Luận văn: ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1 \"Kiến thức chuẩn bị\" là chương giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy. Chương 2 \"Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy\" trình bày một số bổ đề từ đó đi đến định lý chính của chương nói về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số và hệ quả của nó. Ngoài ra chương này còn trình bày mối quan hệ giữa môđun Cohen-Macaulay dãy M và biểu thức của...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- LÊ THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH N GUY ỄN TỰ CƯ ỜNG THÁI NGUYÊN NĂM 2008 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
1 Môc lôc 1 Môc lôc 2 Lêi c¶m ¬n 3 PhÇn më ®Çu 5 Ch¬ng I. KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1. HÖ tham sè 5 1.2. D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay 7 1.3. M«®un Cohen-Macaulay d·y 10 14 Ch¬ng II. Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y 2.1. §Æc trng cña m«®un Cohen-Macalay d·y 14 2.2. §a thøc Hilbert-Samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y 27 2.3. VÝ dô 31 38 Tµi liÖu tham kh¶o
2 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña GS.TSKH NguyÔn Tù Cêng. T«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt cña m×nh ®Õn thÇy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS.TS NguyÔn Quèc Th¾ng cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o ë Khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau §¹i häc trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i trêng. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù gióp ®ì nhiÖt thµnh vµ chu ®¸o cña NCS TrÇn Nguyªn An, b¹n Hoµng Lª Trêng phßng ®¹i sè trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n nµy.
3 Lêi nãi ®Çu Cho R lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether víi i®ªan tèi ®¹i m vµ M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Cho x = x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M vµ q = (x1 , . . . , xd ) lµ i®ªan tham sè cña M sinh bëi x. Víi mçi sè nguyªn d¬ng n, ký hiÖu d d Λd,n = {(α1 , . . . , αd ) ∈ Z | αi ≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d, α i = d + n − 1} i=1 q(α) = (xα1 , . . . , xαd ) víi ∀α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n . vµ 1 d Ta nãi r»ng hÖ tham sè x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè nÕu ®¼ng thøc qn M = q(α)M ®óng víi ∀n ≥ 1. VËy khi nµo mét hÖ tham sè α∈Λd,n cho tríc cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. VÊn ®Ò nµy Heinzer, Ratliff vµ Shah ®· chøng minh r»ng mét d·y c¸c phÇn tö R− chÝnh quy lu«n cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Sau ®ã, Goto vµ Shimoda ®· chØ ra r»ng ®iÒu ngîc l¹i còng ®óng khi mçi phÇn tö cña d·y kh«ng lµ íc cña kh«ng trong R. H¬n n÷a, hä cßn ®a ra mét ®Æc trng kh¸c cña R víi dim R ≥ 2, trong ®ã mäi hÖ tham sè cña R cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ta nãi m«®un M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ tham sè x nµo ®ã sao cho x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. B©y giê, ta h¹n chÕ sù quan t©m cña c©u hái trªn cho hÖ tham sè tèt cña M . Khi ®ã mét m«®un Cohen-Macaulay d·y cã thÓ ®îc ®Æc trng bëi tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña mét hÖ tham sè tèt nh thÕ nµo. Néi dung ®ã ®îc tr×nh bµi trong bµi b¸o Parametric decomposition of powers of cña t¸c gi¶ parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules NguyÔn Tù Cêng vµ Hoµng Lª Trêng. Bµi b¸o sÏ ra ë t¹p chÝ " Proc. Amer. Math. Soc." Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i mét c¸ch hÖ thèng vµ chi tiÕt kÕt qu¶ cña bµi b¸o trªn. LuËn v¨n ®îc chia lµm 2 ch¬ng. Ch¬ng 1 "KiÕn thøc chuÈn bÞ" lµ ch¬ng giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®¹i sè giao ho¸n nh hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un Cohen- Macaulay, m«®un Cohen-Macaulay d·y.
