hình học giải tích

Chia sẻ: Hấp Hấp | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

135
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

cuốn sách "hình học giải tích" cung cấp cho người học các kiến thức cơ bản về: vector và các phép toán, hình học giải tích phẳng, hình học giải tích không gian. cuối mỗi chương đều có phần bài tập và hướng dẫn giải chi tiết để người đọc tiện tra cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: hình học giải tích

MATHEDUCARE.COM Chương 1 Vector và các phép toán 1.1 KHÁI NIỆM VECTOR 1.1.1 Vector Chúng ta có các định nghĩa sau: Một đoạn thẳng định hướng AB (tức là có qui định thứ tự hai −→ điểm A và B) được gọi là một vector, ký hiệu là AB. Điểm A được gọi là điểm đầu hay điểm gốc còn điểm B được gọi là điểm cuối hay điểm ngọn. −→ Đường thẳng AB được gọi là giá của vector AB. Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài hay −→ −→ môđun của vector AB, ký hiệu là |AB|. −→ −−→ Hai vector AB và CD được gọi là cùng phương hay cộng tuyến nếu hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau (gọi là hai đường thẳng cùng phương). −→ −−→ Hai vector cùng phương AB và CD được gọi là cùng chiều (hay cùng hướng) nếu: 1. hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AC; 2. hoặc hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và tia AB chứa tia CD hoặc tia CD chứa tia AB. Hai vector cùng phương mà không cùng chiều gọi là hai vector ngược chiều (hay ngược hướng). −→ −−→ Hai vector AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương, cùng chiều và có độ dài −→ −−→ bằng nhau. Khi đó ta viết AB = CD. Dễ thấy quan hệ “bằng nhau” là một quan hệ tương đương, nghĩa là: −→ −→ −→ 1. với mọi vector AB, ta có AB = AB; (tính phản xạ) 1
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích A B C D A B C D Hình 1.1: Hai vector cùng chiều. A B D C A B D C Hình 1.2: Hai vector ngược chiều −→ −−→ −−→ −→ 2. nếu AB = CD thì CD = AB; (tính đối xứng) −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 3. nếu AB = CD và CD = EF thì AB = EF . (tính bắc cầu) Trong nhiều trường hợp, chúng ta sẽ không phân biệt hai vector bằng nhau. Khi đó chúng ta sẽ → − − → dùng các ký hiệu → −a , b ,→ u ,− v ,→ − x ,→ − y , . . . để chỉ một vector. Các ký hiệu này dùng để chỉ các vector mà gốc có thể “đặt” tùy ý trong không gian. Trong một số giáo trình ở PTTH chúng được gọi là −→ các vector tự do, còn ký hiệu AB để chỉ vector (được gọi là vector buộc) với gốc đặt tại điểm cố định A. Nhận xét. Với → − a là một vector bất kỳ cho trước và với A là một điểm tùy ý luôn tồn tại duy −→ − nhất điểm B sao cho AB = → a. → − − Ba vector → − a , b ,→c được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng cố định nào đó. −→ −→ Ví dụ 1. Nếu A 6= B thì AB 6= BA, nhưng chúng là hai vector cùng phương nhưng ngược chiều −→ −→ và có độ dài bằng nhau |AB| = |BA|. −→ −−→ Vector có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ AA, BB . . . được gọi là vector không. Chúng đều có độ dài bằng không. Ta qui ước vector không cùng phương và cùng chiều với mọi vector. Do → − đó các vector không đều bằng nhau và chúng được ký hiệu là 0 . 2
