Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - PGS.TS Nguyễn Thị Dung

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:104

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất; Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân phối xác suất; Cơ sở lý thuyết mẫu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - PGS.TS Nguyễn Thị Dung

Giáo trình Xác suất thống kê PGS.TS Nguyễn Thị Dung, TS. Phạm Thanh Hiếu ThS. Mai Thị Ngọc Hà, Th.S Nguyễn Thị Hồng Nhung Ngày 1 tháng 10 năm 2018
Mục lục Lời nói đầu v I Lý thuyết xác suất 1 Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 3 1.1 Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.3 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.4 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1.5 Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1.6 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1.7 Phương pháp giải một bài toán giải tích tổ hợp . . . . . . . . . .6 1.2 Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.1 Phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.2 Biến cố (sự kiện) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.3 Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3 Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . 1.3.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . 1.3.2 Định nghĩa thống kê về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . 1.3.3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ . . . . . . . . . . . . . . 15 . 1.4 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . 1.4.1 Định lý cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . 1.4.2 Định lý nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . 1.4.3 Định lý xác suất toàn phần - Định lý Bayes . . . . . . . . . . . 20 . 1.4.4 Định lý Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . Chương 2 Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân phối xác suất 29 2.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . 2.2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 30 . 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất . . . . . . . 31 . 2.2.2 Hàm phân phối xác xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . 2.2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất . . . . . . . . 36 . i
ii MỤC LỤC 2.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 40 . 2.3.1 Kỳ vọng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . 2.3.2 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . 2.3.3 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 . 2.3.4 Một số tham số đặc trưng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 . 2.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng . . . . . . . . . . . . . 48 . 2.4.1 Quy luật không – một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . 2.4.2 Quy luật nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . 2.4.3 Quy luật Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . 2.4.4 Quy luật chuẩn N (a,σ 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . 2.4.5 Quy luật khi bình phương – χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . 2.4.6 Quy luật Student – T(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . 2.4.7 Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 . 2.5 Biến ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . 2.5.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . 64 . 2.5.2 Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 . 2.5.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 . 2.5.4 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 . 2.5.5 Các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 . Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . II Thống kê toán 75 Chương 3 Cơ sở lý thuyết mẫu 77 3.1 Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . 3.1.1 Tổng thể và kích thước của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . 77 . 3.1.2 Mẫu và phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 . 3.1.3 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . 3.2 Các phương pháp mô tả mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . 3.2.1 Sắp xếp số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . 3.2.2 Biểu diễn số liệu bằng biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 . 3.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 84 . 3.3.1 Hàm thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . 3.3.2 Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . 3.3.3 Phương sai mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . . . . . . . . . . 86 . 3.3.4 Độ lệch chuẩn mẫu và độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu . . . . . . 86 . 3.3.5 Một số tham số đặc trưng mẫu khác . . . . . . . . . . . . . . . 87 . 3.3.6 Cách tính các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . 3.4 Ý nghĩa thực nghiệm của một số đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . 90 . Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . Chương 4 Ước lượng tham số 97 4.1 Phương pháp ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 .
