KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

Chia sẻ: Phan Thiên Ân | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo đề thi - kiểm tra 'kỳ thi thử đại học lần thứ tư năm học 2011 – 2012 đề thi môn: toán - trường thpt chuyên nguyễn huệ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

TRƯỜNG THPT KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 CHUYÊN ĐỀ THI MÔN: TOÁN NGUYỄN HUỆ KHỐI A,B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x 3 − 3mx 2 + 2 (1), m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2) cos x x+7 2. Giải phương trình: 3x2 + 6x − 3 = 3 1 x Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân dx 1 3x + 9 x − 1 2 3 Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, ﾷ SB = a 3 , BAD = 600 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ � x � � y � � z � nhất của biểu thức: P = x � � �+ y � � � �+ z � � � � � � y +3 � � z +3 � � x+3 � Câu VI (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là 2 2 M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G( , ) và I(1,- 3 3 2). Xác định tọa độ đỉnh C. x −1 y +1 z −1 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , điểm 2 1 1 A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, ∆ nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và ∆ bằng 2 3 . Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn i.z1 + 2 = 0,5 và z 2 = i.z1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 − z 2 ------------------------Hết---------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:………………………………………………..SBD:……………………
TRƯỜNG THPT HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ CHUYÊN NĂM HỌC 2011 – 2012 NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B CÂU NỘI DUNG ĐIỂM m = 1 ⇒ y = x 3 − 3x 2 + 2 a) TXĐ: R b) Sự biến thiên: *) Giới hạn: xlim y = − ; lim y = + − x + 0,25 *) Chiều biến thiên: x=0 y' = 3x 2 − 6x ; y' = 0 x=2 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; 0) và (2; + ), hàm số nghịch biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2 0,25 BBT x - 0 2 + I-1 f’(x) + 0 - 0 + (1điểm 2 + f(x) 0,25 ) - -2 c) Đồ thị: y 4 2 0,25 x -10 -5 O 2 5 10 -2 -4 I-2 3 2 2 x=0 (1điểm y = x − 3mx + 2 ⇒ y' = 3x − 6mx ; y' = 0 x = 2m ) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 0,25 Với m ≠ 0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và B(2m;-4m3+2) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là: x y− 2 2 0,25 = � 2m x+y − 2=0 2m - 4m3
�1 � AB cắt Ox tại C � 2 ;0 �, cắt Oy tại A(0; 2) �m � Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vuông tại O 1 1 1 1 ta có: SOAC = OA.OC = .2. 2 = 0,25 2 2 m m2 1 1 Yêu cầu bài toán thỏa mãn =4 m = ± (thỏa mãn m ≠ 0). m 2 2 1 Vậy m = ± 0,25 2 Điều kiện : x ≠ kπ cos x 0,25 Phương trình tương đương: 3cosx( − 2 ) = 2(cosx - 2 sin2x) sin 2 x 2 2  2 cos 2 x + cos x − 2 = 0 (cosx - 2 sin x)(3cosx – 2sin x) = 0  0,25  2 cos x + 3 cos x − 2 = 0 2 II-1 (1 cos x = − 2 (loai ) điểm 2 cos x = ) 2 0,25 cos x = −2 (loai ) 1 cos x = 2 π π KÕt hîp víi ®/k suy ra pt cã nghiÖm: x = ± + k 2π & x = ± + k 2π 0,25 4 3 II-2 x+7 1 1 (1 3x2 + 6x − 3 = � ( x + 1)2 − 2 = ( x + 1) + 2 , x −7 3 3 3 điểm 1 ) u = x +1 u2 − 2 = v 0,25 3 Đặt 1 ta có hệ phương trình: v= ( x + 1) + 2 (v 0) 1 3 v2 − 2 = u 3 � 3u − 6 = v � 2 3(u − v ) + u − v = 0 2 2 (u − v)[3(u + v) + 1] = 0 ⇔� 2 �� 2 �� 2 � 3v − 6 = u � 3u − 6 = v 3u − 6 = v 0,25 u− v = 0 3(u + v) + 1 = 0 ⇔ hoặc 3u2 − 6 = v 3u2 − 6 = v 1 − 73 u= (loﾹi) u− v = 0 � u=v � 6 � 2 �� 2 � 3u − 6 = v � � 3u − u − 6 = 0 1 + 73 u= 6 0,25 1 −1 − 69 v= − −u u= 3(u + v) + 1 = 0 3 6 � 2 �� 3u − 6 = v 17 −1 + 69 3u2 + u − = 0 u= (loﾹi) 3 6 1+ 3 7 1 + 73 73 − 5 0,25 + Với u = �x= −1= . 6 6 6