4 Ch¬ng 2 "Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y" tr×nh bµy mét sè bæ ®Ò tõ ®ã ®i ®Õn ®Þnh lý chÝnh cña ch¬ng nãi vÒ ®Æc trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè vµ hÖ qu¶ cña nã. §Þnh lý ph¸t biÓu r»ng §Þnh lý 2.1.6. Cho R− m«®un (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether. M lµ h÷a h¹n sinh. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: M (i) lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. M (ii) Mäi hÖ tham sè tèt cña cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. M (iii) Tån t¹i hÖ tham sè tèt cña cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ngoµi ra ch¬ng nµy cßn tr×nh bµy mèi quan hÖ gi÷a m«®un Cohen- Macaulay d·y M vµ biÓu thøc cña hµm Hilbert-Samuel th«ng qua ®Þnh lý §Þnh lý 2.2.3. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M vµ ®Æt Di = Di /Di−1 víi mäi i = 1, . . . , t, D0 = D0 . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: M (i) lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. q cña M , ®¼ng thøc (ii) Víi bÊt kú i®ªan tham sè tèt t n + di n+1 l(M/q M) = l(Di /qDi ) di i=0 n ≥ 0. ®óng víi mäi q cña M (iii) Tån t¹i i®ªan tham sè tèt sao cho ®¼ng thøc t n + di n+1 l(M/q M) = l(Di /qDi ) di i=0 n ≥ 0. ®óng víi mäi PhÇn cuèi cïng cña ch¬ng sÏ x©y dùng vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c kÕt qu¶ chÝnh ®· nªu ë trªn.
Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Môc ®Ých cña ch¬ng nµy lµ nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®¹i sè giao ho¸n ®îc sö dông trong luËn v¨n bao gåm ®Þnh nghÜa, c¸c mÖnh ®Ò vµ bæ ®Ò vÒ hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un Cohen-Macaulay, m«®un Cohen-Macaulay d·y. 1.1 HÖ tham sè Trong phÇn nµy ta sÏ ®a ra kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ hÖ tham sè, ®©y lµ mét kh¸i niÖm quan träng xuyªn suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n nµy. Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R− 1.1.1 §Þnh nghÜa. m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. TËp c¸c phÇn tö x = (x1 , x2 , . . . , xd ), xi ∈ m , ∀i = 1, . . . , d tho¶ m·n lR (M/xM ) < ∞ ®îc gäi lµ mét hÖ cña M. tham sè Gi¶ sö (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. MÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hÖ tham sè. 5
6 x1 , x2 , . . . , xt ∈ m khi ®ã 1.1.2 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò A.4] Cho dim(M/(x1 , . . . , xt )M ) ≥ dim M − t. x1 , x2 , . . . , xt lµ mét phÇn cña hÖ tham sè §¼ng thøc s¶y ra khi vµ chØ khi M. cña x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M 1.1.3 MÖnh ®Ò. [8, Chó ý 15.20] NÕu th× α1 , . . . , αd ta cã xα1 , . . . , xαd víi mäi sè nguyªn d¬ng còng lµ hÖ tham sè 1 d M. cña NhËn xÐt. (1) Cho x ∈ m khi ®ã x lµ mét phÇn tö cña hÖ tham sè cña M khi vµ chØ khi x ∈ p víi mäi p ∈ Ass R sao cho dimR/p = d. (2) Cho x1 , . . . , xd ∈ m x¸c ®Þnh bëi xi+1 ∈ p, ∀p ∈ Ass R(M/(x1 , . . . , xi )M ), dim R/p = d − i víi i = 0, . . . , d − 1. Khi ®ã {x1 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè cña M . TiÕp theo ta sÏ ®a ra ®Þnh nghÜa vÒ hµm Hilbert-Samuel vµ ®Þnh lý ®a thøc Hilbert, ®©y lµ mét ®Þnh lý næi tiÕng vµ cã øng dông nhiÒu trong ®¹i sè giao ho¸n. Trong luËn v¨n nµy ta chØ nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa vµ ®Þnh lý dïng cho ch¬ng sau mµ kh«ng chøng minh. Cho M lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph¬ng 1.1.4 §Þnh nghÜa. Noether (R, m) víi dim M = d, q lµ i®ªan ®Þnh nghÜa cña M ( tøc lµ l(M/qM ) < ∞). Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa mét hµm sè gäi lµ hµm Hilber- Samuel Fq,M (n) = l(M/qn+1 M ).
