Khóa luận tốt nghiệp Đại học: Xây dựng chương trình mô phỏng vận chuyển Photon Electron bằng phương pháp Monte Carlo

Chia sẻ: Little Little | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

95
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp Đại học "Xây dựng chương trình mô phỏng vận chuyển Photon Electron bằng phương pháp Monte Carlo" được nghiên cứu nhằm mục đích: Tìm hiểu sâu hơn về các thuật toán được sử dụng trong các chương trình mô phỏng đồng thời góp phần nâng cao kiến thức, nghiên cứu phát triển các thuật toán mô phỏng Monte Carlo cho bài toán vận chuyển hạt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp Đại học: Xây dựng chương trình mô phỏng vận chuyển Photon Electron bằng phương pháp Monte Carlo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA VẬT LÝ BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN ------------------------------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG VẬN CHUYỂN PHOTON-ELECTRON BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO SVTH : Nguyễn Thanh Tân CBHD : ThS. Trƣơng Thị Hồng Loan CN. Đặng Nguyên Phƣơng CBPB : ThS. Trần Thiện Thanh TP HỒ CHÍ MINH – 2009
1 LỜI CẢM ƠN Vậy là bốn năm đại học cũng sắp qua. Khi hoàn thành khóa luận này tôi cũng đã sắp bƣớc qua ngƣỡng của đại học, bốn năm qua tôi đã học hỏi đƣợc nhiều điều nhờ sự tận tình dạy bảo và giúp đỡ của thầy cô và bạn bè. Đặc biệt trong khóa luận vừa rồi tôi thật sự biết ơn sự chỉ dẫn của thầy cô và các bạn đã giúp tôi không những hoàn thành luận văn mà còn giúp tôi hiểu biết lên nhiều. Trƣớc hết tôi chân thành cảm ơn cô Trƣơng Thị Hồng Loan đã gợi mở đề tài và cũng nhƣ cung cấp tài liệu và nhiệt tình hƣớng dẫn tôi hoàn thành khóa luận Tôi chân thành cảm ơn anh Đặng Nguyên Phƣơng cũng là ngƣời đã trực tiếp cung cấp tài liệu và hƣớng dẫn tôi từng bƣớc hoàn thành khóa luận, là ngƣời thƣờng xuyên đốc thúc nhiệt tình, góp ý sửa sai và giúp tôi hoàn chỉnh khóa luận cũng nhƣ chƣơng trình. Cảm ơn các anh chị trong nhóm lập trình đã chia sẻ, góp ý động viên tôi hoàn thành khóa luận. Cảm ơn các bạn tôi đặc biệt là Bùi Trung Thuận và Nguyễn Anh Khoa đã nhiệt tình góp ý, động viên tôi hoàn tất khóa luận. Cuối cùng cảm ơn em trai và ba mẹ đã thƣờng xuyên quan tâm và đốc thúc con hoàn thành khóa luận. TP. HCM, tháng 5 năm 2009 NGUYỄN THANH TÂN
2 MỤC LỤC MỤC LỤC Trang Danh mục các ký hiệu sử dụng trong khóa luận ............................................................. 4 Danh mục các hình vẽ và bảng số liệu ........................................................................... 4 LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5 CHƢƠNG 1: MÔ PHỎNG MỘT SỐ TƢƠNG TÁC CỦA PHOTON VỚI VẬT CHẤT ........................................................................................................................... 7 1.1. Hiệu ứng quang điện ............................................................................................... 7 1.1.1. Khái niệm ......................................................................................................... 7 1.1.2. Mô phỏng hiệu ứng quang điện .................................................................................8 1.2. Va chạm Rayleigh .................................................................................................. 9 1.2.1. Khái niệm ......................................................................................................... 9 1.2.2. Mô phỏng va chạm Rayleigh .......................................................................... 10 1.3. Va chạm Compton ................................................................................................ 12 1.3.1. Khái niệm ....................................................................................................... 12 1.3.2. Mô phỏng va chạm Compton .......................................................................... 13 1.4. Hiện tƣợng tạo cặp................................................................................................ 17 1.4.1. Khái niệm ....................................................................................................... 17 1.4.2. Mô phỏng hiện tƣợng tạo cặp .......................................................................... 18 CHƢƠNG 2: TƢƠNG TÁC CỦA ELECTRON VỚI VÂT CHẤT ............................ .23 2.1. Va chạm đàn hồi ................................................................................................... 23 2.1.1. Khái niệm ....................................................................................................... 23 2.1.2. Mô phỏng va chạm đàn hồi ......................................................................................24 2.1.2.1. Phƣơng pháp sóng riêng phần ............................................................................27 2.1.2.2. Mô hình Wenzel (MW) ......................................................................................28 2.2. Va chạm không đàn hồi ........................................................................................ 32
3 2.2.1. Khái niệm ....................................................................................................... 32 2.2.2. Mô phỏng va chạm không đàn hồi ...........................................................................32 2.3. Hiện tƣợng phát bức xạ hãm ................................................................................. 33 2.3.1. Khái niệm ....................................................................................................... 33 2.3.2. Mô phỏng hiện tƣợng hiện tƣợng phát bức xạ hãm ......................................... 34 2.3.2.1. Mô phỏng năng lƣợng photon phát ra ................................................................35 ......................................................................36 2.4. Va chạm mềm ....................................................................................................... 37 2.4.1. Khái niệm ....................................................................................................... 37 2.4.2. Mô phỏng va chạm mềm ................................................................................ 37 2.4.2.1. Góc lệch trong va chạm mềm .................................................................... 38 2.4.2.2. Sự mất năng lƣợng mềm ........................................................................... 41 CHƢƠNG 3: MÔ PHỎNG VẬN CHUYỂN PHOTON VÀ ELECTRON ................... 44 3.1. Tiết diện tƣơng tác ................................................................................................ 44 3.2. Mô phỏng kết hợp electron / photon ..............................................................................45 3.2.1.Thƣ viện tiết diện .....................................................................................................45 3.2.2. Vận chuyển kết hợp electron photon ............................................................... 46 3.2.3. Mô phỏng electron .......................................................................................... 47 3.3. Xây dựng chƣơng trình mô phỏng electron / photon ............................................. 47 3.3.1. Mô phỏng photon ............................................................................................ 47 3.3.2. Mô phỏng electron .......................................................................................... 47 3.3.3. Xây đựng chƣơng trình ................................................................................... 47 3.2.4. Mô phỏng photon ............................................................................................ 50 CHƢƠNG 4: KẾT QUẢ CHẠY CHƢƠNG TRÌNH TRONG MỘT SỐ VẬT LIỆU .. 51 4.1. Hình học mô phỏng và detector ............................................................................ 51 4.2. Kết quả mô phỏng photon ..................................................................................... 52 4.3. Kết quả mô phỏng electron ................................................................................... 54
4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................................ 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 59 PHỤ LỤC 1: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ HỖ TRỢ MÔ PHỎNG ......................... 60 PHỤ LỤC 2: PHẦN LẬP TRÌNH CỦA CHƢƠNG TRÌNH ....................................... 64
5 CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN re hằng số bán kính cổ điển của electron có giá trị 2.817940325.10-13 cm α hệ số cấu trúc có giá trị 1/137.0359991 c vận tốc ánh sáng trong chân không có giá trị 2.99792458 108 ms-1 me khối lƣợng của electron có giá trị 9.1093826 108ms 1  hằng số Planck thu gọn  h/ 2π có giá trị bằng 6.58211 10-16ev s
