Khóa luận tốt nghiệp: Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

Chia sẻ: Hoàng Văn Phụng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

192
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng" đã hoàn thành với kết cấu được chia làm 3 chương: chương 1 kiến thức chuẩn bị về vành đa thức, chương 2 trình bày về phân thức hữu tỷ, chương 3 một số bài toán liên quan đến phân thức hữu tỷ và một số phương trình và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
Mục lục Mở đầu..........................................................................................................1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.................................................................2 1.1. Xây dựng vành K[X]............................................................................2 1.2. Hàm đa thức..........................................................................................6 1.3. Số học trong K[X]................................................................................7 1.4. Không điểm của đa thức......................................................................10 1.5. Đa thức với hệ số phức và thực..........................................................12 Chương 2. Phân thức hữu tỷ.....................................................................16 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ...............................................16 2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản.....................................................22 2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG)...........28 2.4. Công thức nội suy Lagrange................................................................38 Chương 3. Một số bài toán liên quan.......................................................42 3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ............................42 3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân th ức h ữu t ỷ ........................................................................................................................45 3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ............................53 Kết luận........................................................................................................58 Tài liệu tham khảo......................................................................................59
Mở đầu Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu tỷ còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương. Chương 1: Là kiến thức chuẩn bị về vành đa th ức bao g ồm cách xây dựng vành đa thức K[X], hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm của đa thức và đa thức với hệ số phức và th ực, đ ặc bi ệt ch ương này giới thiệu một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Đ ịnh lý d’Alambert); giới thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng. Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng nh ư cách thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân tích phân thức hữu tỷ Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ. Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới T.S Trần Nguyên An đã dành thời gian hướng dẫn chỉ bảo t ận tình giúp đ ỡ trong suốt quá trình làm luận văn này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đ ầy đ ủ và phong phú hơn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 5
