Hàm phân thức chính quy và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này đề cập đến một lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy. Chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của hàm phân thức chính quy, đồng thời nêu lên ứng dụng của hàm phân thức chính quy trong việc giải một số dạng toán thường gặp như các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm phân thức chính quy và ứng dụng

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN & GIÁO DỤC HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Thị Sinh Nhận bài: 07 – 11 – 2015 Chấp nhận đăng: Tóm tắt: Trong chương trình toán phổ thông, phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản. 01 – 03 – 2016 Đã có rất nhiều dạng toán về dãy số, đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ http://jshe.ued.udn.vn/ phương trình, hệ bất phương trình,… liên quan đến các hàm số dạng phân thức. Chính vì thế, việc nắm bắt các tính chất của các hàm phân thức và vận dụng được tính đặc thù của các biểu thức phân thức đã cho để giải các dạng toán này là thực sự cần thiết. Bài báo này đề cập đến một lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy. Chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của hàm phân thức chính quy, đồng thời nêu lên ứng dụng của hàm phân thức chính quy trong việc giải một số dạng toán thường gặp như các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức… Từ khóa: Hàm phân thức; hàm phân thức chính quy; hàm phân thức chính quy và ứng dụng; bất đẳng thức; giá trị nhỏ nhất. 1. Hàm phân thức chính quy một biến [1] a1 + a2 + ... + an = p  (p > 0) Định nghĩa 1.1. Hàm số f ( x )  0 xác định trên a11 + a2  2 + ... + an  n = q + tập R , − q n thì hàm số f ( x) = g ( x) x p là một hàm phân thức f ( x ) =  ai x  i chính quy. i =1 Chứng minh. Ta có được gọi là một hàm phân thức chính quy nếu q q − n i − ai  0, i = 1, n f ( x) = g ( x) x p =  ai x p n i =1   a i i = 0 Lại có  i =1  q  q  q Ví dụ: Hàm số sau đây là hàm phân thức chính quy a1  1 −  + a 2   2 −  + ... + a n   n −   p  p  p 7 2 f ( x) = 3 + 2 x + 4 x 2 + x 3 + + x x3 = (a11 + a2 2 + ... + an n ) Nhận xét 1.1. Với mọi hàm phân thức dạng q − (a1 + a2 + ... + an ) = 0 n p g ( x) =  ai xi , ai  0, i = 1,2,..., n i =1 Vậy f (x ) là một hàm phân thức chính quy. thỏa mãn Tính chất 1.1. Nếu f (x ) là hàm phân thức chính quy thì f ( x)  0 với mọi x  0. * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Email: sinhsp@gmail.com 10 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14 Tính chất 1.2. Nếu f (x ) và g (x) là các hàm −4 5 −2 phân thức chính quy thì với mọi cặp số dương  ,  , f1 ( x) = 2 x 3 + 2 x 3 + x 3 −1 2 −2 hàm số f 2 ( y) = 2 y 7 + 2 y 7 + y 7 h ( x ) = f ( x ) +  g ( x ) Định lý 2.1. Hàm số f (x1 , x2 ,..., xn ) là một hàm cũng là một hàm phân thức chính quy. phân thức chính quy khi và chỉ khi các hàm phân thức Tính chất 1.3. Nếu f (x ) là một hàm phân thức thành phần của f (x1 , x2 ,..., xn ) cũng đều là các hàm chính quy thì hàm số phân thức chính quy. h( x ) =  f ( x )  , m  N m * Định lý 2.2. Với mỗi hàm phân thức chính quy dạng m cũng là hàm phân thức chính quy. f ( x1 , x2 ,..., xn ) =  ai x1 i1 x2  i 2  in ... xn và với i =1 2. Hàm phân thức chính quy nhiều biến [1] mọi x R +  R +    R + ta đều