Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn và phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2018
iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn 4 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach lồi và trơn . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 11 1.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 12 2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn 23 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân . . . . . . . 25 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iv Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31
1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E SE mặt cầu đơn vị của E R tập các số thực R+ tập các số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất C[a, b] không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
2 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu và đưa ra lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX. Mô hình bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(A, C), có dạng Tìm x ∈ C sao cho: hA(x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C, (1) trong đó C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H hoặc không gian Banach thực E và A : (D(A) = C) → C là ánh xạ mục tiêu xác định trên C. Người ta thường nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đề xuất các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân. Cho đến nay có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữu hiệu được xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu của Lions, phương pháp nguyên lý bài toán phụ của Cohen, phương pháp điểm gần kề của Martinet, phương pháp điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouch và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov đối với bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh. Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân cũng là một chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, như nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin), GS. Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học), GS. Lê Dũng Mưu (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội), GS. Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS. Phan Quốc Khánh (Trường Đại học Quốc tế thành phố Hồ Chí Minh) . . . . Mục đích của đề tài luận văn nhằm tổng hợp và trình bày lại hai
3 phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn, một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach trong các bài báo [3] và [5] công bố năm 2008 và 2015. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, các thầy cô của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Tác giả luận văn Lê Ngọc Tân
4 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn và phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Kiến thức của chương này được viết dựa trên kết quả của Ceng và các cộng sự công bố trong [3] và các tài liệu được tham chiếu trong đó. 1.1 Không gian Banach Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E ∗ . Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn trong E và E ∗ và viết tích đối ngẫu hx, x∗ i thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ tại điểm x ∈ E, tức là hx, x∗ i = x∗ (x). Kiến thức của mục này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [6] và [7].
5 1.1.1 Không gian Banach lồi và trơn Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach E. Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ SE , x 6= y, ta có k(1 − λ)x + λyk < 1 với mọi λ ∈ (0, 1). Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 còn có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x + y < 1. 2 Ví dụ 1.1.3 Không gian E = Rn với chuẩn kxk2 được xác định bởi Xn 1/2 2 kxk2 = xi , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 là không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y ≤ 1 − δ. 2 Ví dụ 1.1.5 Không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Vì từ đẳng thức hình bình hành ta tính toán được r x + y ε2 ≤1− 1− 1− . 2 4 Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach E được gọi là không gian trơn nếu với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SE của E tồn tại duy nhất một phiếm hàm gx ∈ E ∗ sao cho hgx , xi = kxk và kgx k = 1.
6 Ví dụ 1.1.7 Các không gian lp , Lp [a, b], 1 < p < ∞ là không gian Banach trơn. Định nghĩa 1.1.8 (i) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn kx + tyk − kxk lim (1.1) t→0 t tồn tại với x ∈ SE , ký hiệu là hy, 5kxki. Khi đó 5kxk được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn. (ii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE , giới hạn (1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SE . (iii) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE . (iv) Chuẩn của E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE . Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux với x 5kxk = , x 6= 0. kxk Ký hiệu 2C là tập các tập con của tập hợp C. Ta định nghĩa phép chiếu mêtric như sau. Định nghĩa 1.1.10 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach E. Ánh xạ PC : E → 2C xác định bởi n o PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ∀x ∈ E được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C. 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ∗ Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ J : E → 2E (nói chung là đa trị) xác định bởi Jx = {u ∈ E ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk},
7 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E. Ví dụ 1.1.12 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I. ∗ Định nghĩa 1.1.13 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E của không gian Banach E được gọi là (i) liên tục yếu theo dãy nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } hội tụ yếu đến x (xn * x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn * Jx) theo tôpô yếu∗ trong E ∗ . (ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu J đơn trị và với mọi dãy {xn } hội tụ mạnh đến x (xn → x) thì Jxn hội tụ yếu đến Jx (Jxn * Jx) theo tôpô yếu∗ trong E ∗ . Nhận xét 1.1.14 (xem [4]) Không gian lp , 1 < p < ∞ có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ không thỏa mãn tính chất này. Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính khả vi của chuẩn của không gian Banach như khẳng định trong các định lý sau đây. Định lý 1.1.15 (xem [2]) Cho E là không gian Banach với ánh xạ đối ∗ ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) E là không gian trơn; (ii) J là đơn trị; (iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với 5kxk = kxk−1 Jx. Chú ý 1.1.16 Ta dùng ký hiệu j để chỉ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị. Định nghĩa 1.1.17 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach E.