Lê Hải Hà Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn ta giả sử K là một trường. 1.1. Xây dựng vành đa thức K [ X ] 1.1.1. Định nghĩa. (i). Với mọi dãy ( an ) n ﾥ thuộc K n , ta gọi tập hợp các n thuộc ﾥ sao cho an 0 là giá của ( an ) n ﾥ . (ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong K ) là dãy ( an ) n ﾥ bất kỳ thuộc K n có giá hữu hạn. (iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong K kí hiệu là K [ X ] . Như thế, K [ X ] K ﾥ và với mọi dãy ( an ) n ﾥ thuộc K ﾥ : ( an ) n ﾥ �K [ X ] � ( ∃N �ﾥ , ∀n �ﾥ , ( n > N � an = 0 ) ) . Các phần tử của K [ X ] cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy hằng không thuộc K ﾥ (xác định bởi: ∀n �ﾥ , an = 0 ), được gọi là đa thức không. Đa thức hằng là các đa thức ( an ) n ﾥ thuộc K [ X ] sao cho: ∀n 1, an = 0. Đơn thức là đa thức ( an ) n ﾥ thuộc K [ X ] bất kỳ sao cho tồn tại n0 ﾥ thỏa mãn: ∀ι�ﾥ ,(n n = n0 an 0). Nhận xét: (i). Theo 1.1.1, hai đa thức ( an ) n ﾥ , (bn ) n ﾥ bằng nhau khi và chỉ khi: ∀n �ﾥ , an = bn . 6
(ii). K [ X ] K ﾥ vì dãy hằng (1) (xác định bởi: ∀n �ﾥ , an = 1 ) thuộc K ﾥ , không thuộc K [ X ] . Định nghĩa. Cho P = (an ) n ﾥ K [ X ]. (i). Nếu P 0 , số tự nhiên n lớn nhất sao cho an 0 gọi là bậc của P, và kí hiệu là deg( P) . Phần tử adeg( P ) được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao nhất (hoặc hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩn tắc khi và chỉ khi P 0 và adeg( P ) =1. Ta kí hiệu deg(0) = − . (ii). Nếu P 0 , định giá của P, kí hiệu là val ( P) , là số tự nhiên n bé nhất sao cho an 0 . Ta quy ước val (0) = + . Nhận xét: ∀P Σ K [ X ]\{0}, val ( P) deg( P). Định nghĩa. Cho P = (an ) n ﾥ K [ X ]. (i). Ta nói rằng P là chẵn khi và chỉ khi: ∀p �ﾥ , a2 p +1 = 0. (ii). Ta nói rằng P là lẻ khi và chỉ khi: ∀p �ﾥ , a2 p = 0. 1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng). (i). Cho P = (an ) n ﾥ , Q = ( bn ) n ﾥ K [ X ]. Khi đó P + Q = ( an + bn ) n ﾥ K [ X ], xác định phép cộng trên K[X]. (ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc K [ X ] : • deg( P + Q) Max(deg( P),deg(Q)). • deg( P) �deg(Q) � deg( P + Q) = Max(deg( P ),deg(Q)). • val ( P + Q) Min(val ( P ), val (Q)). • val ( P) � (Q) � val ( P + Q) = Min(val ( P), val (Q)). val (iii). ( K [ X ] ,+) là một nhóm Abel. 1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân). 7