6 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ BẢNG SỐ LIỆU Hình 1.1: Năng lƣợng ion hóa các lớp electron bên trong của nguyên tử tự do .............. 7 Hình 1.2: Thừa số dạng của nguyên tử C và Pb ........................................................... 10 Hình 1.3: Biểu đồ Feynman về hiện tƣợng Compton ................................................... 13 Hình 1.4: Biểu đồ của Feynman về hiện tƣợng tạo cặp ............................................... 18 Hình 1.5: Tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp theo hàm của năng lƣợng của electron ....................................................................................................................... 22 Hình 2.1: Tiết diện của va chạm đàn hồi vi phân của electron trong một số chất theo góc va chạm của electron bay ra .................................................................................. 26 Hình 2.2: Tiết diện của hiện tƣợng va chạm đàn hồi vi phân của electron lên phân tử nƣớc ............................................................................................................................ 28 Hình 3.1: Sự lệch góc do va chạm mềm ở electron ...................................................... 48 Hình 3.2: Sơ đồ khối quá trình mô phỏng photon ....................................................... .50 Hình 3.3: Sơ đồ khối quá trình mô phỏng electron ....................................................... 49 Hình 3.4: Sơ đồ khối quá trình chạy của chƣơng trình ................................................. 49 Hình 4.1: Bố trí hình học của nguồn và detector trong quá trình mô phỏng................. .51 Hình 4.2: Phổ photon 0.1 MeV mô phỏng với detector Ge (Z = 32)............................. 52 Hình 4.3: Phổ photon 1.0 MeV mô phỏng với detector Ge (Z = 32)............................. 52 Hình 4.4: Đƣờng cong hiệu suất đỉnh của chƣơng trình so sánh với MCNP ............... .51 Hình 4.5: Vết của photon 1.0 MeV tƣơng tác trong Ge ................................................ 53 Hình 4.6: Vết của photon 1.0 MeV tƣơng tác trong môi trƣờng khí hidro (Z = 1)……54 Hình 4.7: Vết quỹ đạo của electron 2.0 MeV trong Ge (Z=32), khuếch đại ở vùng quan tâm ....................................................................................................................... 55 Hình 4.8: Phổ của electron năng lƣợng 1.0 MeV trong Es (Z=99) .............................. 55 Bảng 4.1: Hiệu suất của đỉnh của chƣơng trình và MCNP khi mô phỏng photon vận chuyển trong môi trƣơng Ge(Z=32) ở các năng lƣợng khác nhau ............................... 55
7 LỜI MỞ ĐẦU Phƣơng pháp Monte Carlo là một trong phƣơng pháp tính toán phổ biến nhất trong việc giải quyết các bài toán vật lý và toán học. Phƣơng pháp này là một kĩ thuật giải tích số dựa trên việc sử dụng một chuỗi các số ngẫu nhiên để thu đƣợc giá trị gieo lấy mẫu của các thông số trong bài toán. Trong bài toán vận chuyển hạt, phƣơng pháp Monte Carlo đƣợc sử dụng rất rộng rãi để mô phỏng các vận chuyển cũng nhƣ tƣơng tác của các hạt (neutron, photon, electron, positron, alpha, . . .). Trong vòng khoảng 50 năm trở lại đây kể từ khi phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo bằng máy tính ra đời tại Phòng Thí nghiệm Los Alamos với sự đóng góp của Ulam, von Neuman, Fermi, Metropolis, Richtmyer [1]; hàng loạt chƣơng trình mô phỏng vận chuyển bức xạ đƣợc ra đời: MCNP (Los Alamos 1977), EGS (SLAC 1978), GEANT (CERN 1974), PENELOPE (U. Barcelona 1996), TRIPOLI (NEA 1976), . . . Mỗi chƣơng trình đều có những ƣu khuyết điểm riêng nhƣng tất cả đều dựa trên nền tảng của phƣơng pháp Monte Carlo. Trong thời gian qua, một số chƣơng trình mô phỏng Monte Carlo đặc biệt là chƣơng trình MCNP đã và đang đƣợc sử dụng để mô phỏng tính toán cho hệ phổ kế gamma HPGe tại Bộ môn Vật lý Hạt nhân. Khóa luận này đƣợc thực hiện nhằm mục đích tìm hiểu sâu hơn về các thuật toán đƣợc sử dụng trong các chƣơng trình mô phỏng đồng thời góp phần nâng cao kiến thức, nghiên cứu phát triển các thuật toán mô phỏng Monte Carlo cho bài toán vận chuyển hạt. Đây cũng là bƣớc đầu cho việc xây dựng một chƣơng trình mô phỏng Monte Carlo hoàn chỉnh có thể so sánh với các chƣơng trình khác hiện nay trên thế giới.
