Giáo trình Xác suất thống kê

Chia sẻ: Hồ Quốc Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:116

Thêm vào BST

Báo xấu

338
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Xác suất thống kê của trường Đại học Tôn Đức Thắng trình bày đại cương về giải tích tổ hợp, tập hợp, các phép toán tập hợp, quy tắc đếm, giải tích tổ hợp, đại cương về xác suất, hiện tượng ngẫu nhiên, xác suất, xác suất có điều kiện, lược đồ Bernoulli, đại cương về biến số ngẫu nhiên và phương pháp lấy mẫu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kê

Giaùo trình XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP 1. TAÄP HÔÏP Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm nguyeân thuûy, khoâng coù ñònh nghóa. Söï gom goùp moät soá ñoái töôïng laïi vôùi nhau cho ta hình aûnh cuûa taäp hôïp vaø caùc ñoái töôïng ñöôïc gom goùp naøy trôû thaønh phaàn töû cuûa taäp hôïp. Ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu taäp hôïp baèng caùc kyù töï in nhö A, B, C, ..., X, Y, ... vaø phaàn töû baèng caùc kyù töï thöôøng nhö a, b, c, ..., x, y. Neáu x laø moät phaàn töû cuûa A, ta vieát x ∈ A . Ngöôïc laïi, neáu x khoâng laø phaàn töû cuûa A, ta vieát x ∉ A . 1.1. Caùc phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp. Coù ba phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp : Phöông phaùp lieät keâ, phöông phaùp tröng tính vaø phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn. Phöông phaùp lieät keâ : Caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp ñöôïc vieát xuoáng giöõa hai ngoaëc nhoïn, “{“ vaø “}”, phaàn töû khaùc nhau ñöôïc phaân caùch bôûi daáu phaåy vaø thoûa hai ñieàu kieän : − Khoâng chuù yù thöù töï lieät keâ, − Moãi phaàn töû chæ ñöôïc lieät keâ moät laàn, khoâng laëp laïi. Chaúng haïn, caùc taäp hôïp A = {a, b, c} vaø B = {c, b, a} laø nhö nhau do chuùng chæ khaùc nhau ôû thöù töï lieät keâ caùc phaàn töû; C = {1, 0,1} khoâng hôïp leä vì phaàn töû 1 ñöôïc lieät keâ hai laàn. Phöông phaùp tröng tính : Ñöa ra moät tính chaát maø chæ coù phaàn töû cuûa taäp hôïp töông öùng ñöôïc thoûa. Chaúng haïn, goïi A laø taäp caùc soá nguyeân chaün. Tính chaát soá nguyeân chaün laø tính chaát ñaëc tröng cho taäp A. Khi ñoù, 2, 1 ∉ A vì chuùng 2 khoâng laø soá nguyeân; 3, 5 ∉ A vì chuùng laø soá nguyeân nhöng khoâng laø soá chaün; 10,100 ∈ A vì chuùng laø soá nguyeân vaø laø soá chaün. Toång quaùt, ngöôøi ta duøng moät haøm meänh ñeà p(x) theo moät bieán x ∈ X , nghóa laø öùng vôùi moãi x ∈ X , ta coù moät meänh ñeà p(x). Taäp A caùc phaàn töû x ∈ X sao cho meänh ñeà p(x) coù chaân trò ñuùng ñöôïc kyù hieäu laø A = {x ∈ X p(x)} . Khi ñoù, ta coù ∀x ∈ X, x ∈ A ⇔ p(x) . Noùi khaùc ñi, x thuoäc veà A neáu vaø chæ neáu p(x) laø meänh ñeà ñuùng. Chaúng haïn, taäp A caùc soá nguyeân chaün ñöôïc vieát laïi laø A = {x ∈ x chia heát cho 2} . 1
Phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn : Ngöôøi ta duøng moät ñöôøng cong ñôn kheùp kín, chia maët phaúng ra laøm hai mieàn, mieàn phía trong ñöôøng cong daønh ñeå lieät keâ caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp, mieàn phía ngoaøi ñöôøng cong daønh ñeå lieät keâ caùc phaàn töû khoâng naèm trong taäp hôïp. Chaúng haïn, ta coù x, a ∈ A , y, b ∉ A . y x b a 2. CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP. Vôùi hai taäp hôïp A vaø B, ta noùi A laø moät taäp con cuûa B, kyù hieäu A ⊂ B , khi moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B, ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B . Taäp taát caû caùc taäp con cuûa moät taäp X cho tröôùc ñöôïc kyù hieäu laø P (X) , P (X) = {A A ⊂ X} . Hieån nhieân X ⊂ X vaø do ñoù X ∈ P (X) . Ngoaøi ra, taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng, kyù hieäu ∅ vaø ta quy öôùc taäp hôïp roãng laø taäp con cuûa moïi taäp hôïp, nghóa laø ∅ ⊂ X hay ∅ ∈ P (X) , vôùi moïi taäp hôïp X. Ví duï, vôùi A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c} vaø C = {b, c, d} , ta coù B, C ⊂ A vì moïi phaàn töû cuûa B cuõng nhö cuûa C ñeàu laø phaàn töû cuûa A. Tuy nhieân B ⊂ C vì toàn taïi / phaàn töû a ∈ B nhöng a ∉ C vaø C ⊂ B vì toàn taïi phaàn töû d ∈ C nhöng d ∉ B . / Cho X laø moät taäp hôïp khoâng roãng vaø A, B laø hai taäp con baát kyø cuûa X, ta ñònh nghóa Phaàn giao cuûa A vaø B, kyù hieäu A ∩ B , laø taäp caùc phaàn töû vöøa thuoäc veà A, vöøa thuoäc veà B, A ∩ B = {x ∈ X x ∈ A ∧ x ∈ B} . Phaàn hoäi cuûa A vaø B, kyù hieäu A ∪ B , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A hay thuoäc veà B, A ∪ B = {x ∈ X x ∈ A ∨ x ∈ B} . Phaàn hieäu cuûa A cho B, kyù hieäu A \ B , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A nhöng khoâng thuoäc veà B, 2