8 (i) Ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.2) (ii) Trong (1.2), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. Ký hiệu Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x} là tập điểm bất động của ánh xạ T . Ta có kết quả sau về tính chất của tập Fix(T ). Định lý 1.1.18 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi trong không gian Banach lồi chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó nếu tập điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T là khác rỗng thì nó là tập lồi. Chú ý 1.1.19 Do tính liên tục của ánh xạ T nên tập Fix(T ) luôn là tập đóng. Hệ quả 1.1.20 (xem [2]) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Banach lồi chặt E và T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó tập Fix(T ) là tập lồi đóng. Định nghĩa 1.1.21 Ánh xạ A : C → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (Ax − Ay)k2 (1.3) với mỗi λ ∈ (0, 1). Trong (1.3), nếu λ = 0 thì T được gọi là ánh xạ giả co. Ta thấy (1.3) có thể được viết lại như sau h(I − A)x − (I − A)y, j(x − y)i ≥ λk(I − A)x − (I − A)yk2 . (1.4) Nhận xét 1.1.22 (xem [2]) (i) Nếu F : E → E là ánh xạ λ-giả co chặt thì F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz với L = 1 + 1/λ.
9 (ii) Mọi ánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co liên tục. Bổ đề 1.1.23 (xem [2]) (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản xạ E thỏa mãn điều kiện của Opital và giả sử T : C → E là ánh xạ không giãn. Khi đó ánh xạ I − T là nửa đóng tại 0, tức là xn * x, xn − T xn → 0 ⇒ x = T x. Bổ đề 1.1.24 (xem [2]) Cho E là không gian Banach trơn thực. Khi đó kxk2 + 2hy, J(x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, J(x + y)i, ∀x, y ∈ E, trong đó J : E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu Định nghĩa 1.1.25 Ánh xạ A có miền xác định là D(A) và miền ảnh R(A) trong E được gọi là: (i) j-đơn điệu mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x−y) ∈ J(x−y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0. (ii) δ-j-đơn điệu mạnh nếu với mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≥ δkx − yk2 với mỗi δ ∈ (0, 1). Mệnh đề 1.1.26 (xem [2]) Cho E là một không gian Banach thực trơn và A : E → E là một ánh xạ. (i) Nếu A là ánh xạ λ giả co chặt thì A là ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số (1 + λ1 ). (ii) Nếu A là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnhqvà λ-giả co chặt với δ + λ > 1 thì I − A là ánh xạ co với hằng số 1−δ λ .
10 (iii) Nếu A là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 qđịnh bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng số thì với số cố I − τ I − 1−δ λ . Chứng minh. (i) Từ (1.4) ta nhận được λk(I − A)x − (I − A)yk2 ≤ h(I − A)x − (I − A)y, j(x − y)i ≤ k(I − A)x − (I − A)ykkx − yk, từ đó suy ra 1 k(I − A)x − (I − A)yk ≤ kx − yk. λ Nên kF x − F yk ≤ k(I − F )x − (I − F )yk + kx − yk + kx − yk 1 ≤ 1+ kx − yk, λ và do đó F liên tục Lipschitz với hằng số (1 + λ1 ). (ii) Từ (1.3) và (1.4), ta có λk(I − F )x − (I − F )yk2 ≤ kx − yk2 − hF x − F y, j(x − y)i ≤ (1 − δ)kx − yk2 . q 1−δ Vì δ + λ > 1 ⇔ λ ∈ (0, 1), nên r 1−δ k(I − F )x − (I − F )y ≤ kx − yk, λ q và vì vậy I − F là ánh xạ co với hằng số 1−δ . q λ (iii) Vì I − F là ánh xạ co với hằng số 1−δ λ , nên với mỗi số cố định τ ∈ (0, 1) ta có kx − y − τ (F (x) − F (y))k = k(1 − τ )(x − y) + τ [(I − F )x − (I − F )y]k ≤ (1 − τ )kx − yk + τ k(I − F ) − (I − F )yk r 1−δ ≤ (1 − τ )kx − yk + τ kx − yk λ r 1−δ = 1−τ 1− kx − yk. λ
11 q 1−δ Từ đây suy ra I − τ F là ánh xạ co với hằng số 1 − τ 1 − λ . 1.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Mục này trình bày một phương pháp lặp lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Banach X. Nội dung của mục này được viết trên cơ sở bài báo [3]. 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach thực E, A : E → E là một ánh xạ j-đơn điệu xác định trên E. Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu (ký hiệu là VI∗ (A, C)) được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: hA(x∗ ), j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1.5) ở đây j(x − x∗ ) ∈ J(x − x∗ ). Sau đây là hai ví dụ về bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều. Ví dụ 1.2.1 Cho f là hàm số khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm x∗ ∈ [a, b] sao cho f (x∗ ) = min f (x). x∈[a,b] Ta thấy có ba khả năng sau: (1) Nếu x∗ ∈ (a, b) thì f 0 (x∗ ) = 0. (2) Nếu x∗ = a thì f 0 (x∗ ) ≥ 0. (3) Nếu x∗ = b thì f 0 (x∗ ) ≤ 0.