8 CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT VÀ MÔ PHỎNG MỘT SỐ TƢƠNG TÁC CỦA PHOTON VỚI VẬT CHẤT 1.1. HIỆU ỨNG QUANG ĐIỆN 1.1.1. Khái niệm Hiệu ứng quang điện là hiện tƣợng photon bị các electron của nguyên tử vật chất hấp thụ hoàn toàn và phát ra các electron quang điện. Photon tƣơng tác quang điện chủ yếu xảy ra ở các lớp electron bên trong của nguyên tử vật chất đặc biệt là lớp K,các lớp phía ngoài cũng xảy ra hiện tƣợng quang điện nhƣng với xác suất nhỏ hơn. Khi tƣơng tác quang điện xảy ra photon bị hấp thụ bởi electron của nguyên tử, khi đó electron này bị kích thích thoát khỏi vỏ nguyên tử với động năng Ee=E-Ui tạo thành các electron quang điện. Với E là năng lƣợng photon, Ui là năng lƣợng ion hóa của electron lớp i bị tƣơng tác quang điện. Hình 1.1: Năng lƣợng ion hóa các lớp electron bên trong của nguyên tử tự do
9 Hiện tƣợng quang điện xảy ra chủ yếu với photon năng lƣợng thấp và có xác suất tỉ lệ với lũy thừa bậc năm của Z môi trƣờng. 1.1.2. Mô phỏng hiệu ứng quang điện Khi electron tƣơng tác quang điện với vật chất, xác suất photon đó tƣơng tác với eletron thứ i đƣợc cho bởi pi =ζ ph,i Z,E /ζph Z,E (1.1) Trong đó p i là sác xuất sảy ra hiệu ứng quang điện đối với electron lớp thứ i. ζ ph,i Z,E là tiết diện tƣơng tác quang điện của photon với electron thứ i ζ ph Z,E là tiết diện tƣơng tác quang điện toàn phần Photon tƣơng tác quang điện có xác suất xảy ra lớn ở các lớp electron trong cùng của nguyên tử đặc biệt là lớp K, các lớp phía ngoài cũng xảy ra hiện tƣợng quang điện nhƣng với xác suất nhỏ hơn. Gọi xác suất xảy ra hiện tƣợng quang điện ở các lớp trong là pK , pL1 … khi đó xác suất xảy ra quang điện ở lớp ngoài là pout =1-pK -pL1 -...-pM5 (1.2) Sau tƣơng tác quang điện electron quang điện tạo ra có động năng Ee =E-Ui (1.3) Để mô phỏng hiện tƣơng quang điện ta đi từ công thức tiết diện vi phân của hiện tƣợng quang điện theo góc khối Ωe là góc mà electron quang điện phát ra 5 dζ ph Z β3 sin 2θe 1 =r α e 2 4 1+ γ γ-1 γ-2 1-βcosθ e (1.4) dΩe E γ 1-βcosθe 4 2 Trong đó: γ=1+E e / mec2 (1.5) E e E e +2m ec 2 và β= (1.6) E e +m ec 2
10 Đặt v=1-cosθe từ công thức tiết diện vi phân trên ta có công thức xác suất của v là 1 1 v 1 p v = 2-v + βγ γ-1 γ-2 với A= -1 (1.7) A+v 2 A+v 3 β Từ (1.7) hàm p(v) có thể ghi lại dƣới dạng p v =g v .π v (1.8) 1 1 Trong đó g v = 2-v . + βγ. γ-1 . γ-2 (1.9) A+v 2 2 A A+2 v và π v = . 3 (1.10) 2 A+v Khi mô phỏng ta dùng hàm π v để mô phỏng v còn hàm g(v) làm hàm kiểm tra. Hàm π v là hàm xác suất đã chuẩn hóa dùng mô phỏng v theo phƣơng pháp hàm ngƣợc. v π v' dv'=ξ (1.11) 0 Nhờ các tính toán ta có công thức mô phỏng v 2A v= 2 2ξ+ A+2 ξ1/2 (1.12) A+2 -4ξ 1.2. TÁN XẠ RAYLEIGH 1.2.1. Khái niệm Va chạm Rayleigh là hiện tƣợng photon bị va chạm bởi thành nguyên tử, hƣớng tới của photon bị thay đổi nhƣng năng lƣợng không đổi. Trong các công thức phổ biến tính tiết diện tƣơng tác và mô phỏng va chạm Rayleigh thƣờng sử dụng các thừa số dạng F q,Z .