MỤC LỤC iii 4.2 Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy . . . . . . . . . . . . . . 100 . . 4.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . 4.2.2 Ước lượng kỳ vọng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . 4.2.3 Ước lượng tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 . . Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 . . Chương 5 Kiểm định giả thuyết thống kê 115 5.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . 5.1.1 Giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . 5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . 116 . . 5.1.3 Miền bác bỏ giả thuyết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . 5.1.4 Giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định . . . . . . . . . . . 116 . . 5.1.5 Quy tắc kiểm định giả thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . 5.1.6 Các sai lầm mắc phải khi kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . 117 . . 5.1.7 Các bước tiến hành bài toán kiểm định giả thuyết thống kê . . 117 . . 5.2 Kiểm định giả thuyết thống kê về kỳ vọng toán . . . . . . . . . . . . 118 . . 5.2.1 Trường hợp một tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 . . 5.2.2 Trường hợp hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . 5.3 Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . 5.3.1 Trường hợp một tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . 5.3.2 Trường hợp hai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 . . Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . Chương 6 Tương quan và hồi quy 133 6.1 Sắp xếp số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 . . 6.2 Đồ thị phân tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 . . 6.3 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 . . 6.3.1 Hệ số tương quan lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 . . 6.3.2 Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . . 6.3.3 Kiểm định giả thuyết về giá trị của ρ . . . . . . . . . . . . . . 140 . . 6.4 Hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 . . 6.4.1 Mô hình hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 . . 6.4.2 Phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản của tổng thể . . . . 141 . . 6.4.3 Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu . . . . . . . . . . 143 . . Bài tập Chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 . . Phụ lục 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 . . Phụ lục 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 . . Phụ lục 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . Phụ lục 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 . . Tài liệu tham khảo 159
Lời nói đầu “Xác suất thống kê” là một môn học cần thiết đối với sinh viên khối các trường kỹ thuật bởi nội dung phong phú và sự ứng dụng rộng rãi của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật, y học và kinh tế - xã hội. Đã có nhiều cuốn sách giáo trình được viết cho môn học này, tuy nhiên nhóm tác giả mong muốn viết một cuốn giáo trình phù hợp với nội dung chương trình của Trường Đại học Nông Lâm để sinh viên có thể học tập, vận dụng môn học này vào các môn học chuyên ngành sau đó, cũng như phục vụ cho việc học tập ở các bậc cao hơn và ứng dụng vào thực tiễn Nông Lâm nghiệp. Giáo trình gồm hai phần chính. • Phần I: “Lý thuyết xác suất” có hai chương, do PGS. TS. Nguyễn Thị Dung biên soạn. Chương 1 trang bị những kiến thức cơ bản về giải tích tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng của lý thuyết xác suất cổ điển. Chương 2 quan tâm đến khái niệm trung tâm của xác suất là biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất, các tham số đặc trưng của nó. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng và định lý về luật số lớn, định lý giới hạn cũng được trình bày trong chương này. • Phần II: “Thống kê toán” gồm có 4 chương do TS. Phạm Thanh Hiếu và ThS. Mai Thị Ngọc Hà biên soạn. Chương 3 trình bày về cơ sở lý thuyết mẫu: các phương pháp chọn mẫu, sắp xếp mẫu, đặc trưng của mẫu. Chương 4 và Chương 5 quan tâm đến hai bài toán cơ bản là ước lượng tham số và kiểm định giả thuyết thống kê. Các bài toán về tương quan và hồi quy tuyến tính đơn giản được đề cập đến ở Chương 6. Phần cuối cùng là một số bảng phụ lục thông dụng. Các bảng biểu, hình vẽ và A xử lý kỹ thuật L TEX do ThS. Nguyễn Thị Hồng Nhung đảm nhận. Bạn đọc có thể tự học môn “Xác suất thống kê” với cuốn giáo trình này nếu đã được trang bị một số kiến thức cơ bản về Giải tích cổ điển và Đại số tuyến tính. Các khái niệm mới được cập nhật thêm các thuật ngữ bằng tiếng Anh để bạn đọc có thể làm quen với các thuật ngữ đó khi đọc sách nước ngoài. Hệ thống ví dụ được lựa chọn ít nhiều liên quan đến các bài toán thường gặp trong thực tế của các lĩnh vực Nông, Lâm nghiệp, Sinh học. Các bài tập ở cuối mỗi chương dành cho bạn đọc giải quyết thông qua vận dụng lý thuyết và lời giải của các ví dụ trong chương. Trong những kiến thức rộng lớn về lý thuyết xác suất và thống kê toán, để lựa chọn được những vấn đề cần thiết viết trong khuôn khổ một cuốn giáo trình nhỏ sao cho phù hợp với nội dung chương trình ở bậc đại học, đáp ứng được những mục tiêu đã đề ra là rất khó khăn. Cuốn sách mặc dù đã được bộ môn Toán - Lý dùng v
