Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí" được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình tiến hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ KIM OANH SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ KIM OANH SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2023
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào. Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định. Hà Nội, ngày 24 tháng 7 năm 2023 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Trần Thị Kim Oanh i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Đại học Bách khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Thầy là một nhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã luôn động viên, chỉ phương hướng mỗi khi tôi gặp khó khăn trong con đường nghiên cứu. Được sự chỉ dẫn nhiệt tình, những đóng góp quý báu của thầy đã giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phương trình vi phân và ứng dụng” tại Đại học Bách khoa Hà Nội do PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Và ở đó cũng là nơi để giao lưu, trao đổi và tạo động lực trong con đường học tập và nghiên cứu của tôi. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, các Phòng, Ban liên quan, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học và bộ môn Toán cơ bản và các đồng nghiệp thân yêu tại Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới chồng, con, bố mẹ tôi, đến toàn thể gia đình và bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôi vững tâm học tập và nghiên cứu. Nghiên cứu sinh ii
MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 3 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài . . . . . . . . 3 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 5 3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 Nửa nhóm và họ tiến hóa các toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 9 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Không gian hàm, không gian nội suy . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Phép chiếu Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH 19 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . 20 iii
2.1.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn . 24 2.2.2 Nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. NỬA NHÓM (X, Y, ϕ) ỔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 28 3.1 Tính ổn định và tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính: Ổn định kéo theo tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn . . . . . 35 3.2.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi . . . . . 38 3.2.3 Phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHÔNG Ô- TÔ-NÔM 51 4.1 Phương trình tuyến tính không ô-tô-nôm . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.3 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.1 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iv
4.2.2 Tính ổn định của nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn . 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 69 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 70 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 v
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp các số tự nhiên. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm. X : Không gian Banach. P : Phép chiếu Helmholtz. L(X) : Không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X. +∞ Γ(p) := tp−1 e−t dt. 0 1/p p p L (Ω) := u:Ω→X: u p = u(x) dx < ∞, 1 ≤ p < ∞ . Ω L∞ (Ω) := {u : Ω → X : u ∞ = ess sup u(x) < ∞}. x∈R 1/p Lp (Ω) loc := u:Ω→X: u(x) dx p < ∞} Ω với Ω ⊂ Ω là tập compact và 1 ≤ p < ∞. W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k và 1 ≤ p < ∞}  p1 với chuẩn u k,p :=  Dα u p  . p |α|≤k W k,∞ (Ω) := {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k} với chuẩn u k,∞ := max Dα u ∞. |α|≤k Cb (R+ , X) := u : R+ → X : liên tục và u ∞ = sup u(t) < ∞ . t∈R+ Cw∗,b (R+ , X) := v : R+ → X : v là liên tục yếu * sup v(t) < ∞ . t∈R+ 1
u(x) − u(y) C 0,θ (R+ , X) := u ∈ Cb (R+ , X) : u thỏa mãn sup s})1/p  . s 0 Lp (Ω) w := u ∈ L1 (Ω) : u loc p,∞ < ∞, với 1 < p < ∞ với u p,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p . s>0 2
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,... dưới những điều kiện tổng quát, chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khoa học vũ trụ, khí tượng học, công nghiệp, dầu mỏ,.... Một số phương trình thủy khí cơ bản, quan trọng mà hiện nay đang quan tâm như phương trình Navier-Stokes, Oldroyd-B,... Một trong những hướng nghiên cứu đang rất thời sự nhắm đến việc tìm hiểu tính chất định tính của nghiệm khi thời gian đủ lớn đó là hướng nghiên cứu về tính ổn định, không ổn định, tính tuần hoàn của nghiệm để từ đó đánh giá được quy mô và tính chất của dòng chất lỏng trong tương lai. Để có thể sử dụng những công cụ hiện đại của toán học, ta cần xét phương trình cơ học chất lỏng dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp ưu việt của toán để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó. Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định, bị chặn của nghiệm tuần hoàn đối với phương trình tiến hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian. Đã có nhiều phương pháp nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa như sử dụng phương pháp nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động của Tikhonov [3], hay hàm Lyapunov [4] được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể. Phương pháp phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là ngyên lý Masera, đó là sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúng compact [3, 4, 5, 6] để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng cụ thể ví dụ như với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn thì sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạt được 3
(bởi vì không dễ dàng tìm được điểm ban đầu phù hợp để có tính bị chặn của nghiệm) cũng như các trường hợp các phép nhúng compact này không còn đúng nữa thì theo phương pháp của Masera sẽ gặp khó khăn. Năm 1959, Serrin [7] đã đưa ra phương pháp khác để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes (NSE) đó là chứng minh tính ổn định của nghiệm trong không gian L2 trong miền bị chặn từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. Kết quả của Serrin mở đầu cho hướng nghiên cứu nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes. Hướng nghiên cứu này được mở rộng sâu hơn bởi Miyakawa và Teramoto [8], Kaniel và Shinbrot [9], Maremonti, Kozono và Nakao [10]. Kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình (NSE) trên miền ngoại vi được nghiên cứu bởi Maremonti và Padula [11]. Sau đó, mở rộng phương pháp của Serrin, Galdi và Sohr [12] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (NSE) trong miền ngoại vi. Năm 2000, Yamazaki [13] sử dụng không gian nội suy của các không gian Lp yếu và phương pháp lặp [14], [15] chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn trong miền ngoại vi. Một số kết quả mở rộng trong miền ngoại vi, chúng ta có thể nhắc tới Taniuchi [16], van Baalen và Wittwer [17], Galdi và Silvestre [18]. Gần đây, phương pháp của Yamazaki tiếp tục được mở rộng bởi Nguyễn Thiệu Huy cùng cộng sự [19, 20, 21, 22] đưa ra một số kết quả về sự tồn tại nghiệm bị chặn, sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định của chúng trong lớp phương trình tiến hóa và phi tuyến, sau đó áp dụng vào một số phương trình động lực học thủy khí cụ thể như phương trình Oseen- Navier-Stokes trong miền ngoại vi, phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn, phương trình Oldroyd-B,... Chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện và mở rộng các kết quả tính bị chặn, tính ổn định, sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa và áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí cụ thể. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí. Đề tài nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa, áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu 3 dạng phương trình sau: 4
• Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tuyến tính: u (t) − Au(t) = f (t), t > 0, (1) u(0) = u0 ∈ X, trong đó A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm giải tích bị chặn (T (t))t≥0 thỏa mãn giả thiết ổn định đa thức. • Dạng 2. Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính: u (t) − Au(t) = Bg(u)(t), t > 0, (2) trong đó toán tử đạo hàm riêng A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc giải tích) (T (t))t≥0 , toán tử phi tuyến g là ánh xạ từ không gian các hàm tuần hoàn chu kì T tới không gian các hàm tuần hoàn chu kì T và toán tử tuyến tính B là toán tử liên kết giữa các không gian liên quan. • Dạng 3. Xét phương trình Oseen-Navier-Stokes trên miền ngoại vi     ut +(u · )u − ∆u + p  = (η(t) + ω(t) × x) · u − ω × u + divF trong Ω × (0, ∞),         ·u =0 trong Ω × (0, ∞),   u = η(t) + ω(t) × x trên ∂Ω × (0, ∞),    u|    t=0 = u0 trong Ω,   lim u = 0   . |x|→∞ (3) 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình tiến hóa (1), (2) và (3). • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm của các phương trình tiến hóa tuyến tính (1), phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) và phương trình Oseen-Navier-Stokes (3) trường hợp không ô-tô-nôm, trong miền ngoại vi. 5
• Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình: - Phương trình tiến hóa tuyến tính (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức. Sau đó áp dụng vào các phương trình Stokes và nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gaussian. - Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) với điều kiện nửa nhóm liên kết thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định. Sau đó áp dụng vào phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn và miền ngoại vi, phương trình sóng tắt dần. - Phương trình Oseen- Navier- Stokes (3) trên miền ngoại vi với điểm kiện ban đầu và ngoại lực thuộc không gian Lorentz. 3. Phương pháp nghiên cứu • Trong Chương 2 và Chương 3, chúng tôi sử dụng nguyên lí Serrin, sử dụng tính ổn định và tính bị chặn của nghiệm để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới điểm ban đầu của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính. Trong Chương 3, chúng tôi sử dụng nguyến lí điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho phương trình nửa tiến hóa tuyến tính. • Trong Chương 4 chúng tôi sử dụng phương pháp theo nguyên lí của Massera, sử dụng nghiệm bị chặn và tính compact để suy ra sự tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính, sau đó sử dụng nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định nghiệm của nó đối với phương trình phi tuyến. 4. Kết quả của luận án Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính bị chặn của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa. 6