7 R= t≥0 Rt lµ vµnh ph©n bËc 1.1.5 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 13.2] Cho R0 Noether. lµ vµnh Artin vµ M lµ R- m«®un ph©n bËc h÷a h¹n sinh. Gi¶ R = R0 [x1 , . . . , xr ] xi di khi ®ãFq,M (n) lµ mét hµm h÷u sö r»ng vµ bËc Pq,M (n) d tû cña n h¬n n÷a tån t¹i ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû bËc sao cho n ®ñ lín th× víi Fq,M (n) = Pq,M (n). e0 (q, M )(> 0), e1 (q, M ), . . . , ed (q, M ) vµ tån t¹i nh÷ng sè nguyªn sao cho n+d−1 n+d +· · ·+ed (q, M ). Pq,M (n) = e0 (q, M ) +e1 (q, M ) d−1 d e0 (q, M ) ®îc gäi lµ sè béi Zaziski-Samuel. Khi q sinh bëi mét hÖ tham Sè x = {x1 , x2 , . . . , xd } ta ký hiÖu e0 (q, M ) = e( x, M ). sè 1.2 D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay Trong phÇn nµy ta sÏ tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vÒ d·y chÝnh quy, ®ã lµ kh¸i niÖm c¬ b¶n ®Ó ®Þnh nghÜa ®é s©u cña mét m«®un tõ ®ã ®a ®Õn ®Þnh nghÜa cña vµnh vµ m«®un Cohen-Macaulay. Cho R lµ vµnh giao ho¸n vµ M lµ R− m«®un. Mét phÇn 1.2.1 §Þnh nghÜa. tö x ∈ R ®îc gäi lµ M − nÕu 0 :M x = 0, tøc lµ xa = 0 víi chÝnh quy ∀a ∈ M, a = 0. Mét d·y c¸c phÇn tö x1 , . . . , xn cña R ®îc gäi lµ M −d·y nÕu (x1 , . . . , xn )M = M vµ xi lµ M/(x1 , . . . , xi−1 )M − chÝnh chÝnh quy quy víi mäi i = 1, . . . , n. C¸c mÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y chÝnh quy. R− M 1.2.2 MÖnh ®Ò. [8, Bæ ®Ò 16.4] Cho lµ m«®un khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng:
8 M − chÝnh quy. x1 , . . . , xn (i) D·y lµ d·y M − chÝnh quy vµ xi+1 , . . . , xn x1 , . . . , xi (ii) D·y lµ d·y lµ d·y M/(x1 , . . . , xi )M − chÝnh quy víi mäi 1 ≤ i ≤ n − 1. M− x1 , . . . , xn 1.2.3 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 16.1] NÕu lµ d·y chÝnh quy {xα1 , . . . , xαn } còng lµ d·y α1 , . . . , α n th× víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã n 1 M − chÝnh quy. M− x1 , . . . , x n 1.2.4 MÖnh ®Ò. [8, §Þnh lý 16.9] NÕu lµ d·y chÝnh quy M− x1 , . . . , x n th× víi mäi ho¸n vÞ cña c¸c phÇn tö ta vÉn ®îc mét d·y chÝnh quy. R− m«®un h÷u h¹n sinh M 1.2.5 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.12] NÕu lµ M− x1 , . . . , xt trªn vµnh ®Þa ph¬ng Noether vµ lµ d·y chÝnh quy th× x1 , . . . , xt M. lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña Víi ®Þnh nghÜa vÒ d·y chÝnh quy nªu trªn cho phÐp ®i ®Õn kh¸i niÖm ®é s©u cña mét m«®un, ®Ó tõ ®ã ®i ®Õn kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay. Cho I lµ i®ªan cña vµnh R, M lµ R− m«®un h÷u h¹n 1.2.6 §Þnh nghÜa. sinh sao cho M = IM . Khi ®ã ®é dµi cùc ®¹i cña d·y M − chÝnh quy cña I gäi lµ ®é s©u cña i®ªan I ®èi víi R− m«®un M , kÝ hiÖu depth R(I, M ). NÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, ta cã thÓ kÝ hiÖu ®é s©u cña R− m«®un M lµ depthR M hoÆc cã thÓ ®¬n gi¶n h¬n lµ depth M . (R, m) 1.2.7 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.13] Cho lµ vµnh ®Þa ph¬ng R− m«®un h÷u h¹n sinh. Ta cã kh¼ng ®Þnh sau. M Noether, lµ depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M . Vµ tiÕp theo ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un Cohen- Macaulay.