12 Trong cả ba trường hợp ta đều có f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0. Đây là một bất đẳng thức biến phân dạng (1.5) trong không gian R. Ví dụ 1.2.2 Cho f là một hàm số khả vi trên tập con lồi đóng C của không gian Rn . Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn: f (x∗ ) = min f (x). x∈C Giả sử x∗ là điểm cực tiểu cần tìm, x là một phần tử tùy ý của C. Do C là một tập lồi nên (1 − t)x∗ + tx = x∗ + t(x − x∗ ) = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ C ∀t ∈ [0; 1]. Hàm Φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ ) ∀t ∈ [0; 1] đạt cực tiểu tại t = 0. Suy ra Φ0 (t) ≥ 0. Hay Φ0 (t) = f 0 (x∗ + t(x − x∗ )).(x − x∗ ). Như vậy, Φ0 (0) = h∇f (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. Đây là một bất đẳng thức biến phân. 1.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ Cho E là một không gian Banach phản xạ thực với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy, T : E → E là ánh xạ không giãn và C = Fix(T ) 6= ∅, A : E → E là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1. Ta xét phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán VI∗ (A, C) như sau. Phương pháp 1.2.3 (xem [3]) Giả sử các dãy {λn }, {µn } thuộc khoảng (0, 1) với mọi n ≥ 0. Với xấp xỉ ban đầu x0 ∈ E tùy ý cho trước, dãy lặp
13 {xn } được xác định như sau:  yn = λn xn + (1 − λn )T xn , (1.6) n+1 = yn − λn µn A(xn ), ∀n ≥ 0. x Phương pháp 1.2.3 dựa trên cơ sở của phương pháp lặp Mann và phương pháp đường dốc nhất. Thật vậy, trong công thức (1.6), bước lặp yn = λn xn + (1 − λn )T xn được lấy từ phương pháp lặp Mann và bước lặp xn+1 = yn − λn µn A(xn ) được lấy từ phương pháp đường dốc nhất. Bổ đề 1.2.4 (xem [3]) Cho E là một không gian Banach thực trơn và T : E → E là ánh xạ không giãn (hoặc giả co liên tục) với Fix(T ) 6= ∅. Giả sử A : E → E là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1. Với mỗi t ∈ (0, 1) chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý và dãy {xt } được xác định bởi xt = txt + (1 − t)T xt − tµt A(xt ). (1.7) Giả sử u ∈ E là một điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là, u ∈ C = Fix(T ). Khi đó, (i) hA(xt ), j(xt − u)i ≤ 0; (ii) Dãy {xt } bị chặn. Chứng minh. (i) Vì u là điểm bất động của ánh xạ T nên hxt − (txt + (1 − t)u − tµt A(xt )), J(xt − u)i = h(txt + (1 − t)T xt − tµt A(xt )) − (txt + (1 − t)u − tµt A(xt )), J(xt − u)i = (1 − t)hT xt − u, j(xt − u)i ≤ (1 − t)kxt − uk2 . Rõ ràng hxt − (txt + (1 − t)u − tµt A(xt )), j(xt − u)i = = h(1 − t)(xt − u) + tµt hA(xt ), j(xt − u)i ≥ (1 − t)kxt − uk2 + tµt hA(xt ), j(xt − u)i.
14 Do đó tµt hA(xt ),j(xt − u)i ≤ ≤ hxt − (txt + (1 − t)u − tµt F (xt )), j(xt − u)i − (1 − t)kxt − uk2 ≤ 0, suy ra hF (xt ), j(xt − u)i ≤ 0. (ii) Vì A là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh nên hA(xt ), j(xt − u) = hA(xt ) − A(u), j(xt − u)i + hA(u), j(xt − u)i ≥ δkxt − uk2 + hA(u), j(xt − u)i. Sử dụng kết luận (i) của định lý ta nhận được δkxt − uk2 + hA(u), j(xt − u)i ≤ 0. Do đó, δkxt − uk2 ≤ −hA(u), j(xt − u)i ≤ kA(u)kkxt − uk, (1.8) suy ra kxt − uk ≤ δ −1 kA(u)k. Điều này chứng tỏ rằng dãy {xt : t ∈ (0, 1)} bị chặn. Mệnh đề 1.2.5 (xem [3]) Cho E là không gian Banach thực phản xạ với ánh xạ đối ngẫu J : E → E ∗ liên tục yếu theo dãy. Giả sử T : E → E là ánh xạ không giãn và C = Fix(T ) 6= ∅, A : E → E là ánh xạ δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1. Với mỗi t ∈ (0, 1) chọn một số µt ∈ (0, 1) tùy ý và giả thiết xt xác định bởi (1.7). Khi đó nếu t → 0+ thì dãy {xt } hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C).
