Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông Việt nam, nghiên cứu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thùy Trang MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn Hữu Hải, người đã dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn những ý kiến quý báu của bà Claude Comiti, bà Annie Bessot và cô Vũ Như Thư Hương cho đề cương luận văn được hoàn chỉnh. Xin gửi lời tri ân đến Cô Lê Thị Hoài Châu và các Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm và nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic trong những năm đại học cũng như cao học sau này. Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị chuyên viên phòng Khoa học và công nghệ sau đại học đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn. Cảm ơn các bạn, các anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong thời gian học ở trường. Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn. Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập ở thành phố.
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HHKG : Hình học không gian HHP : Hình học phẳng HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập VTTĐ : Vị trí tương đối
MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học sinh khi học HHKG lớp 11: - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung - Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau - Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại - Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng phẳng - Hai m ặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song… Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học phẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học không gian. Hình học không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh không dễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10, tr.115] Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn” [17, tr. 42] Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau: - Nguồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói đến là gì? - Liệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không? - Và nếu có thì giải quyết bằng công cụ nào? Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương pháp tổng hợp. Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do sau: - Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được ti ếp xúc nhiều trong thực tế. Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều. - Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng,… 2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể hơn những câu hỏi đó là: 1. VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS? 2. Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm? 3. Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và giải thích sai lầm được không? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ thông Việt nam. Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân) để tham chiếu. Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với khái niệ m sai lầm và chướng ngại. Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic. Cụ thể: 3.1. Thuyết nhân học Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào trong chương trình. Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp thu kiến thức của HS. Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp. Hơn nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể chế. Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức [T ,τ ,θ , Θ] đã hình thành một hệ thống các kiểu nhiệm vụ xác định. Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp,… 3.2. Sai lầm và chướng ngại Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của kiến thức. Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng ngại tránh được và không tránh được. 3.3. Hợp đồng didactic
Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK. Ứng với một tình huống mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng của các em như thế nào? Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là: Q1' : Khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được xây dựng như thế nào trong các tài liệu trước đây? Q2' : Trong chương tr ình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm trên được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học có liên quan? Q3' : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng đã ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ cách trình bày này? 4. Phương pháp nghiên cứu Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau: Để trả lời cho Q1' , chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui t ắc vẽ hình trong dạy học HHKG. Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho Q2' . Việc nghiên cứu này thực hiện trên khung lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước. Trên cơ s ở đó hình thành gi ả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng ở chương 3. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu. Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau. 6. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm những phần sau: Mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài. Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể:
VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,…Phân tích các tổ chức toán học được xây dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải. Những sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic. Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS. P hân tích tiên nghiệm các tình huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết. Kết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra Tài liệu tham khảo.
Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Mục đích của chương Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình. Từ đó tạo cơ sở lý luận cho việc phân tích chương 2. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là: - Giáo trình hình học họa hình (1988), V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI, NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch) - Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir publishers Moscow - Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004), Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh. - Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA - Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục 1.2. Một nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian Trong cuốn Elementary mathematics thì: Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương đối khác nhau. Chúng có thể có một điểm chung. Vì thế chúng hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành ột m mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng trên hai đường thẳng n, m. Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng vì nó có hai điểm chung với mỗi đường. Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào. Điều này không có nghĩa là chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng. Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳng λ qua một trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại. Hai trường hợp có thể xảy ra:
(1) Mặt phẳng λ tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324). Khi ấy, các đường thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song (2) Mặt phẳng λ cắt đường thẳng tại điểm A. Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng. Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325) Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng: 1. Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau 2. Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song 3. Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng Như vậy, khái niệm được trình bày thô ng qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng. Liệu chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách chỉ ra đặc trưng của khái niệm. 1.3. Phép chiếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988) Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu. Nếu các đường thẳng chiếu là những đường thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song. Có thể vẽ hình chiếu của một đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó. Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu. Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu cần vẽ. Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu. Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu. Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường. 1.3.1. Những tính chất của phép chiếu song song 1. Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng 2. Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất 3. Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi qua nó 4. Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó
5. Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó 6. Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng đó 7. Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm 8. Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của các mặt và các vật thể 1.3.2. VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song. Nếu các đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và giao của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu a p bp , c p d p song song nhau. Nhưng, giả sử a p bp // c p d p (hình 78) thì những đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể là không song song nhau: ví dụ đường thẳng AB không song song với C1 D1 ” [26, tr. 46] Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy. Thực vậy (hình 82), nếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của hình chiếu của AB và CD”. HÌNH 78 Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu cùng tên cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng”. [26, tr. 47] Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau. Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và m’m tức là những đường thẳng ấy không cắt nhau”. [26, tr. 48]
1.4. Những vấn đề đặt ra về hình vẽ Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA 1.4.1. Vấn đề biểu thị đối tượng không gian Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG. Mô hình này gồm tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích). Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu. Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông tin sẽ bị thất thoát. Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện đó, như Bkouche đã nói: “Một tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó thành một hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọc…Trong điều kiện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa vào sự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng... Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp suy luận phức tạp hơn”. Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian. Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các đoạn thẳng song song) nhiều nhất. Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối tượng hình học không gian. Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập trong việc mô hình hóa
Không gian vật lý Hình vẽ Đối tượng vật chất Mô hình hình học Các hình Hình không phẳng gian Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này. Đối tượng hình học Đối tượng hình học không gian phẳng Hình vẽ Mô hình đối tượng hình học 1.4.2. Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình vẽ. Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học. Tính chất hình học của hình không gian Phép chiếu Tính chất hình học của hình phẳng Tính chất không gian của hình vẽ Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng song song hoặc cắt nhau. Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình vẽ sẽ rất hạn chế. 1.4.3. Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống. Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các tính chất hình học sẽ được đặt ra.
Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng. Thật vậy, khi xem xét các qui tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận: - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song song - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể không song song. - Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì các điểm A, B và C không thẳng hàng 1.5. Một số khái niệm liên quan Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H . Khi đó, các hình chiếu a ' và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường gióng của điểm A Hình: Theo nghĩa toán học: hình là “một tập hợp điểm”. “Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H”, …[13, tr. 5- 6] Hình hình học - Là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất - Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người [18, tr. 8] Hình vẽ - Là biểu diễn phẳng của các hình hình học - Là mô hình của một đối tượn g hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với mọi bài toán - Là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, số đo giữ vai trò trung tâm [22, tr. 8]
Theo [4, tr. 189] thì: “Với tư cách là phương tiện biểu diễn, hình vẽ là hình biểu diễn cho một đối tượng có thể dựng được của thực tế và là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng” Bước chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề của hình vẽ trong dạy học được thực hiện như sau: “Khi chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề trong trình bày hình học, người ta đã mặc nhiên yêu cầu học sinh phải chuyển cách nhìn các hình vẽ từ cơ chế thứ nhất sang cơ chế thứ hai. Bước chuyển này không dễ dàng nhưng nó lại thường không được dự kiến trong các chương trình và sách giáo khoa” [4, tr. 189] Kiến thức hình học và kiến thức không gian Trong giảng dạy hình học, kiến thức hình học là kiến thức thuộc về toán học, nó gắn liền với các tiên đề, định nghĩa, định lí và các phép suy luận. Còn kiến thức không gian theo Berthelot và Salin, đó là: “những kiến thức mà hình học có thể mô tả, và chúng cho phép mỗi cá nhân cảm nhận và kiểm soát được hệ quả của những tác động của mình lên không gian, cũng như có được trao đổi các thông tin” [3, tr. 8] 1.6. Kết luận chương 1 Việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian qua trung gian là HHP không còn d ựa vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trước nữa. Cần có một phương pháp suy luận để đọc, hiểu và thể hiện nó. Nếu chọn phép chiếu song song thì: Hai đường thẳng song song song trong không gian được thể hiện bằng hai đoạn thẳng song song trong HHP. Tuy nhiên, trong hình vẽ, hai đoạn thẳng song song thì trong không gia n, chúng có thể không song song. Ngược lại nếu hai đoạn thẳng cắt nhau trên hình vẽ thì các đường thẳng trong không gian không song song. Như v ậy, tùy phương chiếu sẽ cho mô hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau: Điều này có thể giải thích tại sao khi vẽ hình biểu diễn của tứ diện có thể có một hoặc hai cặp cạnh đối diện song song. Việc dùng phép chiếu song song để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng có thể mang lại những sai lầm do trực giác. Yêu cầu hình biểu diễn đúng theo các tính chất của phép chiếu song song kết hợp với yêu cầu chọn hình biểu diễn trực quan.