• Trong Chương 2, chúng tôi đã chỉ ra được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn, sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính với toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích thỏa mãn một số điều kiện ổn định. • Trong Chương 3, chúng tôi tiếp tục mở rộng Chương 2 cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và toán tử A sinh ra nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ)-ổn định. Chương này đã chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn đối với phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến. Sau đó, áp dụng vào lớp phương trình dạng hyperbolic và dạng parabolic. • Chúng tôi chỉ ra được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn và sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trong miền ngoại vi. Các kết quả của luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết định tính của phương trình vi phân nói chung và phương trình tiến hóa dạng parabolic nói riêng về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định, tính bị chặn của nghiệm đủ tốt tuần hoàn. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 03 bài báo được liệt kê ở Danh mục các công trình đã công bố của luận án. Các kết quả này đã được báo cáo tại Seminar “Dáng điệu tiệm cận của phương trình vi phân và ứng dụng”, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (2018-2022). 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, luận án được chia thành 4 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận án. Trước tiên, chúng tôi đưa ra khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm liên hợp, nửa nhóm giải tích, nửa nhóm hyperbolic và họ tiến hóa. Sau đó, chúng tôi trình bày một số không gian hàm như không gian nội suy thực và không gian Lorentz. 7
Chương 2. Phương trình tiến hóa tuyến tính. Chỉ ra sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính (1) trong một số điều kiện của nửa nhóm liên kết và ngoại lực f . Từ kết quả đó áp dụng vào phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn, nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gaussian. Chương 3. Nửa nhóm (X, Y, ϕ) ổn định và nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa. Trong chương này chúng tôi quan tâm tới phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) trong đó toán tử A sinh ra nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ) ổn định. Chứng minh đươc sự tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình nửa tuyến tính trên. Sau đó áp dụng vào phương trình Navier- Stoke trong miền bị chặn và miền ngoại vi, áp dụng trong phương trình sóng tắt dần để chỉ ra sự tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình đó. Chương 4. Phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm. Xét phương trình Oseen-Navier- Stokes với vật cản xoay và tịnh tiến với vận tốc phụ thuộc vào thời gian, bằng phương pháp đổi biến đưa về xét trong miền ngoại vi cố định. Khi đó, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định nghiệm của phương trình không ô-tô-nôm Oseen-Navier-Stokes. 8
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận án. Trước tiên, chúng tôi đưa ra khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm liên hợp, nửa nhóm giải tích, nửa nhóm hyperbolic và họ tiến hóa. Sau đó, chúng tôi trình bày một số không gian hàm như không gian nội suy thực, không gian Lorentz và phép chiếu Helmholtz. 1.1 Nửa nhóm và họ tiến hóa các toán tử tuyến tính Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản của nửa nhóm và họ tiến hóa từ tài liệu tham khảo (xem [23], [24]). 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh Cho không gian Banach X và L(X) là không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X. Định nghĩa 1.1.1. Họ toán tử tuyến tính (T (t))t≥0 bị chặn trên X được gọi là một nửa nhóm nếu i) T (0) = I là toán tử đồng nhất trên X; ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 -nửa nhóm) nếu lim T (t)x = x, ∀x ∈ X. t→0+ 9
