LUẬN VĂN BÁO CÁO ĐỀ TÀI:" DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU"

Chia sẻ: Dinh Xuan Nhan | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ với , trong đó thoả ( v x, y,t ) = u ( x, y,0,t ) x, yÎ , t 0 u ( x, y, z,t ) u u 0, x, y , 0 z 2, t 0 t D - ¶ = Î ¶  (1) u ( x, y,1,t ) = f ( x, y,t ) , x, yÎ , t 0 (2) u ( x, y, 2,t ) = g ( x, y,t ) , x, yÎ  , t 0 (3) u ( x, y, z,0) = 0, x, yÎ  , 0

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN BÁO CÁO ĐỀ TÀI:" DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU"

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Học viên: Đinh Xuân Nhân Mã số: 02 09 4601 12 DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Hoàng Quân
Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ v ( x, y, t ) = u ( x, y,0,ới , trong đó v t ) x, y ∈  , t > 0 t ) ả u ( x, y, z , tho ∂u (1) ∆u − = 0, x, y ∈  , 0 < z < 2, t > 0 ∂t u ( x, y,1, t ) = f ( x, y, t ) , (2) x, y ∈  , t > 0 u ( x, y, 2, t ) = g ( x, y, t ) , (3) x, y ∈  , t > 0 u ( x, y, z , 0 ) = 0, (4) x, y ∈  , 0 < z < 2 trong đó, là các hàm cho trước. f,g
Đặt G ( x , y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = Γ ( x , y , z , t , ξ , η , θ , τ ) − Γ 1 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ ) với  ( x − ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z −θ ) 2  1 (5) Γ ( x, y , z , t , ξ ,η , θ , τ ) = exp  −  4( t − τ ) 3  4π ( t − τ )  2        ( x− ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( 4− z −θ ) 2  1  . (6) Γ 1 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = exp  − 4( t − τ ) 3  4π ( t − τ )  2       Ta có ∂ (7) div ( G∇u − u∇G ) − ( uG ) = 0 . ∂τ
( τ , ξ ,η , θ ) Lấy tích phân hai vế của (7) theo trên ,v− n cho − n, n ) × ( 1, 2 ) ( 0, t − ε ) × ( à , n ) × ( n → +∞ , ε → 0 t +∞ +∞ t +∞ +∞ ∫ ∫ ∫ u ( ξ ,η ,1,τ ) G ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ = ∫ ∫ ∫ f ( ξ ,η ,τ ) G ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ θ θ 0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ t +∞ +∞ ∫ ∫ g ( ξ ,η ,τ ) Gθ ( x, y, z, t , ξ ,η , 2,τ ) dξ dη dτ − u ( x, y, z, t ) . (8) −∫ 0 −∞ −∞ Cho trong (8), ta có + z →1  − ( x −ξ ) +( y −η )  ( x −ξ ) + ( y −η ) 2 2 2 2 +4 t +∞ +∞ − 1 uθ ( ξ ,η ,1,τ ) e 4( t −τ ) 4( t −τ )  d ξ dη dτ ∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) −e   3 3 2 2 0 −∞ −∞   ( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 +1 t +∞ +∞ − 1 g ( ξ ,η , τ ) e 4( t −τ ) =∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) d ξ dη dτ 5 3 2 2 0 −∞ −∞ ( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + 4 t +∞ +∞ − 1 (9) f ( ξ ,η ,τ ) e d ξ dη dτ − f ( x, y , t ) . 4( t −τ ) −∫ ∫ ∫ 4π ( t − τ ) 5 3 2 2 0 −∞ −∞
Đặt N ( x, y, z, t , ξ ,η , θ ,τ ) = Γ ( x, y, z, t , ξ ,η ,θ ,τ ) − Γ 2 ( x, y, z , t , ξ ,η ,θ ,τ ) với  ( x − ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z −θ ) 2  1 Γ ( x , y , z , t , ξ ,η , θ , τ ) =  (10) exp  − 4( t −τ ) 3  4π ( t − τ )  2        ( x− ξ ) 2 + ( y −η ) 2 + ( z + θ ) 2  1 Γ 2 ( x, y , z , t , ξ , η , θ , τ ) = exp  −  . (11) 4( t − τ ) 3  4π ( t − τ )  2       Ta có ∂ div ( N ∇u − u∇N ) − ( uN ) = 0. (12) ∂τ