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG VỊ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1. Mục đích của chương Mục đích chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ t hông. Chúng tôi chọn thể chế là chương trình, các sách hướng dẫn giảng dạy, SGK toán hiện hành. Cụ thể việc dạy học HHKG trong SGK Toán 8 và Hình học 11 nâng cao. Chúng tôi chia thành hai giai đoạn. Mỗi giai đoạn ứng với một thờ i điểm đưa đối tượng trên vào HHKG ở trường phổ thông. Trả lời những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi. Q2' : Trong chương trình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học liên quan? Q3' : Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Các qui tắc hợp đồng nào được hình thành? 2.2. Giai đoạn 1: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 8 Trong SGK 8, VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào Chương IV: Hình lăng trụ đứng – Hình chóp đều. Theo [7, tr. 108]: “Ở chương này các tác giả chỉ giới thiệu cho HS một số vật thể trong không gian thông qua các mô hình. Trên ơc sở quan sát HHCN, HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG: - Điểm, đường thẳng và mặt phẳng - Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo - Hai đường thẳng song song với nhau - Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song…” Yêu cầu của SGV: “Khi dạy HHKG, cần phải luôn liên hệ với HHP, từ đó: so sánh, mở rộng những khái niệm, tính chất đã học trong HHP vào HHKG” [7, tr. 110] 2.2.1. Mặt phẳng và đường thẳng trong giai đoạn 1 Trên cơ sở quan sát HHCN, SGK cho HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG: - Điểm như là các đỉnh của hình hộp - Các cạnh như là đoạn thẳng B C - Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD là một phần của mặt phẳng (ta hình A D dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía) B' A' C' D'
- Đường thẳng qua hai điểm của mặt thì nằm trọn trong mặt phẳng đó Như vậy, theo cách trình bày của SGK thì mặt phẳng như là mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ nhật nên mặt có dạng hình bình hành hay hình chữ nhật. Không xét trường hợp mặt phẳng có mô hình biểu diễn là tam giác. Các đường thẳng chủ yếu nằm trên các mặt bên của hình hộp là các đường quan sát được trên hình, không thấy xuất hiện các đường thẳng của mặt chéo. 2.2.2. Hình thành khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1 Qua việc quan sát hình, SGK phân biệt ba vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a, b như sau: a) Cắt nhau (H.a). Chẳng hạn DD ' và A ' D ' cắt nhau ở D ' , chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( ADD ' A ') b) Song song (H.b). Chẳng hạn AA ' song song với DD ' , ký hiệu AA '/ /DD ' , chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( AA ' D ' D ) c) Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào (H.c), chẳng hạn các đường thẳng AD và D 'C ' [6, tr. 98] B C B A B C A D D D C A C' B' C A' B' B' A' D' A' D' D' C' H. a H. b H. c Như vậy, có ba VTTĐ giữa hai đường thẳng phân biệt trong không gian được xét là cắt nhau, song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Khi nói đến hai đường thẳng cắt nhau hay song song, SGK đã nói rõ mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Theo cách xác định mặt phẳng ở trên, liệu HS có cho rằng: “không cùng nằm trong một mặt phẳng nào” tức là không cùng nằm tro ng một mặt bên của hình hộp hay không? Chúng tôi không thấy có thêm câu hỏi khác để cũng cố ba vị trí tương đối trên. SGV cũng công nhận rằng hai đường thẳng chéo nhau là “một khái niệm khó, vì vậy chỉ có thể đưa ra một mô hình để học sinh quan sát” [7, tr. 113]. Không đề cập các tiên đề của HHKG, không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà chỉ đưa ra định nghĩa hai đường thẳng song song qua hai đặc trưng đồng phẳng và không có điểm chung. “Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung” Một tính chất của nó: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” [6, tr. 98]