vi Lời nói đầu làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Nông Lâm một số năm gần đây nhưng vẫn khó tránh khỏi sai sót. Các tác giả mong muốn nhận được những nhận xét góp ý của các đồng nghiệp, các sinh viên và bạn đọc để cuốn giáo trình được hoàn thiện hơn. Nhóm tác giả
Phần I Lý thuyết xác suất Sự không chắc chắn rất phổ biến trong thế giới mà ta đang sống: từ các vấn đề của thế giới tự nhiên như nắng, mưa, giông, bão,... đến các vấn đề về đời sống chính trị, xã hội của con người. Ngay cả Sinh - Lão - Bệnh - Tử – một quy luật tất yếu mà ai cũng biết, là chặng đường chắc chắn mà mỗi đời người đều phải trải qua thì nhìn chung cũng nằm ngoài sự điều khiển của chúng ta. Tuy nhiên, sự không chắc chắn làm cho cuộc sống của chúng ta trở nên thú vị hơn rất nhiều. Hãy thử tưởng tượng xem thế giới này sẽ trở nên buồn tẻ, chán ngắt đến mức nào nếu như mọi thứ đều có thể biết trước một cách chắc chắn, hoàn hảo? Lý thuyết xác suất là một ngành khoa học Toán học xác lập các suy luận mang tính định lượng về sự không chắc chắn, thông qua đó nghiên cứu những quy luật tất nhiên ẩn dấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên nhằm cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy, các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực của cuộc sống. 1
Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Chương này dành để giới thiệu các khái niệm nền móng của xác suất: phép thử, biến cố ngẫu nhiên, biến cố sơ cấp,... Các định nghĩa về xác suất được giới thiệu ở Mục 1.3 và cuối cùng Mục 1.4 cung cấp những công cụ cơ bản nhất để tính xác suất: định lý cộng, định lý nhân, định lý toàn phần, Bayes và định lý Bernoulli. Nội dung của chương này chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [1]-[15]. 1.1. Giải tích tổ hợp Mục này dành để tóm lược lại các kiến thức về giải tích tổ hợp mà sinh viên đã được học trong chương trình phổ thông. Các bài toán giải tích tổ hợp còn được gọi là các bài toán “đếm”: đếm số kết quả, đếm số khả năng xảy ra, đếm các cách giải quyết vấn đề,... nói chung là đếm số lượng những đối tượng nào đó mà hầu hết các loại đối tượng được đề cập đến đều có thể mô tả như là một dãy các phần tử thỏa mãn những điều kiện nhất định. Ta có thể mô phỏng một bài toán giải tích tổ hợp như sau. Bài toán. “Cho n, k ∈ N và tập hợp E = {x1 ,x2 , . . . ,xn } gồm n phần tử khác nhau. Có bao nhiêu dãy x1 x2 . . . xk các phần tử được lấy từ tập E và thỏa mãn các tính chất N1 , N2 , . . .?” Có nhiều cách giải quyết bài toán trên tùy theo cách lấy k phần tử và phương pháp sắp xếp chúng để cho ta những kết quả khác nhau. 1.1.1. Quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1 , A2 , . . . , Ak , trong đó mỗi phương án Ai có ni cách thực hiện và các cách thực hiện phương án Ai không trùng với các cách thực hiện phương án Aj nếu i ̸= j, với mọi i,j = 1, . . . , k. Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cách và ta gọi đó là quy tắc cộng (Additional Rule). 3
4 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 1.1.1 Một tổ gồm có 3 sinh viên ở Thái Nguyên, 3 sinh viên ở Yên Bái, 4 sinh viên ở Tuyên Quang và 4 sinh viên ở Hà Giang. Cần chọn 3 sinh viên cùng tỉnh để đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Giải. Phương án 1: có 1 cách chọn 3 sinh viên ở Thái Nguyên; Phương án 2: có 1 cách chọn 3 sinh viên ở Yên Bái; Phương án 3: có 4 cách chọn 3 sinh viên ở Tuyên Quang; Phương án 4: có 4 cách chọn 3 sinh viên ở Hà Giang. Vậy, có n = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 cách chọn. Chú ý rằng, bản chất của quy tắc trên là đếm số phần tử của các tập hợp hữu hạn không giao nhau. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta cần đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn có giao khác ∅. Nếu ký hiệu n(•) là số phần tử của một tập hợp nào đó thì ta có quy tắc cộng mở rộng sau: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ví dụ 1.1.2 Một hội nghị khoa học quốc tế gồm 100 người biết tiếng Anh, 60 người biết tiếng Pháp, 20 người biết cả hai thứ tiếng và 50 người còn lại không biết cả hai thứ tiếng trên. Hỏi Hội nghị khoa học đó có bao nhiêu người? Giải. Gọi tập hợp những người biết tiếng Anh là A, những người biết tiếng Pháp là B. Khi đó tập hợp những người biết tiếng Anh hoặc Pháp là A∪B. Theo bài ra ta có n(A) = 100; n(B) = 60; n(A ∩ B) = 20 và n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 100 + 60 − 20 = 140. Vậy Hội nghị khoa học đó có 140 + 50 = 190 (người). 