có Định nghĩa 2.1. Hàm số f (x1 , x2 ,..., xn ) được gọi m là một hàm phân thức chính quy trên tập f (x1 , x2 ,..., xn )   ai . i =1 R +  R +    R + nếu nó có dạng Chứng minh. Vận dụng bất đẳng thức trung bình m cộng - trung bình nhân suy rộng cho hai bộ số dương f ( x1 , x2 ,..., xn ) =  ai x1i1 x2 i 2 ...xn in , n n n i =1  xi 1i ,  xi 21i ,...,  xi mi ; không đồng nhất bằng 0, trong đó ai  0, i = 1,2,...m i =1 i =1 i =1 và a1 , a2 ,..., am ; a1 11 + a 2 21 + ... + a m m1 = 0 f ( x1 , x2 ,..., xn )  ta có: a1 12 + a 2 22 + ... + a m m 2 = 0 a1 + a 2 + ... + a m  ... 1 a1 1n + a 2 2 n + ... + a m m n = 0   m m m a  1 2 a + a +...+ am  ai i1    x1 i =1 x2 i =1 ai i 2  ... xn i =1 i in  =1 Định nghĩa 2.2. Giả sử f (x1 , x2 ,..., xn ) là hàm   phân thức chính quy trong Định nghĩa 2.1, khi đó các Từ đó suy ra hàm số m m f (x1 , x2 ,..., xn )   ai . f j ( x j ) =  ai x j ij , j = 1, 2,..., n  i =1 i =1 Dấu đẳng thức xảy ra khi được gọi là phân thức thành phần biến x j của x1 = x2 = ... = xn = 1 f (x1 , x2 ,..., xn ) . Hệ quả 2.1. Với mỗi hàm phân thức chính quy Ví dụ: Hàm phân thức chính quy f (x1 , x2 ,..., xn ) trên tập R +  R +    R + , ta đều có −4 −1 5 2 −2 −2 min f ( x1 , x2 ,..., xn ) = f (1,1,....,1) . f ( x, y) = 2 x 3 y 7 + 2 x 3 y 7 + x 3 y 7 có các hàm phân thức thành phần: 3. Một số ứng dụng của hàm phân thức chính quy Các kết quả về hàm phân thức chính quy thu được trong các mục trên có thể ứng dụng để giải các bài toán về cực trị, chứng minh bất đẳng thức, … 11
Nguyễn Thị Sinh Bài toán 3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số n 1 sau trong miền các biến dương g (1,1) = 1 +  i =1 i 1 n 2i − 1 a) f ( x) = x 3 + + 1 1 2n 2 n +3 i =1 2i x Bài toán 3.2. Cho a, b  0 và + = 1 với x p q −n n 1 1 p , q  1 . Chứng minh bất đẳng thức sau b) g ( x, y) = y n x n+1 +  x i +1 i =1 iy i a p bq Giải. a) Ta có ab  + (*) p q 2i − 1 n (4i + 2) − (2i + 3) Giải. Bất đẳng thức (*) rõ ràng đúng nếu ab = 0 , n  i = 2i i =1 2 do dó ta chỉ cần chứng minh (*) khi a  0 , b  0 . i =1 n  2i + 1 2i + 3  =   i −1 − i  Nhận thấy khi a  0 , b  0 bất đẳng thức (*) i =1  2 2  tương đương với 5 5 7 2n + 1 2n + 3 = 3 − + − 2 + ... + n−1 − 1 p −1 −1 1 −1 q −1 2 2 2 2 2n a b + a b 1 p q 2n + 3 = 3− Xét hàm 2n 1 p −1 −1 1 −1 q −1 nên f ( a, b) = a b + a b p q 2n + 3 n 2i − 1 3− −  i =0 Rõ ràng f ( a , b ) là một hàm phân thức chính quy 2n i =1 2 đối với hai biến a, b vì Suy ra f (x ) là một hàm phân thức chính quy. Vậy giá trị nhỏ nhất của f (x ) là  p −1 1  1 1  − = 1 −  +  = 0 n  p q  p q f (1) = 2 +  (2i − 1) = 2 + n 2  i =1  − 1 + q − 1 = 1 −  1 + 1  = 0  p  p q b) Ta có  q   Từ đó suy ra n 1 1 1 n  i(i + 1) =  i − i + 1  1 1 i =1 i =1   f (a, b)  f (1,1) = + =1 1 1 1 1 1 p q = 1 − + − + ... + − 2 2 3 n n +1 Vậy bất đẳng thức (*) đã được chứng minh. 1 n Bài toán 3.3. Cho x, y  0 Chứng minh rằng = 1− = n +1 n +1 7 3x 2 12 −n n 1 + 8 − 3 2  −2 nên + =0 x 6 y x y n + 1 i =1 i (i + 1) Giải. Ta đưa bài toán về dạng phân thức chính quy (−i ) n và n+ =0 để áp dụng các tính chất của nó. Thật vậy bất đẳng thức i =1 i cần chứng minh tương đương với Suy ra g ( x, y ) là một hàm phân thức chính quy. 7 x −3 y 2 + 3x 5 y −6 + 2 x 3 y 2  12 Vậy giá trị nhỏ nhất của g ( x, y ) là Xét hàm 12