Đây là một tính chất đúng trong HHP cũng như trong HHKG. Khi đưa tính chất này vào chương trình, SGK không chú ý gì thêm, liệu HS có nhầm lẫn khi cho rằng có thể áp dụng những tính chất trong HHP vào HHKG? Về hai đường thẳng song song trong không gian, SGV có những lưu ý như sau: “Trong HHP, học sinh đã được làm quen với hai đường thẳng song song với hai điều kiện. Thực tiễn ở trường học cho thấy học sinh chỉ còn nhớ hoặc chú ý đến điều kiện thứ hai vì điều kiện thứ nhất được xem là hiển nhiên (cùng nằm trong mặt phẳng) …Khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian hoàn toàn giống như khái niệm hai đường thẳng song song trong hình phẳng (thực chất là hình phẳng), tuy nhiên trong không gian, khi đề cập đến hai đường thẳng song song phải căn cứ vào hai tính chất đặt thù của nó: bỏ sót tính chất thứ nhất (cùng nằm trong một mặt phẳng) sẽ dẫn đến khái niệm hai đường thẳng chéo nhau…” [7, tr. 113] Liệu có thể giải thích chướng ngại HS mắc phải trên là do sự trình bày kiến thức của thể chế được không? Khi đưa ra một khái niệm mới hay một tính chất, SGK đều có ví dụ và giải thích cụ thể. Trình tự kiến thức mà HS được học là: Quan sát hình  nhận xét tính chất hình  khái niệm mới  củng cố 2.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng Các bài tập SGK, SBT đưa ra đều sử dụng mô hình là hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ. Không có bài tập yêu cầu chứng minh tính chất, yêu cầu vẽ hình. “Chương trình không yêu cầu HS biểu diễn hình không gian nhưng việc qua sát hình, việc “đọc” hình là cần thiết” [7, tr. 109] Chúng tôi đ ã thống kê nhữngkiểu nhiệm vụ có trong SGK và SBT như sau T1 : Tìm hai đường thẳng song song T2 : Tìm hai đường thẳng cắt nhau T3 : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. T4 : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng T5 : Tìm hai mặt phẳng song song T6 : Vẽ thêm các c ạnh để được một hình hoàn chỉnh Thống kê số lượng nhiệm vụ của ba kiểu nhiệm vụ được nêu trong Bảng 2.1 KNV T1 T2 T3 T4 T5 T6 SGK 9 0 0 8 2 3 SBT 1 5 5 3 2 0
TC 20 15 3 Bảng 2.1 Như vậy, nhiệm vụ tìm hai đường thẳng song song và hai mặt phẳng song song chiếm số lượng lớn trong SGK. Kỹ thuật chung đối với hai dạng bài tập này là quan sát hình vẽ để nhận ra quan hệ giữa các đối tượng. HS chưa được học các “dấu hiệu nhận biết” để áp dụng vào chứng minh như trong HHP. Các dạng bài tập trên có thể quy về loại bài tập nhận dạng hình và đọc hình. Hai nhiệm vụ tìm đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng không được nói đến trong SGK nhưng lại được đề cập nhiều trong SBT. Liệu những kiến thức SGK cung cấp có đủ cho HS giải được những bài tập này không? PHÂN TÍCH CHI TIẾT Kiểu nhiệm vụ T1 : Tìm hai đường thẳng song song Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để xác định cặp cạnh cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung Công nghệ: Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian và tính chất: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Bài 6/SGK/Tr.100: ABCD. A1 B1C1 D1 là một hình lập phương (h.81). Quan sát hình và cho biết B1 C1 a. Những cạnh nào song song với cạnh C1C A1 D1 b. Những cạnh nào song song với cạnh A1 D1 B C Lời giải mong đợi: a. AA1 ; BB1 ; DD1 A D b. BC ; B1C1 ; AD Nhận xét T1 : Đây là dạng bài tập nhận dạng và đọc hình đơn giản, kỹ thuật không được nêu trong SGK. HS không được đối diện với kiểu bài tập nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian thực. Như vậy việc vận dụng kiến thức đã học vào việc nhận dạng hai đường thẳng song song trong không gian không thuộc về trách nhiệm của HS. Kiểu nhiệm vụ T2 : Tìm hai đường thẳng cắt nhau Kỹ thuật: Quan sát hai đường có cùng nằm trên một mặt phẳng và có điểm chung hay không Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng cắt nhau Bài 10/SBT/Tr.107: ABCD. A1 B1C1 D1 là một hình lập phương a. Khi nối A với C1 và B với D1 thì hai đường thẳng AC1 và BD1 có cắt nhau hay không? D C b. AC1 và A1C có cắt nhau hay không? B A c. Câu hỏi tương tự như câu b) với BD1 và A1 A D1 C1 A1 B1
