh viên gi i trong s 40 SV ư c kh o sát là: 5 1 f ( A) = = . 40 8 Thí d 2:
nghiên c u kh năng xu t hi n m t s p khi tung m t ng xu, ngư i ta ti n hành tung ng xu nhi u l n và thu ư c k t qu cho b ng dư i ây: Ngư i ti n S l n tung S l n ư c T n su t f(A) hành th (n) m t s p xu t hi n (k) Thùy Nhiên 5268 2671 0,50702 Nh t Tâm 14400 7021 0,50146 Thiên Hương 20045 10033 0,50052 T k t qu các l n th trên ta th y khi s phép th tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p ti n d n n 0,5 là xác su t xu t hi n m t s p khi tung ng xu. V y t n su t ti n d n n xác su t khi s phép th tăng d n n vô h n. T ó ta có nh nghĩa th ng kê v xác su t: b) nh nghĩa xác su t theo t n xu t Khi s phép th tăng lên vô h n, t n su t xu t hi n bi n c ti n d n n m t s xác nh ư c g i là xác su t c a bi n c ó. Hay nói cách khác, xác su t là gi i h n c a t n su t khi s phép th tăng lên vô h n: k P ( A) = lim f ( A) = lim . n →∞ n →∞ n nh nghĩa th ng kê v xác su t có ưu i m l n là nó không òi h i nh ng i u ki n áp d ng như i v i nh ng nh nghĩa c i n. Nó hoàn toàn d a trên các quan sát th c t làm cơ s k t lu n v xác su t x y ra c a m t bi n c . Tuy nhiên trong th c t không th ti n hành vô h n phép th , nhưng i v i s phép th l n ta có th xem xác su t x p x b ng t n su t: k P ( A) . n 2.3. nh nghĩa xác su t theo hình h c: Khi s k t qu trong phép th là vô h n, ta không th áp d ng nh nghĩa c i n tính xác su t. Trong nhi u trư ng h p, ta có th s d ng nh nghĩa xác su t theo quan i m hình h c như sau: a) nh nghĩa:
Gi s m t i m ư c rơi ng u nhiên vào m t mi n Ω , A là m t mi n con c a Ω . Khi ó xác su t i m rơi ng u nhiên vào mi n A ư c xác nh b i công th c: mes ( A) P ( A) = . mes (Ω) Trong ó mes(A) và mes( Ω ) là o c a mi n A và Ω (có th là dài, di n tích hay th tích tùy thu c vào mi n xét trên ư ng th ng, m t ph ng hay trong không gian 3 chi u theo t ng bài toán c th ). Thí d : Hai ngư i b n h n g p nhau t i m t a i m ã nh trư c trong kho ng th i gian t 19 n 20 gi . Hai ngư i n ch h n c l p v i nhau và qui ư c r ng ngư i n trư c s ch i ngư i n sau 10 phút, n u không g p thì s i. Tính xác su t hai ngư i có th g p nhau? Gi i: G i A là bi n c hai ngư i g p nhau. Ta c n tính P(A). G i x là s phút t i th i i m ngư i th nh t n i m h n: 0 ≤ x ≤ 60. G i y là s phút t i th i i m ngư i th hai n i m h n: 0 ≤ y ≤ 60. N u ta bi u di n s phút x theo tr c hoành và s phút y theo tr c tung thì s phút lúc n c a c hai ngư i ư c bi u di n b ng m t i m có t a (x, y) n m trong hình vuông có c nh là 60 (ta l y phút làm ơn v ). ó chính là mi n Ω . Ω = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60} hai ngư i g p nhau thì s phút lúc n x, y c a m i ngư i ph i th a mãn i u ki n: | x − y | ≤ 10 ⇔ x − 10 ≤ y ≤ x + 10. y 60 y=x+10 10 y=x-10 x O 10 60