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích B a b A C a+b Hình 1.3: Phép cộng hai vector. 1.1.2 Các phép toán trên các vector Phép cộng hai vector → − → − → − Cho →− a và b là hai vector bất kỳ. Khi đó tổng của hai vector → − a và b , ký hiệu → − a + b , được −→ − xác định như sau: Với A là điểm cố định dựng điểm B sao cho AB = → a và dựng điểm C sao cho −−→ → − −→ → − → − BC = b . Vector AC chính là vector a + b . Như vậy −→ → → − AC = − a + b. Nhận xét. 1. Với mọi bộ ba điểm A, B, C ta luôn có −→ −−→ −→ AB + BC = AC. 2. Với mọi bộ ba điểm A, B, C ta luôn có −→ −−→ −→ AB = CB − CA. Dễ thấy cách xác định vector tổng như trên không phụ thuộc vào điểm cố định A. Phép nhân vector với một số thực Cho vector → − a và số thực λ. Tích của vector → − a với số thực λ là một vector, ký hiệu λ→ − a , được xác định như sau: 1. → − a và λ→ − a cùng phương; 2. → − a và λ→ − a cùng chiều nếu λ ≥ 0, và ngược chiều nếu λ < 0; 3. |λ→ − a | = |λ|.|→ − a |. 3
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích a a λa λa λ>0 λ
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích a a (a , b) b b Hình 1.5: Góc giữa hai vector và hai vector vuông góc. Chú ý. → − → − → − Với tổng → −a + (− b ), để đơn giản, ta thường viết lại là → − a − b và đọc là → − a trừ b hoặc là hiệu → − của hai vector → − a và b . Nhận xét 1. Ta có các nhận xét sau: 1. Với mọi vector → − a , ta luôn có → − 0.→ − a = 0. 2. Với mọi vector → − a và với mọi số thực λ, ta luôn có (−λ)→ − a = λ(−→ − a ) = −λ→ − a. Tích vô hướng của hai vector → − → − → − → − Cho hai vector → −a và b khác vector 0 . Ta xác định góc giữa hai vector → − a và b , ký hiệu (→ −a , b ), → − → − là góc giữa hai tia chung gốc và lần lượt cùng chiều với → − a và b . Hai vector →− a và b được gọi là → − vuông góc hay trực giao với nhau, ký hiệu → − a ⊥ b , nếu góc giữa chúng là góc vuông. Ta qui ước → − → − vector 0 vuông góc với mọi vector. Dễ thấy hai vector (khác vector 0 ) cùng phương khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 0 hoặc bằng 1800 . → − → − → − Ta gọi tích vô hướng của hai vector → −a và b , ký hiệu → −a . b (hay đơn giản → −a b ), là số thực → − → − |→ −a |.| b | cos(→ − a , b ). Như vậy, → − → − → − → − a b = |→−a |.| b | cos(→ − a , b ). Ta có các nhận xét sau mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. → − − Nhận xét 2. Với mọi vector →− a , b ,→ c và với mọi số thực λ, ta có: → − → − − 1. → − a . b = b .→ a; → − − → − − → 2. → − a .( b + → c)=→ − a. b +→ a .−c ; 5
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích → − → − → − 3. (λ→ − a ). b = → − a .(λ b ) = λ(→ − a . b ); → − 4. → − a .→ − a =→ − a 2 = |→ − a |2 ≥ 0, → − a .→ − a =0⇔→ − a = 0; → − → − 5. |→ − a . b | ≤ |→ − a |.| b |; → − − → − → − → − 6. cos(→ − − →a.b → a, b)= − → → , a, b − 6= 0 ; | a |.| b | → − → − 7. → −a ⊥ b ⇔→ − a . b = 0; √− → 8. |→ −a|= →a .− a. Tích có hướng của hai vector → − → − → − Cho hai vector → −a và b . Tích có hướng của hai vector → − a và b là một vector, ký hiệu → − a ∧ b, thỏa mãn các tính chất sau: → − → − 1. → −a ∧ b vuông góc với cả → − a và b ; → − → − → − 2. |→ −a ∧ b | = |→ − a |.| b | sin(→ − a , b ); → − − → − 3. bộ ba (→ − a , b ,→ a ∧ b ) là một bộ ba thuận. → − − Chú ý. Một bộ ba vector (→ − a , b ,→ c ) gọi là thuận (nghịch) nếu chúng ta đứng dọc theo vector → −c → − thì sẽ thấy chiều quay từ → −a sang b ngược chiều (cùng chiều) kim đồng hồ hoặc nếu chúng ta → − → − vặn nút chai theo chiều từ a đến b thì nút chai sẽ tiến theo chiều của vector → −c (theo chiều của vector −→−c ). Chúng ta có các nhận xét sau, mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. → − − Nhận xét 3. Với vector →− a , b ,→ c và với mọi số thực λ, ta có: → − → − − 1. → − a ∧ b =− b ∧→ a; → − − → − − → 2. → − a ∧( b +→ c)=→− a ∧ b +→ a ∧ −c ; → − → − → − 3. (λ→ − a)∧ b =→ − a ∧ (λ b ) = λ(→ − a ∧ b ); → − → − 4. |→ − a ∧ b | ≤ |→ − a |.| b |; → − → − → − 5. → − a ∧ b = 0 ⇔→ − a và b cùng phương; → − |− → − → → − → − 6. sin(→ − a, b)= − → a∧b| → , − → − a , b 6= 0 ; | a |.| b | → − → − − → − 7. |→ − a ∧ b | bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vector → − a và b (→ a , b không cùng phương). 6
