Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân

Chia sẻ: Nguyễn Thị Hồng Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

500
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p ( p  N‫ ٭‬cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản : 

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đại số & Giải tích 11. : Tiểu luận HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Nguyễn Công Tuấn . Người thực hiện : Lớp : A6
Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p ( p  N‫ ٭‬cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :  Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.  Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1. VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = n 2 ( n + 1). (*) Giải :  Với n = 1 , ta có : 1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = k 2 ( k + 1), Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là : 1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) = k  1 ( k + 2). 2 Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) = k 2  k  1 + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( k 2 + 3k +2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = k  1 (k + 2).  ĐPCM . 2 VD2: Chứng minh rằng : u n = 13n  1 chia hết cho 6  n  N*.(1) Giải :  Khi n = 1, ta có : u n = 13 – 1 = 12  6  1 đúng .  Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là : 13k  16  Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là : 13k 1  16   Thật vậy , ta có : 13k 1  1 = 13k .13  13  12 = 13 13k  1  12  6  ĐPCM. 2. Dãy số : a) Các định nghĩa :  Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên ( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).
Dãy số tăng : u n  là dãy số tăng  n, u n1  u n > 0.  Dãy số giảm : u n  là dãy số giảm  n, u n1  u n < 0.  Dãy số không đổi : u n  là dãy số không đổi  n, u n1  u n = 0.  Dãy số bị chặn trên : u n  là dãy số bị chặn trên nếu  M: u n  M ,  n  N*.  Dãy số bị chặn dƣới : u n  là dãy số bị chặn dƣới nếu  m: u n  m,  n  N*.   Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới . b) VD: 1) Cho dãy u n  với u n = n  1 .Chứng minh u n là dãy số tăng. 3 Ta có : u n1  u n = n  2  n  1 = 3n 2  9n  7 > 0,  n  N* 3 3  Dãy số tăng. 5n  6 2) Cho dãy số u n  với u n = . Chứng minh u n là dãy số giảm. 6n  5 5n  11 5n  6  11 Ta có: u n1  u n =  < 0,  n  N* = 6n  116n  5 6n  11 6n  5  Dãy số giảm. n2 1 3) Chứng minh rằng dãy v n  với v n = , là dãy số bị chặn. 2n 2  3 1  2n 2  2  1  51 5 Ta có : v n =  2  2 n  3  = 2 1  2 n 2  3  = 2  2 2 n 2  3 .      2  1 1  . Do đó  -2 ≤ v n ≤ 1 (  n  1). Dễ thấy  n  N* , thì  1  2 2n  3 5 Vì vậy, v n  là dãy số bị chặn. 3. Cấp số cộng & Cấp số nhân: a) Cấp số cộng : Định nghĩa : dãy u n  là cấp số cộng  n , u n 1 = u n + d ( d là một hằng số & đƣợc gọi là công sai). Các tính chất của cấp số cộng :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng : u n  là cấp số cộng  u k = u k 1  u k 1 k  2 . 2  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng u n  : u n = u1  n  1d (d là công sai)  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng u n  : n2u1  n  1d  nu1  u n  hoặc S n = Sn = . 2 2 VD : Cho dãy u n  với u n = 20n – 2010.
 Chứng minh rằng u n là cấp số cộng. Tìm công sai.  Tính u 2 009 & u 2 011. Từ đó suy ra u 2 010.  Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Giải :  Ta có : u n1  u n = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.  u n  là cấp số cộng , công sai d = 20.  u 2 009 = 20.2009 – 2010 = 38170. u 2 011 = 20.2011- 2010 = 38210. u 38170  38210 u  u 2 010 = 2009 2011 = = 38190. 2 2 2u1  12  120.12 .  Ta có : S1 2 = 2 Mà : u1 = 20.1 – 2010 = - 1990.  S1 2 = - 22560. b) Cấp số nhân : Định nghĩa : dãy u n  là cấp số nhân  n , u n 1 = u n .q ( q là hằng số & đƣợc gọi là công bội). Các tính chất của cấp số nhân :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân : u n  là cấp số nhân  u k 2 = u k 1 .u k 1 (k ≥ 2 ).  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân u n  : u n = u1 .q n 1 ( q là công bội ).  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân u n  với q  1: 1 qn S n = u1 . . 1 q VD: Cho cấp số nhân v n  có v3 = 24 , v 4 = 48.  Tìm v1 , công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.  Tính tổng 200 số hạng đầu tiên. Giải: v  Vì v n là cấp số nhân  q = 4 = 2. v3 v 48  v1 = 4 = 3 = 6.  Số hạng tổng quát : v n = 6.2 n1 (  n  1). 3 q 2     v1 1  q 200 6 1  2 200    Ta có : S 2 00 = = 6 2200  1 . = 1 q 1 2