(i). Cho P = (an ) n ﾥ , Q = ( bn ) n ﾥ K [ X ]. Kí hiệu PQ là dãy ( cn ) n ﾥ K n xác định bởi: n ∀n �ﾥ , cn = � k bn−k = a �a b . i j k =0 i + j =n Khi đó PQ K [ X ] , xác định phép nhân trên K[X]. (ii). Ta có: deg( PQ ) = deg( P) + deg(Q) ∀( P, Q) ( K [ X ]) 2 , val ( PQ) = val ( P) + val (Q). Ta quy ước ở đây rằng: ( • ∀N �ﾥ , ( −� + N = −�( ( +� + N = +� . ) , ) ) • ( − ) + ( − ) = − ,( + ) + ( + ) = + . (iii). ( K [ X ] ,+, g) là một miền nguyên. (iv). Các phần tử nghịch đảo của vành K [ X ] là các dãy (α ,0,...,0,...) với α K \ { 0} . 1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài). (i). Cho λ �K , P = ( an ) n ﾥ �K [ X ]. Ta kí hiệu λ P = (λ an ) n ﾥ , và ta có: λ P K [ X ]. (ii). Ta có: deg(λ P ) = deg( P) ∀λ �K \ { 0} , ∀P �K [ X ], . val (λ P ) = val ( P ) (iii). K [ X ] , được trang bị các luật +, g (ngoài), g (trong) là một K - đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị. (iv). Ánh xạ θ : K K [ X ] là đơn cấu các K - đại số. λ a λ1 Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử λ thuộc K với một đa thức λ1 thuộc K [ X ] , tức là “nhúng” K vào K [ X ] . Ta kí hiệu 8
X = (0,1,0,...,0,...) là ẩn. Ta sẽ kí hiệu X 0 = 1 , và với ∀n ﾥ , X n+1 = X n X . Đặc biệt: X 1 = X . Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng: ∀n �ﾥ * , X n = (0,K ,0,1,0,K ,0,K), trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0). Cho P = ( an ) n ﾥ ��X ], N K[ ﾥ sao cho N deg ( P ) , ta có: P = ( a0 , a1 ,K , aN ,0,K ,0,K ) = a0 ( 1,0,K ,0,K ) + a1 ( 0,1,0,K ,0,K ) + K + aN ( 0,K ,0,1,0,K ,0,K ) N = a0 + a1 X + K + aN X N = an X n . n =0 Bây giờ ta bỏ kí hiệu (an ) n ﾥ đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hi ệu N + an X n (trong đó N deg ( P ) ), hoặc an X n , hoặc an X n (để tránh chỉ n ﾥ n =0 n =0 N rõ bậc của đa thức). Đối với P = an X n K [ X ] và n ﾥ , phần tử an của n =0 n K được gọi là hệ tử của X n trong P, và đơn thức an X là hạng tử bậc n của P. (v). Họ vô hạn ( X n ) n ﾥ , tức là 1, X , X 2 ,K , X n ,K là một cơ sở K - kgv K [ X ] , gọi là cơ sở chính tắc của K [ X ] . Với n ﾥ cố định, tập hợp { P Σ K [ X ];deg( P)} n rõ ràng là một K - không gian vector con của K [ X ] , thường được kí hiệu K n [X ] . Họ hữu hạn 1, X , X 2 ,K , X n ,K là một cơ sở của K n [X ] , gọi cơ sở chính tắc của K n [X ] . Vậy ta có: dim( K n [X ]) = n + 1 . (vi). Cho I là một bộ phận của ﾥ , ( Pi )i I là một học những đa thức thuộc K [ X ] \{0} sao cho: ∀ ( i, j ) ι I 2 , ( ( i j deg( Pi ) deg( Pj ) ) . Thế thì ( Pi )i I độc lập trong K - kgv K [ X ] . 1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức). 9
N Cho P = an X n K [ X ] và Q K [ X ] . Ta định nghĩa đa thức hợp P o Q n =0 N (hoặc P (Q) ) là: P o Q = P (Q) = anQ n . n =0 Như vậy, ta được P (Q) bằng cách thế Q vào chỗ X trong P . N 1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với mọi P = an X n K [ X ] , đa thức n =0 đạo hàm của P , và kí hiệu là P ' , là đa thức được định nghĩa bởi: N N −1 P = � nX ' na n −1 = �n + 1) an +1 X n . ( n =1 n=0 Ta kí hiệu P ( ) = P, P ( ) = P '' = ( P ') , và với k 0 1 ' bất kỳ thuộc ﾥ ∗ , P( ) = (P( k k −1) ' ). Với những kí hiệu trên, nếu N = 0 thì P = 0 . 1.2. Hàm đa thức N 1.2.1. Định nghĩa. Với mọi P = an X n K[ X ] . n =0 Ta kí hiệu % P: K K N xa an x n n =0 hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với P . 1.2.2. Mệnh đề. Với mọi α K và P, Q K [ X ] : • ﾥﾥﾥ P + αQ = P + α Q . • ﾥﾥﾥ PQ = PQ . ﾥﾥﾥ • P oQ = P oQ 1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ K [ X ] K K là đơn ánh khi và chỉ khi K vô hạn. ﾥ Pa P 10
