zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học

Luận văn: Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

58
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Theo Harker và Pang, bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia. Những nghiên cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

www.VNMATH.com ¼ õ Ø ôÒ ÙÝ Ò ØÖ Ò õ Ó ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ È ÒÌ Æ Ô Ò Ô ôÔ Ð Ô Ò Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ Á Æ ÈÀ Æ ÐÙ Ò Ú ÒØ õ × ØÓôÒ Ò Ò Ì ô Æ ÙÝ Ò¹¾¼¼ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ¼ õ Ø ôÒ ÙÝ Ò ØÖ Ò õ Ó ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ È ÒÌ Æ Ô Ò Ô ôÔ Ð Ô Ò Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ Á Æ ÈÀ Æ ÙÝ Ò Ò Ò ÌÓôÒ Ò Ò Åó × ¼º º¿ ÐÙ Ò Ú ÒØ õ × ØÓôÒ Ò Ò Æ Í ÁÀ Æ Æ ÃÀÇ À ÌËº ÈÀõÅ Æ ÆÀ Ì ô Æ ÙÝ Ò¹¾¼¼ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ¼ ½ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ¾ Å Ð ÌÖ Ò Ô Å Ð ¾ Ä òÑ Ò ¿ Å Ø× Ù Úñ Ú Ø ØúØ Ä Ò Ù Ò ½º ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò 1.1. Å Ø × ôÒÑ òÒ 1.2. È ôØ Ù ñ ØÓôÒ Úñ Ú ½¼ 1.3. Ë Ø Ò Øõ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ ½ Ò ¾º È Ò Ô ôÔ Ð Ô Ò ò ñ ØÓôÒ ´ÎÁµ Ò Ù ÑõÒ 2.1. Ì Ò Ò óÒ ôÒ Üõ Ò Ñ ¾¿ 2.2. Å Øò Ø Ù Ø ØÓôÒ Úñ × Ø ¾ Ò ¿º È Ò Ô ôÔ Ð Ô Ò ò ñ ØÓôÒ Ò 3.1. Ì Ò Ò óÒ ôÒ Üõ Ò Ñ ¿¼ 3.2. Å Øò Ø Ù Ø ØÓôÒ Úñ × Ø ¿ 3.3. Ã Ø ÕÙò Ø Ò ØÓôÒ Ø Ò Ñ ¿º¿º½º Å Ò Ò ÷Ò ôÒ ÕÙÝ Ò ¿ ¿º¿º¾º Ã Ø ÕÙò Ø Ò ØÓôÒ Ø Ò Ñ ¿ Ìñ Ð Ù Ø Ñ òÓ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ¿ Ä òÑ Ò òÒ ÐÙ Ò Ú Ò ÒñÝ ÓñÒ Ø ñÒ Øõ ØÖ Ò õ ÃÓ ¹õ Ì ô Æ ÙÝ Ò × Ò Ò ÌËº È õÑ Æ Ò º Ìô òÜÒ ñÝ Ø ÐÒ Ò ØÖ Ò Úñ Ø Ò × Ù ×ú Ø Ø ÝÚ × Ø ÒØÒ Ò Ò ØÖÓÒ ×Ù Ø Ø Ò Øô ò ÐñÑ ÐÙ Ò Ú Òº ÌÖÓÒ ÕÙô ØÖ Ò Ø Ô Úñ ÐñÑ ÐÙ Ò Ú Ò¸ Ø Ò ÕÙ ô ñ òÒ Úñ Ü Ñ Ò ¸ Øô òØ Ò ÜÙÝ Ò Ò Ò × ÕÙ Ò Ø Ñ Ô Úñ Ò ÔÒ Ò Ò ÕÙ ôÙ È Ëº ÌËº Ä Ì Ì Ò Æ ñÒ¸ ÌËº Æ ÙÝ Ò Ì Ì ÙÌ Ý Úñ ô Ø Ýô ØÖÓÒ ØÖ Ò õ ÃÓ ¹õ Ì ô Æ ÙÝ Òº Ì ôÝ Ð Ò Ñ Ò ¸ Øô ò Ü Ò ñÝ Ø Ð Ò Ø Ò × Ù ×ú ÒôØ Ýô º Ìô ò Ü Ò ñÝ Ø Ð Ò Ø ÒØ ôØ Ý¸ ô Ó ÃÓ òÒ¸ Ò Ô ÀñÒ ÓñÒ ØÖ Ò Ó øÒ Ò Ò Ô Ì ô Æ ÙÝ Ò ó ó ØõÓ Ù Ò Ô Øô ò ØÖÓÒ Ø Ò ÐñÑ Ó º Ò Ò Ø ñÒ òÑ Ò Ò Ñ ÚÒ Ó Úñ õÒ ÒÒ Ô ÒÜ ó ØÖ Ó ¸ Ò Ú Ò Úñ Ð Øô ò ØÖÓÒ ÕÙô ØÖ Ò Ø Ô¸ Ò Ò Ù Úñ ÐñÑ ÐÙ Ò Ú Òº ÄÙ Ò Ú Ò × Ò ÓñÒ Ø ñÒ ÒÙ Ò ×Ø Ò òÑ¸ Ô Ò ÒÒ Ø Ò ØÖÓÒ Ò Øô òº Ý Ðñ Ñ Ò ÕÙñ Ø Ò Ø Ò¸ Øô ò ÜÒ Ò