A \ B = {x ∈ X x ∈ A ∧ x ∉ B} . Phaàn buø cuûa A trong X, kyù hieäu A , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà X maø khoâng thuoäc veà A, A = {x ∈ X x ∉ A} . Phaàn giao, phaàn hoäi, phaàn hieäu cuûa A vaø B cuõng nhö phaàn buø cuûa A trong X coù theå bieåu dieãn bôûi giaûn ñoà Venn nhö sau X X A A B B A∩B A∪B X X A A B A \B A Vôùi X laø moät taäp hôïp khoâng roãng, A, B, C laø caùc taäp con cuûa X, ta coù moät soá tính chaát thöôøng duøng sau : (i) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) , A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) . (ii) A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B . (iii) A ∩ A = ∅ , A ∪ A = X . Khi ñoù, ta noùi A vaø A taïo thaønh moät phaân ( ) hoaïch cho X vaø vôùi moät taäp con B baát kyø cuûa X, ta coù B = ( B ∩ A ) ∪ B ∩ A , ( B ∩ A ) ∩ ( B ∩ A ) = ∅ , nghóa laø B ∩ A , B ∩ A taïo thaønh moät phaân hoaïch cho B. A − B BA BA − A Toång quaùt, vôùi n taäp con A1 , A 2 , ..., A n , cuûa X sao cho A i ∩ A j = ∅ khi i ≠ j , nghóa laø caùc taäp con naøy ñoâi moät khoâng coù phaàn töû chung, vaø 3
A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = X , ta noùi A1 , A 2 , ..., A n taïo thaønh moät phaân hoaïch cho X. Khi ñoù, vôùi moät taäp con baát kyø B cuûa X, ta coù ( ) B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ A n ) , ( B ∩ A i ) ∩ B ∩ A j = ∅ khi i ≠ j . Noùi khaùc ñi, B ∩ A1 , B ∩ A 2 , B ∩ A n taïo thaønh moät phaân hoaïch cho B. X A2 A1 B B An B A1 An B A2 3. QUY TAÉC ÑEÁM. Trong phaàn coøn laïi, ta chæ khaûo saùt caùc taäp hôïp höõu haïn, nghóa laø caùc taäp X maø phaàn töû cuûa noù coù theå lieät keâ theo thöù töï laø x1 , x2 , ..., xn , X = {x1 , x2 , ..., xn } . Ta noùi X coù n phaàn töû, kyù hieäu X = n . Ta coù Coâng thöùc coäng. Cho X vaø Y laø hai taäp hôïp höõu haïn vaø khoâng coù phaàn töû chung, nghóa laø X ∩ Y = ∅ . Ta coù X∪Y = X + Y . Noùi khaùc ñi, soá phaàn töû cuûa X ∪ Y chính laø toång soá phaàn töû cuûa X vaø cuûa Y. Toång quaùt, neáu k taäp hôïp X1 , X 2 , ..., X k ñoâi moät khoâng coù phaàn töû chung, nghóa laø X i ∩ X j = ∅ khi i ≠ j , thì soá phaàn töû cuûa X1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X k chính laø toång soá phaàn töû cuûa caùc taäp X1 , X 2 , ..., X k , X1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X k = X1 + X 2 + ... + X k . Ngoaøi ra, vôùi hai taäp hôïp X vaø Y, taäp taát caû caùc boä thöù töï ( x, y ) , vôùi x ∈ X vaø y ∈ Y ñöôïc goïi laø taäp hôïp tích cuûa X vaø Y, kyù hieäu X × Y , X × Y = {( x, y ) x ∈ X ∧ y ∈ Y} . Khi ñoù, ta coù Coâng thöùc nhaân. Soá phaàn töû cuûa taäp hôïp tích X × Y chính laø tích soá caùc phaàn töû cuûa X vaø cuûa Y. X×Y = X ⋅ Y . 4
Toång quaùt, vôùi k taäp hôïp höõu haïn X1 , X 2 , ..., X k , taäp hôïp tích X1 × X 2 × ... × X k xaùc ñònh bôûi X1 × X 2 × ... × X k = {( x1 , x2 , ..., x k ) x1 ∈ X1 ∧ x2 ∈ X 2 ∧ ... ∧ x k ∈ X k } coù soá phaàn töû chính laø tích cuûa soá caùc phaàn töû cuûa caùc taäp X1 , X 2 , ..., X k , X1 × X 2 × ... × X k = X1 ⋅ X 2 ⋅ ... ⋅ X k Töø caùc keát quaû naøy, ta khaùi quaùt thaønh caùc quy taéc ñeám nhö sau : Quy taéc coäng : Giaû söû moät coâng vieäc coù theå thöïc hieän baèng moät trong k phöông phaùp, trong ñoù phöông phaùp 1 coù n1 caùch thöïc hieän, phöông phaùp 2 coù n2 caùch thöïc hieän, ..., phöông phaùp k coù n k caùch thöïc hieän, vaø hai phöông phaùp khaùc nhau khoâng coù caùch thöïc hieän chung. Khi ñoù, ta coù n1 + n2 + ... + n k caùch thöïc hieän coâng vieäc. Quy taéc nhaân : Giaû söû moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän tuaàn töï theo k böôùc, trong ñoù böôùc 1 coù n1 caùch thöïc hieän, böôùc 2 coù n2 caùch thöïc hieän, ..., böôùc k coù n k caùch thöïc hieän. Khi ñoù, ta coù n1 × n2 × ... × n k caùch thöïc hieän coâng vieäc. Chaúng haïn, neáu ta coù 4 aùo sô mi ngaén tay vaø 5 aùo sô mi daøi tay thì ta coù caû thaûy 4 + 5 = 9 caùch choïn aùo. Neáu ta coù 9 aùo sô mi vaø 8 quaàn taây thì ta coù 9 × 8 = 72 caùch choïn quaàn aùo. 4. GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP Cho X = {x1 , x2 , ..., xn } laø moät taäp hôïp coù n