11 Hiện tƣợng va chạm Rayleigh chỉ xảy ra với photon năng lƣợng thấp với xác suất thấp. Trong va chạm Rayleigh, phƣơng của photon thay đổi còn năng lƣợng không đổi vì vậy ta chỉ mô phỏng hƣớng của photon. Trong chƣơng trình này chỉ mô phỏng va chạm Rayleigh cho photon có năng lƣợng dƣới 2 MeV. Hình 1.2: Thừa số dạng của nguyên tử C va Pb. Trong biểu đồ trên q là độ biến thiên động năng của photon trong va chạm Rayleigh. 1.2.2. Mô phỏng va chạm Rayleigh Tiết diện của va chạm Rayleigh vi phận theo góc khối của photon bay ra có dạng dζ Ra dζT 2 = F q,Z (1.13) dΩ dΩ Trong đó dζT 2 1+cos 2θ =re (1.14) dΩ 2 là tiết diện va chạm Rayleigh vi phận đối với electron tự do của Thomson.
12 sin qr/h 2 và F q,Z =4π ρ r r dr (1.15) 0 qr/h là thừa số dạng của môi trƣờng. ρ r là mật độ môi trƣờng. Thừa số dạng F q,Z là hàm giảm theo q với F 0,Z =Z và F ,Z =0 . Theo phân tích gần đúng của Baro (1994) 1+a1x 2 +a 2 x 3 +a 3x 4 f x,Z =Z. 2 Fk q,Z = 1+a 4 x 2 +a 5 x 4 (1.16) max f x,Z ,Fk q,Z nê'u Z>10 và f x,Z
13 1 dζ Ra 2 ζ Ra = dΩ=π.re 1+cos 2θ F q,Z 2 d cosθ (1.22) dΩ -1 Trong chƣơng trình này F(q,Z) đƣợc tính sẵn và lƣu vào file số liệu. Ta có hàm phân phối của cosθ 1+cos 2θ 2 pRa cosθ = . F x,Z (1.23) 2 Từ (1.23) Có thể ghi lại hàm phân phối dƣới dạng pRa cosθ =f cosθ π x 2 (1.24) Trong đó 1+cos 2θ Hàm kiểm tra f cosθ = (1.25) 2 2 Hàm để mô phỏng π x 2 = F x,Z (1.26) 2 Trong hợp chất F x,Z đƣợc thay thế bằng tổng bình phƣơng các thừa số dạng của các đơn nguyên tố. 1.3 TÁN XẠ COMPTON 1.3.1. Khái niệm Va chạm Compton là tƣơng tác của photon với các electron tự do trong đó photon truyền một phần năng lƣợng cho electron và lệch hƣớng so với ban đầu. Trong các chƣơng trình lớn hiện tƣợng tán xạ Compton đƣợc mô phỏng kèm trong tán xạ không đàn hồi của photon trong đó, photon không chỉ tán xạ với electron tự do mà còn tán xạ với các electron liên kết.