Nhận xét: Bài tập không yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau mà dưới dạng câu hỏi mở: “có, không”. Không yêu cầu giải thích câu trả lời. Lời giải mong đợi a. Bốn điểm A, B, C1 , D1 thuộc một mặt phẳng. Dễ thấy ABC1 D1 là một hình bình hành có AC1 , BD1 là hai đường chéo nên chúng cắt nhau. b. Tương tự câu a) AC1 , A1C là hai đường chéo của hình chữ nhật AC C1 A1 nên chúng cắt nhau c. Không cắt nhau Nhận xét T2 : Kỹ thuật và nhiệm vụ không được xây dựng trong SGK. Tình huống đưa ra có sự xuất hiện mặt phẳng như là mặt chéo, đường thẳng là đường chéo của hình hộp, điều này không được nói đến trong SGK. Các đường thẳng cắt nhau được giải thích là đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật. Lý do hai đường thẳng không cắt nhau (ở đây là chéo nhau) lại không được giải thích. Như vậy, HS không có trách nhiệm giải thích về sự không cắt nhau của hai đường thẳng. Kiểu nhiệm vụ T3 : Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để nhận ra các đường không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa yêu cầu bài toán Công ngh ệ: Khái niệm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng Bài 21/SBT/Tr.109: Tìm trên hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường D1 C1 thẳng thứ ba thì song song với nhau. A1 B1 D C A B Nhận xét: Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc trong không gian. Nắm được tính chất hình hộp chữ nhật để suy ra bất kỳ hai cạnh nào của hình hộp hoặc là song song hoặc vuông góc. Có thể tìm một đường thẳng bất kỳ, sau đó tìm hai đường thẳng còn lại vuông góc với đường thẳng đó và không song song với nhau. Lời giải mong đợi: A1A ⊥ AB và A1A ⊥ AD nhưng AB và AD không song song ới v nhau. Mệnh đề sai. Bài 7/ SBT /Tr.106: Tìm trên hình hộp chữ nhật D1 C1 A1 B1 D C A B
ABCD. A1 B1C1 D1 một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau đây là sai: a. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng kia. b. Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung. Nhận xét: Đây là hai tính chất trong HHP mà không đúng trong HHKG. Bài ật p xét mối quan hệ giữa tính song song và có điểm chung của hai đường thẳng. Lời giải mong đợi a. Chẳng hạn AB//CD và BB1 cắt AB nhưng nó không cắt CD. Mệnh đề a) sai b. Chẳng hạn hai đường thẳng DC và BB1 không có điểm chung nhưng chúng không song song với nhau. Mệnh đề b) sai. Nhận xét T3 : Kiểu nhiệm vụ tìm hai đường thẳng không đồng phẳng không được nêu trong SGK. SBT thể hiện qua yêu cầu tìm phản ví dụ để minh họa cho những tính chất đúng trong HHP mà không đúng trong HHKG. Lý do đ ưa nhiệm vụ t3 là thỏa đáng vì nó đáp ứng yêu cầu của SGV cũng như kiến thức của HS sau này. Nhiệm vụ cho thấy có sự so sánh mở rộng khi học HHKG liên hệ với HHP. Tên của nhiệm vụ không được nêu một cách tường minh và kỹ thuật cũng không được trình bày. Các mệnh đề SBT đưa ra đều rất quen thuộc đối với HS, là ba mệnh đề đúng trong HHP. Đó là: - Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì chúng cũng cắt đường thẳng còn lại. - Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung - Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song Bài tập này minh họa cho một lưu ý của SGV: “Cần tránh xu hướng sai lệch: tất cả các định lý đã học về đường thẳng song song trong hình phẳng đều đúng trong không gian” [6, tr. 113]. Nhận xét ba kiểu nhiệm vụ đầu: Qua việc phân tích bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T, chúng tôi thấy các bài tập trong SBT có sự đa dạng trong cách xác định đường và mặt, yêu cầu cao về mức độ vận dụng. Chúng bước đầu tạo ra sự khác biệt về kiến thức giữa HHKG và HHP. Kiểu nhiệm vụ T đã thể hiện đầy đủ ba VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian. Việc tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng không được đề cập trong SGK nhưng có trong SBT qua việc yêu cầu HS chỉ ra một số quan hệ trên hình vẽ mà mà các đường thẳn g không đồng phẳng phản ánh. Kiểu nhiệm vụ T4 : Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng Kỹ thuật: Tìm một đường thẳng nằm trong mặt p hẳng và song song với đường thẳng đề bài cho