ﾥ Nhận xét: Vậy khi K là vô hạn, ta có thể đồng nhất P với P , tức là kí ﾥ hiệu P thay P . 1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho P � [X ], N �ﾥ thỏa ﾥ mãn deg( P) N , a ﾥ . Ta có: ﾥ n N P( ) ( a ) n P( a + X ) = X . n =0 n! 1.3. Số học trong K [ X ] 1.3.1. Định nghĩa (Tính chia hết). Cho ( A, P ) ( K [ X ]) 2 . Ta nói rằng A chia hết P (trong K [ X ] ) và kí hiệu A | P , nếu tồn tại Q K [ X ] sao cho P = AQ . Thay cho A chia hết P , ta cũng nói: A là một ước của P , hoặc P là một bội của A . Nhận xét: • ∀A K [ X ], A|0. • ∀P ��X ], (0|P K[ P = 0). • Nếu kí hiệu AK [ X ] = { P �K [ X ]; ∃Q �K [ X ],P=AQ} , với mọi A K [ X ] thì ta có với mọi ( A, P ) ( K [ X ]) 2 , A | P � AK [ X ] �PK [ X ]. 1.3.2. Mệnh đề. • ∀A K [ X ], A | A. 2 �A | P � • ∀( A, P ) ��[ X ]) , � (K (∃α �K − { 0} , P = α A) � . �P | A � 3 �A | B � • ∀( A, B, C ) ��[ X ]) , � (K A|C � . �B | C � • ∀( A, B, C ) ��[ X ])3 , ( { A | B (K A | BC ) . �A | B � • ∀( A, B, C ) ��[ X ])3 , � (K A | B + C) � . �A | C � 11
�A | B � • ∀( A, B, C , Q) ��[ X ]) 4 , � (K AP | BQ � . �P | Q � • ∀δ�B, n ) ( A, ( K [ X ]) 2 ﾥ ∗ , ( A | B An | B n ) . 1.3.3. Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide). Cho ( A, B ) δ K [ X ] ( K [ X ]\ { 0} ) . Tồn tại một cặp duy nhất ( K [ X ]) 2 (Q, R) sao cho: A = BQ + R deg( R ) < deg( B). Đa thức Q (tương ứng: R ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia Euclide A cho B . 1.3.4. Mệnh đề. ( ∀P �K [ X ], ∀a �K , X − a | P � P ( a ) = 0 . ﾥ ) 1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng). Cho n �ﾥ , A �K [ X ], B �K [ X ] sao cho val ( B ) = 0 (tức là B ( 0 ) ﾥ 0 ). Tồn tại một cặp duy nhất (Q, R) thuộc ( K [ X ] ) sao cho 2 A = BQ + X n+1R và deg ( Q ) n. Đa thức Q (tương ứng R) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia A cho B tho lũy thừa tăng đến cấp n Chứng minh (i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n Trường hợp n = 0 Ta kí hiệu a0 , b0 là các hạng tử hằng tương ứng của A, B (tức là a0 = ﾥ ( 0 ) , b0 = B ( 0 ) A ﾥ 0 ), Q = a0b0 −1 . Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy tồn tại R K [ X ] sao cho A – BQ = XR.Vậy A = BQ + XR và deg ( Q ) 0. 12
( Q, R ) ( K [ X ] ) 2 Giả sử n ﾥ và giả sử tồn tại sao cho A = BQ + X n+1R và deg ( Q ) n . Theo sự khảo sát trường hợp n = 0, áp dụng cho R thay vì A, tồn tại ( q, R1 ) ( K[ X]) 2 sao cho R = Bq + XR1 và deg ( q ) 0 . Đặt Q1 = Q + X n +1q ta suy ra A = BQ + X n +1 ( Bq + XR1 ) = BQ1 + X n + 2 R1. deg ( Q1 ) n + 1. (ii). Tính duy nhất Giả sử ( Q1 , R1 ) , ( Q2 , R2 ) thích hợp. Suy ra B ( Q1 − Q2 ) = X ( R2 − R1 ) , do đó n +1 bằng cách chuyển sang các định giá val ( Q1 − Q2 ) = n + 1 + val ( R2 − R1 ) n + 1. Nếu Q1 − Q2 0 , thì n deg ( Q1 − Q2 ) val ( Q1 − Q2 ) n + 1 , mâu thuẫn. Vậy Q1 = Q2 , nên R1 = R2 . Ví dụ Thực hiện phép chia A = 2 + X − 3 X 2 + X 3 cho B = 1 + 4 X − X 2 + X 3 (trong ﾥ [ X ] ) theo lũy thừa tăng đến cấp 2. 2 + X − 3X 2 + X 3 1+ 4X − X 2 + X 3 − 7X − X 2 − X 3 2 − 7 X + 27 X 2 27 X 2 − 8 X 3 − 116 X 3 + 34 X 4 − 27 X 5 Suy ra thương Q = 2 − 7 X + 27 X và dư R = −116 + 34 X − 27 X 2 2 1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho n �ﾥ * , ( P ,..., Pn ) � K [ X ]\ { 0} ) . ( n 1 Tập hợp tất cả các bậc của đa thức P thuộc K [ X ]\ { 0} sao cho: ( ∀i { 1,..., n} , P | P ) i 13