1.1.2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc phải thực hiện k giai đoạn A1 , A2 , . . . , Ak , trong đó mỗi giai đoạn Ai được thực hiện bởi 1 trong ni cách, với mọi i = 1, . . . , k. Khi đó, có n1 n2 . . . nk cách thực hiện công việc nói trên và ta gọi là quy tắc nhân (Multiplica- tive Rule). Ví dụ 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm 7 ký tự, trong đó 2 ký tự đầu là mã số tỉnh, ký tự thứ ba là một chữ cái trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh, các ký tự tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0,1, . . . ,9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh cố định thì một tỉnh có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe khác nhau? Giải. Vì mã số tỉnh đã được cố định nên ta có 26 cách chọn chữ cái xếp ở vị trí thứ ba và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại. Theo quy tắc nhân, ta có (26)(10)(10)(10)(10) = 260.000 (biển số xe). 1.1.3. Hoán vị Định nghĩa 1.1.4. Hoán vị (permutation) của n phần tử của tập E là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Số các hoán vị của n phần tử, ký hiệu Pn , là Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) . . . (2)(1) và quy ước 0! = 1.
1.1 Giải tích tổ hợp 5 Ví dụ 1.1.5 (i) Có 3 người A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. Ta có P3 = 3! = (1)(2)(3) = 6 cách xếp như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. (ii) Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau? Giải. Rõ ràng mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy ta có P3 = 3! = (1)(2)(3) = 6 số, đó là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 1.1.4. Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.6. Một chỉnh hợp (arrangement) chập k của n phần tử (0 < k n) là một dãy có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được lấy từ tập E. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu Ak , là n n! Ak = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = . n (n − k)! Ví dụ 1.1.7 Giả sử sinh viên năm thứ nhất của Trường Đại học Nông Lâm phải học 5 học phần trong một học kỳ, mỗi buổi học 2 học phần. Hỏi Phòng Đào tạo của Trường có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong buổi học? Giải. Số cách cần tìm chính là số cách ghép 2 học phần từ 5 học phần, trong đó các cách ghép sẽ khác nhau nếu có ít nhất một học phần khác nhau hoặc thứ tự học phần khác nhau. Vì thế các cách xếp thời khóa biểu trong ngày là A2 = (5)(4) = 20 (cách). 5 1.1.5. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.8. Một chỉnh hợp lặp (arrangement with repetition) chập k của n phần tử là một dãy có thứ tự gồm k phần tử (không nhất thiết khác nhau) được lấy từ tập E. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, ký hiệu Ak , là n Ak = nk . n Ví dụ 1.1.9 Có 5 khách hàng cùng vào mua hàng ở một cửa hàng gồm có 7 quầy. Giả sử các khách hàng vào các quầy một cách ngẫu nhiên. Hỏi có bao nhiêu cách để 5 người vào 7 quầy nói trên? Giải. Vì mỗi người đều có 7 cách chọn quầy nên số cách để 5 người vào mua hàng một cách ngẫu nhiên tại 7 quầy chính là A7 = 57 = 78125. 5
6 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.1.6. Tổ hợp Định nghĩa 1.1.10. Một tổ hợp (combination) chập k của n phần tử (0 < k n) là một tập con gồm k phần tử của tập E. k Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu Cn , là k n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cn = = . k!(n − k)! k! Vì n−k n! n! k Cn = = = Cn , (n − k)!(n − (n − k))! k!(n − k)! nên một cách lấy ra k phần tử thì cũng chính là một cách lấy ra n − k phần tử còn lại. Ta có một số trường hợp đặc biệt sau 0 n 1 n−1 Cn = Cn = 1; Cn = Cn = n. Từ công thức tổ hợp trên, ta có công thức Nhị thức Newton (a + b)n = Cn an + Cn an−1 b + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn abn−1 + Cn bn . 0 1 k n−1 n Thay n = 2, 3 vào công thức trên ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ quen thuộc. Ví dụ 1.1.11 Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp, hỏi có mấy cách chọn? Giải. Rõ ràng số cách chọn ra 2 học sinh bất kỳ trong số 5 học sinh là số các tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy ta có 2 5! (4)(5) C5 = = = 10 cách chọn. 2!3! 2 1.1.7. Phương pháp giải một bài toán giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp là một công cụ rất quan trọng, phục vụ đắc lực cho việc giải các bài tập xác suất sau này. Trong quá trình giải một bài toán giải tích tổ hợp, công việc đòi hỏi nhiều tư duy nhất chính là “nhận dạng” xem bài toán đó thuộc cách đếm nào. Nói cách khác, điều quan trọng nhất là cần phân biệt, so sánh được các khái niệm trên để áp dụng được đúng công thức cần dùng. Do đó, ta có một số nhận xét sau. a) Về cách lấy các phần tử: Ta thường dùng 4 cách để lấy ra k phần tử từ n phần tử. (1) Lấy theo nghĩa tổ hợp. (2) Lấy theo nghĩa chỉnh hợp. (3) Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và không hoàn lại. (4) Lấy ra k phần tử, mỗi lần lấy từng phần tử một và có hoàn lại.