Như v y các i m (x, y) thích h p cho vi c g p nhau là các i m n m trong ph n A có g ch chéo n m gi a hai ư ng th ng y = x – 10 và y = x + 10 (như hình v ). Theo công th c xác su t hình h c: mes ( A) 602 − 502 11 P( A) = = = = 0, 3056. mes (Ω) 60 2 36 T nh nghĩa xác su t theo hình h c, ta th y r ng m t bi n c có xác su t b ng 0 v n có th x y ra. Ch ng h n, xác su t m t viên n rơi trúng m t i m M trên m t mi n Ω b ng không (vì di n tích mes( Ω ) b ng di n tích m t i m M, b ng 0), nhưng bi n c ó v n có th x y ra. 2.4 Các tính ch t c a xác su t: T các nh nghĩa c a xác su t ã nêu trên ta có th suy ra các tình ch t c a xác su t: 1. N u A ⊂ B thì P ( A) ≤ P ( B ); P ( B \ A) = P ( B ) − P ( A) 2. N u A là bi n c b t kỳ thì: 0 ≤ P(A) ≤ 1 3. Xác su t c a bi n c ch c ch n b ng m t: P( Ω ) = 1 4. Xác su t c a bi n c không th có b ng không: P( ∅ ) = 0 5. N u A là bi n c ph nh ( i l p) c a bi n c A thì: P ( A) = 1 − P ( A) 6. N u A và B là hai bi n c xung kh c thì: P(A + B) = P(A) + P(B) N u A, B, C là ba bi n c xung kh c t ng ôi thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
7. N u A, B là 2 bi n c b t kỳ thì: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) T ng quát, n u A, B, C là 3 bi n c b t kỳ thì: P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C). §3. Xác su t có i u ki n 3.1. nh nghĩa: Xác su t c a bi n c A n u bi n c B ã x y ra ư c g i là xác su t có i u ki n c a A i v i B. Ký hi u là P(A/B). Thí d : Cho m t h p kín có 6 th ATM c a ACB và 4 th ATM c a Vietcombank. L y ng u nhiên l n lư t không hoàn l i 2 th . Tìm xác su t l n th hai l y ư c th ATM c a Vietcombank n u bi t l n th nh t ã l y ư c th ATM c a ACB. Gi i: G i A là bi n c l n th hai l y ư c th ATM Vietcombank, B là bi n c l n th nh t l y ư c th ATM c a ACB. Ta c n tìm P(A/B). Sau khi l y l n th nh t (bi n c B ã x y ra) trong h p còn l i 9 th , trong ó 4 th Vietcombank. V y 4 P( A / B) = . 9 3.2. Công th c nhân xác su t a) Công th c: Xác su t c a tích hai bi n c A và B b ng tích xác su t c a m t trong hai bi n c óv i xác su t có i u ki n c a bi n c còn l i: P ( A.B ) = P ( A).P ( B / A) = P ( B ).P ( A / B ). Ch ng minh: Gi s phép th có n k t qu cùng kh năng có th x y ra, mA k t qu thu n l i cho A, mB k t qu thu n l i cho B. Vì A và B là hai bi n c b t kỳ, do ó nói chung s có k k t qu thu n l i cho c A và B cùng ng th i x y ra. Theo nh nghĩa c i n c a xác su t ta có:
k m P ( A.B ) = , P ( A) = A . n n Ta i tính P(B/A). V i i u ki n bi n c A ã x y ra, nên s k t qu cùng kh năng c a phép th i v i bi n B là mA, s k t qu thu n l i cho B là k. Do ó: k P ( B / A) = . mA Như v y: k mA k P ( AB ) = = . = P ( A).P ( B / A). n n mA Vì vai trò c a hai bi n c A và B như nhau. B ng cách ch ng minh tương t ta cũng ư c P ( A.B ) = P ( B ).P ( A / B ). Thí d : 1. Trong h p có 20 n p khoen bia Tiger, trong ó có 2 n p ghi Chúc m ng b n ã trúng thư ng xe BMW. B n ư c ch n lên rút thăm l n lư t hai n p khoen, tính xác su t c hai n p u trúng thư ng. Gi i: G i A là bi n c rút n p khoen u trúng thư ng. B là bi n c rút n p khoen th hai trúng thư ng. C là bi n c c 2 n p u trúng thư ng. Ta có C = A.B và c n tính P(C). Khi b n rút thăm l n u thì trong h p có 20 n p trong ó có 2 n p trúng. Do ó P(A) = 2/20. Khi bi n c A ã x y ra thì còn l i 19 n p trong ó có 1 n p trúng thư ng. Do ó: P(B/A) = 1/19. T ó ta có: 2 1 P (C ) = P ( A).P ( B / A) = . = 0.0053. 