9 M«®un M ®îc gäi lµ nÕu 1.2.8 §Þnh nghÜa. m«®un Cohen-Macaulay M = 0 hoÆc M = 0 vµ depth M = dim M. Vµnh R gäi lµ vµnh Cohen- nÕu nã lµ R− m«®un Cohen-Macaulay. Macaulay MÖnh ®Ò sau nªu lªn c¸c ®Æc trng c¬ b¶n cña m«®un Cohen-Macaulay. M 1.2.9 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 17.3] (1) NÕu lµ m«®un Cohen-Macaulay ∀p ∈ Ass M dim R/p = dim M . th× víi ta cã x1 , . . . , xd ∈ m M− M (2) NÕu lµ d·y chÝnh quy th× lµ m«®un Cohen- M/(x1 , . . . , xd )M Macaulay khi vµ chØ khi lµ m«®un Cohen-Macaulay. M 1.2.10 MÖnh ®Ò. [7, Chó ý 136] NÕu lµ m«®un Cohen-Macaulay th× M − chÝnh quy. M mäi hÖ tham sè cña lµ d·y N M 1.2.11 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.2] Cho lµ m«®un con cña tho¶ m·n dim N < dim M M/N x1 , . . . , x i vµ lµ m«®un Cohen-Macaulay. Cho lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M khi ®ã (x1 , . . . , xi )M ∩N = (x1 , . . . , xi )N . Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo i. Chøng minh. Víi i = 1 ta ph¶i chøng minh x1 M ∩ N = x1 N . Ta lu«n cã x1 N ⊆ x1 M ∩ N ta chøng minh x1 M ∩ N ⊆ x1 N . ThËt vËy, lÊy y ∈ x1 M ∩ N khi ®ã y ∈ x1 M vµ y = x1 m víi m ∈ M suy ra y = x1 m ∈ N hay x1 m + N = 0 + N trong M/N tøc x1 (m + N ) = 0 suy ra m + N = 0 hay m ∈ N . Do ®ã y = x1 m ∈ x1 N Gi¶ sö i > 1. Ta lu«n cã (x1 , . . . , xi )N ⊆ (x1 , . . . , xi )M ∩ N (1). LÊy a ∈ (x1 , . . . , xi )M ∩ N khi ®ã a = x1 a1 + · · · + xi ai trong ®ã aj ∈ M víi mäi j = 1, . . . , i v× a ∈ N nªn ai ∈ (N + (x1 , . . . , xi−1 )M ) : xi . MÆt kh¸c, v× d·y x1 , . . . , xi lµ M/N − chÝnh quy vµ (N + (x1 , . . . , xi−1 )M ) :M xi = N + (x1 , . . . , xi−1 )M
10 nªn ta cã ai ∈ N + (x1 , . . . , xi−1 )M , ai = x1 b1 + · · · + xi−1 bi−1 + c trong ®ã bj ∈ M , j = 1, · · · , i − 1 vµ c ∈ N . Suy ra theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã a − xi c ∈ (x1 , . . . , xi−1 )M ∩ N = (x1 , . . . , xi−1 )N Do ®ã a ∈ (x1 , · · · , xi )N . VËy (x1 , . . . , xi )M ∩N ⊆ (x1 , . . . , xi )N (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã (x1 , . . . , xi )M ∩ N = (x1 , . . . , xi )N 1.3 M«®un Cohen-Macaulay d·y Trong phÇn nµy ta ®a ra ®Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ läc chiÒu vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y, tríc tiªn ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm läc chiÒu cña m«®un. (1) Mét läc c¸c m«®un con cña M lµ mét hä 1.3.1 §Þnh nghÜa. F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M trong ®ã Mi lµ c¸c m«®un con cña M . Läc c¸c m«®un con F cña M ®îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu dim Mi−1 < dim Mi víi mäi i = 1, 2, . . . , t. (2) Mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M ®îc gäi lµ läc chiÒu cña M nÕu nã tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn sau 0 (a) D0 = Hm (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng thø 0 cña M øng víi i®ªan tèi ®¹i m. (b) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di sao cho dim Di−1 < dim Di víi mäi i = 1, 2, . . . , t.