phaàn töû. Töø X, laáy ra thöù töï k a1 , a 2 , ..., a k , ta ñöôïc moät boä thöù töï caùc phaàn töû cuûa X, phaàn töû, k ( a1 , a 2 , ..., a k ) ∈ X ≡ X × X × ... × X , maø ta coøn goïi laø moät chænh hôïp n chaäp k. Ta k laàn coù hai tröôøng hôïp : - Tröôøng hôïp 1 : Töøng phaàn töû sau khi laáy ra ñöôïc hoaøn laïi vaøo X tröôùc khi laáy phaàn töû keá tieáp. Khi ñoù, caùc phaàn töû laáy ra coù theå truøng nhau, vaø chænh hôïp töông öùng ñöôïc goïi laø chænh hôïp laëp n chaäp k. - Tröôøng hôïp 2 : Caùc phaàn töû laáy ra khoâng ñöôïc hoaøn laïi, nghóa laø caùc phaàn töû laáy ra khaùc nhau töøng ñoâi moät, vaø chænh hôïp töông öùng ñöôïc goïi laø chænh hôïp khoâng laëp n chaäp k. 5
Ngoaøi ra, neáu ta khoâng chuù yù tôùi thöù töï laáy ra caùc phaàn töû cuûa X. Noùi khaùc ñi, töø X ta laáy ra k phaàn töû, ta ñöôïc moät taäp con {a1 , a 2 , ..., a k } cuûa X maø ta coøn goïi laø moät toå hôïp n chaäp k. Hieån nhieân laø caùc phaàn töû cuûa moät toå hôïp phaûi khaùc nhau töøng ñoâi moät. Vôùi caùc keát quaû veà pheùp ñeám, ta ñöôïc i) Soá chænh hôïp laëp n chaäp k laø n k , ii) Soá chænh hôïp khoâng laëp n chaäp k laø n! k = ( n − k + 1) ( n − k + 2 ) ... ( n − 1) n , An = (n − k ) ! n! k (iii) Soá toå hôïp n chaäp k laø Cn = . k ! (n − k ) ! Ví duï 1. (a) Töø moät nhoùm goàm 10 öùng vieân cho moät ban caùn söï lôùp goàm 3 chöùc danh : Lôùp tröôûng, lôùp phoù hoïc taäp vaø lôùp phoù vaên theå. Neáu öùng vieân ñöôïc pheùp kieâm nhieäm, nghóa laø moät öùng vieân coù theå phuï traùch cuøng luùc nhieàu chöùc danh, thì moãi caùch thaønh laäp ban caùn söï lôùp laø moät chænh hôïp laëp 10 chaäp 3 vaø do ñoù, coù 103 = 1000 caùch thöïc hieän. Neáu ta khoâng chaáp nhaän kieâm nhieäm, thì moãi caùch thaønh laäp ban caùn söï lôùp laø moät chænh hôïp khoâng laëp 10 chaäp 3 neân coù caû thaûy 10! 3 = 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = 720 caùch choïn. A10 = (10 − 3) ! (b) Töø nhoùm sinh vieân neâu treân, moãi caùch choïn ra 3 sinh vieân ñeå döï ñaïi hoäi 10! 8 ⋅ 9 ⋅ 10 3 ñoaøn laø moät toå hôïp 10 chaäp 3 neân ta coù C10 = = 120 caùch = 3! (10 − 3) ! 1⋅2⋅3 choïn. Ví duï 2. Moät hoäp ñöïng 10 vieân bi trong ñoù coù 4 bi traéng vaø 6 bi ñen. Moãi caùch laáy ra 5 vieân bi laø moät toå hôïp 10 chaäp 5 neân coù 10! 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 5 = 252 caùch choïn. C10 = = 5! (10 − 5 ) ! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 Ñeå laáy ra 5 vieân bi trong ñoù coù 2 bi traéng, ta thöïc hieän tuaàn töï hai böôùc : 4! Böôùc 1 : Laáy 2 bi traéng trong 4 bi traéng. Coù C2 = = 6 caùch thöïc 4 2! ( 4 − 2 ) ! hieän. 6! Böôùc 2 : Laáy 3 bi coøn laïi trong 6 bi ñen. Coù C3 = = 20 caùch. 6 3! ( 6 − 3) ! Do ñoù, ta coù caû thaûy 6 × 20 = 120 caùch thöïc hieän. 6
Baøi taäp. 1. Cho A = {1, 2, 3} vaø B = {3, 4, 5, 6} . a) Xaùc ñònh A ∪ B , A ∩ B vaø A \ B . b) Tìm taát caû caùc taäp con cuûa A. 2. Cho A vaø B laø hai taäp hôïp höõu haïn. Chöùng toû a) A = A \ B + A ∩ B . b) A ∪ B = A + B − A ∩ B . 3. Cho A, B vaø C laø ba taäp hôïp höõu haïn. Chöùng toû A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C 4. Moät khoùa soá goàm ba voøng khoùa, moãi voøng coù möôøi chöõ soá : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hoûi coù taát caû bao nhieâu maõ khoùa ? 5. Trong moät lôùp goàm 30 sinh vieân, caàn choïn ra ba sinh vieân ñeå laøm lôùp tröôûng, lôùp phoù vaø thuû quyõ. Hoûi coù taát caû bao nhieâu caùch baàu choïn ? 6. Moät hoäp ñöïng 6 bi traéng vaø 4 bi ñen. a) Coù taát caû bao nhieâu caùch laáy ra 5 bi ? b) Coù bao nhieâu caùch laáy ra 5 bi trong ñoù coù 2 bi traéng ? 7. Trong moät nhoùm öùng vieân goàm 7 nam vaø 3 nöõ, a) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi ? b) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi trong ñoù coù ñuùng 1 nöõ ? c) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi trong ñoù coù ít nhaát 1 nöõ ? 7