20 19 2. Áo Vi t Ti n trư c khi xu t kh u sang M ph i qua 2 l n ki m tra, n u c hai l n u t thì chi c áo ó m i tiêu chu n xu t kh u. Bi t r ng bình quân 98% s n ph m làm ra qua ư c l n ki m tra th nh t, và 95% s n ph m qua ư c l n ki m tra u s ti p t c qua ư c l n ki m tra th hai. Tìm xác su t 1 chi c áo tiêu chu n xu t kh u? Gi i: G i A là bi n c s n ph m qua ư c l n ki m tra u tiên, B là biên c s n ph m qua ư c l n ki m tra th 2, C là bi n c tiêu chu n xu t kh u. Khi ó
P (C ) = P ( A.B ) = P ( A).P ( B / A) = 0, 98.0,95 = 0,931. 3. L p Kinh t h c có 95 Sinh viên, trong ó có 40 nam và 55 n . Trong kỳ thi môn Xác su t th ng kê có 23 sinh viên t i m gi i (trong ó có 12 nam và 11 n ). G i tên ng u nhiên m t sinh viên trong danh sách l p. Tìm xác su t g i ư c sinh viên t i m gi i môn Xác su t th ng kê, bi t r ng sinh viên ó là n ? Gi i: G i A là bi n c g i ư c sinh viên n , B là bi n c g i ư c sinh viên t i m gi i môn Xác su t th ng kê, C là bi n c g i ư c sinh viên n t i m gi i. Khi ó C = B/A. Do ó 11 P ( AB ) 95 11 P (C ) = P ( B / A) = = = = 0, 2. P ( A) 55 55 95 b) Các nh nghĩa v các bi n c c l p: nh nghĩa 1: Hai bi n c g i là c l p nhau n u vi c x y ra hay không x y ra bi n c này không làm thay i xác su t x y ra c a bi n c kia và ngư c l i. Ta có th dùng khái ni m xác su t có i u ki n nh nghĩa các bi n c c l p như sau: N u P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B c l p v i nhau. Trong trư ng h p vi c bi n c này x y ra hay không x y ra làm cho xác su t x y ra c a bi n c kia thay i thì hai bi n c ó g i là ph thu c nhau. Thí d : Trong bình có 4 qu c u tr ng và 5 qu c u xanh, l y ng u nhiên t bình ra 1 qu c u. G i A là bi n c l y ư c qu c u xanh. Hi n nhiên P(A) = 5/9 . Qu c u l y ra ư c b l i vào bình và ti p t c l y 1 qu c u. G i B là bi n c l n th 2 l y ư c qu c u xanh, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác su t c a bi n c B không thay i khi bi n c A x y ra hay không x y ra và ngư c l i. V y hai bi n c A và B c l p nhau. Ta chú ý r ng n u A và B c l p thì các c p bi n c A, B ho c A, B ho c A, B
cũng c l p v i nhau. Trong th c t vi c nh n bi t tính c l p, ph thu c, xung kh c c a các bi n c ch y u d a vào tr c giác. nh nghĩa 2: Các bi n c A1, A2, …, An, ư c g i là c l p t ng ôi n u m i c p hai bi n c b t kỳ trong n bi n c ó c l p v i nhau. Thí d : Xét phép th tung m t ng xu 3 l n. G i Ai là bi n c ư c m t s p l n tung th i (i = 1, 2, 3). Rõ ràng m i c p hai trong 3 bi n c ó c l p v i nhau. V y A1, A2, A3 c l p t ng ôi. nh nghĩa 3: Các bi n c A1, A2, …, An, ư c g i là c l p toàn ph n (toàn b ) n u m i bi n c c l p v i tích c a m t t ng h p b t kỳ trong các