( τ ,ξ , ê θ ) Lấy tích phân hai vế của (12) theo trη ,n , vn, cho , n ) × ( 0,1) ( 0, t − ε ) × ( − àn ) × ( − n n → +∞, ε → 0 t +∞ +∞ t +∞ +∞ ∫ ∫ ∫ u ( ξ ,η ,1,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ = ∫ ∫ ∫ f ( ξ ,η ,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,1,τ ) dξ dη dτ θ θ 0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ t +∞ +∞ ∫ ∫ v ( ξ ,η ,τ ) N ( x, y, z, t, ξ ,η ,0,τ ) dξ dη dτ + u ( x, y, z, t ) . (13) −∫ θ 0 −∞ −∞ Cho trong (13), ta có z → 1−  − ( y −η ) +( x −ξ )  ( y −η ) + ( x −ξ ) 2 2 2 2 uθ ( ξ ,η ,1,τ ) +4 t +∞ +∞ − 4( t −τ ) 4( t −τ ) e  d ξ dη dτ ∫ ∫ ∫ 4π −e π ( t −τ )   3 2 0 −∞ −∞   ( y −η ) 2 +( x −ξ ) 2 + 4 f ( ξ ,η ,τ ) t +∞ +∞ − 4( t −τ ) =∫ ∫ ∫ 4π d ξ dη dτ e π ( t −τ ) 5 2 0 −∞ −∞ ( y −η ) 2 + ( x −ξ ) 2 +1 v ( ξ ,η ,τ ) t +∞ +∞ − d ξ dη dτ + f ( x, y , t ) . (14) 4( t −τ ) −∫ ∫ ∫ 4π e π ( t −τ ) 5 2 0 −∞ −∞
Từ (9) và (14), ta có ( y −η ) 2 + ( x − ξ ) 2 + 1 ( y −η ) 2 + ( x − ξ ) 2 + 4 v ( ξ ,η ,τ ) f ( ξ ,η ,τ ) t +∞ +∞ t +∞ +∞ − − 1 2 4( t − τ ) 4( t − τ ) ∫ ∫ ∫ ( t −τ ) ∫ ∫ ∫ ( t −τ ) dξ dη dτ = d ξ dη dτ e e ( 2π ) ( 2π ) 3 5 3 5 2 2 2 2 0 −∞ −∞ 0 −∞ −∞ ( x −ξ ) 2 + ( y −η ) 2 +1 g ( ξ ,η , τ ) t +∞ +∞ − 1 d ξ dη dτ + 2 2 f ( x, y, t ) . (15) 4( t −τ ) ∫ ∫ ∫ ( t −τ ) − e ( 2π ) 3 5 2 2 0 −∞ −∞ Đặt  1 −x 2 + y2 +4 ( x, y , t ) ∈  × ( 0, +∞ ) , 2  52 e 4t R ( x, y , t ) =  t 0 × ( −∞, 0] , ( x, y , t ) ∈  2   1 −x 2 + y 2 +1 ( x, y , t ) ∈  × ( 0, +∞ ) , 2  52 e 4t S ( x, y , t ) =  t 0 × ( −∞, 0 ] , ( x, y, t ) ∈  2 
v ( x, y , t ) = f ( x, y , t ) = g ( x , y , t ) = 0 và định nghĩa khi . t
 0, e − 3 γ  γ ∈( 0, 2 ) Định lí 1. Cho và . Giả sử ε ∈    () v0 ∈ L2  3là nghiệm duy nhất của (16) ứng với dữ liệu () chính xác . Đồng thời, cho f 0 , g 0 ∈ L2  3 l3 ) các dữ liệu đo được thoả f , g ∈ L2 (  à L2 (  3 ) , với là chuẩn trong . Khi đó, ta f − f0 2 ≤ ε , g − g0 2 ≤ ε .2 xây dựng được hàm thoả vε ∈ L2 (  ) 3 ≤ Cε 2 − γ + η ( ε ) (19) vε − v0 2 trong đó là hằng số và . ) = 0 limη ( ε C ε →0 v0 ∈ H 1 (  3 ) ∩ L1 ( ) Nếu giả sử thêm và 3 { } 0 0
Định lí 2. Vớvε i như trong định lí 1, ta có  mπ nπ kπ   π   π  π vε ( x, y, t ) = ∑ ∑k m∑n vε  a , a , a S  m, a  ( x ) S  n, a  ( y ) S  k , a  ( t )  ε ε ε  ε  ε  ε k∈  n≤ ≤ trong đó sin π ( z − pd ) d    , p ∈  , d > 0. S ( p, d ) ( z ) = π ( z − pd ) d
Ví dụ số. Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ v ( x, , trong đó tho) u ( x, y , z , t ả y, t ) = u ( x, y, 0, t ) ∂u (21) ∆u − = 0, x, y ∈  , 0 < z < 2, t > 0 ∂t x2 + y 2 + 4 1 − u ( x, y,1, t ) = f ( x, y, t ) = 3 e x, y ∈  , t > 0 (22) , 4t t2 x 2 + y 2 +1 1 − u ( x, y, 2, t ) = g ( x, y, t ) = 3 e (23) x, y ∈  , t > 0 , 4t t2 u ( x, y , z , 0 ) = 0, (24) x, y ∈  , 0 < z < 2 Bài toán (21) – (24) có nghiệm chính xác là x2 + y 2 +9 1 − v0 ( x, y , t ) = 3 e 4t (25) t2
Giả sử dữ liệu bị nhiễu x2 + y2 + 4 1+ ε − (26) fε ( x, y, t ) = ( 1 + ε ) f ( x, y, t ) = , x, y ∈  , t > 0 e 4t 3 t 2 x 2 + y 2 +1 1+ ε − g ε ( x , y , t ) = ( 1 + ε ) g ( x , y , t ) = 3 e 4 t , x, y ∈  , t > 0 (27) t2 Bảng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ ε v0 − vε 2 ε = 10− 5 1,744496 × 10− 2 −3 −8 ε = 10 3,858909 × 10 − 10 ε = 10 1, 274943 × 10− 3 ε = 10− 15 9,149228 × 10− 6
00:39:54