14 Hình 1.3: Biểu đồ Feynman về hiện tƣợng Compton 1.3.2. Mô phỏng va chạm Compton  Xét photon trƣớc va chạm có đặc trƣng bởi (E/c, p ) sau va chạm đặc trƣng bởi  (E/c’, p' ). Trƣờng hợp va chạm Compton xảy ra đối với electron tự do có tiết diên vi phân theo Klein-Nishina nhƣ sau dζ KN =πre2 ZX KN (1.27) dcosθ Trong đó 2 E Ec E X KN = c . + -sin 2θ (1.28) E E Ec với là góc bay ra của photon sau va chạm E Ec = (1.29) 1+E 1-cosθ /m ec 2 Trƣờng hợp tổng quát tiết diện vi phân của va chạm Compton tại năng lƣợng nhất định có dạng d 2ζcomp re2 -1/2 = . 1+p 2z .X.J p z (1.30) dE'dΩ 2
15 Trong đó 2 R R' 1 1 1 1 X= + +2 - + - (1.31) R' R R R' R R' 2 E pz E-E'cosθ với R= . 1+ + pz (1.32) mec2 m ec qm ec 2 EE' R'=R- 2 . 1-cosθ (1.33) mec2 Khi pz
16 pp' 1-cosθ - p-p' mec EE' 1-cosθ -mec 2 E-E' pz = = (1.41) q qc2 Ta thấy pz 1. Kết hợp các tính toán ta có d 2ζ comp r02 = X KNS E,cosθ (1.42) dE'dΩ 2 Trong đó S E,cosθ = ZiΘ E-U i Si (1.43) Hàm Si có công thức nhƣ sau pi Si = dpz Ji pz F E,cosθ,pz (1.44) -¥ 1-αp , p Z -p với F E,cosθ,p z = 1+αp , p Z
17 1 1 2 J i p z =J i,0 1+J i,0 p z exp - 1+2J i,0 pz (1.49) 2 2 Suy ra hàm S E,cosθ có công thức chi tiết Si E,cosθ e-b 1-αp , pi -p 2 e-b α π 1/2 1+2J i,0 p 1+2J i,0 pi 1+αpi - e Erf -Erf , pi 0 2 4J i,0 2 2 2 (1.50) = e-b α π 1/2 1+2J i,0 p 1+2J i,0 pi 1- 1+αpi - e Erf -Erf ,pi
18 X cosθ dcosθ p1 cosθ = 1 KN (1.54) X KN cosθ dcosθ -1 Trong đó θ là góc va chạm so với phƣơng Z của photon tới của photon sau tán sạ. Đặt ε=Ec/E là tỉ số giữa năng lƣợng sau va chạm và năng lƣợng trƣớc va chạm của photon. Khi đó hàm phân phối của ε có dạng dε 1 p1 ε =p1 ε =N +ε-sin 2θ (1.55) dcosθ ε P1 có thể viết lại dƣới dạng 1 p1 ε =N α1 +α 2 ε+ - sin 2θ (1.56) ε Trong đó N(α1+α2) là hằng số không thích hợp không cần mô phỏng ta chỉ mô phỏng với với hàm mật độ sác xuất chƣa chuẩn hóa của ε là hàm. 1 1 p ε = ε+a+b +c (1.57) ε ε2 2 1 1 1 1 Trong đó a= 1+ -1 b=1-2. 1+ b= (1.58) k k k k2 1.4. HIỆN TƢỢNG TẠO CẶP 1.4.1. Khái niệm Hiện tƣợng tạo cặp chỉ xảy khi photon bị hấp thụ ở lân cận hạt nhân hoặc eletron. Nếu photon bị hấp thụ ở lân cận hạt nhân thì năng lƣợng ngƣỡng của của photon là 1.022 MeV. Nếu hiện tƣợng tạo cặp xảy ra ở lân cận electron thì năng lƣợng ngƣỡng của photon là 4 MeV, trong quá trình này electron tại nơi mà xảy ra hiện tƣợng tạo cặp bị bật lại nên trong quá trình có ba hạt bay ra do đó gọi là hiện tƣợng “triplet produce”.
19 Hình 1.4: Biểu đồ của Feynman về hiện tƣợng tạo cặp. 1.4.2. Mô phỏng hiện tƣợng tạo cặp Công thức Bethe-Heitler của tiết diện vi phân của hiện tƣợng tạo cặp BH dζ pp 2 2 =re2αZ Z+η ε 2 + 1-ε Φ1 -4f C + ε 1-ε Φ 2 -4f C (1.59) dε 3 với ε= E - +mec2 /E (1.60) Trong đó E_ là năng lƣợng của electron đƣợc tạo ra E là năng lƣợng của photon tới Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ε ε min =mec2 /E=k -1 ε max =1-mec2 /E=1-k -1 (1.61) và Φ1 =2-2ln 1+b 2 -4b arctan b -1 +4ln Rmec/ (1.62) 4 Φ2 = -2ln 1+b2 -2b2 4-4b arctan b-1 -3ln 1+b-2 +4ln Rmec/ (1.63) 3 Các hàm Φ1 , Φ 2 là các hàm Green, kết quả của các tích phân liên quan đến thừa số dạng của nguyên tử, đƣợc tính bằng các phƣơng pháp số khi dựa vào các thừa số dạng tƣơng đối tính.