bi n c còn l i. Ta chú ý là các bi n c c l p t ng i thì chưa ch c c l p toàn ph n. i u ki n c l p toàn ph n m nh hơn c l p t ng ôi. c) H qu : T nh lý trên ta có th suy ra m t s h qu sau ây: H qu 1: Xác su t c a tích hai bi n c c l p b ng tích xác su t c a các bi n c ó: P(A.B) = P(A).P(B). H qu 2: Xác su t c a tích n bi n c b ng tích xác su t c a các bi n c ó, trong ó xác su t c a m i bi n c ti p sau u ư c tính v i i u ki n t c c các bi n c trư c ó ã x y ra: P ( A1 A2 A3 ... An ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 )...P ( An / A1... An −1 ). H qu 3: Xác su t c a tích n bi n c c l p toàn ph n b ng tích xác su t c a các bi n c ó: P ( A1 A2 A3 ... An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )...P ( An ). Thí d :
T l ph ph m c a m t máy là 20%. V y ph i cho máy ó s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m v i kh năng lên n 95% là s có ít nh t m t chính ph m. Gi i: Gi s ph i s n xu t n s n ph m. G i Ai (i = 1,2,…,n) là bi n c s n ph m th i là chính ph m. G i A là bi n c trong n s n ph m ó có ít nh t m t chính ph m. Khi ó n A = ∑ Ai . i =1 Do các bi n c trên là c l p toàn ph n và theo lu t Dermorgan ta có  n   n  n P ( A) = 1 − P  ∑ Ai  = 1 − P  Π Ai  = 1 − ΠP Ai = 1 − (0, 2) n . ( )  i =1   i =1    i =1 Ta có P( A) ≥ 0,95 ⇒ 1 − (0, 2) n ≥ 0, 95 ⇒ (0, 2)n ≤ 0, 05 ⇒ n log10 (0, 2) ≤ log10 (0, 05) log10 (0, 05) ⇒n≥ = 1,86 log10 (0, 2) ⇒ n = 2. V y ph i cho máy ó s n xu t ít nh t 2 s n ph m th a yêu c u. 3.3. Các công th c xác su t a) H y các bi n c Cho m t phép th . Ta nói h g m n bi n c H1, H2, …, Hn c a phép th là y n u i) H1, H2, …, Hn xung kh c t ng ôi ii) H1+H2+ …+Hn = Ω. Thí d : 1. Cho m t phép th b t kỳ. Khi ó h A, A là y . 2. M t lô hàng có 8 s n ph m lo i I và 6 s n ph m lo i II. L y ng u nhiên 2 s n ph m t lô hàng. Khi ó h 3 bi n c sau là y : H1 = Bi n c ch n ư c 2 s n ph m lo i I,
H2 = Bi n c ch n ư c 2 s n ph m lo i II, H3 = Bi n c ch n ư c 1 s n ph m lo i I và 1 s n ph m lo i II. Chú ý: N u H1, H2, …, Hn là h y các bi n c thì P(H1) +…+ P(Hn) = 1. b) Các công th c xác su t Cho m t phép th có H1, H2, …, Hn là h các bi n c y và A là bi n c b t kỳ c a phép th . Khi ó i/ Công th c xác su t y (hay công th c xác su t toàn ph n) P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + … + P(Hn).P(A/Hn). ii/ Công th c Bayès (Bây-ét) P( H j ).P( A / H j ) P( H j / A) = , ∀j = 1, 2,..., n. P( A) Thí d 1: M t c a hàng bán m t lo i s n ph m do hai công ty A và B cung c p v i t l s n ph m c a công ty A và B có trong c a hàng tương ng là 55% và 45%. Theo th ng kê t l ph ph m c a công ty A và B tương ng là 2% và 3%. M t khách hàng n mua ng u nhiên 1 s n ph m c a c a hàng. a/ Tìm xác su t khách mua ư c chính ph m. b/ Gi s s n ph m khách mua là ph ph m. Khi ó kh năng ph ph m này do công ty nào cung c p là cao hơn. Gi i: G i H1 là bi n c s n ph m khách mua do công ty A cung c p và H2 là bi n c s n ph m khách mua do công ty B cung c p. Khi ó H1 và H2 là h y và P(H1) = 0,55; P(H2) = 0,45. a/ G i X là bi n c khách mua ư c chính ph m. Ta có P(X) = P(H1).P(X/H1) + P(H2).P(X/H2) = 0,55. 0,98 + 0,45. 0,97 = 0,9755. b/ Ta có