Chöông 1 ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT 1. HIEÄN TÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN Ngöôøi ta chia caùc hieän töôïng xaûy ra trong ñôøi soáng haøng ngaøy thaønh hai loaïi : Hieän töôïng ngaãu nhieân vaø hieän töôïng taát ñònh. Nhöõng hieän töôïng maø khi ñöôïc thöïc hieän trong cuøng moät ñieàu kieän nhö nhau seõ cho keát quaû nhö nhau ñöôïc goïi laø nhöõng hieän töôïng taát ñònh. Chaúng haïn, ñoát noùng moät thanh kim loaïi trong ñieàu kieän bình thöôøng thì noù daøi ra; ñun nöôùc ñeán 100o C trong ñieàu kieän bình thöôøng thì noù boác hôi. Ngöôïc laïi, nhöõng hieän töôïng maø duø ñöôïc thöïc hieän trong cuøng moät ñieàu kieän nhö nhau vaãn coù theå cho nhieàu keát quaû khaùc nhau ñöôïc goïi laø nhöõng hieän töôïng ngaãu nhieân. Chaúng haïn, tung moät con xuùc xaéc, ta khoâng theå chaéc chaén raèng maët naøo seõ xuaát hieän; laáy ra moät saûn phaåm töø moät loâ haøng goàm caû haøng chính phaåm laãn pheá phaåm, ta khoâng chaéc chaén seõ nhaän ñöôïc haøng chính phaåm hay pheá phaåm. Hieän töôïng ngaãu nhieân laø ñoái töôïng khaûo saùt cuûa lyù thuyeát xaùc suaát vaø ñeå khaûo saùt caùc hieän töôïng ngaãu nhieân, ngöôøi ta cho caùc hieän töôïng naøy xuaát hieän nhieàu laàn ñeå quan saùt. Moãi laàn cho xuaát hieän moät hieän töôïng ngaãu nhieân ñöôïc goïi laø thöïc hieän moät pheùp thöû. Khi ñoù, duø ta khoâng theå döï ñoaùn ñöôïc keát quaû naøo seõ xaûy ra nhöng thöôøng ta coù theå lieät keâ taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra. Taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu cuûa pheùp thöû ñoù. Moãi phaàn töû cuûa khoâng gian maãu ñöôïc goïi laø moät bieán coá sô caáp vaø moãi moät taäp con cuûa khoâng gian maãu ñöôïc goïi laø moät bieán coá. Ta thöôøng kyù hieäu τ cho pheùp thöû, Ω cho khoâng gian maãu töông öùng, ω ∈ Ω chæ caùc bieán coá sô caáp vaø caùc taäp con A, B, C, ... cuûa Ω ñeå chæ caùc bieán coá. Ví duï 1. Xeùt pheùp thöû τ : "tung con xuùc xaéc” vaø quan saùt caùc maët xuaát hieän. Ta coù khoâng gian maãu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , trong ñoù ω = 1, 2, ... laø caùc bieán coá sô caáp chæ vieäc nhaän ñöôïc maët 1, 2, ..., taäp con A = {2, 4, 6} cuûa Ω chæ bieán coá : "nhaän ñöôïc maët chaün", ... Ví duï 2. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm töø moät loâ haøng laø moät pheùp thöû τ maø khoâng gian maãu chính laø loâ haøng ñoù. Caùc taäp con CP caùc chính phaåm vaø PP caùc pheá phaåm laø caùc bieán coá maø ta coøn goïi laø bieán coá “nhaän ñöôïc chính phaåm” vaø “nhaän ñöôïc pheá phaåm”. 8
Xeùt khoâng gian maãu Ω cuûa moät pheùp thöû τ vaø A ⊂ Ω laø moät bieán coá. Sau khi thöïc hieän pheùp thöû τ , ta nhaän ñöôïc bieán coá sô caáp ω . Neáu ω ∈ A , ta noùi : "bieán coá A xaûy ra"; ngöôïc laïi, neáu ω ∉ A , ta noùi : "bieán coá A khoâng xaûy ra". Chaúng haïn, vôùi pheùp thöû τ : "tung con xuùc xaéc" vaø bieán coá A : "nhaän ñöôïc maët chaün". Khi ta tung con xuùc xaéc, neáu nhaän ñöôïc maët 4, ta noùi bieán coá A xaûy ra, neáu nhaän ñöôïc maët 1, ta noùi A khoâng xaûy ra, ... Töø ñònh nghóa, xeùt khoâng gian maãu Ω töông öùng vôùi pheùp thöû τ . Ta luoân luoân coù hai bieán coá ñaëc bieät : - Bieán coá chaéc chaén A = Ω : laø bieán coá luoân luoân xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû, - Bieán coá khoâng theå coù A = ∅ : laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Chaúng haïn, xeùt pheùp thöû "tung hai con xuùc xaéc", quan saùt toång soá caùc nuùt xuaát hieän, vaø xeùt caùc bieán coá A : "toång soá nuùt ≤ 13 ”, B : "toång soá nuùt = 1 ". Ta coù A laø bieán coá chaéc chaén vaø B laø bieán coá khoâng theå coù. Ngoaøi ra, do moãi moät bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu Ω neân baèng caùc pheùp toaùn taäp hôïp, vôùi hai bieán coá A, B ⊂ Ω , ta coù theå thaønh laäp caùc bieán coá : C = A ∩ B ≡ AB chæ bieán coá "A vaø B cuøng xaûy ra". Khi AB = ∅ , ta noùi A vaø B laø hai bieán coá xung khaéc (A vaø B khoâng bao giôø cuøng xaûy ra). C = A ∪ B ≡ A + B chæ bieán coá "A xaûy ra hay B xaûy ra". C = Ω \ A = A chæ bieán coá ñoái laäp cuûa A : A xaûy ra neáu vaø chæ neáu A khoâng xaûy ra. Chaúng haïn, vôùi khoâng gian maãu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} cuûa pheùp thöû "tung xuùc xaéc" vaø caùc bieán coá A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} , C = {4} , ta coù : A + B laø bieán coá chaéc chaén, AB laø bieán coá khoâng theå coù vaø do ñoù A, B laø hai bieán coá ñoái laäp (vaø ñöông nhieân laø hai bieán coá xung khaéc), B vaø C laø hai bieán coá xung khaéc (nhöng khoâng ñoái laäp). 2. XAÙC SUAÁT. Quan saùt caùc bieán coá ñoái vôùi moät pheùp thöû, maëc duø khoâng theå khaúng ñònh moät bieán coá coù xaûy ra hay khoâng nhöng ngöôøi ta coù theå phoûng chöøng cô may xaûy ra cuûa caùc bieán coá naøy laø ít hay nhieàu. Chaúng haïn, vôùi pheùp thöû "tung xuùc xaéc", bieán coá "nhaän ñöôïc maët 1" ít xaûy ra hôn bieán coá "nhaän ñöôïc maët chaün". Do ñoù, ngöôøi ta tìm caùch ñònh löôïng khaû naêng xuaát hieän khaùch quan cuûa moät bieán coá maø ta seõ goïi laø xaùc suaát cuûa bieán coá ñoù. 9