1.2 Phép thử và biến cố 7 - Trong 4 cách trên, hai cách đầu các phần tử được lấy ra đồng thời một lần, hai cách sau các phần tử được lấy lần lượt từng phần tử một và lấy k lần. - Trong 3 cách đầu, các phần tử được lấy ra là khác nhau, còn ở cách thứ tư, các phần tử được lấy ra có thể có những phần tử được lấy lặp lại. - Cách thứ ba phân biệt với hai cách đầu ở chỗ lấy k lần hay lấy 1 lần. - Cách thứ nhất phân biệt với cách thứ hai ở chỗ có kể đến thứ tự các phần tử lấy ra hay không. b) Về mối quan hệ giữa các khái niệm: Có nhiều mối quan hệ giữa các khái niệm với nhau, chẳng hạn hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi k = n, chỉnh hợp là lấy tổ hợp rồi hoán vị... Ta có thể đặc trưng hóa các khái niệm bằng bảng tổng kết sau. Cho tập E gồm n phần tử xác định như trên, k, n 1. Khái niệm Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp Hoán vị Tổ hợp Tính chất 1) Có thứ tự 1) Có thứ tự 1) Có thứ tự 1) Không thứ tự đặc trưng 2) Không lặp 2) Có lặp 2) Không lặp 2) Không lặp 3) k n 3) ∀k, ∀n 3) k = n 3) k n n! n! Công thức Ak = (n−k)! n A k = nk n Pn = n! k Cn = k!(n−k)! 1.2. Phép thử và biến cố 1.2.1. Phép thử Trong thực tế, để nhằm một mục đích nào đó, nhiều khi ta cần phải khảo sát, thu thập dữ liệu thông qua quan sát các hiện tượng trong tự nhiên hay trong phòng thí nghiệm. Một thí nghiệm hay một quan sát các hiện tượng tự nhiên, xã hội hoặc các vấn đề về kỹ thuật với cùng một hệ điều kiện nào đó được gọi là phép thử (experiment). Phép thử mà ta không thể dự báo trước được một cách chắc chắn kết quả của nó sẽ như thế nào được gọi là phép thử ngẫu nhiên. Từ nay trở đi ta sẽ dùng thuật ngữ “phép thử” ngắn gọn thay cho thuật ngữ “phép thử ngẫu nhiên”. Ví dụ 1.2.1 Các thí nghiệm sau đây là các phép thử: (i) Tung một đồng tiền và quan sát xem xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa. (ii) Gieo một con xúc xắc và quan sát xem mặt nào sẽ xuất hiện. (iii) Gieo 100 hạt giống và đếm xem có bao nhiêu hạt nảy mầm. 1.2.2. Biến cố (sự kiện) Định nghĩa 1.2.2. (i) Tập hợp gồm tất cả các kết quả có thể có của phép thử được gọi là không gian mẫu (sample space), thường được ký hiệu là S. (ii) Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là biến cố sơ cấp (simple event). Một tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố ngẫu nhiên (random event) và thường được ký hiệu bởi các chữ cái A,B,C,....