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích c c b a a b Hình 1.6: Bộ ba thuận và bộ ba nghịch. Tích hỗn hợp của ba vector → − − → − − → − − Tích hỗn hợp của ba vector → − a , b ,→ c , ký hiệu (→ − c ), là số thực (→ a , b ,→ − a ∧ b ).→ c. → − − → − − (→ − a , b ,→ c ) = (→ − a ∧ b ).→ c. Chúng ta có các nhận xét sau, mà chứng minh xin dành cho bạn đọc. → − − Nhận xét 4. Với vector →− a , b ,→ c và với mọi số thực λ, ta có: → − − 1. (→ − a , b ,→ c ) là một số; → − − → − − → → − − 2. |(→ − a , b ,→ c )| bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vector → − a , b ,→ c (− a , b ,→ c không đồng phẳng); → − − → − − 3. nếu → − a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính (đồng phẳng) thì (→ − a , b ,→ c ) = 0; 1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1.2.1 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1. Hệ gồm n vector {→ − a1 , → − a2 , . . . , → − an } được gọi là độc lập tuyến tính (hay vắn tắt là độc lập) nếu với mọi bộ n số thực {λ1 , λ2 , . . . , λn } không đồng thời bằng không ta luôn có → − λ1 → − a1 + λ 2 → − a2 + . . . + λ n → − an 6= 0 . Hệ vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính (hay vắn tắt là phụ thuộc). Nếu hệ vector {→ − a1 , → − a2 , . . . , → − an } độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính), ta còn nói các vector → − → − → − a1 , a2 , . . . , an độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính). Theo định nghĩa chúng ta có các nhận xét sau đây: 7
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích Nhận xét 5. 1. Hệ {→ − a1 , → − a2 , . . . , → − an } độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: nếu → − λ→ 1 1 − a +λ → 2 2 − a + ... + λ →− a = 0 n n thì ta phải có λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. 2. Hệ {→− a1 , → − a2 , . . . , → − an } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại bộ n số thực {λ1 , λ2 , . . . , λn } không đồng thời bằng không sao cho → − λ→ 1 1 − a +λ → − a + ... + λ → 2 2 − a = 0. n n 3. Một hệ vector có chứa vector không thì phụ thuộc tuyến tính. 4. Một hệ vector có chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính. 5. Mọi hệ con của một hệ vector độc lập đều độc lập. → − Định lý 1.2.1. Hai vector → − a , b phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng cùng phương. → − Chứng minh. Dễ thấy nếu hai vector → −a , b cùng phương thì chúng phụ thuộc tuyến tính. → − Giả sử hai vector → − a , b phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại hai số thực không đồng thời bằng không λ và µ (không mất tính tổng quát giả sử λ 6= 0) sao cho → − → − λ→−a +µ b = 0. → − → − Điều này tương đương với → − a = − µλ b , tức là hai vector → − a , b cùng phương. → − Hệ quả 1.2.2. Hai vector → −a , b độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương. → − − Định lý 1.2.3. Ba vector → − a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng. → − − Chứng minh. Nếu ba vector → −a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ba