Xaùc suaát cuûa moät bieán coá laø moät con soá ñaëc tröng cho khaû naêng xaûy ra khaùch quan cuûa bieán coá ñoù. Xaùc suaát cuûa bieán coá A, kyù hieäu laø P(A), coù theå ñöôïc ñònh nghóa baèng nhieàu caùch. 2.1. Ñònh nghóa coå ñieån. Xeùt moät pheùp thöû τ vôùi n keát quaû coù theå xaûy ra, nghóa laø khoâng gian maãu Ω coù n bieán coá sô caáp, vaø bieán coá A ⊂ Ω coù k phaàn töû. Neáu caùc bieán coá sô caáp coù cuøng khaû naêng xaûy ra thì xaùc suaát cuûa A ñöôïc ñònh nghóa laø soá phaàn töû cuûa A k =. P(A) = soá phaàn töû cuûa Ω n Ví duï 3. a) Xeùt pheùp thöû "tung xuùc xaéc" vôùi caùc bieán coá A ≡ "nhaän ñöôïc maët 6", B ≡ "nhaän ñöôïc maët chaün". 3 1 Ta coù P(A) = vaø P(B) = = 0.5 . 6 6 b) Xeùt pheùp thöû "laáy ngaãu nhieân moät vieân bi trong moät hoäp ñöïng 4 bi xanh vaø 6 bi ñoû" vôùi caùc bieán coá X ≡ "nhaän ñöôïc bi xanh", D ≡ "nhaän ñöôïc bi ñoû". 6 4 Ta coù P(X) = = 0.4 vaø P(D) = = 0.6 . 10 10 Löu yù raèng, ñoái vôùi ñònh nghóa coå ñieån, ta caàn hai ñieàu kieän : − Soá keát quaû cuûa pheùp thöû laø höõu haïn, − Caùc keát quaû ñoàng khaû naêng xaûy ra. Khi moät trong hai ñieàu kieän treân khoâng xaûy ra, ta khoâng theå duøng ñònh nghóa coå ñieån ñeå xaùc ñònh xaùc suaát cuûa moät bieán coá. Tuy nhieân, baèng caùch vieát laïi ñònh nghóa coå ñieån naøy, soá tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A , P(A) = soá tröôøng hôïp xaûy ra ta coù theå ñònh nghóa xaùc suaát baèng phöông phaùp thoáng keâ nhö sau 2.2. Ñònh nghóa xaùc suaát baèng taàn suaát. Giaû söû pheùp thöû τ coù theå laäp laïi nhieàu laàn trong ñieàu kieän gioáng nhau. Neáu k trong n laàn thöïc hieän pheùp thöû maø bieán coá A xaûy ra k laàn thì tyû soá n ñöôïc goïi laø taàn suaát xuaát hieän cuûa A trong n pheùp thöû. 10
Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng, khi n ñuû lôùn, taàn suaát cuûa bieán coá A seõ dao ñoäng xung quanh moät giaù trò naøo ñoù maø ta goïi laø xaùc suaát cuûa A, kyù hieäu P(A) . Trong thöïc teá, vôùi n ñuû lôùn, ngöôøi ta laáy taàn suaát cuûa A laøm giaù trò gaàn ñuùng cho xaùc suaát cuûa bieán coá A, k . P(A) = n Ví duï 4. a) Thoáng keâ treân 10.000 ngöôøi daân thaønh phoá cho thaáy coù 51 ngöôøi bò beänh cao huyeát aùp, ta noùi xaùc suaát cuûa bieán coá "bò beänh cao huyeát aùp" laø 51 ≈ 0.005 . 10000 b) Moät nhaø maùy goàm ba phaân xöôûng A, B, C. Kieåm tra moät loâ haøng cuûa nhaø maùy goàm 1000 saûn phaåm, ngöôøi ta thaáy coù 252 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A, 349 cuûa phaân xöôûng B vaø 399 cuûa phaân xöôûng C. Ta noùi xaùc suaát 252 − nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng A laø P(A) = ≈ 0.25 , 1000 349 − nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng B laø P(B) = ≈ 0.35 , vaø 1000 399 − nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng C laø P(C) = ≈ 0.4 . 1000 Ta coøn noùi, caùc phaân xöôûng A, B, C töông öùng laøm ra 25%, 35% vaø 40% toång saûn löôïng nhaø maùy. Töông töï, ñeå tìm xaùc suaát laøm ra saûn phaåm hoûng cuûa phaân xöôûng A, ngöôøi ta thoáng keâ treân moät soá saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A vaø quan saùt soá saûn phaåm hoûng. Chaúng haïn, neáu trong 400 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A neâu treân coù 4 saûn phaåm hoûng, ta noùi xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûng cuûa phaân xöôûng A laø 4 = 0.01 . 400 Ví duï 5. Trong pheùp thöû τ : “thaûy ñoàng xu”, moät caùch tröïc giaùc, ta cho raèng caùc bieán coá sô caáp ω1 : “nhaän ñöôïc maët saáp” vaø ω2 : “nhaän ñöôïc maët ngöûa” laø ñoàng khaû naêng xaûy ra, neân do ñònh nghóa coå ñieån, P ( ω1 ) = P ( ω2 ) = 0.5 . Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñoàng xu naøy laø “coâng baèng”, “ñoàng chaát ñaúng höôùng”, ... Baèng thöïc nghieäm, moät soá nhaø khoa hoïc ñaõ thaûy moät ñoàng xu nhieàu laàn vaø nhaän ñöôïc keát quaû sau Ngöôøi thöïc hieän Soá laàn thaûy Soá laàn maët ngöûa Taàn suaát Buffon 4.040 2.048 0.5069 Pearson 12.000 6.019 0.5016 Pearson 24.000 12.012 0.5005 11