là một bộ phận khác rỗng của ﾥ (vì: ( ∀i { 1,..., n} ,1| Pi ) ), bị chặn trên bởi deg( Pi ) . Vậy tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc ∆ , khác không, là ước chung của P ,..., Pn , và có bậc cao nhất trong các ước chung của P ,..., Pn . Tương 1 1 tự tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc M , khác không, là bội chung của P ,..., Pn và có bậc thấp nhất trong các bội chung của P ,..., Pn . 1 1 1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN). n n PK [ X ] = ∆K [ X ], IPK [ X ] = MK [ X ]. i i i =1 i =1 P � = UCLN ( P, Q) Q ( K [ X ]\ { 0} ) 2 Ký hiệu: Với ( P, Q) , ta kí hiệu: P � = BCNN ( P, Q). Q 1.3.7. Định lý Bezout. ( P , K , P ) ( K [ X ] \ { 0} ) ( P, K, P ) n Cho n ﾥ * , 1 n . Để 1 n nguyên tố cùng nhau trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại ( U1 , K , U n ) ( K[ X]) n sao cho n PU i = 1. i i =1 1.3.8. Định lý Gauss. A | BC ∀ ( A, B, C ) ��[ X ] \ { 0} ) , (K 3 A | C. A �B = 1 1.4. Không điểm của đa thức 1.4.1. Định nghĩa. Cho P �K [ X ], a �K . Ta nói rằng a là một không điểm (hoặc một nghiệm ) của P khi và chỉ khi P ( a ) = 0 . ﾥ 1.4.2. Mệnh đề. Cho P �K [ X ], n �ﾥ ∗ , x1 ,..., xn �K từng đôi khác nhau. n Nếu x1 ,..., xn là các không điểm của P thì ( X − xi ) | P . i =0 14
1.4.3. Hệ quả. (i). Cho P �K [ X ], n �ﾥ ∗ . Nếu deg( P) < n và nếu P có ít nhất n không điểm từng đôi khác nhau, thì P = 0 . (ii). Nếu một đa thức P thuộc K [ X ] triệt tiêu tại một số vô hạn các phần tử thuộc K , thì P = 0 . 1.4.4. Định nghĩa. Cho P �K [ X ], a �K , α ﾥ ∗ .Ta nói rằng a là một không điểm cấp bội không thấp hơn α của P khi và chỉ khi: ( X − a) α | P. Ta nói rằng a là một không điểm cấp bội đúng bằng α của P khi và chỉ khi: | P và ( X − a ) | P . ( X − a) α α +1 Nếu α = 1 (tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói α là không điểm đơn (tương ứng: kép, tương ứng: bội ba). 1.4.5. Mệnh đề - Định nghĩa. Cho P K [ X ]\ { 0} , a K . Nếu α là không điểm của P , thì tồn tại α ﾥ ∗ duy nhất sao cho a là không điểm cấp bội đúng bằng α của P , và ta nói rằng α là cấp bội của không điểm a trong (hoặc của) P . 1.4.6. Mệnh đề. Cho n �ﾥ ∗ , x1 ,..., xn �K từng đôi khác nhau. n A= ( X − xk ) , B K [ X ]. k =1 Thế thì ta có: ( A | B � ∀k � 1,..., n} , B ( xk ) = 0 . { ﾥ ) 1.4.7. Định nghĩa (Đa thức tách). Một đa thức P của K [ X ] được gọi là đa thức tách (hay: tách được) trên K khi và chỉ khi tồn tại λ �K \ { 0} , n �ﾥ ∗ , x1 ,..., xn �K sao cho: n P=λ ( X − xi ) . i =1 Ở đây x1 ,..., xn không nhất thiết khác nhau từng đôi. 15
1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản). Cho n �ﾥ ∗ , x1 ,..., xn �K . Các biểu thức sau: n σ1 = xi = x1 + x2 + ... + xn. i =1 σ2 = xi1 xi2 = ( x1 x2 + x1 x3 + ... + x1 xn ) + ( x2 x3 + ... + x2 xn ) 1 i1