số thực không đồng thời bằng không λ, µ, η (ta giả sử λ 6= 0), sao cho → − −c = → − λ→ − a + µ b + η→ 0. Ta suy ra → − µ→− η− a =− b − → c. λ λ → − − Theo định nghĩa của phép cộng hai vector ta có ba vector → − a , b ,→ c đồng phẳng. → − − Ngược lại giả sử ba vector → − a , b ,→ c đồng phẳng. Có hai trường hợp xảy ra: → − − 1. Có hai vector trong ba vector →− a , b ,→c phụ thuộc tuyến tính. Ta dễ dàng suy ra ba vector → − → − → − a , b , c phụ thuộc tuyến tính. → − − 2. Mọi bộ hai vector trong ba vector → −a , b ,→ c đều độc lập tuyến tính. Dựng tam giác ABC −→ sao cho c = AC, đường thẳng AB cùng phương với giá của vector → → − − a còn đường thẳng BC → − cùng phương với giá của vector b (xem hình 7). Ta dễ nhận thấy −→ −→ −−→ → − AC = AB + BC = λ→ −a +µ b , → − − tức là ba vector → −a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính. 8
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích B a b λa μb c A C c = λa + μb Hình 1.7: Ba vector đồng phẳng thì phụ thuộc. 1.2.2 Tọa độ của vector đối với một cơ sở → − Gọi E 2 là tập hợp các vector (tự do) cùng thuộc một mặt phẳng. Theo Định lý 1.2.3 mọi hệ gồm → − → − ba vector của E 2 đều phụ thuộc tuyến tính. Giả sử → − e1 , → − e2 ∈ E 2 là hai vector độc lập tuyến tính. Khi đó mọi vector →− x đều được biểu thị một cách duy nhất qua hai vector → − e1 và → − e2 như sau → − x = x1 → − e 1 + x2 → − e2 . (1.1) Thật vậy, nếu → − x cùng phương với → − e1 hoặc → − e2 thì dễ thấy → −x được biểu diễn dưới dạng 1.1. Nếu →−x → − → − −→ → − không cùng phương với e1 và e2 thì dựng tam giác ABC sao cho AC = x còn hai đường thẳng AB và BC lần lượt cùng phương với giá của → − e1 và → − e2 , ta suy ra → − x được biểu diễn dưới dạng 1.1. → − Bây giờ giả sử x = x1 e1 + x2 e2 và x = x1 e1 + x2 e2 , ta suy ra (x1 − x01 )→ → − → − → − → − 0 → − 0 → − e1 + (x2 − x02 )→ − − e2 = 0 . Do {→ − e1 , → − e2 } độc lập tuyến tính ta suy ra x1 = x01 , x2 = x02 . → − Người ta sẽ gọi hệ gồm hai vector độc lập tuyến tính {→ −e1 , → − e2 } trong E 2 là một cơ sở, còn bộ số (x1 , x2 ) sẽ được gọi là tọa độ của vector → − x đối với cơ sở {→− e1 , → − e2 } và viết → − x (x1 , x2 )/{− → e2 } hay ngắn e 1 ,− → → − → − gọn x (x1 , x2 ). Trong chương trình PTTH người ta thường viết x = (x1 , x2 ). Nếu hai vector → − e1 , → − e2 trực giao thì ta nói {→−e1 , →− e2 } là cơ sở trực giao. Nếu → − e1 , → − e2 là hai vector trực chuẩn, nghĩa là chúng trực giao với nhau và cùng có độ dài 1, thì ta nói {→ −e1 , → − e2 } là cơ sở trực chuẩn. → − Giả sử → −a và b là hai vector có tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn {→ − e1 , → − e2 } lần lượt là (a1 , a2 ) và (b1 , b2 ). Khi đó ta có → − → − a . b = (a1 → −e 1 + a2 → −e2 )(b1 → − e 1 + b2 → − e2 ) = a1 b1 e1 + (a1 b2 + a2 b1 ) e1 .→ → − 2 → − − e2 + a2 b2 → − e2 2 = a1 b 1 + a2 b 2 . Như vậy ta có công thức → − → − a . b = a1 b 1 + a2 b 2 . (1.2) Từ đây suy ra |→ − a |2 = a21 + a22 . (1.3) Nhận xét 6. 1. Hai vector bằng nhau khi và chỉ chi chúng có tọa độ bằng nhau. → − → − 2. Nếu → − a (x, y), b (x0 , y 0 ) và λ ∈ R thì (→ − a + b )(x + x0 , y + y 0 ) và λ→ − a (λx, λy). 9
MATHEDUCARE.COM Hình học giải tích D’ C’ A’ B’ e3 x D C e2 e1 A B Hình 1.8: Tọa độ của vector trong không gian. → − − → − 3. Hai vector khác 0 , → a (x, y), b (x0 , y 0 ) cùng
phương
khi và chỉ khi các bộ tọa độ
của
chúng tỉ lệ
x y
a b
(x, y) : (x0 , y 0 ); hay một cách tương đương
0 0