−1 − 69 −1 − 69 − 69 − 7 + Với u = �x= −1= . 6 6 6 1 1 1 1 x I =� dx = � x (3x − 9 x − 1)dx = � 3x dx − � 2 x 9 x 2 − 1dx 2 0,25 1 3x + 9 x − 1 2 1 1 1 3 3 3 3 1 1 26 III I1 = 3 x 2 dx = x 3 1 = 0,25 (1 1 3 27 3 điểm 1 1 1 3 ) 1 1 16 2 I2 = � x 9 x − 1dx = �9 x − 1d (9 x − 1) = 2 2 2 (9 x − 1) 2 2 = 0,25 1 18 1 27 1 27 3 3 3 26 − 16 2 Vậy I = 0,25 27 Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a, S SB = 3 , tam giác ASB vuông tại S suy ra AB SM = = a do đó tam giác SAM đều. 2 Gọi H là trung điểm AM thì N 0,25 SH ⊥ AB. Mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) nên C B suy ra SH ⊥ ( ABCD) M IV K H (1 D A Q điểm ) 1 1 1 1 a 3 1 4a 2 3 a 3 VNSDC = VSNDC = SH .S∆DNC = SH . S ∆BDC = . . = 0,25 3 3 2 3 2 2 4 4 Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên (ﾷSM , DN ) = (ﾷSM , QM ) . Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HK ⊥ MQ 0,25 Mà SH ⊥ (ABCD), HK ⊥ MK suy ra SK ⊥ MQ suy ra (ﾷSM , DN ) = (ﾷSM , QM ) = SMK ﾷ 1 1 1 MQ DN a 3 Trong tam giác vuông SMK: cos SMK MK 3 0,25 ﾷ = =2 =4 =4 = SM a a a 4 V ĐÆt x = a 2 , y = b 2 , z = c 2 . Do x + y + z = 3 suy ra a 2 + b 2 + c 2 = 3 . 0,5 (1 điểm) a3 b3 c3 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2 + + . b +3 c +3 2 a +3 2 Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có: a3 a3 b2 + 3 a 6 3a 2 + + 33 = (1) 2 b2 + 3 2 b2 + 3 16 64 4 b3 c2 + 3 b3 c 6 3c 2 + + 33 = (2) 2 c2 + 3 2 c2 + 3 16 64 4 c3 c3 a2 + 3 c 6 3c 2 + + 33 = (3) 2 a2 + 3 2 a2 + 3 16 64 4
Cộng theo vế ta được: a 2 + b2 + c2 + 9 3 2 0,25 P+ 16 4 ( a + b2 + c 2 ) (4) Vì a2+b2+c2=3 3 3 0,25 Từ (4) ۳ P vậy giá trị nhỏ nhất P = khi a = b = c =1 x=y=z=1 2 2 uuur uuur �7 4 � IM = (2;4), GM = � ; � �3 3 0,25 uuur �uuur Gọi A(xA; yA). Có AG = 2GM ⇒ A(-4; -2). uuur Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 0,25 2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0. Gọi C(x; y). Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0. VI- 1 0,25 (1 điểm) Mặt khác IC = IA ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = 25 � ( x − 1) + ( y + 2) = 25 . 2 2 2 2 x − 2y − 7 = 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 25 x=5 x =1 0,25 Giải hệ phương trình ta tìm được và . y=1 y=3 Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3). Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng 2 3 . (Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1) 0,25 Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2) a (1 − 1) + b(4 + 1) + c(2 − 1) d ( A,( Q )) = 2 3 � = 2 3 � (5b + c) 2 = 12( a 2 + b 2 + c 2 ) a +b +c 2 2 2 � 12a 2 − 13b 2 + 11c 2 − 10bc = 0 (3) 0,25 −1 Thay (2) vào (3) có 7 a 2 + 8ab + b 2 = 0 . Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a = 7 VI-2 Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0 (1 điểm) Đường thẳng ∆ qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP r �−1 −1 −1 1 1 −1 � u =� , , �= −4(1, 2, −1) nên ∆ có phương trình: 0,25 �−1 3 3 5 5 −1 � x −1 y − 4 z − 2 = = 1 2 −1 −1 Với b = 1 , a = thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0 7 Đường thẳng ∆ qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP 0,25 r x −1 y − 4 z − 2 u (−8,11,17) nên ∆ có phương trình: = = −8 11 17 VII. Đặt z1 = x1 + iy1 ( x1 , y1 R ) (1 điểm) Khi đó điểm M ( x1 , y1 ) biểu diễn z1 , i.z1 + 2 = 0,5 � i.x1 − y1 + 2 = 0,5 � x12 + ( y1 − 2) 2 = 0, 25 0,25 Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z1 là đường tròn (C1) tâm O1(0, 2 ) bán kính R1=0,5. z2 = iz1 = − y1 + x1i Suy ra N (- y1 , x1) biểu diễn z2 0,25
Ta cần tìm M thuộc (C1) để z1 − z2 = MN nhỏ nhất uuuur uuur Để ý rằng OM ( x1 , y1 ) ⊥ ON (− y1 , x1 ) và OM = ON nên MN = 2 .OM 0,25 MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất . Đường thẳng OO 1 đường tròn (C1) tại 1 1 1 M1(0, 2 − ) và M2(0, 2 + ). Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng 2 − khi M trùng M1(0, 2 2 2 0,25 1 1 2 − ) tức là z1 = ( 2 − )i 2 2