15 Chứng minh. Cho u ∈ C = Fix(T ). Từ Bổ đề 1.2.4(iii), dãy {xt : t ∈ (0, 1)} bị chặn và do đó các tập {T (xt ) : t ∈ (0, 1)} và {A(xt ) : t ∈ (0, 1)} cũng bị chặn. Vì xt = txt + (1 − t)T xt − tµt A(xt ) nên kxt − T xt k = ktxt + (1 − t)T xt − tµt A(xt ) − T xt k = kt(xt − T xt ) − tµt A(xt )k ≤ tkxt − T xt k + tµt kA(xt )k ≤ tkxt − T xt k + tkA(xt )k → 0 khi t → 0+ . Suy ra lim kxt − T xt k = 0. t→0+ Chú ý rằng tập {xt : t ∈ (0, 1)} bị chặn. Vì E là không gian Banach phản xạ nên tồn tại một dãy con {xtn } ⊂ {xt } hội tụ yếu trong đó {tn } là một dãy trong (0, 1) hội tụ tới 0 khi n → ∞. Bây giờ ta giả sử xn := xtn và xn * u∗ . Sử dụng Bổ đề 1.1.23 ta có u∗ = T u∗ . Trong (1.8) lấy u = u∗ ta được kxn − u∗ k2 ≤ −δ −1 hA(u∗ ), j(xn − u∗ )i. Vì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy nên xn → u∗ khi n → ∞, tức là, xtn → u∗ khi n → ∞. Tiếp theo ta chỉ ra rằng dãy {xt } hội tụ mạnh tới u∗ . Thật vậy, vì các tập {xt } và {F (xt )} bị chặn và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị và liên tục yếu theo dãy nên, kA(xsk ) − A(v ∗ )k → 0 khi sk → 0, và |hA(xsk ), j(xsk − u)i − hA(v ∗ ), j(v ∗ − u)i| = |hA(xsk ) − A(v ∗ ), j(xsk − u)i + hA(v ∗ ), j(xsk − u) − j(v ∗ − u)i| ≤ kA(xsk ) − A(v ∗ )kkxsk − uk + |hA(v ∗ ), j(xsk − u) − j(v ∗ − u)i| → 0 khi sk → 0.
16 Vì vậy, từ Bổ đề 1.2.4(i), với mỗi u ∈ C = Fix(T ) ta có hA(v ∗ ), j(v ∗ − u)i = lim hA(xsk ), j(xsk − u)i ≤ 0. (1.9) sk →0 Tương tự ta có hA(u∗ ), j(u∗ − u)i = lim hA(xtn ), j(xtn − u)i ≤ 0. (1.10) tn →0 Chọn u = u∗ trong (1.9) và u = v ∗ trong (1.10) ta có hA(v ∗ ), j(v ∗ − u∗ )i ≤ 0, và hA(u∗ ), j(u∗ − v ∗ )i ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức cuối và sử dụng tính δ-j-đơn điệu mạnh của A, ta nhận được δku∗ − v ∗ k2 ≤ hA(u∗ ) − A(v ∗ ), j(u∗ − v ∗ )i ≤ 0. Suy ra v ∗ = u∗ và u∗ là nghiệm duy nhất của VI∗ (A, C). Để chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.6) ta cần bổ đề sau. Bổ đề 1.2.6 (xem [2]) Cho {sn } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn , ∀n ≥ 0, trong đó {αn }, {βn } và {γn } thỏa mãn các điều kiện: (i) {αn } ⊂ [0, 1], ∞ P Q∞ n=0 αn = ∞ hoặc tương đương n=0 (1 − αn ) = 0; (ii) lim supn→∞ βn ≤ 0; (iii) γn ≥ 0 (n ≥ 0), ∞ P n=0 γn < ∞. Khi đó limn→∞ sn = 0. Bây giờ ta chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp xác định bởi Phương pháp 1.2.3 tới nghiệm duy nhất của VI∗ (A, C).