Hình học không gian về giải toán vectơ

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 387
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hình học không gian về giải toán vectơ Trong toán học, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Vectơ hướng từ A đến B Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là một vectơ, kí hiệu là \overrightarrow{A B} hoặc \vec a, \vec b, \vec u, \vec v Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rn là một bộ n số thực (x1,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình học không gian về giải toán vectơ

Bài giảng của thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học Chương I Véc tơ trong không gian. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.Ðịnh nghĩa véc tơ. Véc tơ là một đoạn thẳng có quy định một chiều.Chiều của véc tơ là thứ tự hai đầu mút của đoạn thẳng.Ðầu mút thứ nhất được gọi là điểm đầu hoặc điểm gốc, đầu mút thứ hai được gọi là điểm cuối hoặc điểm ngọn.Ðộ dài của đoạn thẳng là độ dài véc tơ.Ðường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc tơ được gọi là phương của véc tơ. Véc tơ được ký hiệu bằng một trong hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền nhau → và phía trên hai chữ đó ta đặt một mũi tên,chẳng hạn AB (đọc là véc tơAB), chữ A chỉ → gốc, chữ B chỉ ngọn của véc tơ.Ðộ dài véc tơ đó được ký hiệu AB hoặcAB.Một cách → khác là dùng một chữ thường và phía trên đặt một mũi tên, chẳng hạn U (đọc là véc tơ → U ).Ðộ dài của véc tơ đó được ký hiệu là U hoặc U. Véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc tơ không.Véc tơ không → có độ dài bằng 0, phương và chiều không xác định.Véc tơ không được ký hiệu AA hoặc → 0. 2.Quan hệ của các véc tơ trong không gian. Hai véc tơ đồng phương hoặc không đồng phương → → → Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là đồng phương,nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V. →→ → Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là không đồng phương,nếu chúng nằm trên hai → → đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.Ta ký hiệu U // V. → Hiển nhiên nếu hai véc tơ (khac 0) cùng đồng phương với một véc tơ thứ ba (khác → → 0 ), thì hai véc tơ đó đồng phương.Ta quy ước một véc tơ 0 luôn cùng phương với một véc tơ khác không. 1
Hai véc tơ cùng chiều hoặc ngược chiều → → → →→ Cho hai véc tơ khác 0 và đồng phương U , V.Khi đó tồn tại một mặt phẳng P chứa U, V. → → Nếu trong P cả hai véc tơ đó cùng chiều, thì ta nói U và V cùng chiều trong không gian. → → Nếu trong P cả hai véc tơ đó ngược chiều, thì ta nói U và V ngược chiều trong không gian. → → Hiển nhiên hai véc tơ khác 0 cùng chiều với một véc tơ thứ ba (khác 0), thì hai véc tơ đó cùng chiều.Nếu một trong hai véc tơ cùng chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ còn lại ngược chiều với véc tơ thứ ba, thì hai véc tơ ngược chiều. → → → → Ta ký hiệu hai véc tơ U , V cùng chiều là U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ đó ngược chiều, thì → → được ký hiệu là U ↑↓ V. Ta quy định một véc tơ không luôn cùng chiều với một véc tơ khác không. Hai véc tơ bằng nhau hoặc hai véc tơ đối nhau → → → → Hai véc tơ U, V được gọi là bằng nhau và được ký hiệu U = V, nếu chúng cùng chiều và cùng độ dài. → → → → Hai véc tơ U, V được gọi là đối nhau và được ký hiệu U = - V, nếu chúng ngược chiều và cùng độ dài. Ba véc tơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng → → → Cho các véc tơ khác không : U , V , W. Nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng → →→ hoặc nằm trong các mặt phẳng song song, thì ta nói U , V, W đồng phẳng. Nếu ba véc tơ không có các tính chất đó, thì ta nói ba véc tơ không đồng phẳng. →→ → Từ định nghĩa ta suy ra rằng, nếu U, V, W đồng phẳng, thì luôn tồn tại một mặt → → → phẳngP mà trong đó ta dựng được các véc tơ U’, V’, W’ bằng các véc tơ đã cho. Nếu → → → các véc tơ đó không đồng phẳng và nếu P chứa các véc tơ U’, V’ thì P không chứa W’ → 2
hoặc song song với W’. 3.Các phép toán véc tơ. Phép cộng véc tơ. Ðịnh nghĩa. → → → → → Cho hai véc tơ U, V.Tổng của U và V là véc tơ a được xác định theo quy tắc sau(quy tắc tam giác).Từ một điểm A bất kỳ trong không gian ta đặt liên tiếp các véc tơ → → → → → → → → AB = U và BC =V. Véc tơ AC là tổng của hai véc tơ đã cho và ta ký hiệu a = U + V. Tính chất → → → → → → → → → → → → → → → → i) U + 0 = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W). Trường hợp tổng của nhiều véc tơ →→ → → Cho n véc tơ U1,U2,..,Un.Tổng của n véc tơ đó là một véc tơ U’ được xác định theo quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc): → → → → Từ một điểm A0 bất kỳ ta dựng liên tiếp các véc tơ A0A1, A1A2, A2A3,…, An- 1An.Véc → → → → → → tơ A0An là tổng của n véc tơ đã cho và được ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 +…+ Un. Phép trừ hai véc tơ. Ðịnh nghĩa. → → → → → → → → → Hiệu của U và V là một véc tơ W và được ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U. → → → Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ một điểm A bất kỳta dựng các véc tơAB =U, → → → → AC = V. Khi đó W = CB. Nhân một véc tơ với một số thực Ðịnh nghĩa → → → → Cho U ≠ 0 và số thực k ≠ 0.Tích của U với k là một véc tơ V có độ dài bằng → → → |k|.| U | và cùng chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k