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14 f ( x, y ) = 7 x −3 y 2 + 3x 5 y −6 + 2 x 3 y 2 9 1 5 9a 2 b 2 c 2 5 9a bc 5+ + + +  + + Nhận xét rằng f ( x, y ) là một hàm phân thức chính 2 4 c2 2 4 c 2 4 quy hai biến vì Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có 7.( −3) + 3.5 + 2.3 = 0 39  1 1 1  S  5 + +  7.2 + 3.( −6) + 2.2 = 0 2 a b c Áp dụng định lý 2.2 cho hàm phân thức chính quy 9 1 f ( x, y ) , ta thu được + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) 2 4 f ( x, y )  f (1,1) = 12. 1 1 1 Đặt g (a, b, c) = 5 + +  Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong. a b c Bài toán 3.4. Cho a, b, c là ba số thực dương, 9 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) chứng minh rằng 2 4 ( a) 2 a 2 + b 2 + c 2 + ) 1 1 + + + 1 2 ab bc ca abc  11 Ta nhận thấy g (a, b, c) là một hàm phân thức chính quy, nên 2 2 2 2 2 2 5 9b c a 5 9c a b b) S = 2 + + + 2+ + g (a, b, c)  g (1,1,1) = 117 a 2 4 b 2 4 4 5 9a 2 b 2 c 2 3 3 + + +  39 Hay S 39 . c2 2 4 2 2 Giải. a) Xét hàm số Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . ( f (a, b, c) = 2 a 2 + b 2 + c 2 ) 4. Kết luận 1 1 1 2 Bài báo đã giới thiệu một lớp hàm số có cấu trúc + + + + ab bc ca abc đặc biệt, đó là các hàm phân thức chính quy cùng với Dễ dàng kiểm tra được f ( a, b, c ) là một hàm phân các tính chất của chúng, đồng thời nêu lên ứng dụng của các hàm phân thức chính quy trong việc giải một số thức chính quy, vậy nên dạng toán sơ cấp thường gặp. f (a, b, c)  f (1,1,1) = 11 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Tài liệu tham khảo b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có [1] Trần Đức Huyên (1993), Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Trẻ. 9 1 5 9b 2 c 2 a 2 5 9b ca [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức - Định lý 5+ + + +  + + và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục. 2 4 a2 2 4 a 2 4 [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các bài toán nội suy và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục. 9 1 5 9c 2 a 2 b 2 5 9c ab [4] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Hội Toán học Việt 5+ + + +  + + 2 4 b2 2 4 b 2 4 Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục. REGULAR RATIONAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS Abstract: In the high school mathmatics curriculum, the notion of rational functions is one of the basic concepts. There are many types of math problems about sequences, equalities, inequalities, equations, inequations, systems of equations, systems of 13
Nguyễn Thị Sinh inequations,… that are related to the rational functions. Therefore, it is really necessary to grasp the properties of the rational functions and to apply the distinctive character of the given functions in solving these types of maths problems. This paper presents a class of functions with special structures, which are regular rational functions. We have proved a fundamental theorem on the minimum values of regular rational functions, and then gived some applications of the regular rational functions in solving a number of common types of maths problems such as extrema, equalities, inequalities,… Key words: rational function; regular rational functions; regular rational functions and their applications; inequalities; minimum value. 14