ØÒ Ò Ø ÒÝ Ù ÑÒ Ú Ø ÑÐ Ò Ø Ò Ò Ø ñÒ Úñ × Ù ×ú º Ìô ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com Å Ø× Ù Úñ Ú Ø ØúØ Rn Ò Ò ÙÐ n¹ Ù ØÖ ØÙÝ Ø ×Ø |β | β ÒÒ ÷Ò x := y x y Ú Ñ ∀x x Ø Ò Øõ x ∃x ôÒ Üõ ÒÒ Ø I ØÔ A Ðñ Ø Ô ÓÒ Ø × ØÔ A⊂B B Ø Ô A Ðñ Ø Ô ÓÒ ØÔ A⊆B B ÔÚ A∪B A B ÓÚ B A∩B A Ø ¹ô ØÔ A Úñ B A×B ÓÒÚD ÓÐ ØÔ D Ö Ñ Ò{f (x) | x ∈ C} Ø Ô ô Ñ ØÙ ñÑ f ØÖ Ò C AT Ñ ØÖ Ò ÙÝ Ò Ú Ñ ØÖ Ò A xk → x {x k } óÝ Ø ÑõÒ Ø x ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò VI Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com Ä Ò Ù Ì ÓÀ Ö Ö Úñ È Ò ¸ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ø ÙÐ Ò Ù Ø Ò ÚñÓ Ò Ñ ½ À ÖØÑ Ò Úñ ËØ ÑÔ ºÆ Ò Ò Ò Ù Ù Ø ÒÚ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ð Ò ÕÙ Ò Ø Ú ò ô ñ ØÓôÒ ÒÔ Ò¸ ñ ØÓôÒ Ù ÒØ Ù Úñ ô ñ ØÓôÒ Ò õÒ Ô Ò ØÖ Ò õÓ ñÑ Ö Òº ñ ØÓôÒ ÒÔ Ò ØÖÓÒ Ò ÒÚ õÒ Ù Úñ ô Ò Ò Ò Ø Ù ØÖÓÒ Ù Ò ×ô Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÕÙ Ð Ø × ÒØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ÃÒ ÖÐ Ö Ö Úñ ËØ ÑÔ ÜÙ Ø òÒ Ò Ñ ½ ¼ Úñ ØÖÓÒ Ù Ò ×ô Î Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÕÙ × Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÕÙ Ð Ø × ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ö ÓÙÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ× Ó Úñ Ô ÐÓ ÜÙ Ø òÒ Ò Ñ ½ º Æ Ñ½ Å Ð Âº ËÑ Ø Ö ñ ØÓôÒ Ò ÷Ò ÑõÒ ÓØ Ò Úñ ÒÑ½ ¼ ÖÑÓ× Ö Ö÷Ò Ñ Ò ÷Ò ñ ØÓôÒ ÒñÝ Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Òº Ì ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ô ôØ ØÖ Ò Úñ ØÖ Ø ñÒ ÑØ Ò Ù Ù Ò Ò Ù Úñ ò ô ñ ØÓôÒ Ò ÷Ò ØÖÓÒ Ò Ø Øñ Ò ¸ Ú Ò Øò ¸ Ð Ø ÙÝ Ø ØÖ Úñ Ò Ù ñ ØÓôÒ ô ´Ü Ñ µº ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ÕÙ Ò Ñ ØØ ØÚ ô ñ ØÓôÒ Ø Ù ôº ñ ØÓôÒ Ô ØÙÝ Ò¸ ÜÙ Ø Ò ÚñÓ Ò Ñ ½ ØÖÓÒ ÐÙ Ò ôÒ Ø Ò × ÓØØÐ ¸ Ðñ Ñ Ø ØÖ Ò Ô Ø ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ´Ü Ñ µº Ò Ý¸ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ò Ðñ Ñ Ø Øñ Ò ÙÒ ÕÙ Ò Ø Ñ Ò Ò ÙÚ Ú ØÖ Ò ØÖÓÒ Ð Ø ÙÝ Ø ØÓôÒ Úñ ØÖÓÒ ô Ò ÒØ Ø ´Ü Ñ ¸ µº Å Ø ØÖÓÒ ô ÒÒ Ò Ù ÕÙ Ò ØÖ Ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò Ô Ò Ðñ Ú ÜÝ Ò ôÔ Ò Ô ôÔ òº Ì Ò Ø Ò ôÔ Ò Ô ôÔ ò Ø ñÒ ô ÐÓõ × Ù ÄÓõ Ø Ò Ø Ðñ ô Ô Ò Ô ôÔ ÙÝ Ò ñ ØÓôÒ Ú Ô Ò ØÖ Ò Úñ Ò ôÔ Ò Ô ôÔ Ø Ò ÒÒ Ô Ò Ô ôÔ Æ ÛØÓÒ¸ Ô Ò Ô ôÔ Ñ ØÖÓÒ ò Ô Ò ØÖ Ò ÒñÝº ÄÓõ Ø Ðñ Ô Ò Ô ôÔ ØÒ Ø Ù Ò Ùº Ò Ò Ô Ò Ô ôÔ ÒñÝ Ðñ ô Ô Ò Ô ôÔ Ö ÒØ × Ù ÒñÝ ØÒ ÕÙôØ Ó Ò Ø ñÒ Ò ÙÝ Ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com Ð ñ ØÓôÒ Ô ´Ü Ñ µ¸ Ô Ò Ô ôÔ Ñ Ò ÊÓ ÐÐ Ö ´Ü Ñ ¿ µ¸ Ô Ò Ô ôÔ Ù ÒÌ ÓÒÓÚ ´Ü Ñ µ¸ºººº ôÔ Ò Ô ôÔ ÒñÝ ô Ù ÕÙò¸ Ø Ø ØÖ Ò ÑôÝ Ø Ò Ò Ò ô Ù Ò Ø òÑ òÓ ô òØ Ø ôÒ ÙÚ ØÒ Ø Ò Ùº ÄÓõ Ø Ðñ ô Ô Ò Ô ôÔ ØÖ Ò Ø Ù Ø ñÑ úÒ ´Ü Ñ µº Æ ÙÒ Ò Ô Ò Ô ôÔ ÒñÝ Ðñ ÙÝ Ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ ÒÚ ØÙ ñÑ úÒ Úñ × Ù × Ò Ø ÙØØ Ù ØÖ Ò Ó Ò ØÖ Ò ØÑ ØÙ ñÑ úÒº È Ò Ô ôÔ ÒñÝ Ø ò ô ñ ØÓôÒ Ú ô òØ ØÖ Ø Ò º ÌÙÝ Ò Ò¸ Ø Ø Ø Ù Ø ØÓôÒ ÜÙ Ø Ðñ Ñ ´Ü Ñ µº ÄÓõ Ø Ø Ðñ ô Ô Ò Ô ôÔ ØÖ Ò ô ØÔ Ò Ñ Ø Ò ºÆ ÙÒ Ò Ô Ò Ô ôÔ ÒñÝ Ðñ ÙÝ Ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ ÒÚ ØÑ Ñ Ø Ò ôÒ Üõ Ò Ñº ÄÙ Ò Ú Ò ÒñÝ ØÖ Ò ñÝ Ô Ò Ô ôÔ ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ø Ò ÕÙ Ø Ñ Ñ Ø Ò ôÒ Üõ Ò Ñ Ú Ø ØÖÓÒ ñ ôÓ Èº Æº Ò ¸ Äº º ÅÙÙ¸ Îº Àº Æ ÙÝ Ò Ò Âº Âº ËØÖÓ ÓØ ´¾¼¼ µ¸ ÇÒ Ø ÓÒØÖ ¹ Ø ÓÒ Ò ÒÓÒ ÜÔ Ò× Ú Ò ×× ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ø Ñ Ö Ò Ð Ñ ÔÔ Ò Ò Ò Ö ÐÞ Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÕÙ Ð Ø × ÒÚÓÐÚ Ò ÓÓÖ Ú ÓÔ Ö ØÓÖ×¸ Ò Ò Ö ÐÞ ÓÒ¹ Ø ÓÒ×º × º Ö Ö ¸ Æº Ú Ü ØÝ Ò Ò Ö ÐÞ ÅÓÒÓØÓÒ ØÝ Ò ÔÔÐ À × ÚÚ × Ò º Ìº ÄÙ ¸ ËÔÖ Ò Ö¸ ÔÔº ¹½½½ º Æ Óñ Ð Ò Ù Úñ Ô Ò Øñ Ð Ù Ø Ñ òÓ¸ ÐÙ Ò Ú Ò ÐñÑ Òº Ò ½ ØÙ Ðñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Òº Ò ÒñÝ Ò ú Ðõ ô ÒØ òÒ Ú ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò¸ ô Ú ¸ô ÒØ Ð Ò ÕÙ Ò Úñ ô Ò Ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò Ô Òº Ò ¾ Ñ Ô Ò òÒ È ÒØ Ò Ø ØÖ Ò ñÝ Ñ ÕÙ Ò Ò Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Úñ ôÒ Üõ Ò Ñº È Ò Ø Ö ôÒ Üõ Ò Ñ Ðñ Ó ñÑ ô Ðñ Ò Ù ÑõÒ Úñ Ä Ô× ØÞº Ò ¿ ØÖ Ò ñÝ Ô Ò Ô ôÔ Ð Ô Ò Ó ôÒ Üõ Ò Úñ Ñ Ø Ú Ø Ò ØÓôÒ Ò Ò Ø Ù Ø ØÓôÒ ÜÙ Øº Ã ¸ ôÒ Üõ Ò Ñ Ðñ Ò óÒ Úñ Ú ØÑ Ñ Ø Ò ôÒ Üõ Ò óÒ ØÑ Ø Ó Ù Ñ Ø Ò Æ Ð Öº Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com À Æ Á ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ Á Æ ÈÀ Æ ½º½º Å Ø × ôÒ Ñ òÒ x := (x1, x2, ..., xn)T , y := (y1, y2, ..., yn)T ∈ Rn Ó Ú Ø n x, y = xiyi i=1 Ðñ Ø Ú Ò Ú Ø x Úñ y º ÙÒ ÙÐ Úñ ÓòÒ ô Üô ÒØ Ò Ò ||x|| := x, x , d(x, y ) := ||x − y ||. Ì Òú Ðõ Ñ Ø × ÒØ òÒ òØ Ð × Ò Ó ô Ò Ø ÔØ Óº C ⊂ Rn •Ì Ô ÓÒ Ðñ Ø Ô Ð ¸Ò Ù Ò Ò ½º½º λx + (1 − λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1). C ⊂ Rn •Ì Ô ÓÒ Ðñ Ò Ò¸ Ò Ù λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ 0. C ⊂ Rn • x ∈ C¸ Ò C x¸ Ó Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð Úñ Ò Ô ôÔ ØÙÝ Ò Ò Óñ Øõ NC ( x ) ¸ Ù Üô Ò Ò Ø NC (x) := {w ∈ Rn : w, y − x ≤ 0 ∀y ∈ C }. C ⊂ Rn Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð ¸ ôÒ Üõ f : C → Rn º Ã Ó ¸ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com •Å f¸ f¸ Ò Ù Ù Ù ÓÑ Üô Ò Ò Ò ½º¾º domf := {x ∈ Rn : f (x) < +∞}. •f Ðñ Ò Ø Ò ¸Ò Ù domf = ∅, f (x) > −∞ ∀x ∈ C. •f C¸ Ò Ðñ ñÑ Ð ØÖ Ò Ù f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1, x2 ∈ C, λ ∈ [0, 1]. •f C¸ Ò Ðñ ñÑ Ð Ø ØÖ Ò Ù f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1 = x2 ∈ C, λ ∈ (0, 1). ∀x1 = x2 ∈ C, λ ∈ •f β > 0 ØÖ C¸ Ò Ðñ ñÑ Ð ÑõÒ Ú × Ò Ù (0, 1)¸ Ø f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) − λ(1 − λ)β ||x1 − x2||2 . Rn º Ý Ø ò × Ö÷Ò f Ðñ Ñ Ø ñÑ Ð ØÖ Ò Ø Ô Ð C ØÖÓÒ Ò Ò w ∈ Rn Ã ¸Ú Ø Ðñ Ö ÒØ ñÑ f Øõ x ∈ C ¸ Ò Ù f (y ) − f (x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C. Ì ÔØ Ø ò ô Ö ÒØ ñÑ f Øõ x Ðñ ÚÔ Ò f¸ Ù ∂f (x)¸ Ý ∂f (x) := {w ∈ Rn : f (y ) − f (x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C }. Ã ¸ Ðñ ò ÚÔ Ò ØÖ Ò C ¸ Ò Ù ∂f (x) = ∅ ∀x ∈ C. f Rn º C Ó Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð ô ÖÒ Ò Ò Ø ñÑ Î ½º½º C ØÖ Ò Ø Ô  x ∈ C, 0 ÒÙ δ (x) := +∞ x ∈ C. / ÒÙ Ã ∂ δC ( x ) = N C ( x ) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com Ì Ø Ú Ý¸ Ò Ù x∈CØ δC (x) = 0 Úñ ∂δC (x) = {w ∈ Rn : δC (y ) ≥ w, y − x ∀y ∈ C }. ÀÝ ∂δC (x) = {w ∈ Rn : 0 ≥ w, y − x ∀y ∈ C } = NC (x). Rn f (x) := ||x|| x ∈ Rn º Ã ÌÖÓÒ Ò Ò Ó ñÑ ÙÒ ¸ Î ½º¾º  {w ∈ Rn : ||w|| = 1, w, x = ||x||} x = 0, ÒÙ ∂f (x) := ¯ B (0, 1) x = 0, ÒÙ ¯ B (0, 1) Ðñ 0 Úñ 1º ØÖÓÒ Ò Ù Ò ¸ Ø Ñ Øõ ôÒ Ò Ì Ø Ú Ý¸ Ø Ü Ø ô ØÖ Ò Ô× Ù Î x = 0¸ Ø Ò Ò ÑÒ ÌÖ Ò Ô ½º ∂f (x) = {w ∈ Rn : ||w|| = 1, w, x = ||x||}. ÆÙ wØ ÑóÒ ||w|| = 1, w, x = ||x|| Ø w, x ≤ ||w||.||x|| = ||x||. Ó w, x − y ≤ ||x|| − ||y ||. ÀÝ w ∈ ∂f (x)º Æ Ðõ ¸ Ò Ù w ∈ ∂f (x)¸ Ø −||x|| = ||0|| − ||x|| ≥ w, 0 − x = − w, x , ||x|| = ||2x|| − ||x|| ≥ w, 2x − x = w, x ×ÙÝ Ö ||x|| = w, x . ( ∗) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½¼ ÅØ ô ∀λ > 0, z ∈ Rn . ||λz + x|| − ||x|| ≥ w, λz + x − x = w, λz ËÙÝ Ö x 1 ||z + || − ||x|| ≥ w, x . λ λ Ó λ → ∞¸ Ø Ò Ò ∀z ∈ Rn . ||z || ≥ w, z ÓÚ Ý ||w|| ≤ 