i). 1.U = U ; ii). m.(n.U) = (m.n).U ; iii). m(U + V) = m U+ m.V ; (m+n) U = mU+ nU (m , n là các số thực). Hệ quả → → → → → i) U+ U+ U +…+ U = n. U → → → → ii) Nếu U // V , thì tồn tại một số thực k sao cho V = k.U và k là duy nhất thoã mãn điều kiện đó. 4.Ðiều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ. → → → → → Cho U , V , W khác không và U // V.Ðể ba véc tơ đó đồng phẳng cần và đủ là tồn → → → tại hai số thực m , n sao cho W = m. U + n. V.Cặp số m , n là duy nhất thoã mãn điều kiện đó. Hệ quả. →→ → → → → → i) Nếu U, V , W không đồng phẳng và m.U + n.V + k.W = 0 , thi m = n = k = 0. → ii) Với mọi véc tơ a tồn tại duy nhất một bộ 3 số thực x,y,z sao cho → → → → a = xU + yV + zW →→ → → → Các véc tơ U, V , W được gọi là cơ sở của a. Bộ sô (x,y,z) được gọi là toạ độ của a. → → Véc tơ a có biễu diên như vậy được gọi là phân tích a theo một cơ sở. 5.Góc tạo bởi hai véc tơ trong không gian. Ðịnh nghĩa. → → → Cho hai véc tơ U , V khác 0. Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian và từ đó → → → → ∧ → → ta dựng OA = U, OB = V, khi đó góc AOB là góc tạo bởi U và V.Ta thấy rằng nếu O’ là → → → → → → → một điểm khác O và từ O’ ta dựng O’A’ = U, O’B’ = V, thì ta có OA = O’A’ , OB = → → → ∧ ∧ O’B’ và AB = A’B’.Từ đó ta suy ra AOB =A’O’B’.Chứng tỏ góc tạo bởi hai véc tơ 4
không phụ thuộc cách chọn điểm O.Ta ký hiệu ( U , V ) là góc tạo bởi hai véc tơ U , V. Góc tạo bởi một véc tơ không và một véc tơ khác không không xác định. Tính chất. → → → → → → → → i) Nếu U’ ↑↑ U và V’ ↑↑ V, thì ( U’ , V’ ) = ( U , V ). → → → → → → ii) Nếu ( U , V ) = α , thì ( - U , V ) = ( U , - V ) = 1800 - α. → → → → → → → → iii) Nếu U ↑↑ V , thì ( U , V ) = 0. Nếu U ↑↓ V , thì ( U , V ) = 1800. Ðộ dài hình chiếu của một véc tơ trên một trục toạ độ → Cho AB và trục toạ độ Ox.Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên Ox. Ta gọi A’B’ là hình chiếu của AB trên Ox .Ta có hệ thức sau A’B’= AB.cosα, trong đó α là góc tạo bởi AB và véc tơ đơn vị trên Ox, A’B’ là độ dài đại số của A’B’ trên Ox. 6.Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian. Ðịnh nghĩa. → → → Cho hai véc tơ U và V khác 0.Tích vô hướng của hai véc tơ đó là một số thực bằng tích độ dài hai véc tơ nhân với cosα ; α là góc tạo bởi hai véc tơ đó. → Nếu một trong hai véc tơ bằng 0, thì tích vô hướng của chúng bằng 0.Ta ký hiệu Tính chất. → → → → • U.V = V .U. → → → →→ →→ • U.( V + W ) = U. V + U. W. → → →→ • (k.U). V = k.( U .V ), k là số thực. → → → → • U . U = ( U ) = | U |2. 2 → → → → → → • | U . V | ≤ | U | . | V |. Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi U // V. Hệ quả: Các hằng đẳng thức về tích vô hướng trong mặt phẳng vẫn còn hiệu lực trong không gian. →→ → → →→ → → →→ → → U. V = 0 ⇔ (U , V ) = 90 ; U. V > 0⇔ (U , V ) < 90 ; U . V < 0⇔ (U , V ) > 900. 0 0 → → tích vô hướng của hai véc tơ là U . V. 5
Chương II. Các phép biến hình trong không gian --------------------------------------------------------------------------------------------------------- A. Ðại cương về biến hình trong không gian 1.Ðịnh nghiã. Trong không gian cho một quy tắc f.Với mỗi điểm M bất kỳ theo quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M’.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến đổi f và được ký hiệu f : M → M’(đọc là f biến M thành M’).Ðiểm M được gọi là tạo ảnh của M’, f là một phép biến đổi hình học . Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu M1’, M2’ tương ứng là ảnh của của M1,M2 trong phép biến đổi f và M1’ khác M2’, thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt. Nếu f được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói f là phép biến đổi trong không gian. 2. Phép biến đổi 1-1. Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh khác M.Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép biến đổi 1-1. 3.Phép biến đổi đồng nhất. Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất , nếu f biến mọi điểm M trong không gian thành chính M. 4. Phép biến đổi ngược. Gỉa sử f : M → M’ với mọi điểm M trong không gian. Nếu tồn tại một phép biến đổi g biến M’ thành M, thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f và f là phép biến đổi có ngược. 5.Tích của hai ( hoặc nhiều ) phép biến đổi Cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M bất kỳ f : M→ M’ và g :M’→ M’’. Phép biến đổi biến M thành M’’ được gọi là tích của hai phép biến đổi f và g và ta ký hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g•f : M → M’’ hoặc g(f) : M→ M’’. Tóm lại tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho. Cho n phép biến đổi (n > 2) f1,f2,..,fn.Tích của n phép biến đổi đã cho là một phép biến đổi F bằng cách thực hiện liên tiếp theo một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó và ta viết F =fn•fn-1•..f2•f1. 6.Hai phép biến đổi trùng nhau. Cho hai phép biến đổi f và g.Ta nói f và g trùng nhau (hoặc bằng nhau) và được ký hiệu f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của hai phép biến đổi đó trùng nhau . Nghĩa là với mọi điểm M , f : M → M’ và g : M → M’. Cho một tập hợp điểm X.Ta nói f và g trùng nhau cục bộ trên X , nếu f và g trùng nhau trên tập hợp X. 7.Ðiểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi. Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f , nếu f biến O thành O. Ta nói đường thẳng d là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f. 6