vaø khi ñoù, ta noùi xaùc suaát nhaän ñöôïc maët ngöûa ≈ 0.5 . Toång quaùt hôn, ñoäc laäp vôùi caùc quan saùt chuû quan, ta coù 2.3. Ñònh nghóa xaùc suaát baèng tieân ñeà cuûa Kolmogorov. Xaùc suaát laø haøm soá xaùc ñònh treân taäp hôïp caùc bieán coá P (Ω) , P : P (Ω) → A P(A) thoûa caùc tính chaát sau (i) P(Ω) = 1 , (ii) P(A) ≥ 0 , ∀A ∈ P (Ω) , vaø (iii) P ( A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) + ... + P ( A n ) , vôùi moïi daõy höõu haïn caùc bieán coá A1 , A 2 , ..., A n xung khaéc töøng ñoâi, nghóa laø A i ∩ A j = ∅ khi i ≠ j . Töø ñònh nghóa, deã daøng suy ra theâm caùc tính chaát sau (iv) P(∅) = 0 , (v) Neáu A vaø B xung khaéc, AB = ∅ , thì P(A + B) = P(A) + P(B) , (vi) Coâng thöùc coäng : Vôùi hai bieán coá baát kyø A vaø B, P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) − P(AB) () (vii) P A = 1 − P(A) , nghóa laø toång xaùc suaát hai bieán coá ñoái laäp luoân luoân baèng 1. Ví duï 6. Qua ñieàu tra trong sinh vieân, ta bieát 40% hoïc theâm ngoaïi ngöõ, 55% hoïc theâm tin hoïc vaø 30% hoïc theâm caû hai moân naøy. Choïn ngaãu nhieân 1 sinh vieân vaø xeùt caùc bieán coá A : “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm ngoaïi ngöõ”, B : “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm tin hoïc”. Khi ñoù, A ∩ B laø bieán coá “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm caû hai moân ngoaïi ngöõ vaø tin hoïc”, vaø P ( A ) = 0.4 ; P ( B ) = 0.55 ; P ( A ∩ B ) = 0.3 . Töø ñoù, ta coù theå tính moät soá xaùc suaát nhö () P A = 1 − P ( A ) = 1 − 0.4 = 0.6 , nghóa laø coù 60% sinh vieân khoâng hoïc theâm ngoaïi ngöõ, 12
P ( A ∪ B) = P ( A ) + P ( B) − P ( A ∩ B) = 0.4 + 0.55 − 0.3 = 0.65, nghóa laø coù 65% sinh vieân hoïc theâm (ngoaïi ngöõ hay tin hoïc), ( ) P A ∪ B = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − 0.65 = 0.35 , nghóa laø coù 35% sinh vieân khoâng hoïc theâm moân naøo caû. 3. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN. Xeùt pheùp thöû τ : "tung hai con xuùc xaéc" vôùi khoâng gian maãu töông öùng Ω = {(1,1) , (1, 2 ) , ..., (1, 6 ) , ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ..., ( 6, 6 )} (coù 36 phaàn töû) vaø xeùt caùc bieán coá A : "toång soá nuùt xuaát hieän = 8 ", B : "soá nuùt cuûa xuùc xaéc thöù nhaát laø soá chaün". Ta coù A = {( 2, 6 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 4 ) , ( 5, 3) , ( 6, 2 )} , B = {( 2,1) , ( 2, 2 ) , ..., ( 2, 6 ) , ( 4,1) , ..., ( 6, 6 )} , neân töø ñònh nghóa coå ñieån, A B 18 1 5 vaø P(B) = =. P(A) = = = 36 36 2 Ω Ω Baây giôø, ta tung hai con xuùc xaéc vaø giaû söû ta nhaän ñöôïc thoâng tin theâm laø soá nuùt cuûa xuùc xaéc thöù nhaát ñaõ laø soá chaün (nghóa laø bieán coá B ñaõ xaûy ra). Khi ñoù, pheùp thöû τ trôû thaønh pheùp thöû τ′ : "tung hai con xuùc xaéc khaùc nhau vôùi soá nuùt cuûa xuùc xaéc thöù nhaát laø soá chaün". Do ñoù, khoâng gian maãu Ω bò thu heïp laïi laø Ω′ = {( 2,1) , ( 2, 2 ) , ..., ( 2, 6 ) , ( 4,1) , ..., ( 6, 6 )} = B vaø hieän töôïng bieán coá A xaûy ra khi bieát bieán coá B ñaõ xaûy ra trôû thaønh hieän töôïng bieán coá A ′ = {( 2, 6 ) , ( 4, 4 ) , ( 6, 2)} = AB xaûy ra ñoái vôùi pheùp thöû τ′ vaø do ñoù coù xaùc suaát laø A′ 3 1 P ( A′) = =. = ′ 18 6 Ω Ta kyù hieäu A ′ ≡ A B vaø P ( A B ) ≡ P ( A ′ ) ñöôïc goïi laø xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra khi bieát bieán coá B xaûy ra. Töø nhaän xeùt 1 P ( AB ) P ( A B) = , = 6 P(B) 13
ta ñöa ra ñònh nghóa toång quaùt 3.1. Ñònh nghóa. Xeùt bieán coá B vôùi P(B) > 0 . Xaùc suaát cuûa bieán coá A, khi bieát bieán coá B xaûy ra laø P ( AB ) P ( A B) = . P(B) Ví duï 7. Vôùi ví duï 4 b), xeùt bieán coá H : "nhaän ñöôïc moät saûn phaåm hoûng", thì xaùc suaát nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng khi bieát saûn phaåm ñoù cuûa phaân xöôûng A laø P ( H A ) = 0.01 vaø xaùc suaát cuûa bieán coá HA : "nhaän ñöôïc moät saûn phaåm hoûng töø phaân xöôûng A" laø P(HA) = P ( H A ) P(A) = 0.01 ⋅ 0.25 = 0.0025 . 3.2. Ñònh lyù (Quy taéc nhaân xaùc suaát). Vôùi hai bieán coá A vaø B baát kyø, ta coù P ( AB ) = P(A)P ( B A ) . Toång quaùt, vôùi n bieán coá baát kyø A1 , A 2 , ..., A n , ta coù P ( A1 A 2 ...A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 A1 A 2 ) ...P ( A n A1 A 2 ...A n ) Ví duï 8. Moät thuû quyõ coù moät chuøm chìa khoùa goàm 9 chieác chìa gioáng heät nhau trong ñoù chæ coù 2 chìa coù theå môû ñöôïc tuû saét. Anh ta thöû ngaãu nhieân töøng chìa (chìa khoâng truùng ñöôïc boû ra trong laàn thöû keá tieáp). Tìm xaùc suaát ñeå anh ta môû ñöôïc tuû vaøo ñuùng laàn thöù ba. Ñaët A i laø bieán coá "laàn thöù i, môû ñöôïc tuû". Vôùi quy öôùc raèng khi bieán coá A i xaûy ra thì caùc bieán coá A1 , ..., A i −1 vaãn coù theå ñaõ xaûy ra, bieán coá "môû ñöôïc tuû vaøo ñuùng laàn thöù ba" laø A1 A 2 A 3 vaø do quy taéc nhaân xaùc suaát, ta coù ( )( )( ) ( ) P A1 A 2 A 3 = P A1 P A 2 A1 P A 3 A1 A 2 . Do 27 () P A1 = 1 − P ( A 1 ) = 1 − =, 99 26 ( ) ( ) =, P A 2 A1 = 1 − P A 2 A1 = 1 − 88 2 ( ) P A 3 A1 A 2 = , 7 ta suy ra 762 1 ( ) =. P A1 A 2 A 3 = 987 6 14