8 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất (iii) Biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố rỗng (empty event), ký hiệu là ∅ và nó tương ứng với tập con ∅ của S. (iv) Biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc chắn (certain event), thường được ký hiệu là Ω và tương ứng với toàn bộ tập không gian mẫu S. Ví dụ 1.2.3 (i) Gieo một đồng tiền. Ký hiệu H là biến cố “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp” và T là biến cố “Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó H, T là hai biến cố sơ cấp của phép thử trên và không gian mẫu là S = {H, T }. (ii) Gieo một con xúc xắc. Ký hiệu Ei là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm”. Khi đó, Ei , với i ∈ {1, . . . ,6} là 6 biến cố sơ cấp; “Xúc xắc xuất hiện một mặt có 7 chấm” là biến cố rỗng; “Xúc xắc xuất hiện một mặt có số chấm là k, với 1 k 6” là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”,... là các biến cố ngẫu nhiên và không gian mẫu là S = {E1 , E2 , . . . , E6 }. (iii) Tiến hành xét nghiệm và ghi lại nhóm máu của một người. Ký hiệu E1 là biến cố “Người mang nhóm máu A”; E2 là biến cố “Người mang nhóm máu B”; E3 là biến cố “Người mang nhóm máu AB”; E4 là biến cố “Người mang nhóm máu O”. Khi đó các biến cố sơ cấp của phép thử là E1 , E2 , E3 , E4 và không gian mẫu là S = {E1 , E2 , E3 , E4 }. (iv) Số email mà một người nhận được mỗi ngày cũng là một số ngẫu nhiên. Không gian mẫu là S = {0, 1, 2, . . .}. (v) Giả sử ta quan sát một người lạ và dự đoán ngày sinh của người đó. Khi đó không gian mẫu là S = {1/1, 2/1, . . . , 29/2, 1/3, . . . , 31/12}. 1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố Vì các biến cố là các tập hợp nên các khái niệm và phép toán đại số về tập hợp như tập con, phần bù, giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp,... được vận dụng trực tiếp trong lý thuyết xác suất. Cho A và B là hai biến cố bất kỳ. Ta xét một số mối quan hệ giữa chúng và mô tả thông qua quan hệ và phép toán về các tập hợp. Định nghĩa 1.2.4. (i) Biến cố A được gọi là kéo theo (imply) biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, ký hiệu là A ⇒ B (hoặc A ⊂ B). Nếu A kéo theo B và B kéo theo A thì A và B được gọi là hai biến cố tương đương (equivalence), ký hiệu là A = B. (ii) Hợp (union) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A ∪ B, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
1.2 Phép thử và biến cố 9 (iii) Giao (intersection) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A ∩ B, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra. (iv) Hiệu (difference) của hai biến cố A và B, ký hiệu bởi A \ B, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. (v) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc (mutually exclusive) khi và chỉ khi nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy ra và ngược lại, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A không xảy ra, nghĩa là A ∩ B = ∅. (vi) Ta gọi A là biến cố đối lập (complement) của biến cố A nếu chúng xung khắc và hợp của chúng là một biến cố chắc chắn, nghĩa là A = Ω \ A. Các khái niệm trên có thể được mô tả bằng sơ đồ Venn như sau. A B A B Hình 1.1: Hợp của hai biến cố A và B Hình 1.2: Giao của hai biến cố A và B A A A B Ω Hình 1.3: Hiệu của hai biến cố A và B Hình 1.4: Biến cố đối lập A của biến cố A Chú ý 1.2.5. (i) Các khái niệm cho thấy các phép toán hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp ứng với các phép toán tổng, tích, hiệu và đối lập của hai biến cố. Trong giáo trình này, ta quy ước viết biến cố tích AB thay cho biến cố giao A ∩ B, biến cố tổng A + B thay cho biến cố hợp A ∪ B. (ii) Mối quan hệ giữa hai biến cố có thể được mở rộng cho một số hữu hạn bất kỳ các biến cố. (iii) Định nghĩa 1.2.2 cho thấy hai biến cố đối lập thì xung khắc, nhưng ngược lại thì nhìn chung không đúng. Ví dụ các biến cố Ei (i = 1, . . . ,6) trong phép thử gieo một con xúc xắc là xung khắc với nhau từng đôi, nhưng biến cố Ei không đối lập với biến cố Ej , với mọi i ̸= j. (iv) Phép hợp và giao các biến cố có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối. Nghĩa là A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Sau khi mở rộng các quan hệ trên cho một số hữu hạn các biến cố, ta xét khái niệm quan trọng sau.