Ta nói mặt phẳng P là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc P là bất động của f. Ta nói đường thẳng d( mặt phẳng P) là bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) thành chính nó. Rõ ràng nếu đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) là bất động của phép biến đổi f, thì d (hoặc mặt phẳng P) là bất biến đối với f. 8.Ảnh của một hình qua một phép biến đổi . Cũng như hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hình không gian là một tập hợp điểm .Cho một hình không gian F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình F’ được gọi là ảnh của F qua phép biến đổi đó. Ta ký hiệu f : F → F’ hoặc F’ = M’/ f : M→ M’ với mọi M∈F 9.Hai hình trùng nhau. Ta nói hai hình không gian F1 và F2 trùng nhau, nếu mọi điểm của hình này thuộc hình kia và ngược lại .Hai hình trùng nhau được ký hiệu là F1≡ F2. Nếu mọi điểm của F1 thuộc F2, thì ta nói F1 là hình con của F2. B. Một số phép biến đổi hình học cơ bản trong không gian --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Phép đối xứng qua tâm Ðịnh nghĩa. Cho trước một điểm O.Với mỗi điểm M khác O ta xác định điểm M’ → → sao cho OM’ =- OM. Nếu M trùng với với O, thì M’ trùng với O.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M trong phép đối xứng qua tâm O ( hoặc đối xứng tâm O) và được ký hiệu ZO : M → M’ .Ðiểm O được gọi là tâm đối xứng. Cho một hình F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép biến đổi ZO lập thành một hình F’ được gọi là ảnh của F hoặc hình đối xứng với F qua O.Nếu F và F’ trùng nhau, thì ta nói F là hình có tâm đối xứng.Ta ký hiệu ZO : F → F’. Tính chất. 1. ZO có một điểm bất động duy nhất là điểm O. 2. ZO là phép biến đổi 1-1 và có ngược.Phép biến đổi ngược chính là ZO. → → 3. Nếu A’,B’ là ảnh của A,B trong phép biến đổi ZO , thì A’B’ = - AB. 4. Nếu A,B,C,D là 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng và A’,B’,C’,D’ là các ảnh tương ứng của các điểm đó trong phép biến đổi ZO, thì 4 điểm A’,B’,C’,D’ cũng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh Gọi P là mặt phẳng chứa 4 điểm A,B,C,D.Ta xét trường hợp tồn tại 3 trong 4 điểm không thẳng hàng chẳng hạn A,B,C .Khi đó A’,B’,C’ không thẳng hàng và tồn tại các → → → → → → → → → 7
số thực x, y sao cho AD =xAB +yAC.Vì A’D’ = -AD , A’B’=- AB , A’C’= - AC, nên → → → A’D’= xA’B’+ yA’C’.Hệ thức đó chứng tỏ D’ thuộc mặt phẳng đi qua 3 điểm A’,B’,C’. Hệ quả. Phép biến đổi ZO biến i) Mặt phẳng P thành mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ trùng với P.Nếu O thuộc P , thì Zo là phép đối xứng qua tâm O xác định trong P. ii) Nửa mặt phẳng P thành nửa mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ và P lập thành một mặt phẳng. Chứng minh Bổ đề. Cho mặt phẳng P và đường thẳng d chia P thành hai nửa mặt → → phẳng P1 và P2.Trên d ta lấy một điểm O và dựng các véc tơ OA nằm trên d ,OB → → → thuộc P1(các véc tơ đó khác 0).Với điểm M bất kỳ thuộc P ta có OM = xOA + → yOB (*) , trong đó x,y là một cặp số thực.Ðể M thuộc nửa mặt phẳng P1 điều kiện cần và đủ là trong hệ thức (*) y >0. Thật vậy nếu M thuộc P1, thì M không thuộc d.Ta dựngM1, M2 là hình chiếu → → → → của M theo phương d và OB tương ứng, khi đó OM2↑↑ OB .Ðảo lại nếu OM2↑↑ → OB, thì M thuộc P1.Từ nhận xét đó ta suy ra điều cần chứng minh. iii) Góc nhị diện (P,Q) thành nhị diện (P’,Q’) và số đo các góc phẳng của hai nhị diện bằng nhau. iv) Mặt cầu (S,R) thành mặt cầu (S’,R),hình nón N thành hình nón N’có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng của N, hình trụ T thành hình trụ T’ có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng của T. 5.Tích của 3 phép đối xứng qua 3 tâm phân biệt là một phép đối xứng qua tâm . Chứng minh Ta ký hiệu ZA, ZB, ZC là các phép đối xứng qua 3 điểm phân biệt A,B,C.Ta đặt Z = ZC•ZB•ZA và chứng tỏ rằng Z có điểm bất động.Gọi O là điểm bất động của Z, theo → → → → định nghĩa ta có ZA : O→ O’, ZB :O’→O’’, ZC : O’’→ O và -AO’ = AO ,-BO’’= BO’, → → → → → → → → → → → → CO’’= - CO.Từ BO’ = -BO’’⇔ (BA+AO’) = -(BC +CO’’) ⇔BA+BC =O’A+ O’’C = → → → → → → → → → → → → 8
AO+CO= AB +BO+BO-BC ⇔ 2(BA+BC) = 2BO⇔ BO = BA+BC.Hệ thức đó chứng tỏ điểm cố định O tồn tại .Với điểm M bất kỳ khác O, ta có ZA : M→M’ và O→O’, do đó → → → → O’M’ =- OM. ZB : M’→M’’ và O’→ O’’, do đó O’’M’’= - O’M’.ZC : M’’→M’’’ và → → → → O’’→O , do đó OM’’’= - O’’M’’.Từ các kết quả trên ta suy ra OM’’’ = - OM.Ðây là điều cần chứng minh. Bài tập. Chứng minh các tính chất hình học. 1.Cho một hình hộp (H).CMR giao điểm các đường chéo của (H) là tâm đối xứng của nó. Hướng dẫn : Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp và O là giao các đường chéo của nó. Theo tính chất của hình hộp ta có Zo : A→ C’, B→ D’,C →A’.vì vậy miền bình hành ABCD → miền bình hành A’B’C’D’ (mỗi miền bình hành là phần chung của 4 nửa mặt phẳng mà bờ là các đường thẳng chứa các cạnh hình bình hành). 2.CMR phép biến đổi ZO biến hai đường thẳng chéo nhau thành hai đường thẳng chéo nhau. Hướng dẫn:Ký hiệu x, y là hai đường thẳng chéo nhau; x’,y’ là ảnh của hai đường thẳng đó.Gọi P là mặt phẳng chứa x và cắt y tại O không nằm trên x.Phép biến đổi Zo biến P →P’chứa x’ và không chứa y’, O→ O’ thuộc P’không nằm trên x’. 