II. Các dạng bài tập : Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học : nn  12n  1 ( n  N * ). Bài1 : Chứng minh rằng : 12  2 2  32  ....  n 2 = 6 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau : 1 1 1   ...  > 1. n 1 n  2 3n  1 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau : 1 1 1 1   ....  i. > n; 2 3 n 11 1 1    ....  n ii. < n. 2 1 23 Bài 4: Cho số thực x  k 2 . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có : n  1x cos nx sin 2 2. 1  cos x  cos 2 x  ....  cos nx = x sin 2 n 1 2 n 1 Bài 5 : Chứng minh rằng : 11  12  133 (  n  N*). Bài 6: Tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1). ( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ). Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n 2 , (  n  N*). Bài 8: Chứng minh rằng : U n = 7.2 2n2  32n1  5 (  n  N*). Bài 9: Chứng minh rằng : k 2 k  1 2 13  23  33  ...  k 3 = , (  k  N*). 4 Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu 8 k  1  7 thì 8 k 1  1 7” Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau :   Ta có : 8 k 1  1 = 8 8 k  1  7 . Từ giả thiết “ 8 k  1  7”  8 k 1  1 7 . Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “ 8 k  1  7 , (  k  N*)” hay không ? Vì sao ? Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số : Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : 3n i. Dãy số v n  với v n = . n3 ii. Dãy số u n  với u n = 2010 n  2009 n . n sin Dãy số v n  với v n = 2 . (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6). iii. 3
Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau : Dãy số  f n  , với f n = 2n 3  5n  1 ; i. Dãy số u n  , với u n = n ii. . 2n 3n Dãy số v n  , với v n = n 1 . iii. 2 (HD : Xét hiệu : u n1  u n ); m.n 2  1 Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số u n  , với u n = là dãy số tăng. 2n 2  3 Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số u n  , với u n = n  n 2  1 ; 1 (HD : viết lại u n = ) n  n 1 2 7n  5 Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số v n  , với v n = là dãy số tăng và bị chặn. 5n  7 n n Bài 6: Cho dãy số  f n  , với f n = sin  cos , chứng minh rằng f n = f n 1 2 , n  1. 3 6 Bài 7 : Cho dãy số u n  xác định bởi : u 4 2 ( n  1) . Chứng minh rằng u n  là dãy số không đổi. u1 = 2 và u n 1 = n 4 Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi: Bài 1 : Cho dãy số u n  xác định bởi : u1 = 1 và u n 1 = u n  7 , n  1. u n = 7n  6 .( HD : chứng minh bằng quy nạp ). Chứng minh rằng : Bài 2: Cho dãy u n  , có u n = 2 , v n  có : v1 = u1 và v n 1 = vn  u n1 . 2 n  4n  3 Tính v n theo n. Bài 3:Cho dãy u n  có : u1 = 1 và u n 1 = u n + 2. Tìm u n theo n.( HD: viết ra một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau). Bài 4 :Cho dãy số a n  xác định bởi a1 = 2 và a n 1 = 3an  2n  1 , n  1. Chứng minh rằng : a n = 3n  n . Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp số cộng:  Để chứng minh dãy số u n  là cấp số cộng ta chứng minh rằng : u n1  u n = d (d không đổi ). Bài 1:Cho dãy số s n  , xác định bởi : s1 = 1 , và s n 1 = s n - 3. n  1. Chứng minh rằng s n  là cấp số cộng . Tìm công sai.
Bài 2:Cho cấp số cộng u n  với công sai d và cho các số nguyên dƣơng m, k với m  k . Chứng minh rằng u m = u k  m  k d . Rút ra nhận xét . Bài 3: Cho cấp số cộng u n  và cho các số nguyên dƣơng m, k với m < k .Chứng u k m  u k m minh rằng u k = . Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số 2 hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10. Bài 4: Cho cấp số cộng u n  có u5  u 2 = 90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của u n  . ( HD : viết tổng u5  u 2 thành u1  u 2 3 = 90 ) Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng v n  có v13  v15 = 302094 và S1 5 = 585. 3 Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó .( ĐS : v1 = 11, d = 4). Bài 6 : Xét dãy số u n  xác định bởi u1 = m và u n 1 = 5 - u n , n  1. Trong đó m là số thực . Hãy xác định tất cả các giá trị của m để u n  là một cấp số cộng. Bài 7: Cho dãy số u k  , có u k 1 = 13k  3 . Tính tổng sau : S = u12  u13  u14  ...  u 21   u19  u 20  ...  u30  . Bài 8 :Cho cấp số cộng u n  có u1 0 = 12 và có công sai d = 6 . Tính u 2 0 . (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 ) Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số các số hạng của cấp số cộng đã cho thì u k = 999). Bài 10 : Cho cấp số cộng u n  có u17  u 2 0 = 9 và u17  u20 = 153 . Hãy tìm 2 2 số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó .   ( HD : có thể viết lại u17  u20 = u17  u 20   u17  u 20  , sau đó 1 2 2 2 2 2 xét 2 TH khi u17  u 2 0 < 0  u17  u 2 0 > 0. ) Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân: f Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số  f n  xác định bởi f 1 = 1 và f n 1 = n là 7 cấp số nhân. Xác định công bội . Bài 2 : Xét dãy số u n  xác định bởi u1 = a và u n 1 = 12 , n  1 , a là số un thực khác 0 . Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số u n  là cấp số nhân. (HD : giả sử u n  là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho u n 1 = u n .q , từ 12 đó tính đƣợc un = 2 ). q Bài 3 :Cho cấp số nhân u n  và các số nguyên dƣơng m,k với m < k .Chứng minh rằng : u k = u k m .u k  m . Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18. (HD : viết u k  m và u k  m với công bội q  0 ).