11 MÖnh ®Ò sau sÏ cho ta thÊy sù tån t¹i cña läc chiÒu. M 1.3.2 MÖnh ®Ò. [2, Chó ý 2.3] Läc chiÒu cña m«®un lu«n tån t¹i vµ D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M duy nhÊt. H¬n n÷a nÕu lµ läc chiÒu cña M dim Di = di víi th× ta cã Di = Nj dim(R/pj )≥di+1 i = 1, 2, . . . , t − 1 trong ®ã víi mäi n 0= Nj j =1 pj − nguyªn 0 cña M Nj lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un vµ lµ j = 1, 2, . . . , n. s¬ víi mäi Cho N lµ m«®un con cña M vµ dim N < dim M . Tõ ®Þnh NhËn xÐt. nghÜa läc chiÒu, tån t¹i m«®un Di sao cho N ⊆ Di vµ dim N = dim Di . Do ®ã nÕu F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu th× víi mçi Mj lu«n tån t¹i Di sao cho Mj ⊆ Di vµ dim Mj = dim Di . HÖ tham sè tèt lµ mét kh¸i niÖm quan träng ®îc sö dông trong luËn v¨n nµy, tõ ®Þnh nghÜa vÒ läc chiÒu nªu trªn ta cã ®Þnh nghÜa vÒ hÖ tham sè tèt nh sau. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ läc tho¶ m·n 1.3.3 §Þnh nghÜa. ®iÒu kiÖn chiÒu vµ dim Mi = di . Mét hÖ tham sè x = {x1 , x2 , . . . , xd } cña M ®îc gäi lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc F nÕu Mi ∩ (xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd )M = 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , t − 1.
12 Mäi hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc chiÒu ®îc gäi lµ hÖ tham sè tèt cña M. NhËn xÐt (1) NÕu hÖ tham sè x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi F th× xα1 , . . . , xαd còng lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc F víi mäi läc 1 d sè nguyªn d¬ng α1 , . . . , α d . (2) Mét hÖ tham sè tèt cña M còng lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi bÊt kú läc tho¶ m·n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nµo cña M. M. 1.3.4 Bæ ®Ò. [2, Bæ ®Ò 2.5] Lu«n tån t¹i hÖ tham sè tèt cña Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M víi Chøng minh. dim Di = di . Theo mÖnh ®Ò 1.3.2 ta cã Di = Nj trong ®ã dim(R/pj )≥di+1 n Nj lµ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un 0 cña M . §Æt 0= j =1 Nj khi ®ã Di ∩ Ni = 0 vµ dim M/Ni = di . Theo ®Þnh lý Ni = dim(R/pj )≤di Tr¸nh nguyªn tè sÏ tån t¹i mét hÖ tham sè x = {x1 , x2 , . . . , xd } tho¶ m·n xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd ∈ Ann M/Ni . Suy ra Di ∩ (xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd )M ⊆ Di ∩ Ni = 0. x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè tèt cña 1.3.5 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.1] Cho j = di + 1, . . . , di+1 , i = 0, 1, . . . , t − 1 M Di = 0 :M xj khi ®ã víi mäi 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ . . . ⊆ 0 :M xd . vµ do ®ã Ta cã Di ⊆ 0 :M xj víi mäi j ≥ di . ThËt vËy, lÊy x ∈ Di Chøng minh. v× Di lµ m«®un con cña M nªn x ∈ M . Suy ra xj x ∈ (xdi +1 , . . . , xd )M , ∀j = di +1, . . . , d h¬n n÷a xj x ∈ Di . Nªn suy ra xj x = 0 hay x ∈ 0 :M xj . Ta cßn ph¶i chøng minh r»ng 0 :M xj ⊆ Di víi mäi di < j < di+1 .