3.CMR phép biến đổi ZO biến một tứ diện đều thành một tứ diện đều có cạnh bằng cạnh tứ diện ban đầu. Hướng dẫn :Ký hiệu ABCD là tứ diện đều.Phép biến đổi Zo biến A→A’,B→B’,C→C’, D→D’.Vì A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó A’,B’,C’,D’ không cùng nằm trong một mặt phẳng.A’B’C’D’ là một hình tứ diện có các cạnh bằng nhau. 4.CMR phép biến đổi ZO biến một hình lập phương thành một lập phương mà cạnh bằng cạnh lập phương ban đầu. 5.Cho tứ diện ABCD và G là trọng tâm của tứ diện.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và O’ là ảnh của O trong phép đối xứng qua G.CMR mặt phẳng đi qua AB và O’ song song hoặc chứa đường thẳng đi qua O và trung điểm của cạnh CD. Hướng dẫn .Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, P là mặt phẳng đi qua AB và O’.Ta biết rằng G là trung điểm của đoạn MN, vì vậy GM// ON.Ðó là điều cần chứng minh. 6.CMR một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng. Hướng dẫn: giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O.Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt nào đó của tứ diện, thì mặt đó là hình có tâm đối xứng.Ðiều đó không thể xảy ra vì mặt của tứ diện là tam giác mà tam giác là hình không có tâm đối xứng.Vậy O không thuộc các mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Gọi A’,B’ lần lượt là ảnh của A,B qua phép đối xứng đó.Thế thì A’,B’thuộc các mặt đối là (BCD) và (ACD).Vì 9
ABB’A’ là hình bình hành, do đó AB’//BA’⇒ AB’//CD và BA’//CD⇒ A’trùng với B và B’ trùng với A.Ðiều đó chứng tỏ O là trung điểm của AB và O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Mâu thuẫn đó chứng minh kết luận bài toán. 7.CMR một hình chóp không có tâm đối xứng. Hướng dẫn:Trước hết ta thấy rằng nếu một hình chóp có tâm đối xứng O , thì số mặt chẵn.Thật vậy nếu M là điểm bất kỳ thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M’ đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đỉnh thành đỉnh) .Ðiều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thảng MM’.Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt là chẵn.Vậy đáy của hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh.Vì đáy lẻ, nên O không thuộc mặt phẳng đáyvà không thuộc các mặt bên.Gọi T là thiết diện của hình chóp đi qua O và song song với đáy(T tồn tại vì Phép đối xứng qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), khi đó T là đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh (vì các cạnh của T chỉ nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp).Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán. 8.CMR mọi thiết diện của một hình hộp đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp là hình bình hành hoặc hình lục giác có các cặp cạnh đối bằng nhau. Hướng dẫn.Gọi O là giao các đường chéo hình hộp (H). P là mặt phẳng thiết diện .Rõ ràng O là tâm đối xứng chung của P và (H), do đó nó là tâm đối xứng của phần chung hai hình đó. 9.CMR nếu thiết diện của một hình hộp là tam giác hoặc ngũ giác, thì thiết diện đó không chứa giao điểm các đường chéo hình hộp. 10.Cho tứ diện ABCD.Tìm ảnh của tứ diện đã cho qua phép biến đổi Z = ZC•ZB•ZA. 11.Cho mặt cầu (O,1) và tập hợp n điểm trong không gian A1,A2,…,An (n >2).CMR trên mặt cầu đã cho luôn tìm được điểm M sao cho MA1+MA2+..+MAn > n. 12.CMR ảnh của một đa giác phẳng lồi n- cạnh qua phép đối xứng Zo là một đa giác phẳng lồi n- cạnh và hai đa giác đó có các cạnh tương ứng bằng nhau, số đo các góc tương ứng bằng nhau. 13.CMR nếu một hình đa diện (T) có tâm đối xứng, thì số mặt của (T) chẵn, số cạnh chẵn và số đỉnh chẵn. Hướng dẫn.Gọi O là tâm đối xứng của (T) và X là điểm bất kỳ thuộc một mặt M nào đó của T.Gọi X’ là ảnh của X qua phép đối xứng đó .Hiển nhiên X’ thuộc một mặt M’ của (T).Vậy thì mỗi một cặp mặt M và M’ của T ứng với một đoạn XX’.Số đoạn đó là số nguyên, nên số mặt của (T) chẵn .Ta biết rằng mỗi điểm bất kỳ thuộc một cạnh nào đó của T, điểm đối xứng với nó qua O cũng thuộc đúng một cạnh của T.Vì vậy hai cạnh của T ứng với cùng một đoạn thẳng nối một điểm của cạnh này với một điểm của cạnh kia. 14.CMR một hình hộp có đúng một tâm đối xứng. Hướng dẫn.Gỉa sử O và O’ là hai tâm đối xứng của một hình hộp (H).Với mỗi điểm X thuộc hình hộp , phép đối xứng Zo và Zo’ biến X, thành X’ và X’’ thuộc hình hộp.Ta xét thiết diện của hình hộp đi qua 3 điểm X,X’,X’’.Thiết diện đó là một đa giác nhận O và O’ là tâm đối xứng.Ta biết rằng một đa giác phẳng bất kỳ có không quá một tâm đối xứng.Mâu thuẫn đó chứng tỏ O và O’ trùng nhau. 10
15.CMR nếu thiết diện của một hình hộp là một lục giác có tâm đối xứng, thì thiết diện đó đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp. Hướng dẫn.Nếu thiết diện của hình hộp là lục giác, thì mặt phẳng thiết diện cắt tất cả 6 mặt hình hộp.Vì vậy tâm đối xứng của thiết điện cũng biến mỗi mặt hình hộp thành mặt hinh hộp, nghĩa là biến hình hộp thành hình hộp.Ta biết rằng hình hộp chỉ có một tâm đối xứng duy nhất là giao các đường chéo,nên mặt phẳng thiết diện chứa nó. 16.Cho tứ diện ABCD có các đường cao cắt nhau tại H.Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện . CMR G là trung điểm của đoạn OH. Hướng dẫn. Hiển nhiên mặt phẳng đi qua AB và H vuông góc với CD, vì nó chứa AH và BH cùng vuông góc với CD.Gọi I là trung điểm của CD, khi đó OI vuông góc với CD.Hãy dùng lại kết quả bài tập 5. 17.CMR một hình lăng trụ có đáy là một đa giác lồi với số lẻ cạnh, thì nó không có tâm đối xứng. Hướng dẫn :dùng kết quả bài 13. 