P( H1 / X ) = Xác su t ph ph m khách mua do công ty A cung c p P ( H1 ).P ( X / H1 ) 0,55.0, 02 = = = 0, 4489 P( X ) 1 − 0,9755 P( H 2 / X ) = Xác su t ph ph m khách mua do công ty B cung c p = 1- P( H1 / X ) = 0,5511. V y kh năng ph ph m khách mua do công ty B cung c p là cao hơn. Thí d 2: Xí nghi p có hai dây chuy n cùng l p ráp m t lo i s n ph m v i t l ph ph m tương ng là 2% và 3%. M t khách hàng mua (l n lư t) 2 s n ph m c a xí nghi p ó. Tìm xác su t khách hàng mua ư c: a/ 2 chính ph m b/ 1 chính ph m. Gi i: G i H1 là bi n c khách mua ư c 2 s n ph m c a dây chuy n 1; H2 là bi n c khách mua ư c 2 s n ph m c a dây chuy n 2 và H3 là bi n c khách mua ư c 1 s n ph m c a dây chuy n 1 và 1 s n ph m c a dây chuy n 2. Khi ó h H1, H2, H3 là y và P(H1) = 1/4, P(H2) = 1/4, P(H3) = 1/2 a/ G i A là bi n c khách mua ư c 2 chính ph m. P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + P(H3).P(A/H3). = (1/4). 0,98. 0.98 + (1/4).0,97.0,97 + (1/2).0,98.0,97 = 0,951. b/ G i B là bi n c khách mua ư c 1chính ph m và 1 ph ph m. P(B) = P(H1).P(B/H1) + P(H2).P(B/H2) + P(H3).P(B/H3). = (1/4). 2. 0,98. 0.02 + (1/4).2. 0,97.0,03 + (1/2). (0,98.0,03 + 0,02.0,97) = 0,04875. b) Các công Bernoulli
Cho m t phép th và A là bi n c nào ó c a phép th . Gi s ta th c hi n phép th này n l n m t cách c l p thì ta ư c m t dãy n phép th c l p. N u P(A) = p không thay i trong m i l n th c hi n phép th thì dãy n phép th óg i là m t lư c Bernoulli. Ký hi u: B(n,p). K t qu : Cho lư c Bernoulli B(n,p). Xác su t trong n l n th c hi n phép th k trên bi n c A x y ra úng k l n là: Pn (k ) = Cn p k (1 − p ) n − k . k Thí d 1: M t công nhân qu n lý 6 máy d t c l p nhau. Xác su t trong kho ng th i gian T m i máy d t c n s chăm sóc c a công nhân ó là 0,3. Tìm xác su t trong th i gian T: a/ Có úng 4 máy c n chăm sóc. b/ Có ít nh t 4 máy c n chăm sóc. Gi i: Bài toán th a mãn lư c Bernoulli B(n, p) v i n = 6 và p = 0,3. ây, trong kho ng th i gian T, m i máy d t c n s chăm sóc c a cô công nhân hay không là m t phép th và có 6 máy d t như th t c là có 6 phép th ; ngoài ra xác su t c n s chăm sóc c a m i máy d t là không i và b ng 0,3. a/ Ta c n tính P6(4) = C64 (0,3) 4 (1 − 0,3)6−4 = 0, 05954 b/ Ta c n tính P6(4) + P6(5) + P6(6) v i: P6(4) = 0, 05954 , P6(5) = C65 (0, 3)5 (1 − 0,3)6−5 , P6(6) = C66 (0,3)6 (1 − 0,3)6−6 , và do ó P6(4) + P6(5) + P6(6) = 0,0705. Thí d 2: Th ng kê cho bi t xác su t x th b n trúng m c tiêu là 0,4. V i xác su t không nh hơn 0,9 x th y c n b n ít nh t bao nhiêu l n có ít nh t m t l n trúng m c tiêu. Gi i: G i n là s l n ít nh t x th b n th a mãn bài toán. Ta c n tìm n. G i A là bi n c trong n l n b n có ít nh t m t l n trúng m c tiêu. Khi ó A là bi n c trong n l n b n không có l n nào trúng m c tiêu. Ta có