1. z ∈ Rn , ||z || = 1 Ø À ÒÒ ÒÙ ||w|| < 1 Ø Ú Ñ | w , z | < 1º Ã ¸ x Ø Ý ||x|| Ø z= x | w, z | = | w, | < 1. ||x|| Ó w, x < ||x||. Ù ÒñÝ Ñ Ù Ø Ù Ò Ú (∗)º Î Ý ||w|| = 1º Î x = 0º Ì ÌÖ Ò Ô ¾º ¯ ∂ f (x) = {w ∈ Rn : w, y ≤ ||y || ∀y } = {w ∈ Rn : ||w|| ≤ 1} = B (0, 1). ½º¾º È ôØ Ù ñ ØÓôÒ Úñ Ú ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Ðñ Ñ Ø ØÖÓÒ Ò Ò ñ ØÓôÒ ÕÙ Ò Ø ÑÒ Ù ØÖÓÒ ØÓôÒ Ò ÙÒ Úñ Ø ØÖÓÒ Ò ñÒ Ø Ù Ø Ò ØÓôÒ Ò Ö Ò º ÄÙ Ò Ú Ò ÒñÝ × ØÖ Ò ñÝ Ñ Ø Ô Ò Ô ôÔ ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ØÖÓÒ Ò Ò Ù õÒ Ùº Ò ÒñÝ Ó ÑÚ Ò ú Ðõ ô ÒØ òÒ Ò ØÚ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò× × Ò Óô Ò × Ùº ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ØÖÓÒ Ò Ò Ù õÒ Ù Ø Ô ôØ ÙÒ ×Ù Ó C Ðñ Ñ Ø Ø Ô ÓÒ Ð ¸ Ò ô ÖÒ Ò Ò ÙÐ Ò Ù Rn ¸ F C → Rn Ðñ ôÒ Üõ Ð Ò Ø º ñ ØÓôÒ Ò¹ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½½ x∗ ∈ C ¸ × Ó ´Ú Ø ØúØ Ðñ ÎÁµ Ðñ ñ ØÓôÒ Ø Ñ Ñ Ó F (x∗), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C. ´½º½µ S ∗º Ì ÔÒ Ñ ÎÁ Ù Ðñ Rn ¸ Úñ F : C → Rn C Ó Ðñ Ø Ô Ð ¸ Ò ØÖÓÒ Ó Ðñ Ñ Ø Ò Ò ½º¿º F ôÒ Üõº Ã ¸ Ðñ C¸ Ò ´µ Ò Ù ØÖ Ò Ù F (u) − F (v ) , u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C C¸ Ò ´µ Ò ÙÒ Ø ØÖ Ò Ù F (u) − F (v ) , u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v. C τ > 0 ´Ú τ¹ ´µ Ò Ù ÑõÒ ØÖ Ò Ú ÷Ò × Ø ØúØ Ðñ Ò Ù ÑõÒ µ Ò Ù 2 F (u) − F (v ) , u − v ≥ τ u − v ∀u, v ∈ C. δ δ¹ C ´µ Ò Ú Ñ ÙÒ ´Ú Ø ØúØ Ðñ Ò µ ØÖ Ò Ò Ù Ø Ò Øõ Ñ Ø × δ>0× Ó Ó F (u) − F (v ), u − v ≥ δ ||F (u) − F (v )||2 u, v ∈ C. Ì Ò ú Ðõ Ø ÕÙò Ø Ò Ò ×Ù F : C → Rn C Ó Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð Úñ Ðñ Ñ Ø ôÒ Üõ òÚ Ð Ò Æ Ò Ü Ø ½º½º Cº Ã Ø ØÖ Ò Ø Ô Ñ ¸ F C F (x) Ðñ Ò C µ Ò Ù ØÖ Ò Úñ Üô Ò Ò ØÖ Ò Ý F (x)y ≥ 0 ∀y ∈ C. y, F C F (x) Ðñ Üô C µ Ò Ù Ø ØÖ Ò Úñ Ò Ò ØÖ Ò Ý F (x)y > 0 ∀y ∈ C, y = 0. y, F C F (x) Ðñ Üô µ Ò Ù ÑõÒ ØÖ Ò Úñ Ò Ò Ù ØÖ Ò C β>0× Ý Ø Ò Øõ Ó Ó F (x)y > β ||y ||2 ∀y ∈ C, y = 0. y, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½¾ ôÚ Ý ÓØ Ø Ý ô ØÔ Ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò f (x) Ðñ Ñ C = [a, b]º Ì Ñ Ó Ø ñÑ Ø ò Ú ØÖ Ò Ø Ô Ñ Î ½º¿º x0 ∈ C ×Ó Ó f (x0) = min f (x). x∈C x0 ∈ [a, b]¸ ×ÙÝ Ö ¿ ØÖ Ò Ô ÜòÝ Ö x0 ∈ (a, b)¸ Ø Ó Ò Ð f ( x 0 ) = 0º ÌÀ½ Æ Ù ÖÑ Ø¸ Ø f (x)−f (x0 ) ÌÀ¾ Æ Ù x0 = a¸ f (x0 ) = lim ≥ 0º x−x0 0 x→x+ f (x)−f (x0 ) 0 0 ÌÀ¾ Æ Ù x = b¸ f (x ) = lim0 ≤ 0º x−x0 x→x− 0 ÃØ Ô Ðõ ¸ Ø Ø ÚØ x Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ f (x0).