13 Gi¶ sö 0 :M xj ⊆ Di vµ s lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 0 :M xj ⊆ Ds−1 khi ®ã t ≥ s > i vµ 0 :M xj = 0 :Ds xj . V× ds ≥ di+1 ≥ j , xj lµ phÇn tö tham sè cña Ds vµ dim 0 :M xj < ds do ®ã 0 :M xj ⊆ Ds−1 ®iÒu nµy v« lý víi viÖc chän s. Do vËy 0 :M xj = Di . Trong phÇn tiÕp theo ta sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét vµi tÝnh chÊt ®Æc trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y ®îc sö dông trong luËn v¨n nµy. Tríc hÕt ta cã ®Þnh nghÜa sau. M«®un M ®îc gäi lµ 1.3.6 §Þnh nghÜa. m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu víi läc chiÒu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M mçi m«®un Di /Di−1 lµ Cohen-Macaulay víi i = 1, 2, . . . , t. MÖnh ®Ò tiÕp theo coi nh ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng víi ®Þnh nghÜa m«®un Cohen-Macaulay d·y. D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M 1.3.7 MÖnh ®Ò. [2, §Þnh lý 3,9] Cho lµ M dim Di = di x = (x1 , x2 , . . . , xd ) läc chiÒu cña víi vµ lµ hÖ tham sè M . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: tèt cña (1) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (2) (x1 , . . . , xdi ) lµ d·y chÝnh quy trªn M/Di−1 i = 1, . . . , t. víi (3) depth M/Di−1 = di i = 1, . . . , t. víi x = {x1 , x2 , . . . , xd } 1.3.8 Bæ ®Ò. [3, HÖ qu¶ 2.3] Cho lµ hÖ tham sè (x1 , . . . , xd )M ∩ Di = M. tèt cña m«®un Cohen-Macaulay d·y Khi ®ã i = 1, . . . , t − 1. (x1 , . . . , xdi )Di víi mäi Ta cã Di lµ m«®un con cña M , dim Di < M vµ M lµ m«®un Chøng minh.
14 Cohen-Macaulay d·y nªn (x1 , . . . , xd )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi , xdi+1 , . . . , xd )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi )M ∩ Di + (xdi+1 , . . . , xd )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi )M ∩ Di mµ (x1 , . . . , xdi ) lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M nªn theo bæ ®Ò 1.2.11 ta cã (x1 , . . . , xdi )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi )Di .
Ch¬ng 2 Ph©n tÝch tham sè cña luü thõa i®ªan tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y Trong ch¬ng nµy ta sÏ tr×nh bµy néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Néi dung ch×nh ®îc chia lµm ba tiÕt. TiÕt mét tr×nh bµy vÒ ®Æc trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè. TiÕt hai sÏ tr×nh bµy vÒ ®a thøc Hilbert-samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y vµ trong tiÕt ba sÏ ®a ra mét sè vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c kÕt qu¶ ®· nªu ë trªn. 2.1 §Æc trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷a h¹n sinh víi dim M = d. Cho x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè cña m«®un M vµ q lµ i®ªan sinh bëi x1 , x2 , . . . , xd . Víi sè nguyªn d¬ng n, s ta cã tËp d d Λd,n = {(α1 , . . . , αd ) ∈ Z | αi ≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d, α i = d + n − 1} i=1 α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n . Ký hiÖu q(α) = (xα1 , . . . , xαd ). víi 1 d 15