Mệnh đề 1.1.2. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Khi đó tồn tại các hằng số M ≥ 1 và ω ∈ R thỏa mãn T (t) L(X) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.1.3. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Ta định nghĩa cận tăng trưởng ω(T ) của nửa nhóm (T (t))t≥0 như sau: ω(T ) := inf ω ∈ R : tồn tại Mω ≥ 1 sao cho T (t) L(X) ≤ Mω eωt , ∀t ≥ 0 . • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn sup T (t) L(X) ≤ C. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là co nếu sup T (t) L(X) ≤ 1. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là ổn định mũ nếu cận tăng trưởng ω(T ) < 0. Định nghĩa 1.1.4. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Toán tử sinh A của nửa nhóm được xác định như sau: T (t)x − x D(A) := x ∈ X : lim tồn tại trong X + t→0 t và T (t)x − x Ax := lim , ∀x ∈ D(A). t→0+ t Định lí 1.1.5. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó ta có các khẳng định sau: i) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính. ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0. dt t iii) Với mọi t ≥ 0 và x ∈ X ta có T (s)xds ∈ D(A). 0 10
iv) Với mọi t ≥ 0 ta có t T (t)x − x = A T (s)xds, x ∈ X 0 t = T (s)Axds, x ∈ D(A). 0 Định lí 1.1.6. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính đóng, có miền xác định trù mật. Hơn nữa, toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh xác định duy nhất một nửa nhóm liên tục mạnh, được kí hiệu (etA )t≥0 . 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm liên hợp (T (t) )t≥0 là tập hợp tất cả các toán tử liên hợp T (t) trên không gian đối ngẫu X . Nếu (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh thì nửa nhóm liên hợp (T (t) )t≥0 không nhất thiết là liên tục mạnh. Tuy nhiên, do mối quan hệ liên hợp, dễ dàng thấy rằng nửa nhóm liên hợp là liên tục yếu*. Điều này có nghĩa ánh xạ t → x, T (t) x = T (t)x, x là liên tục với mỗi x ∈ X, x ∈ X và t ≥ 0. Sử dụng tôpô yếu*, có thể định nghĩa một toán tử liên kết với nửa nhóm liên hợp. Đặt 1 D(Aσ ) := x ∈ X : lim x, (T (t) x − x ) tồn tại , t→0+ t và định nghĩa 1 Aσ x := yếu* − lim (T (t) x − x ), t→0+ t với mỗi x ∈ D(Aσ ). Có thể thấy rằng Aσ trùng với A là toán tử liên hợp của toán tử A sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 . Do đó, ta cũng gọi A là toán tử sinh của (T (t) )t≥0 . 11
1.1.3 Nửa nhóm giải tích π Với 0 < δ ≤ , ta định nghĩa quạt như sau: 2 Σδ := {λ ∈ C : | arg λ| < δ} \ {0} . Định nghĩa 1.1.8. Cho δ ∈ (0, π/2]. Một nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích góc δ nếu nó có mở rộng giải tích tới quạt Σδ và bị chặn trên Σδ ∩ {z ∈ C : | arg z| ≤ 1} với mọi δ ∈ (0, δ). Mở rộng của (T (t))t≥0 tới Σδ được kí hiệu là (T (z))z∈Σδ . Định nghĩa 1.1.9. Cho δ ∈ (0, π/2]. Một nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích bị chặn nếu T (z) bị chặn trong Σδ với mỗi 0 < δ < δ. Chú ý 1.1.10. • Một toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số ω ≥ 0 thỏa mãn A − ω sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn. • Toán tử A sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 với cận phổ s(A) được định nghĩa s(A) = sup{Reλ : λ ∈ σ(A)} thì ta luôn có s(A) ≤ ω(T ) và nếu A sinh nửa nhóm giải tích thì s(A) = ω(T ). Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số tính chất của nửa nhóm giải tích bị chặn. Mệnh đề 1.1.11. Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X. Khi đó các khẳng định sau tương đương. i) Toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn (T (z))z∈Σδ ∪{0} trên X. iii) Toán tử A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh bị chặn (T (t))t≥0 trên không gian Banach X sao cho T (t)x ∈ D(A) với mọi t > 0, x ∈ X và M := sup tAT (t) < ∞. t>0 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic Định nghĩa 1.1.12. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn tại phép 12
chiếu (tuyến tính, bị chặn) P trên X và hằng số M, ν > 0 sao cho với mỗi T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , và T (t)x ≤ M e−νt x với mọi t ≥ 0 và x ∈ ImP := P X, eνt T (t)x ≥ x với mọi t ≥ 0 và x ∈ kerP := (I − P )X. (1.1) M Trong trường hợp này, phép chiếu P được gọi là phép chiếu nhị phân với nửa nhóm hyperbolic (T (t))t≥0 , còn M, ν được gọi là hằng số nhị phân. Đặc biệt, nửa nhóm (T (t))t≥0 là ổn định mũ nếu nó là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P = Id, toán tử đồng nhất trên X. Rõ ràng, từ định nghĩa trên ta thấy nếu (T (t))t≥0 là hyperbolic thì hạn chế T (t) |kerP của T (t) lên kerP là đẳng cấu T (t) |kerP : kerP → kerP. Ta định nghĩa nghịch đảo của nó bởi T (−t) := (T (t) |kerP )−1 với t > 0. Điều đó có nghĩa là hạn chế của nửa nhóm T (t) lên kerP có thể mở rộng tới nhóm (T (t))t∈R trên không gian Banach kerP. Hơn nữa, dễ thấy P X = {x ∈ X : supt≥0 T (t)x < ∞}. Với (T (t))t≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số N, ν > 0, thì hàm Green được xác định bởi: P T (t) t ≥ 0, G(t) := (1.2) −T (t)(I − P ) t < 0. Ở đây chú ý nếu t < 0 ta có T (t) := (T (−t) |kerP )−1 được xác định trên kerP = (I − P )X. Ngoài ra, G(t) thỏa mãn đánh giá G(t) ≤ (1 + P )M e−ν|t| với t ∈ R. (1.3) 1.1.5 Họ tiến hóa Định nghĩa 1.1.13. Một họ hai biến các toán tử tuyến tính bị chặn {U (t, s)}t≥s≥0 trên không gian Banach X được goi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) nếu • U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) ∀t ≥ r ≥ s; • ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với mỗi x ∈ X; 13