18.CMR nếu một hình lăng trụ mà đáy có tâm đối xứng,thì lăng trụ đó có tâm đối xứng. Hướng dẫn .Ta ký hiệu A1A2…An và B1B2…Bn là các đỉnh thuộc hai đáy , trong đó A1B1//A2B2//…AiBi//…//AnBn.Gọi O1 và O2 tương ứng là tâm đối xứng của các đa giác A1A2…An và B1B2…Bn. O là trung điểm của O1O2.Ta chứng minh rằng O là tâm đối xứng của lăng trụ.Với đỉnh bất kỳ Ai ta xét đoạn AiAj nhận O1là trung điểm .Gọi O’ là trung điểm của BiBj , khi đó O1O’// AjBj.Tương tự ta xét đoạn Ai+1Aj+1 nhận O1 là trung điểm.Gọi O’’ là trung điểm củaBi+1Bj+1 , khi đó O1O’’// Ai+1Bi+1//AiBi .Vì vậy O’ và O’’ trùng nhau.Cứ tiếp tục như vậy ta suy ra O1O2// AiBi.Như vậy với đỉnh Ai bất kỳ Z = ZO2•ZO •ZO1 biến nó thành đỉnh Bj. 19.CMR hình chóp cụt không có tâm đối xứng. Hướng dẫn.Nếu chóp cụt có tâm đối xứng, thì mọi đỉnh của đáy thứ nhất biến thành đỉnh của đáy tứ hai và các cạnh tương ứng của hai đáy bằng nhau.Ðiều đó mâu thuẫn với các cạnh tương ứng của hai đáy khác nhau. 20. CMR hình trụ tròn xoay có tâm đối xứng. Hướng dẫn.Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đáy .Hãy chứng minh rằng O là tâm đối xứng của hình trụ. 21.CMR hình nón tròn xoay không có tâm đối xứng. Hướng dẫn.Xét một thiết diện của hình nón đi qua đỉnh và tâm đối xứng.Thiết diện đó là một tam giác có tâm đối xứng .Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán. 22. Cho hai đường thẳng chéo nhau (x) và (y).CMR không tồn tại một phép đối xứng qua tâm biến đường này thành đường kia. Hướng dẫn.Gọi O là tâm của phép đối xứng đó và (x’) là ảnh của (x) qua phép đối xứng, khi đó (x’)//(x).Gọi P là mặt phẳng chứa (x) và (x’).Vì (y) chéo với (x), nên (y) không nằm trong P, do đó (y) và (x’) không thể trùng nhau. Tìm tập hợp điểm 1.Cho mặt phẳng P và tam giác ABC.Với mỗi điểm M thuộc P ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua A; M2 đối xứng với M1 qua B và M3 đối xứng với M2 qua C.Tìm tập hợp điểm M3 , khi M biến thiên trong P. 11
2.Cho nhị diện (P,Q) và điểm O cố định nằm trong nhị diện.Tìm tập hợp M trong P sao cho tồn tại trong Q điểm M’ mà O là trung điểm của đoạn MM’ . Hướng dẫn :Gọi Q’ là ảnh của Q qua phép biến đổi ZO, khi đó M là ảnh của M’ qua phép biến đổi Zo.Vậy M thuộc giao tuyến x của hai nửa mặt phẳng Q’ và P.Tập M’ hoặc là x hoặc tia thuộc x hoặc rỗng. 3.Cho trước một mặt cầu(O), một mặt phẳng P và điểm Q không thuộc P và không nằm trên mặt cầu.Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt cầu sao cho tồn tại trong P điểm M’ đối xứng với M qua Q. Hướng dẫn : Tập hợp M hoặc là đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng. 4.Cho hai mặt phẳng P,Q và điểm O không nằm trên cả hai mặt phẳng đó.Tìm điểm M thuộc P và N thuộc Q sao cho O là trung điểm của đoạn MN. Hướng dẫn : Gọi P’ là ảnh của P qua phép biến đổi Zo, x là giao tuyến của Q và P’(nếu có), khi đó ảnh x’ của x qua phép biến đổi Zo thuộc Q.Các điểm M ,N cần tìm lần lượt trên x và x’. 5.Cho mặt phẳng P và tập hợp gồm 4 điểm A,B,C,D.Với mỗi điểm M thuộc P ta xác → → → → → định điểm N theo công thức MA+ MB+MC+MD= 2MN.Tìm tập hợp N, khi M biến thiên trong P. → → → → Hướng dẫn .Gọi G là trọng tâm của 4 điểm đã cho , ta có 4MG = 2MN⇔ MG = GN → → ⇔ GM = -GN. Hệ thức đó chứng tỏ tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với P qua G. 6.Cho mặt cầu (O) và 4 điểm A,B,C,D.Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu ta xác định điểm → → → → → N theo công thức 7MN = 2MA+3MB+4MC+5MD.Tìm tập hợp điểm N , khi M biến thiên trên mặt cầu. → → → → → → Hướng dẫn .Gọi G là điểm sao cho 2GA+3GB+4GC+5GD = 0, khi đó ta có 7MN → → → → → → =14MG ⇔ 7 MG + 7GN = 14MG ⇔ GN = -GM.Tập hợp N là mặt cầu đối xứng với (O) qua G. Dựng hình. 1.Cho 4 điểm A,B và C,D lần lượt nằm trên các đường thẳng chéo nhau (x)và (y).Hãy dựng một hình hộp sao cho các đoạn thẳng AB và CD là hai đường chéo thuộc hai mặt song song của hình hộp. 12
Hướng dẫn. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.Gọi O là trung điểm của đoạn IJ.Phép đối xứng qua O biến A→ A’, B→B’,C →C’,D→D’.Hình hộp gồm hai mặt song song chứa AB và CD là AD’BC’B’CA’D. 2.Cho 4 điểm A,B,C,D không nằm trong một mặt phẳng.Hãy dựng một hình hộp sao cho một trong 4 điểm đã cho là giao điểm các đường chéo hình hộp.Các điểm còn lại là đỉnh hình hộp. 3.Cho hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau tại A.Hãy dựng một mặt phẳng đi qua A cắt đồng thời hai mặt cầu đó thành hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Hướng dẫn. Dựng mặt cầu đối xứng với một trong hai mặt cầu đã cho qua tâm A. Mặt cầu vừa dựng cắt mặt cầu thứ hai theo một đường tròn (K).Mặt phẳng chứa (K) là mặt cần dựng. 4.Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’(AA’//BB’//CC’//DD’).Gọi G,G’ là trọng tâm tam giác AB’D’ ,BC’D.Người ta giữ lại các điểm G, G’,B , A.Các đỉnh còn lại được xoá đi.Hãy chỉ ra cách phục hồi các đỉnh bị xoá. Hướng dẫn.Gọi O là trung điểm của GG’, khi đó O là tâm đối xứng của hình hộp đã cho.Dùng O ta sẽ phục hồi các đỉnh đã xoá. 2. Phép đối xứng qua một đường thẳng. Ðịnh nghĩa. Cho trước một đường thẳng d.Với mỗi điểm M không thuộc d ta xác định điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’. Nếu M thuộc d, thì M’ là M.Khi đó ta nói M’ là điểm đối xứng với M qua d hoặc M’ là ảnh của M qua phép đối xứng đó và được ký hiệu Ð(d) : M → M’.Ðường thẳng d được gọi là trục đối xứng.Nếu quy tắc đó được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua một đường thẳng d trong không gian. Cho một hình H.