10 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Định nghĩa 1.2.6. Các biến cố A1 , . . . , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố (system of mutually exclusive and exhaustive events) nếu thoả mãn hai điều kiện: (i) Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, nghĩa là Ai Aj = ∅, với mọi i ̸= j. (ii) Tổng của chúng là một biến cố chắc chắn, nghĩa là A1 + A2 + . . . + An = Ω. Nếu khả năng xảy ra các biến cố đó là như nhau thì ta gọi là hệ đầy đủ đồng khả năng (system of equally likely and exhausive events). Ví dụ đơn giản nhất về hệ đầy đủ là hệ {A, A} (ở đây n = 2). Tuy nhiên, trong cùng một phép thử, ta có thể viết được nhiều hệ đầy đủ khác nhau. Để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn và có thể so sánh các khái niệm trên, ta xét ví dụ sau. Ví dụ 1.2.7 Gieo một con xúc xắc. Gọi Ei là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm”, với i = 1, . . . , 6; A là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”; B là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”. Hãy mô tả các biến cố A, B, A + B, AB, A thông qua các biến cố sơ cấp và viết hệ đầy đủ các biến cố. Giải. Rõ ràng không gian mẫu của phép thử trên là S = {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 } và A = E2 + E4 + E6 ; B = E1 + E3 + E5 ; A = B; AB = ∅; A + B = S. Vì Ei , i = 1, . . . , 6 là các biến cố trong không gian mẫu xung khắc với nhau từng đôi và A,B là hai biến cố đối lập nên ta có thể viết hai hệ đầy đủ là {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 } và {A,B}. Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng đối với mỗi một phép thử, có thể viết được nhiều hệ đầy đủ khác nhau và tập tất cả các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu luôn lập thành một hệ đầy đủ đồng khả năng. Việc xác định được các hệ đầy đủ và dùng hệ nào trong số các hệ đó là rất quan trọng trong việc giải các bài toán xác suất, đặc biệt là các bài toán áp dụng công thức xác suất toàn phần và Bayes ở mục sau. Giả sử trong một phép thử, cho E1 , E2 , . . . , En là một hệ đầy đủ các biến cố, A là một biến cố khác rỗng nào đó. Khi đó A = AΩ = A(E1 + E2 + . . . + En ) = AE1 + AE2 + . . . + AEn và ta nói rằng A được phân chia gián tiếp thành các biến cố E1 , E2 , . . . , En . Vì có nhiều hệ đầy đủ nên mỗi biến cố khác rỗng A cũng có thể phân chia theo nhiều cách khác nhau nhằm mục đích chia A thành các biến cố đơn giản hơn để đánh giá khả năng xuất hiện của A thông qua các biến cố đơn giản này. 1.3. Các định nghĩa về xác suất Ta biết rằng mọi biến cố ngẫu nhiên đều giống nhau ở chỗ chúng không chắc chắn, nhưng khả năng xảy ra của mỗi biến cố lại có thể khác nhau. Với mỗi một biến
1.3 Các định nghĩa về xác suất 11 cố ngẫu nhiên A, người ta dùng một con số để đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đó là nhiều hay ít, được gọi là xác suất (probability) của biến cố A, ký hiệu P (A). Trong mục này, ta sẽ đưa ra một số định nghĩa về xác suất. Mỗi định nghĩa có những ưu, nhược điểm nhất định, nhưng qua đó ta có thể hình dung ra sự phát triển của môn Xác suất và vai trò của nó đối với các ngành khoa học khác. 1.3.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa xác suất cổ điển dựa trên hai giả thiết “mấu chốt” sau: 1. Số các biến cố sơ cấp trong phép thử ngẫu nhiên là hữu hạn (finite). 