(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ C. Ú Ý x0 Ðñ Ò Æ Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ÎÁ Ú F = f ØÖ Ò C = [a, b]º Ý ¸Ø Ü ØÚ Ø Ò ÕÙôØ Ò C ⊆ I nº f (x) Ðñ R Ó ÑØ ñÑ Ø ò Ú ØÖ Ò Ø Ô Ñ ÌÑ Î ½º º x0 ∈ C ×Ó Ó f (x0) = min f (x). x∈C x0 x0 ÆÙ Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ØÖ Ò¸ Ø Ðñ Ò Ñ ñ ÅÒ ½º½º F (x) := f (x)º ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ÎÁ Ú (1 − t)x0 + ty ∈ C ∀t ∈ [0, 1]º Ò ÑÒ ºÎ Ñ y ∈ C¸ Ó C Ð ÒÒ Ø ϕ(t) := f (x0 + t(y − x0 )). x0 Ðñ Ò òØ Ø Ó Ñ Ý t = 0 Ðñ Ò Ñ ϕ(t) ØÖ Ò [0, 1]º Ì Ó Î ½º¿¸ Ø ϕ (t0 ).(t − t0) ≥ 0 ∀t ∈ [0, 1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½¿ ÀÝ f (x0), x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C. 2 x0 ∈ C C ⊆ Rn º Ã f Ó Ðñ ñÑ Ð ò Ú ØÖ Ò Ø Ô Ð ¸ Ðñ ÅÒ ½º¾º Ò Ñ ñ ØÓôÒ min f (x) x∈C x0 F (x) := f (x)º Úñ Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÎÁ Ú Ò ÑÒ º Ù Ò Ò ×ÙÝ Ö Ø Å Ò ½º½º Ó f Ðñ ñÑ Ð ØÖ Ò C¸ Ò Ò f (x) − f (x0 ) ≥ f (x0), x − x0 ∀x ∈ C. òØ Ø Ó f (x0), x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C. Ó f (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ C. x0 Ðñ Ò ÀÝ Ñ ñ ØÓôÒ min f (x). x∈C 2 ´ ñ ØÓôÒ ¸ Ù Èµ Î ½º º x0 ∈ C C = Rn F : C → Rn º Ó Úñ ñ ØÓôÒ ØÖ Ðñ Ì Ñ Ñ + ×Ó Ó F (x0) ∈ C, F ( x 0 ) , x 0 = 0. x0 ∈ C = Rn x0 Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ È Úñ ÅÒ ½º¿º + Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ Ý F (x0), x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½ x0 Ðñ Ò Ò Ñ Ò º ´⇒µ ò× Ñ ñ ØÓôÒ È Ý F (x0) ∈ C, F ( x 0 ) , x 0 = 0. Ã F (x0), x − x0 = F (x0), x − F (x0 ), x0 = F (x0), x ≥ 0 ∀x ∈ C. x0 Ðñ Ò ´⇐µ ò× Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ÎÁ Ý x0 ∈ C : F (x0 ), x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C. x1 = x0 + ei ∈ C º ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...0)T ´1 Ú ØÖ Ø iµº Ã ¸ Ì Ý x1 ÚñÓ Ø øÒ Ø Ò Ô Ò¸ Ø F (x0 ), x 1 − x0 ≥ 0. ÀÝ F (x0), ei ≥ 0 ∀i = 1, 2, ...n. F (x0 ) ∈ C º ÎÝ Ì 0 ∈ C Úñ F (x0), x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ C. ×ÙÝ Ö − F (x0 ), x 0 ≥ 0. Ó F ( x 0 ) , x 0 = 0. 