16 qnM ⊆ q(α)M 2.1.1 Bæ ®Ò. Víi c¸c ký hiÖu trªn ta cã α∈Λd,n q (α)M = (xα1 , . . . , xαd ) nªn q n M ®îc sinh bëi c¸c V× Chøng minh. 1 d d β . . . xβd m trong ®ã phÇn tö cã d¹ng x1 1 βi ∈ N, ∀i = 1, . . . , d vµ βi = n. d i=1 d d LÊy tuú ý α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n . Ta cã (αi − 1) nªn tån t¹i βi > i=1 i=1 βi > αi víi i nµo ®ã. Suy ra xβ1 . . . xβd m ∈ q (α)M . VËy víi mäi n ta cã 1 d qnM ⊆ q(α)M . α∈Λd,n NÕu ë mÖnh ®Ò trªn dÊu b»ng x¶y ra víi mäi n tøc qn M = q(α)M α∈Λd,n ®óng víi mäi n th× ta nãi x = x1 , . . . , xd cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ta sÏ chøng minh trong tiÕt nµy r»ng M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ tham sè tèt x nµo ®ã cña M ®Ó sao cho x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè . Ta b¾t ®Çu b»ng bæ ®Ò vÒ tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña d·y c¸c phÇn tö chÝnh quy. s lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ y1 , . . . , ys lµ M − d·y chÝnh 2.1.2 Bæ ®Ò. Cho m. Khi ®ã quy cña c¸c phÇn tö trong α (y1 , . . . , ys )n M = α (y1 1 , . . . , ys s )M α∈Λs,n n ≥ 1. víi mäi α α Ta kÝ hiÖu y = (y1 , . . . , ys ) vµ y (α) = (y1 1 , . . . , ys s ). Chøng minh. ViÖc chøng minh bæ ®Ò trªn trong vµnh R lµ hoµn toµn t¬ng tù nh xÐt trong vµnh ®a thøc Z[X1 , . . . , Xs ] vµ do ®ã ta cã thÓ thay thÕ y bëi X = X1 , . . . , Xs . Ta biÕt r»ng d·y X lµ Z[X1 , . . . , Xs ]− chÝnh quy, vËy cã thÓ gi¶ sö y lµ Z[X1 , . . . , Xs ]− chÝnh quy.
17 §Æt M lµ i®ªan ho¸ cña M trªn R. Khi ®ã S = R M lµ S=R nhãm céng vµ phÐp nh©n trong S ®îc ®Þnh nghÜa nh sau (a, x)(b, y ) = (ab, ay + bx), ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M. §Æt fi = (yi , 0), (i = 1, . . . , s), ta sÏ chøng minh d·y f = f1 , . . . , fs lµ S − chÝnh quy, tøc lµ (f1 , . . . , fi )S : fi+1 = (f1 , . . . , fi )S, i = 0, . . . , s − 1. Ta lu«n cã (f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊇ (f1 , . . . , fi )S do ®ã ta chØ cÇn ph¶i chøng minh (f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊆ (f1 , . . . , fi )S, i = 0, . . . , s − 1 lµ ®ñ. LÊy bÊt kú g ∈ (f1 , . . . , fi )S : fi+1 , tøc lµ g = (u, x), u ∈ R, x ∈ M i vµ gfi+1 ∈ (f1 , . . . , fi )S , suy ra (u, x)(yi+1 , 0) = (yj , 0)(uj , xj ) hay j =1 i i lµ yj xj ), trong ®ã uj ∈ R, xj ∈ M . VËy (uyi+1 , xyi+1 ) = ( yj uj , j =1 j =1 i i yj uj vµ xyi+1 = yj xj . Tõ ®ã uyi+1 ∈ (y1 , . . . , yi )R vµ uyi+1 = j =1 j =1 xyi+1 ∈ (y1 , . . . , yi )M tøc lµ u ∈ (y1 , . . . , yi )R : yi+1 = (y1 , . . . , yi )R x ∈ (y1 , . . . , yi )M : yi+1 = (y1 , . . . , yi )M víi i = 0, . . . , s − 1. Suy ra (u, x) ∈ (f1 , . . . , fi )S do ®ã g ∈ (f1 , . . . , fi )S . VËy (f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊆ (f1 , . . . , fi )S , víi mäi i = 0, . . . , s − 1 nªn (f1 , . . . , fi )S : fi+1 = (f1 , . . . , fi )S, ∀i = 0, . . . , s − 1 tøc lµ ta cã f = f1 , . . . , fs lµ S − chÝnh quy. Tõ ®©y ¸p dông [6, §Þnh lý 2.4] ta cã (f )n S = f (α)S, ∀n ≥ 1 (1) α∈Λs,n