Bài 4 :Cho cấp số nhân u n  công bội q  0 và u1  0 . Cho các số nguyên dƣơng m , k , với m  k . Chứng minh rằng : u m = u k . q mk . Áp dụng : tìm công bội q của cấp số nhân u n  có u 4 = 2 và u 7 = -686. Bài 5 :Cho cấp số nhân u n  có 3 3.u 2  u5 = 0 và u3  u 6 = 63. Hãy tính 2 2 tổng S = u1  u 2  u3  ...  u1 0 . Bài 6: Cho cấp số nhân u n  có 6u 2  u5 = 1 và 3u3  2u 4 = -1. i. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. ii. Tính tổng : S =  u5  u6  ...  u9    u8  u9  ...  u12  u14  . Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lƣợt là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng . Hãy tìm ba số đó , biết tổng x + y + z = 13. ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  y 2 = x.z ; từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y ). Bài 8 : Cho cấp số nhân u n  có 7 số hạng , u 4 = 6 và u 7 = 243u 2 , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó . Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2 . (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k ). Bài 10: Cho dãy số u n  xác định bởi u1 = 2 và u n 1 = 4u n  9 , n  1 Chứng minh rằng dãy số v n  , xác định bởi v n = u n + 3, n  1 là cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó. (HD : dễ thấy u n 1 +3 = 4u n  9 + 3 = 4( u n + 3) ). III. Một số bài tập trắc nghiệm : Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phƣơng án trả lời: Câu1: Cho dãy u n  xác định bởi u1 = 32 và un1  un  2 , n  2, n   * . Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy u n  là : A. 45632 B. 65212 C. 18120 D.19630 Câu2: Cho dãy  an  xác định bởi a1 = 1 và an  2n.an1  n  2  .Khi đó a12 bằng : C. 211.12! D. 413.11! A. 211.12! B. 413.11! Câu3: Cho cấp số cộng u n  có u1  2 và u3  6 , Tổng : S  u12  u13  ...  u17 bằng : A. 170 B. 180 C.132 D. 174. f Câu4: Cho dãy số  f n  xác định bởi f n  n 1  n  2  và f1  12 , tổng 15 số hạng đầu 3 tiên của dãy trên là : 28697812 28697813 7174453 28697813 A. B. C. D. . 1594323 1594324 398581 1594323 Câu5: Cấp số cộng  uk  có : u45  3 và u47  7 , thì u46 bằng : B. 10 A. 5 C. 2 D. Chƣa đủ dữ kiện trả lời.
Câu6: Cho cấp số nhân  vn  có công bội q = 4 và v17  15 thì v21 bằng : A. 15 B.2120 C. 41160 D. Kết quả khác. 1 n Câu7: Dãy số  un  cho bởi un  là dãy số : 2n A. Tăng B. Giảm C.Không tăng không giảm D. Có thể tăng có thể giảm . Câu8: Cho cấp số nhân  un  có u10 = 2 có u12 là nghiệm nguyên của bất phƣơng trình 10u12  163u12  660  0 . Công bội q của  un  là : 2 A. 4 B.2 C. 8 D. 10. Câu9: Cho dãy  un  xác định bởi : u1  18 và un1  un  n . Khi đó un 1 đƣợc biểu thị theo n là : n2  n  36 C. un1  18  n  1  n D. un1  2n  1 . B. un 1  A. un1  2n  n 2 v1  1 Câu10: Cho dãy  vn  có  số hạng thứ vn là : v1  14  vn 1 C. 5n  3 D. Chƣa đủ dữ kiện để trả lời. A. B. 15 n ……………..HẾT……………….. Học sinh : Nguyễn Công Tuấn.