2 ÝØ Ü Ø Ú Ø Ø ñ ØÓôÒ ÎÁº Î ½º º ñ ØÓôÒ Ò ÷Ò ÑõÒ ÓØ Ò Ø Ñ Ø ÑõÒ ÓØ Ò Ó Ñ Ø ÑõÒ ÐÙ Ò Ù õÒº •N ØÔ Ô ô ÒØ ÑõÒ º •A Ðñ Ø Ô Ô ô õÒ ´Ñ õÒ Ðñ Ñ Ø ÓõÒ Ò µº Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½ O ⊆ N¸ D ⊆ N O ∩ D = ∅º O ò× ×Ó Ó Å Ô ÒØ Ðñ D Ñ Ò Ù Ò¸ ÒÑ Ô ÒØ Ðñ Ñ ºÅ ÑÒ Ù Ò Úñ Ñ Ò Ú Ò Ù Ñ ØØ Ô ÔÐ ÒØ Ô ô õÒ ´ Ðñ Ñ Ø ØÙÝ Ò Ò µº Ã Ù i •fa a ∈ Aº i f Ðñ Ñ Ø ÓØ Ò Ô Ò Ø Ò ØÖ Ò ÓõÒ Ò Ø Ðñ i i∈I a ∈ A ´I fa Ú Ø ô Ø ñÒ Ô Ò Ðñ Ú Úñ Ðñ Ø Ô Ô ô Ô Ò Ø Ò ÓØ Òº •ci Aº i ØÖ c Ðñ Ô × Ò Ô Ò Ø Ò ÓØ Ò Ò ÓõÒ Ò Ø a ci i ∈ I, a ∈ Aº Ðñ Ú Ø ô Ø ñÒ Ô Ò Ðñ Ú a •di Ðñ Ò Ù Ù × Ø Ò i ∈ I ØÖ Ò w = (O, D) Ò ÐÓõ Ô Ò ØÙÝ Ò Ò w O ∈ O, D ∈ Dº Ú c = c(f ) Ðñ ò× Ö÷Ò Ô ÓØ Ò Ô ØÙ ÚñÓ Ð Ù Ð Ò ¸Ø Ðñ fº ÑØ ñÑ •λi w iº Ðñ Ñ Ô ØÖ Ò ØÙÝ Ò Ò Ô Ò Ø Ò ÓØ Ò w •x i i∈I w ∈ O × Dº Ðñ Ñ Ø ÓØ Ò Ô Ò Ø Ò ØÖ Ò ØÙÝ Ò w ò× ØÖÓÒ ÑõÒ ØÖ Ò¸ Ô Ò ØÖ Ò Ò ÷Ò ×Ù Ø Óò ÑóÒ di = xi ∀i ∈ I, w ∈ O × D, ´½º¾µ w p p∈Pw Pw w = (O, D) ´Ò ØÖÓÒ ¸ ÙØ Ô Ô ô ØÙÝ Ò Ò ÑÒ Ù Ò O Úñ Dµº Ì Ñ ÓÔ Ò ØÖ Ò ´¾º½ µ¸ Ø ÒÙ Ù× Ò ÐÓõ Ô Ò i w Ø Ò ØÖ Ò ØÙÝ Ò Ò ÷Ò Ò ØÒ ÑØ ÓØ Ò Ô Ò Ø Ò ØÖ Ò Ñ ØÙÝ Ò Ò Ò Ñ Ò Ù Ò Úñ Ñ ØÙÝ Ò Ò ºÃ Ø i xi δap ∀i ∈ I, w ∈ O × D, ´½º¿µ fa = p p∈Pw ØÖÓÒ  a ∈ p, 1 ÒÙ δap := a ∈ p. 0 / ÒÙ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½ pÒ Î Ñ ØÙÝ Ò Ò ÑØ Ñ Ò Ù Ò Úñ Ñ Ø Ñ ¸ Ø ci = ci δap. ´½º µ p a a∈A ci i ØÖ Ò ØÙÝ Ò Ò pº Æ Ú Ý¸ Ðñ Ñ Ø Ô × Ò Ô Ò Ø Ò Ø p i ô Ø ñÒ Ô Ò Ðñ dw (i ∈ I, w ∈ O × D ) Úñ d Ðñ Ú Ø f Ðñ Ú Ø Ø ∗ ∗ i Ò Ðñ da (i ∈ I, a ∈ O × D )º Å Ø Ô (d , f ) Ø Óò ÑóÒ ô ô Ø ñÒ Ô Ù Ò ´¾º½ µ Úñ ´¾º¾½µ Ðñ Ñ Ò ÷Ò ÑõÒ ÓØ Ò ÒÙ  λi (d∗) xi > 0, w p ∗ i cp (f ) = > λi (d∗) x i = 0, w p i∈I pº Ú Ñ Úñ Ñ ØÙÝ Ò Ò Ì Ó Ò Ò ÒñÝ¸ Øõ Ñ Ò ÷Ò Ú Ñ ÐÓõ Ô Ò Ø Ò ÓØ Ò Úñ Ñ ØÙÝ Ò Ò¸ Ô × Ø Ô Ò Ø Ð ÙÐ Ò ÓØ Ò ØÖ Ò ØÙÝ Ò º ÌÖô Ðõ ¸ Ô × Ò Ôò Ø ÔÒ Øº Ø K = {(f, d) | ∃ x ≥ 0 }. ×Ó Ó ´¾º½ µ Úñ ´¾º¾½µ Ò Ã ¸Ø Ò Ð × Ùº ( f ∗ , d∗ ) ∈ K ÅØ ÔÚ Ø Ðñ Ñ Ø Ñ Ò ÷Ò ÑõÒ Ó Ò Ð ½º½º Ø Ò Úñ Ò Ðñ Ò Ñ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò× Ù ∗ , d∗ ) ∈ K c(f ∗)), λ(d∗) , (f, d)−(f ∗, d∗) ≥ 0 ∀(f, d) ∈ K. Ì Ñ (f ×Ó Ó Î ½º º ñ ØÓôÒ Ò Ø ôÒ ÕÙÝ Ò n pi ò× Ò ØÝ Ò ×òÒ ÜÙ Ø Ñ Ø ÐÓõ ×òÒ Ô Ñ Úñ Ð ÒÙÒ i Ñ Ò ØÝ Ô ØÙ ÚñÓ Ø Ò × Ð Ò ×òÒ Ô Ñ ØØ ò ô Ò ØÝ n σ := i=1 xi º Ã hi (xi) i Ù Ðñ Ô Ò ØÝ ×òÒ ÜÙ Ø Ö Ð Ò xi º i ñÒ Óô ò× Ö÷Ò Ð ÒÙÒ Ò ØÝ Ó n ´½º µ xi) − hi (xi) (i = 1, ..., n), fi (x1, ..., xn) = xipi ( i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½ n p( j =1 xj ) Ðñ ØÖÓÒ ô ÑØ Ò Ú ×òÒ Ô Ñ¸ Ô ØÙ ÚñÓ Ø Ò ×òÒ i Ô Ñ¸ Ò ñÑ Ô Ñ Ò ØÝ Ô ØÙ ÚñÓ Ñ ×òÒ ÜÙ Ø Ò ØÝ º Ui ⊂ I (i = 1, ..., n) R, iº Ø Ðñ Ø Ô ÒÐ Ò ØÝ Ä Ò Ò¸ Ñ Ò ØÝ Ò Üô Ò ÓÑÒ Ñ ØÑ ×òÒ ÜÙ Ø õØ Ð ÒÙÒ ÓÒ Øº ÌÙÝ Ò Ò¸ ØÖÓÒ ØÖ Ò ÔØ Ò ÕÙôØ¸ Ú ØØ ò ô Ò ØÝ Ù Ð ÒÙÒ õ Ðñ Ø ºÎ Ú ÝÒ Ø Ò Ò ôÒ Ñ Ò ÷Ò x∗ = (x∗, ..., x∗ ) ∈ U := U1 × ... × Un ÅØ Ñ Ðñ Ñ Ò 1 n ÷Ò Æ× ÒÙ fi(x∗, ..., x∗−1, yi, x∗+1, ..., x∗ ) fi(x∗, ..., x∗ ) ∀yi ∈ Ui, ∀i = 1, ..., n. 1 1 i i n n ÌÖÓÒ Ñ Ò Ò ÷Ò ÓÙÖÒÓØ Ò¸ ñÑ Ô Úñ ñÑ Ð ÒÙÒ Ñ Ò ØÝ Ðñ Ò õÒ n pi (σ ) ≡ p(σ ) = α0 − βσ, α0 ≥ 0, β > 0, σ= i=1 xi , Ú hi (xi) = µi xi + ξi , µi ≥ 0, ξi ≥ 0 (i = 1, ..., n). Ì Ø     β 0 0 ... 0 0 β β ... β     0 β 0 ... 0  ˜  β 0 β ... β  A= , A =   ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...     0 000β β β β ... 0 Úñ αT = (α0 , ..., α0), µT = (µ1, ..., µn). x∗ x∗ Ñ Ðñ Ñ Ò ÷Ò Æ× Úñ Ðñ Ò Ñ ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò  x∈U Ì Ñ Ñ ×Ó Ó ˜  Ax + µ − α, y − x + y T Ay − xT Ax ≥ 0 ∀y ∈ U. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com ½ ½º¿º Ë Ø Ò Øõ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ Ë Ø Ò Øõ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ Ô ØÙ ÚñÓ ñÑ ô F Úñ Ñ Ò ÖñÒ Ù C º ÌÖÓÒ Ñ ÒñÝ¸ Ø Ü Ø ñÑ F Ðñ Ð Ò Ð ØÖ Ò Ø Ô Ñ C Úñ Rn º Ñ Ò ÖñÒ Ù C Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð Ò ØÖÓÒ Ò Ò C ⊆ Rn F C¸ Ø ÆÙ Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð ¸ ÓÑÔ Ø Úñ Ð ÒØ ØÖ Ò ñ Ò Ð ½º¾º ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÒÔ Ò ÎÁ Ò Ñº Ò ÑÒ º Ø ôÒ Üõ f = P rC ( I − F ) , ØÖÓÒ P rC Ðñ Ô Ô Ù ØÖ Ò Üô Ò ÒØ C P rC (x) = inf {||x − y || : y ∈ C } Úñ I Ðñ ôÒ Üõ ÒÒ Øº ´ Ò Ð ÖÓÛ Ö¸ Ü Ñ µ ½º½º C ⊆ Rn F :C→C Cº Ó Ðñ Ñ Ø Ø Ô Ð ¸ ÓÑÔ Ø Úñ Ð ÒØ ØÖ Ò Ã ¸ Üõ F º Ø Ò Øõ ØÒ ØÑ Ø Ñ Ø Ò ôÒ ñÒ Ø Ý Ö÷Ò F Ð ÒØ ØÖ Ò CÒ Òf Ò Ð ÒØ ØÖ Ò Cº Ì Ó Ý Ø Ò Øõ x∗ ∈ C × Ó Ó x∗ = f (x∗ )¸ ½º½¸ ôÒ Üõ Ñ Ø Ò¸ f Ý x∗ = P rC (x∗ − F (x∗))º Ì Ó Ò Ò ÔÔ Ù P rC ¸ Ø x∗ , y − x∗ ≥ (I − F )(x∗), y − x∗ ∀y ∈ C. Ó Ú Ý¸ x∗ , y − x∗ ≥ x∗ − F (x∗), y − x∗ ∀y ∈ C. x∗ Ðñ Ò ÀÝ Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ F (x∗ ), y − x∗ ∀y ∈ C. 2 Ý Ø ÜØ× Ø Ò Øõ Ò Ñ ñ ØÓôÒ ÎÁ ØÖÓÒ ØÖ Ò ÔÑ Ò ÔÒ Ò Ò Òº C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y Học

320 tài liệu

1253 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.