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại P ﾥ [X ] , khác hằng và không có một không điểm nào trong ﾥ . Ta ký hiệu n n = deg( P ) 1, P = ai X i , và ϕ : ﾥﾥ i =0 z a P( z) (i). Vì ϕ ( z ) + , ta có: z a + ∀A > 0, ∃B > 0, ∀z � , ( z > B � ϕ ( z ) > A ) . ﾥ Đặc biệt tồn tại B ﾥ * , sao cho: + ∀z � , ( z > B � ϕ ( z ) > ϕ ( 0 ) ) . ﾥ Mặt khác, ϕ liên tục trên tập compact { z Σ ﾥ ; z B} , nên ϕ bị chặn và đạt các biên trên tập compact này, vậy tồn tại z0 ﾥ sao cho: ϕ ( z0 )= Inf ϕ (z) . z B Vì hơn nữa: ∀z � , ( z > B � ϕ ( z ) > ϕ ( 0 ) � ( z0 ) ) . ﾥ ϕ nên ta kết luận: ϕ ( z0 ) = Inf ϕ ( z ) . z ﾥ (ii). Theo công thức Taylor đối với đa thức ta có: hn ( n) ∀h � , P ( z0 + h ) = P ( z0 ) + hP ( z0 ) + ... + P ( z0 ) . ﾥ ' n! Ta sẽ chứng minh rằng có thể chọn h sao cho P ( z0 + h) < P ( z0 ) . Tức là ϕ ( z0 + h ) < ϕ ( z0 ) , điều này sẽ cho ta một mâu thuẫn. Vì P ( n) ( z0 ) = n!, an 0 , nên tồn tại k ﾥ * sao cho: 17
P( ( z0 ) 0 k) . ∀l � 1,K , k} , ( l < k � P ( ) ( z0 ) = 0 ) { l Nói khác đi, k là số nguyên bé nhất 1 sao cho P ( k) ( z0 ) 0. Vậy ta có: ∀h � , P ( z0 + h ) =1+ h k P ( ) ( z0 ) + ... + h n P( ) ( z0 ) k n ﾥ . P ( z0 ) k ! P ( z0 ) n ! P ( z0 ) Theo sự khảo sát của các căn bậc k trong ﾥ , tồn tại w ﾥ * sao cho: P ( ) ( z0 ) k w =− k . k ! P ( zo ) Vậy ta có (với t ﾥ ): � t � P �0 + � z � w � 1 − t k + ο (r k ) . = P ( z0 ) ta 0 Vậy tồn tại η >0 sao cho: � t � P �0 + � z ∀t � 0,η ] , � w� 1 [ < . P ( z0 ) điều này mâu thuẫn với định nghĩa z0 . 1.5.2. Hệ quả. (i). Mọi đa thức khác hằng trong ﾥ [X ] đều tách được trên ﾥ . (ii). Các đa thức bất khả quy thuộc ﾥ [X ] là các đa thức bậc 1. 1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực). (i). Cho P ﾥ [ X ] . Ta có: ( P �ﾥ [ X ] � ∀z � , P ( z ) = P z . ﾥ ( )) 18
(ii). Cho P ﾥ [ X ] , a ﾥ , α ﾥ ∗ . Để cho a là không điểm cấp bội không thấp hơn α (tương ứng: đúng bằng α ) của P , cần và đủ là a là không điểm cấp bội không thấp hơn α (tướng ứng: đúng bằng α ) của P . (iii). Các đa thức bất khả quy của ﾥ [ X ] là: Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức
Chương 2 Phân thức hữu tỷ 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ Ta ký hiệu E = K [ X ] x ( K [ X ] \{0}) và xét quan hệ xác định trong E bởi ( A, S ) ( B, T ) AT = BS . Quan hệ là một quan hệ tượng đương trong E . Thật vậy , tính phản xạ và tương đối xứng là hi ển nhiên , còn v ề tính b ắc cầu thì với mọi ( A, S ) , ( B, T ) , ( C ,U ) thuộc E �A, S )� B, T ) ( ( � = BS AT � � �B, T )� C ,U ) ( ( � = CT . BU � ( AU )T = ( AT )U = ( BS )U = ( BU ) S = (CT ) S = (CS )T � AU = CS ,vì T 0 và K [ X ] là vành nguyên. Tập thương E / được ký hiệu là K [ X ] và các phần tử của nó được gọi là các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong K . Với ( A, S ) E , ta A ký hiệu là lớp modun của ( A, S ) . Như thế với mọi ( A, S ) , ( B,T ) S thuộc E ta có A B = � AT = BS . S T 2.1.1. Phép cộng trọng K(X). Ta định nghĩa một luật trong , ký hiệu + , trong E bởi ( A, S ) + ( B,T ) = ( AT + BS , ST ) . (ta có ST 0 , vì S 0 và T 0 ). Luật + này tương thích với (C.1.1) tức là: ∀( A, S ),( B, T ),(C ,U ) �� S ) ( B, T ) E ,( A, (( A, S ) + (C ,U ))� B, T ) + (C ,U )). (( 20