2. Tất cả các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng (equal likelihood), nghĩa là khả năng xảy ra của các biến cố sơ cấp này là như nhau sau khi thực hiện phép thử. Cho một phép thử với n biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, nghĩa là nếu một trong m biến cố đó xảy ra thì kéo theo A xảy ra. Khi đó ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3.1. Xác suất (probability) xuất hiện biến cố A trong một phép thử, ký hiệu P (A), là tỷ số giữa số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và số các biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Nghĩa là m P (A) = . n Dựa vào định nghĩa các biến cố ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn và biến cố rỗng, các tính chất đơn giản sau của xác suất dành cho bạn đọc tự chứng minh. Tính chất 1.3.2. (i) 0 P (A) 1. (ii) P (Ω) = 1. (iii) P (∅) = 0. Chú ý 1.3.3. (i) Nếu ta xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu S và ký hiệu n(•) là số phần tử của một tập hợp thì công thức trong định nghĩa trên có thể viết lại như sau: Số phần tử của A n(A) P (A) = = . Số phần tử của S n(S) (ii) Việc tính xác suất dựa vào định nghĩa trên nên theo trình tự sau: - Xét phép thử đang quan sát có phải là phép thử đồng khả năng không. - Đếm được tất cả các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu. - Đếm được các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Sau đó áp dụng công thức trong định nghĩa. Theo chú ý trên, để tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển, ta áp dụng một số phương pháp tư duy sau để đếm được số phần tử trong không gian mẫu và số phần tử của tập hợp A.
12 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1. Phương pháp tính trực tiếp: Thường áp dụng cho trường hợp số các biến cố sơ cấp đồng khả năng trong phép thử là khá nhỏ và việc suy đoán khá đơn giản. Ví dụ 1.3.4 Trong một chuồng kín có 6 con gà trống và 4 con gà mái. Bắt ngẫu nhiên một con gà. Tính xác suất để bắt được con gà mái? Giải. Gọi A là biến cố “Bắt được con gà mái”. Phép thử bắt ngẫu nhiên một con gà trong chuồng kín cho ta số các biến cố sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu là n(S) = 6 + 4 = 10 và số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là n(A) = 4. Vậy xác suất để bắt được một con gà mái là 4 P (A) = = 0,4. 10 2. Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp: Trong phần lớn trường hợp, khi phép thử có số biến cố sơ cấp rất lớn và không thể suy đoán trực tiếp hay việc biểu thị bằng sơ đồ rất phức tạp thì người ta thường dùng công cụ của giải tích tổ hợp để “đếm” các biến cố sơ cấp như đã trình bày ở Mục 1.1. Ví dụ 1.3.5 Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất: (i) Cả 5 lá thư đều đến đúng địa chỉ. (ii) Lá thư thứ nhất đến đúng địa chỉ. (iii) Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đến đúng địa chỉ. Giải. Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã đề trước địa chỉ. Khi đó, số phần tử trong không gian mẫu là n(S) = 5! = 120. (i) Gọi A là biến cố “Cả 5 lá thư đều đến đúng địa chỉ”. Do đó n(A) = 1. 1 P (A) = = 0,008. 120 (ii) Gọi B là biến cố “Lá thư thứ nhất đến đúng địa chỉ”. Khi đó có 1 cách bỏ lá thứ nhất vào phong bì đúng địa chỉ, và có 4! cách bỏ 4 lá thư còn lại vào 4 phong bì còn lại. Do đó n(B) = (1)(4!). (1)(4!) P (B) = = 0,2. 120 (iii) Gọi C là biến cố “Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đến đúng địa chỉ”. Khi đó, chỉ có một cách bỏ hai lá thư đầu vào hai phong bì đúng địa chỉ, còn có 3! cách bỏ 3 lá còn lại ngẫu nhiên vào 3 phong bì còn lại. Do đó n(C) = (1)(3!). (1)(3!) 1 P (C) = = = 0,05. 120 20 Ví dụ 1.3.6 Một hộp kín có chứa 100 hạt đậu giống, trong đó có 40 hạt đậu hoa vàng thuần chủng, 30 hạt đậu hoa vàng không thuần chủng và 30 hạt đậu hoa trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 hạt đậu. Hãy tính xác suất để: (i) Chọn được 3 loại hạt khác nhau. (ii) Chọn được 3 hạt đậu hoa vàng. (iii) Chọn được đúng một hạt đậu hoa trắng.