Ví duï 9. Hai sinh vieân A vaø B chôi moät troø chôi nhö sau : Caû hai luaân phieân laáy moãi laàn 1 bi töø moät hoäp ñöïng 2 bi traéng vaø 4 bi ñen (bi ñöôïc ruùt ra khoâng traû laïi vaøo hoäp). Ngöôøi naøo laáy ra ñöôïc bi traéng tröôùc thì thaéng cuoäc. Tính xaùc suaát thaéng cuoäc cuûa ngöôøi laáy tröôùc. Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû A laáy tröôùc. Xeùt caùc bieán coá A i : “A laáy ñöôïc bi traéng ôû laàn laáy thöù i”, Bi : “B laáy ñöôïc bi traéng ôû laàn laáy thöù i”. Neáu goïi C laø bieán coá “A thaéng cuoäc”, thì C = A1 ∪ A1B1 A 2 ∪ A1B1 A 2B2 A 3 . Do P ( A1 ) = 2 1 vaø do coâng thöùc nhaân xaùc suaát = 6 3 ( )( )( ) ( ) P A1B1 A 2 = P A1 P B1 A1 P A 2 A1B1 432 1 ⋅⋅=, = 654 5 ( )( )( ) ( ) P A1B1 A 2B2 A 3 = P A1 P B1 A1 P A 2 A1B1 × × P (B A B A ) P ( A ) A1B1 A 2B2 2 11 2 3 4321 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 = . = 6543 15 Vì A1 , A1B1 A 2 vaø A1B1 A 2B2 A 3 laø caùc bieán coá xung khaéc töøng ñoâi neân do coâng thöùc coäng, ( )( ) P ( C ) = P ( A1 ) P A1B1 A 2 P A1B1 A 2B2 A 3 111 3 =. = ++ 3 5 15 5 3.3. Ñònh lyù (coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn). Vôùi hai bieán coá A, B baát kyø, ta coù ( )() P ( A ) = P ( A B) P ( B) + P A B P B . Toång quaùt, cho B1 , B2 , ..., Bn laø moät hoï ñaày ñuû caùc bieán coá, nghóa laø n ∪B i) = Ω vaø i i =1 ii) Bi B j = ∅ neáu i ≠ j . thì vôùi moïi bieán coá A, ta coù 15
n ∑ P ( A B ) P (B ) P(A) = i i i =1 = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + ... + P ( A Bn ) P ( Bn ) Chöùng minh. Do AB vaø AB laø hai bieán coá xung khaéc vaø A = AB + AB neân () P ( A ) = P ( AB ) + P AB . ( )() = P ( A B) P ( B) + P A B P B Toång quaùt, do caùc bieán coá AB1 , AB2 , ..., ABn xung khaéc töøng ñoâi neân do coâng thöùc coäng xaùc suaát ⎛n n ⎞ ∑ P ( AB ) ∪ P ( A ) = P ⎜ ABi ⎟ = i ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 vaø do coâng thöùc nhaân xaùc suaát, P ( ABi ) = P ( A Bi ) P ( Bi ) vôùi moïi i, ta suy ra n ∑ P ( A B i ) P ( Bi ) . P (A) = i =1 Ví duï 10. Moät nhaø maùy coù 3 phaân xöôûng A, B, C töông öùng laøm ra 25%, 35% vaø 40% toång saûn phaåm cuûa nhaø maùy. Giaû söû xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûng cuûa caùc phaân xöôûng A, B vaø C laàn löôït laø 0,01; 0,02 vaø 0,025. Ñeå tính xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûng cuûa nhaø maùy, ta xeùt pheùp thöû τ : "Choïn ngaãu nhieân moät saûn phaåm cuûa nhaø maùy" vaø xeùt caùc bieán coá A : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A", B : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng B", C : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng C", vaø H : "nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng", thì A, B, C taïo thaønh hoï ñaày ñuû caùc bieán coá, vôùi P ( A ) = 0.25 ; P ( B ) = 0.35 ; P ( C ) = 0.4 . Ngoaøi ra, P ( H A ) = 0.01 ; P ( H B ) = 0.02 ; P ( H C ) = 0.025 , neân do coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn, 16
P ( H ) = P ( H A ) P ( A ) + P ( H B) P ( B) + P ( H C) P ( C) = 0.01 ⋅ 0.25 + 0.02 ⋅ 0.35 + 0.025 ⋅ 0.4 = 0.0195. 3.4. Ñònh lyù (Coâng thöùc Bayeøs). Cho B1 , B2 , ..., Bn laø moät hoï ñaày ñuû caùc bieán coá vaø xeùt bieán coá A vôùi P ( A ) > 0 . Vôùi moãi k = 1, 2, ..., n , ta coù P ( A Bk ) P ( Bk ) P ( Bk A ) = . P ( A B i ) P ( Bi ) ∑ n=1 i Chöùng minh. AÙp duïng coâng thöùc nhaân xaùc suaát P ( Bk A ) P ( A ) = P ( B k A ) = P ( A B k ) P ( B k ) vaø coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn n ∑ P ( A B ) P (B ) , P (A) = i i i1 = ta suy ra P ( A B k ) P ( Bk ) P ( A Bk ) P ( Bk ) P ( Bk A ) = . = P ( A Bi ) P ( B i ) P (A) ∑ n=1 i Ví duï 11. Vôùi caùc döõ kieän cho trong ví duï 10. Giaû söû laáy moät saûn phaåm vaø thaáy raèng ñoù laø saûn phaåm hoûng. Ta coù theå tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù do phaân xöôûng B saûn xuaát baèng coâng thöùc Bayeøs P ( H B) P ( B) 0.02 ⋅ 0.35 7 P (B H) = . = = P (H) 0.195 195 Chuù yù. Trong coâng thöùc Bayeøs, xaùc suaát P ( B1 ) , P ( B2 ) , ..., P ( Bn ) ñeå caùc bieán coá B1 , B2 , ..., Bn xaûy ra ñöôïc bieát tröôùc neân thöôøng ñöôïc goïi laø caùc xaùc suaát tieân nghieäm. Sau khi thöïc hieän pheùp thöû, thaáy bieán coá A xaûy ra, xaùc suaát ñeå caùc bieán coá B1 , B2 , ..., Bn xaûy ra ñöôïc tính laïi vôùi thoâng tin theâm naøy (nghóa laø caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P ( B1 A ) , P ( B2 A ) , ..., P ( Bn A ) ) neân ñöôïc goïi laø caùc xaùc suaát haäu nghieäm. Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu bieán coá naøy xaûy ra khoâng aûnh höôûng ñeán vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá kia. Cuï theå, ta coù 3.5. Ñònh nghóa. Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu xaùc suaát ñeå bieán coá naøy xaûy ra khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc bieán coá kia xaûy ra, nghóa laø P ( A B) = P ( A ) vaø do ñoù P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) . 17
Toång quaùt, n bieán coá A1 , A 2 , ..., A n ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu moãi bieán coá A i , vôùi i = 1, 2, ..., n , ñoäc laäp vôùi tích baát kyø caùc bieán coá coøn laïi. Ví duï 12. Thaûy moät ñoàng xu vaø moät con xuùc xaéc, ta coù khoâng gian maãu Ω = {( S,1) , ( S, 2 ) , ..., ( S, 6 ) , ( N,1) , ( N, 2 ) , ..., ( N, 6 )} . Xeùt caùc bieán coá A : "nhaän ñöôïc maët ngöûa cuûa ñoàng xu", vaø B : "nhaän ñöôïc nuùt chaün cuûa xuùc xaéc". Moät caùch tröïc giaùc, ñoàng xu xuaát hieän maët xaáp hay ngöûa khoâng aûnh höôûng gì ñeán soá nuùt xuaát hieän treân con xuùc xaéc, nghóa laø A, B ñoäc laäp nhau. Cuï theå, ta coù A = {( N,1) , ( N, 2 ) , ( N, 3) , ( N, 4 ) , ( N, 5 ) , ( N, 6 )} , B = {( S, 2 ) , ( S, 4 ) , ( S, 6 ) , ( N, 2 ) , ( N, 4 ) , ( N, 6 )} , vaø AB = {( N, 2 ) , ( N, 4 ) , ( N, 6 )} . Do ñoù, 6 1 6 1 3 1 P (A) = = , P ( B) = = , P ( AB ) = =. 12 2 12 2 12 4 1 Vì P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = neân A, B ñoäc laäp vôùi nhau. 4 Do ñònh nghóa, neáu ba bieán coá A, B, C laø ñoäc laäp thì A ñoäc laäp vôùi B, C vaø BC neân P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , P ( AC ) = P ( A ) P ( C ) , P ( A ( BC ) ) = P ( A ) P ( BC ) , vaø vì B, C cuõng ñoäc laäp vôùi nhau, neân P ( BC ) = P ( B ) P ( C ) vaø do ñoù P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) . Toång quaùt, n bieán coá A i , i = 1, 2, ..., n laø ñoäc laäp neáu vôùi baát kyø k bieán coá A i1 , A i2 , ..., A ik khaùc nhau, vôùi k ≤ n , ⎛k ⎞ k ∏ P ( Ai ) . ∩ P ⎜ Aij ⎟ = ⎜ j =1 ⎟ j ⎝ ⎠ j =1 18
Chuù yù raèng, neáu töø n bieán coá ñoäc laäp A i , i = 1, 2, ..., n , ta thaønh laäp hoï bieán coá Bi , i = 1, 2, ..., n , vôùi Bi = A i hay Bi = A i , thì hoï bieán coá Bi , i = 1, 2, ..., n , cuõng ñoäc laäp. Ví duï 13. Töø moät hoäp ñöïng 10 vieân bi trong ñoù coù 4 bi traéng, laáy laàn löôït ra 2 bi. Goïi Tk , vôùi k = 1, 2 , laø bieán coá "nhaän ñöôïc bi traéng ôû laàn laáy thöù k". Ta coù hai tröôøng hôïp, tuøy thuoäc vaøo laàn laáy thöù nhaát coù hoaøn laïi bi vaøo hoäp hay khoâng hoaøn laïi bi vaøo hoäp : i) Tröôøng hôïp coù hoaøn laïi : Khi ñoù, moät caùch tröïc giaùc, ta thaáy T1 , T2 laø hai bieán coá ñoäc laäp. Chính xaùc hôn, ta coù 4 P ( T1 ) = , 10 ( )() P ( T2 ) = P ( T2 T1 ) P ( T1 ) + P T2 T1 P T1 44 46 4 , = + = 10 10 10 10 10 44 P ( T1 T2 ) = P ( T2 T1 ) P ( T1 ) = = P ( T2 ) P ( T1 ) . 10 10 ii) Tröôøng hôïp khoâng hoaøn laïi : Trong tröôøng hôïp naøy, ta thaáy T1 , T2 laø hai bieán coá khoâng ñoäc laäp vì ta caûm giaùc raèng cô may ñeå laàn thöù nhì ñöôïc bi traéng tuøy thuoäc vaøo bi nhaän ñöôïc ôû laàn thöù nhaát coù laø bi traéng hay khoâng. Cuï theå, ta coù 4 P ( T1 ) = , 10 ( )() P ( T2 ) = P ( T2 T1 ) P ( T1 ) + P T2 T1 P T1 34 46 36 4 . = + = = 9 10 9 10 90 10 nhöng 34 P ( T1 T2 ) = P ( T2 T1 ) P ( T1 ) = 9 10 ≠ P ( T2 ) P ( T1 ) . Toång quaùt, neáu ta laáy laàn löôït ra n bi, vôùi 1 ≤ n ≤ 10 , thì caùc Tk , 1 ≤ k ≤ n laø moät hoï caùc bieán coá ñoäc laäp khi moãi laàn laáy bi ra coù hoaøn laïi, nhöng khoâng laø moät hoï caùc bieán coá ñoäc laäp khi moãi laàn laáy bi ra khoâng hoaøn laïi. Tuy nhieân, chuù yù raèng trong caû hai tröôøng hôïp, ta ñeàu coù 4 P ( Tk ) = , 10 vôùi moïi k. 19