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H qua phép biến đổi Ð(d) lập thành một hình H’ được gọi là hình đối xứng với H qua d hoặc ảnh của H trong phép biến đổi đó.Nếu H và H’ trùng nhau, thì H là hình có trục đối xứng. Tính chất. 1.Phép biến đổi Ð(d) có một đường thẳng bất động duy nhất là d và Ð(d) có phép biến đổi ngược.Phép biến đổi ngược của Ð(d) là chính nó. 2.Nếu A’,B’ là ảnh của hai điểm A,B qua phép biến đổi Ð(d), thì A’B’=AB. Chứng minh Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’,ta có KH⊥AA’ và KH⊥BB’.Ta có → → → → → AB 2= (AH +HK +KB )= AH2+KH2 +KB2+2AH.KB ; A’B’2 =(A’H+HK+KB’)2 = → → → → → → → → → → 2 2 2 +A’H +KH +KB’ +2A’H.KB’.Vì (AH, KB) = (A’H,KB’), nên AH.KB = A’H.KB’ . Từ các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh. Hệ quả. Phép biến đổi Ð(d) biến : i) 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng. ii)đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆’; tia Ox thành tia O’x’;đoạn AB thành ∧ ∧ ∧ ∧ 13
đoạn A’B’ và A’B’=AB; góc xOy thành góc x’O’y’ và x’Oy’=xOy. iii) Mặt cầu (O,R) thành mặt cầu (O’,R) 3.Phép biến đổi Ð(d) biến 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng thành 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh Gỉa sử A,B,C là 3 điểm không thẳng hàng trong 4 điểm A,B,C,D .Gọi A’,B’,C’ là ảnh của 3 điểm đó trong phép biến đổi Ð(d).Hiển nhiên A’,B’,C’ không thẳng hàng,Vì vậytồn tại duy nhất mặt phẳng P’ đi qua qua 3 điểm đó . Gọi P là mặt phẳng đi qua A,B,C, D’ là ảnh của D qua phép biến đổi Ð(d).Ta chứng minh rằng D’ thuộc P’. Ta xét trường hợp D thuộc vào một trong các đường thẳng chứa 3 cạnh tam giác, chẳng hạn D thuộc BC, khi đó D’ cũng thuộc B’C’.Vì B’C’ thuộc P’, nên D’ thuộc P’. Trường hợp D không thuộc các đường thẳng chứa 3 cạnh tam giác ABC.Ta nối M với các điểm A,B,C và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N.Gọi N’ là ảnh của N, khi đó N’ thuộc P .Do AN’ thuộc P’, nên D’ cũng thuộc P’. Hệ quả. Phép đối xứng Ð(d) biến i)Một mặt phẳng P thành một mặt phẳng P’và P trùng với P’,khi d thuộc P;P// P’, khi d//P ; nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; Miền đa giác lồi thành miền đa giác lồi ; hình tròn (I;ρ) thành hình tròn (I’,ρ). Chứng minh. Nếu d thuộc P và M là điểm bất kỳ thuộc P, M’ là ảnh của M, khi đó MM’ cắt d. Do đó MM’thuộc P và M’ thuộc P.Nếu d// P và giả sử P cắt P’ theo một giao tuyến d’, thế thì d’// d .Với mỗi điểm X thuộc d’, phép đối xứng qua d biến nó thành điểm X’.Vì X thuộc P ,nên X’ thuộc P’ và X thuộc P’, nên X’ thuộc P.Vậy X’là điểm chung của P và P’.Ðiều đó chứng tỏ P và P’trùng nhau hay d thuộcP Mâu thuẫn đó chứng tỏ P//P’ Ta xét nửa mặt phẳng P với bờ là đường thẳng∆ và điểm O thuộc ∆.Ta kẻ tia Ox thuộc P.Ký hiệu ∆’ và O’x’ là ảnh của ∆ và Ox qua phép biến đổi Ð(d).Khi đó O’x và ∆’ xác định một nửa mặt phẳng với bờ là ∆’.Gỉa sử M là điểm bất kỳ thuộc P và M’ là ảnh của M.Nếu M nằm trên Ox, thì M’ nằm trên O’x’ và do đó M’ thuộc P’.Nếu M không thuộc Ox, thì ta xét đoạn AB chứa M có các đầu mút thuộc tia Ox và ∆ .Gọi A’,B’ là ảnh của của A,B, khi đó A’,B’ thuộc P’ và ∆’. Vì M thuộc AB, nên M’( ảnh của M) thuộc A’B’.Ðiều đó chứng tỏ M’ thuộc P’. Mỗi miền đa giác lồi là phần chung của các nửa mặt phẳng mà bờ là các đường thẳng chứa các cạnh đa giác, vì vậy ảnh của các phần chung đó là một đa giác lồi Mỗi hình tròn là thiết diện của một mặt cầu và một mặt phẳng.Vì vậy ảnh của thiết diện là một thiết diện tạo bởi ảnh của mặt cầu và mặt phẳng. ii) Góc nhị diện biến thành một góc nhị diện và số đo các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau. iii)hình nón N thành hình nón N’ và hai hình nón đó có độ dài đường sinh bằng nhau , bán kính đáy bằng nhau;Hình trụ T thành hình trụ T’có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau. 14
Bài tập. 1.Cho tứ diện đều ABCD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. i) CMR MN là trục đối xứng của tứ diện đó. ii) Gọi O là trung điểm của đoạn MN.CMRvới mọi điểm K nằm trong tứ diện ta có KA+KB+KC+KD ≥ OA+ OB + OC+OD. Hướng dẫn. Gọi K’ là điểm đối xứng với K qua MN, H là giao của KK’ và MN.Ta có KA+KB =AK+AK’> 2AH và KC+KD = CK+CK’> 2CH.Ta chứng minh rằng AH+CH > OA+ OC.Xét trong mặt phẳng(MCD) điểm A’ sao cho tia MA’ vuông góc với MN và ngược chiều với tia NC .Ðộ dài MA’= MA.Rõ ràngHA’=HA, vì vậy HA+HC = HA’+HC > A’C.Mà A’C đi qua O. 2.Cho tứ diện ABCD có AB=CD,AC=BD,AD=BC.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.Gọi A’,B’ là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống CD; C’,D’ là chân các đường vuông góc hạ từ C và D xuống AB.CMR A’C’=B’D’ và A’D’=B’C’. 3.Trong không gian cho hình bình hành ABCD. i)CMR đường thẳng đi qua giao điểm các đường chéo hình bình hành và vuông góc với mặt phẳng hình bình hành là trục đối xứng của nó. ii)CMR nếu tồn tại một đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng chứa nó sao cho phép đối xứng Ð(d) biến ABCD thành chính nó , thì d phải đi qua giao điểm các đường chéo của hình bình hành và vuông góc với mặt phẳng chứa nó. Hướng dẫn:Nếu Ð(d) biến ABCD thành chính nó, thì biến mặt phẳng (ABCD) thành chính nó. Vì vậy d vuông góc với (ABCD).Gọi O là giao điểm của d và mặt phẳng (ABCD), Nếu M là điểm bất kỳ thuộc hình bình hành ABCD và M’là ảnh của M thì O là trung điểm của MM’.Vậy O là tâm đối xứng biến M thành M’hay là tâm đối xứng của hình bình hành và d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 4.Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD và SA=SC,SB=SD.CMR đường thẳng đi qua S và giao điểm các đường chéo hình bình hành là trục đối xứng của hình chóp đó. 5.Cho tứ diện ABCD có AC=AD=BC=BD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.Trên cạnh AC ta lấy điểm K.Mặt phẳng đi qua K,M,N cắt BD tại L.CMR tứ giác MKNL có hai đường chéo vuông góc. Hướng dẫn : MN là trục đối xứng biến A thành B, C thành D.Vì vậy K thành K’ thuộc cạnh BD và AK = BK’.Mặt khác MN cũng là trục đối xứng của mặt phẳng đi qua 3 điểm (K,M,N), nên K’ thuộc mặt phẳng đó.Vậy K’ là giao của BD với (KMN) hay K’ trùng với L. 6.Cho hai đường thẳng x,y cắt và vuông góc với nhau tại O.Ta đặt Ð = Ð(y)•Ð(x).CMR Ð là phép đối xứng qua một đường thẳng z, trong đó z vuông góc với mặt phẳng chứa x,y tại O. Hướng dẫn :Ta tìm đường thẳng bất động của Ð.Gọi z là đường thẳng bất động của Ð và M là điểm bất kỳ thuộc z.Theo định nghĩa Ð(x) : M→ M’, khi đó MM’ vuông góc với x tại trung điểm của nó.Ð(y) : M’→ M, khi đó M’M vuông góc với y tại trung điểm của nó.Vậy thì x, y cùng đi qua trung điểm của MM’ và vuông góc với nó.Ðiều đó 15
chứng tỏ giao điểm O của x và y là trung điểm của MM’và MM’ vuông góc với mặt phẳng chứa x,y.MM’ là đường thẳng z . Gỉa sử X là điểm bất kỳ không thuộc z , X’ là ảnh của X qua phép biến đổi Ð(x), khi đó XX’ vuông góc với x tại trung điểm H của nó. X’’ là ảnh của X’ qua phép biến đổi Ð(y), khi đó X’X’’ vuông góc với y tại trung điểm K của nó.Ta cần chứng minh rằng z là đường trung trực của XX’’.Gọi I là giao điểm của đường thẳng kẻ qua X’ và song song với z.Hiển nhiên mặt phẳng (IXX’)//y và (IX’X’’)//x, do đó tứ giác OHIK là hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm của XX’’, khi đó X’N đi qua giao điểm các đường chéo hình chữ nhật OHIK và nhận giao điểm đó là trung điểm. Vì vậy ON//X’I.Ðiều đó chứng tó N thuộc z.Mặt khác XX’’//KH , do đó XX’’⊥ z.Ðó là điều cần chứng minh. 7.Tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD, BCD bằng nhau và ABC,ABD bằng nhau .Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.CMR MN là trục đối xứng của tứ diện. Hướng dẫn:Từ A ,B,M ta hạ các đường vuông góc xuống CD và ký hiệu H,K,M’ lần lượt là chân các đường vuông góc đó.Nếu 2 trong 3 điểm đó trùng nhau, thì cả 3 điểm trùng nhau.Vì vậy tam giác AM’B cân tại M’.MM’ là đường vuông góc chung của AB và CD.Tam giác MCD cân tại M, vì CM và DM là hai đường cao của hai tam giác ABC và ABD.Do đó MM’ là trung tuyến của tam giác MCD và M’ trùng với N. Trường hợp H,K,M’ khác nhau, khi đó tồn tại 3 mặt phẳng cùng vuông góc với CD và chứa các đường thẳng BK,AH,MM’.Theo định lý Ta lét ta có M’K=M’H.Do đó M’B =M’A.Tam giác M’AB cân tại M’ và MM’ là đường vuông góc chung của AB và CD. Tương tự ta cũng có NN’ là đường vuông góc chung của AB và CD. 8.Cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau .CMR tồn tại một phép đối xứng biến a thành (a) và biến (b) thành (b). Hướng dẫn : Gọi (c) là đường vuông góc chung của (a) và (b).Phép đối xứng qua(c) biến các đường thẳng đó thành chính nó 9.CMR nếu một hình tứ diện có trục đối xứng, thì trục đối xứng đó không đi qua đỉnh của tứ diện. Hướng dẫn.Ta xét tứ diện ABCD có trục đối xứng là d đi qua A.Với mỗi điểm M thuộc tứ diện tồn tại điểm M’ thuộc tứ diện đối xứng với M qua d.Ta dựng mặt phẳng P đi qua MM’ và d, khi đó P cắt tứ diện theo một thiết diện tam giác có một đỉnh là A.Vì d cũng là trục đối xứng của P, nên d là trục đối xứng của thiết diện.Thiết diện tam giác có trục đối xứng , thì tam giác đó cân tại A.Vậy d vuông góc với mặt BCD tại H.Do d là trục đối xứng của tam giác BCD không nằm trong mặt phẳng chứa tam giác đó , nên H là tâm đối xứng của tam giác đó.Ðiều này không thể xảy ra, vì tam giác không có tâm đối xứng. 10.CMR đường chéo của một hình lập phương không thể là trục đối xứng của nó. Hướng dẫn.Ta xét lập phương ABCDA’B’C’D’ và giả sử AC’ là trục đối xứng của nó.Ta xét thiết diện ABC’D’ của lập phương.Thiết diện đó là phần chung cuat lập phương và mặt phẳng P đi qua AC’.Ta biết rằng AC’ là trục đối xứng của P, do đó AC’ là trục đối xứng của phần chung hai hình.Vậy AC’ là trục đối xứng cỉa chính thiết diện 16
ABC’D’.Nếu một đường chéo tứ giác lồi là trục đối xứng , thì đường chéo đó là phân giác chung của hai góc tứ giác mà đỉnh là các đầu mút đường chéo. Vì vậy AB=AD’ Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán. 11.Cho hình lập phươngABCDA’B’C’D’.Ta xét một hình (F) gồm các đường thẳng AB, CC’ và A’D’.CMR (F) là hình có trục đối xứng. Hướng dẫn. gọi I , J lần lượt là trung điểm của A’D’ và BC.Ðường thẳng IJ là trục đối xứng của (F). 12.CMR nếu một hình chóp có trục đối xứng đi qua đỉnh , thì đáy của hình chóp là một đa giác có số chẵn cạnh. Hướng dẫn.Gọi S là đỉnh của hình chóp và d là trục đối xứng của nó đi qua S . Nếu d song song với đáy hình chóp, thì ảnh của đáy thuộc một mặt phẳng song song với đáy của nó.Ðiều này không thể xảy ra vì các ảnh đó không thuộc hình chóp.Bởi vậy d phải cắt mặt phẳng đáy.Ta xét một thiết diện bất kỳ của hình chóp đi qua d.Thiết diện đó là một tam giác có trục đối xứng, nên tam giác đó cân tại đỉnh S.Vậy d vuông góc với cạnh đáy tam giác và do đó d vuông góc với đáy.