18 TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng (f )n S = (y )n R × (y )n M. β Cβ f1 1 . . . fs s ∈ (f )n S , trong ®ã βi ≥ 0, i = β ThËt vËy, lÊy tuú ý t= s βi = n, Cβ = (rβ , mβ ) ∈ R × M . Ta cã 1, . . . , s, i=1 β β (rβ , mβ )(y1 1 . . . ys s , 0) t= β β β mβ y1 1 . . . ys s ) ∈ (y )n R × (y )n M. β rβ y1 1 . . . ys s , =( β β β ∈ (y )n R×(y )n M , tøc lµ t = ( β Ngîc l¹i, cho t mβ y1 1 . . . ys s ), rβ y1 1 . . . ys s , s s βi = n, r ∈ R, m ∈ M . §Æt fiβi = trong ®ã βi , βi ≥ 0, βi = n, i=1 i=1 β βi β ≤ i ≤ s. Ta cã (yi i , 0), fi i = (yi , 0), 1 β β β β (rβ y1 1 . . . ys s , 0) + (0, t= mβ y1 1 . . . ys s ) β β β β (0, mβ )(f1 1 . . . fi i ) ∈ (f )n S. (rβ , 0)(f1 1 . . . fs s ) + = (f )n S = (y )n R × (y )n M VËy (2) T¬ng tù nh chøng minh ®¼ng thøc (2) ta còng cã f (α)S = y (α)R × y (α)M, n ≥ 1, α ∈ Λs,n . Suy ra y (α)R × f (α)S = y (α)M (3) α∈Λs,n α∈Λs,n α∈Λs,n Tõ (1),(2),(3) dÉn ®Õn kÕt qu¶ sau (y )n R × (y )n M = y (α)R × y (α)M. α∈Λs,n α∈Λs,n (y )n M = Tõ ®©y suy ra y (α)M, n ≥ 1 hay α∈Λs,n α (y1 , . . . , ys )n M = α (y1 1 , . . . , ys s )M α∈Λs,n víi mäi n ≥ 1.
19 s y1 , . . . , y s 2.1.3 Bæ ®Ò. Cho lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ lµ mét d·y c¸c α m tho¶ m·n (y1 , . . . , ys )n M = α (y1 1 , . . . , ys s )M phÇn tö cña víi mäi α∈Λs,n n ≥ 1. Khi ®ã α α (y1 , . . . , yi )n M = n ≥ 1 vµ i < s. (y1 1 , . . . , yi i )M (i) víi mäi α∈Λi,n k (y1 , . . . , yi )m M ⊆ (y1 , . . . , yi , yi+1 )k+m M ∩ ∀k, m ≥ 1 (ii) yi+1 M víi vµ i < s. (i) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö s ≥ 2 vµ chØ Chøng minh. cÇn chøng minh bæ ®Ò ®óng víi i = s − 1 lµ ®ñ. α α (y1 , . . . , ys−1 )n M ⊆ Ta lu«n cã (y1 1 , . . . , ys−−1 )M víi mäi n ≥ 1. s 1 α∈Λs−1,n αs−1 α1 ThËt vËy, v× y (α) = (y1 , . . . , ys−1 ) nªn y n = (y1 , . . . , ys−1 )n ®îc sinh βs − β bëi c¸c phÇn tö cã d¹ng y1 1 . . . ys−11 , trong ®ã βi ∈ N, ∀i = 1, . . . , s − 1 s−1 vµ βi = n. LÊy tuú ý phÇn tö α = (α1 , . . . , αs−1 ) ∈ Λs−1,n . Khi i=1 s−1 s−1 ®ã ta cã (αi − 1) nªn tån t¹i i(1 ≤ i ≤ s − 1) sao βi = n > i=1 i=1 βs− β cho βi > αi . Suy ra y1 1 . . . ys−11 ∈ y (α). VËy (y1 , . . . , ys−1 )n M ⊆ αs α (y1 1 , . . . , ys−−1 )M. 1 α∈Λs−1,n Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng kh«ng x¶y ra bao hµm thøc trªn, khi ®ã sÏ tån α α (y1 1 , . . . , ys−−1 )M mµ x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M . Ta chän sè t¹i x∈ s 1 α∈Λs−1,n tù nhiªn k ®ñ lín sao cho x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M + ys M, x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M + ys +1 M. k k ViÖc chän nh vËy lµ hoµn toµn x¸c ®Þnh v× nÕu k = 0 th× hiÓn nhiªn ta cã x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M +ys M = M . MÆt kh¸c, nÕu x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M + 0