Ðường thẳng d là trục đối xứng của đáy ,nên giao điểm của d với đáy là tâm đối xứng của đáy.Một đa giác có tâm đối xứng, thì số cạnh là chẵn. 13.CMR nếu một hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng, thì lăng trụ đó có cạnh bên vuông góc với đáy. Hướng dẫn.Ta ký hiệu ABCA’B’C’ là hình lăng trụ có tính chất đã nêu trong bài toán (AA’//BB’//CC’) và d là trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d không thể nằm trong mặt phẳng đáy lăng trụ, chẳng hạn d thuộc mặt phẳng (ABC),vì phép đối xứng qua d biến các đỉnh A’,B’,C’ nằm trong mặt phẳng song song với (ABC) và khác phía với (A’B’C’).Ðiều đó chứng tỏ ảnh của A’,B’,C’ không thuộc lăng trụ.Ta cũng thấy rằng d không cắt đáy của lăng trụ, vì nếu d cắt (ABC) tại O, thì ảnh của mỗi cạnh bên là một cạnh bên, điều đó chứng tỏ d phải thuộc một mặt bên.Ðiều đó không thể xảy ra.Vậy thì d song song với đáy của lăng trụ.Phép đối xứng qua d biến (ABC) thành (A’B’C’),mặt bên chứa A thành mặt bên chứa A’, vì vậy A thành A’.Ðiều đó chứng tỏ d vuông góc với AA’ hay AA’ vuông góc với đáy lăng trụ. 14.CMR một hình nón tròn xoay có duy nhất một trục đối xứng. 15.CMR hình trụ tròn xoay có vô số trục đối xứng. 16.CMR một hình hộp chữ nhật không có quá 3 trục đối xứng. Hướng dẫn.Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật (AA’//BB’//CC’//DD’) và d là một trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d không nằm trong mặt phẳng chứa mặt hình hộp, vì vậy d cắt hai mặt song song của hình hộp không thuộc cạnh hình hộp.Chẳng hạn d cắt ABCD tại I và A’B’C’D’ tại I’ là các điểm trong của hình chữa nhật(nếu I và I’ trùng với hai đỉnh nào đó, thì II’ là đường chéo hình hộp ,chẳng hạn đó là đường chéo AC’.Ðường chéo đó là trục đối xứng của các tứ giác ABC’D’ và AB’C’D.Ðiều này không thể xảy ra).Ta xét thiết diện tứ giác của hình hộp đi qua II’.Thiết diện đó là hình bình hành có trục đối xứng, nên nó là hình chữ nhật.Có ít nhất hai thiết diện khác nhau như thế, nên d vuông góc với ABCD và d// BB’.Xét thiết diện 17
đi qua BB’ và II’.Vì nó nhận II’ là trục đối xứng, do đó ảnh của BB’ là CC’.Ðiều đó chứng tỏ d đi qua giao điểm các đường chéo của hai mặt ABCD và A’B’C’D’. 17.Một đa giác đều n- cạnh trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng ? Hướng dẫn. Với n chẵn số trục đố xứng của đa giác nằm trong mặt phẳng chứa nó bằng n.Vì đa giác có một tâm đối xứng, nên đường thẳng đi qua tâm đối xứng và vuông góc với mặt phẳng đa giác là một trục đối xứng nữa.Vậy só trục đối xứng là n+1. Với n lẻ, số trục đối xứng nằm trong mặt phẳng bằng n.Ða giác không có tâm đối xứng, nên trục đối xứng của đa giác không nằm trong mặt phẳng chứa nó là không tồn tại. 18.Một hình thang cân trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng? Trả lời : 1 , vì hình thang cân không có tâm đối xứng. 19.Hình thoi trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng ? Trả lời : 3.Nếu một đa giác phẳng trong không gian có trục đối xứng không thuộc mặt phẳng chứa nó, thì đa giác đó có tâm đối xứng. Dựng hình 1.Cho mặt phẳng P và hai đường thẳng (x), (y) chéo nhau không thuộc P .Hãy tìm trong P điểm A và trên (y) điểm B sao (x) là đường trung trực của đoạn AB. Hướng dẫn.Gọi (y’) là ảnh của (y) qua phép biến đổi Ð(x).Giao điểm của (y’)nếu có là điểm A.B là ảnh của A qua phép biến đổi đó 2.Cho hai mặt phẳng P, Q và một đường thẳng (x) không nằm trong cả hai mặt phẳng đó.Hãy tìm điểm A trong P sao cho tồn tại trong Q điểm B đối xứng với A qua (x). 3.Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d.Hãy dựng một tứ diện đều có một đỉnh là A và đường thẳng d đi qua trung điểm hai cạnh chéo nhau của tứ diện. Hướng dẫn. Gọi B là điểm đối xứng của A qua d, M là giao của AB và d.Dựng điểm N trên d sao cho MN = AM 2 .Dựng đường thẳng d’ đi qua N vuông góc đồng thời với d và AB.Trên d’ dựng các điểm C và D sao cho NC=ND = AM. 4.Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A.Hãy dựng một hình lập phương sao cho A là một đỉnh, d là đường thẳng đi qua tâm hai mặt song song của nó. Tìm tập hợp điểm 1.Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.Trên đoạn AC và B’D’ ta lấy lần lượt các điêm M,N sao cho AM = D’N.Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN, khi M và N biến thiên. Hướng dẫn : Gọi I, J lần lượt là trung điểm các đoạn AD’ và B’C.Khi đó IJ là trục đối xứng biến A thành D’ và C thành B’.Vì vậy M thành M’ thuộc đoạn D’B’ và AM = D’M’. Theo giả thiếtAM = D’N, do đó M’ và N trùng nhau.Vậy trung điểm của MN thuộc đoạn IJ.Nếu AC =B’D’ , thì tập hợp cần tìm là đoạn IJ.Nếu AC ≠ B’D’, thì tập hợp cần tìm là một tập hợp con thuộc đoạn IJ. 2.Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác cân ABC (AB=AC).Trên các cạnh AC và A’B’ ta lấy các điểm tương ứng M và M’ sao cho AM =A’M’.Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MM’. 18
Hướng dẫn. Gọi I,J là trung điểm cạnh bên AA’ và giao các đường chéo hình chữ nhật BCC’B’.Hiển nhiên IJ là trục đối xứng của hai đoạn AC và A’B’.Vậy M và M’ cũng đối xứng với nhau qua IJ.Trung điểm của MM’ thuộc đoạn IJ. 3.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD và các cạnh bên SA=SC, SB = SD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC.Trên các đoạn BM và DN ta BK DH lấy các điểm tương ứng K và H sao cho BM = DN .Tìm tập hợp trung điểm của đoạn KH. Hướng dẫn. Gọi O là giao điểm các đường chéo đáy, khi đó SO là trục đối xứng của hai đoạn BM và DN. 19