Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐOÀN THỊ THANH NGẦN ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ (TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đoàn Thị Thanh Ngần ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ (TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân Hà Nội - 2011
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) .......................................................4 1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƯỢNG TỬ ........................................................................4 1.1. Khái niệm về hố lượng tử.....................................................................................4 1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử: .............5 2. HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER)...................................................6 2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ..............6 2.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ ....................................................................10 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƯỜNG BỨC XẠ LASER ................19 1. Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt hai sóng .....................................................................................................................19 2. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ trong hố lượng tử bởi điện giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser ..................................................................30 CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƯỢNG TỬ GaAs/ GaAsAl ..........................................................................44 1. Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ  cho trường hợp hố lượng tử GaAs/GaAsAl: ..........................................................................................................44 2. Thảo luận các kết quả thu được: ...........................................................................47 KẾT LUẬN ..............................................................................................................49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................50 PHỤ LỤC .................................................................................................................51 57
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ T……….…………45 Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ mạnh E01……………………………………………..……………………………45 Hình 3.3: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ mạnh (Laser)…………………………………………………………………….....46 Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ yếu…………….…………………………………………………………….46 Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào độ rộng hố lượng tử L…......47
MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Sự mở rộng các nghiên cứu về hệ bán dẫn thấp chiều, trong đó có hệ hai chiều trong thời gian gần đây đã đem lại nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống, lôi cuốn sự tham gia nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới. Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý cả về định tính lẫn định lượng của vật liệu, Trong số đó, có bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu trong các loại vật liệu 1  8 Trong khi ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon… Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm thay đổi đáng kể những tính chất vật lý của hệ 9  20 Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá nhiều. Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh hưởng sóng điện từ Laser lên hấp thụ phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều . Tuy nhiên, đối với hố lượng tử, sự ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn là một vấn đề mở, chưa được giải quyết. Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề nghiên cứu của mình là “Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)”. 1
Về phƣơng pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ sóng điện từ như như lý thuyết hàm Green, phương pháp phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. Về đối tƣợng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc bán dẫn thấp chiều thuộc hệ hai chiều, đó là hố lượng tử. Kết quả trong bài luận văn là đã đưa ra được biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser. Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ E0 , phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính nào nhiệt độ T của hệ, tần số  của sóng điện từ và các tham số của hố lượng tử (n, L). Kết quả được đưa ra và so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối để thấy được sự khác biệt. Ngoài ra một phần kết quả tính toán trong luận văn đã được gửi đăng tại Tạp chí Khoa học công nghệ Quốc phòng. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 8 mục, có 5 hình vẽ, tổng cộng là 56 trang: Chƣơng I: Giới thiệu về hố lượng tử và bài toán về hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh (Laser). 2
Chƣơng II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện yếu từ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser. Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/ GaAsAl Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả chính của khóa luận. 3
CHƢƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN VỀ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) 1. GIỚI THIỆU VỀ HỐ LƢỢNG TỬ 1.1. Khái niệm về hố lƣợng tử Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Và do vậy trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục. Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật  1/2 (với  là năng lượng của điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật khác  1/2 . 4
Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt. Khi xây dựng được cấu trúc hố thế có chất lượng tốt, có thể coi hố thế được hình thành là hố thế vuông góc. 1.2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử Xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử. Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố lượng tử bị giới hạn theo trục của hố lượng tử (giả sử là trục z), do đó năng lượng của nó theo trục z sẽ bị lượng tử hoá và được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó  n (n  0,1,2) . Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:     n, p (r )  0ei p   r sin( pzn z)    Với p   ( p x , p y ) , 2 n   n, p  * ( pzn 2  p2 ) Ở đây pzn  2m L Trong đó n = 1,2,3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z    p  p   p z là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vecto sóng của điện tử điện tử). Với  Oxy : Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy m: khối lượng hiệu dụng của điện tử; L : Độ rộng của hố lượng tử.  p  : Hình chiếu của trên mặt phẳng (x, y)   r  : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y) 5
n p nz  : là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z. L Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong hố lượng tử so với các mẫu khối. 2. HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) 2.1. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối: H  H e  H ph  H e ph   e     Với : H e     p  A(t )  a p a p  p  c  H ph    q bqbq (1.1) q H e ph      Cq ap  q ap bq  bq q, p  Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: np (t ) i   ap ap , Hˆ  (1.2) t   t Trong đó:  ap  , ap là toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái | p   bq  , bq là toán tử sinh, hủy phonon âm ở trạng thái | q   p, q là xung lượng của điện tử và phonon trong bán dẫn Từ Hamilton và mối liên hệ giữa các toán tử, sử dụng các hệ thức giao hoán, sau một số phép biến đổi ta thu được: 6
np (t ) i  Cq  Fp ,p q ,q (t )  Fp*q ,p , q (t )  Fp ,p q ,q (t )  Fp*,p q , q (t )  (1.3) t  q    Với Fp ,  (t )  a a b 1 p ,q 2 p p q 1 2 t Để giải (1.3) ta cần tính Fp , p , q (t ) thông qua phương trình: 1 2 Fp ,  (t )   ap a b ; H  p ,q i 1 2 (1.4) t  1 p2 q  t Thay Hamilton H vào phương trình, tính toán từng số hạng ta thu được: Fp , p , q (t ) i 1 t 2    ( p2 )   ( p1 )   e mc   1 2  p2  p1 A(t )  q  Fp , p , q (t )   (1.5)   Cq a p a p 1  1 2  q1 q  b bq  b q 1  1    Cq a p 1  1  q1  a p bq  b q bq 2 1  1  q1 t q1 t (1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện Fp , p , q (t  )  0 . 1 2 Để giải (1.5) trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng. Fp ,    e       (t )    ( p2 )   ( p1 )  p2  p1 A(t )  q  Fp , p ,q i 1 2  (t ) t  mc  1 p2 , q          dF F i     ( p2 )   ( p1 )   e mc  p2  p1 A(t )  q  dt    i    e       t  ln F      ( p2 )   ( p1 )  p2  p1 A(t1 )  q  dt1   mc   t i    e       F p , p ,q (t )  exp      ( p2 )   ( p1 )  o     p2  p1 A(t1 )  q  dt1        mc   1 2 Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng: F F  M (t ).F o (t )   M '(t ).F o (t )  M (t ) F o '(t ) t Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiêm ta được: 7
      t i F   (t )   Cq    ap  q a bq  bq bq  ap a   b b  b  p q q q     t2  p1 , p2 , q p2 q  q1  1 1 1 1 1 t2 1 2 1 1 1 i   ie        t  exp   p   p  q  t  t2        p1  p2 A(t1 ) dt1   dt2   mc t2    1 2 (1.6) Thay (1.6) vào (1.3) ta được: np (t )             t i i  C   C      a p  q1 a p q bq1  b q1 bq  ap ap q q bq bq  bq  t  q q  q1  q 1    t2 1 1 1 t2  i ie       t  exp   p   p  q  q  t  t2   mc t2       q A(t1 )dt1   dt2      i       t   Cq    ap ap q  q bq bq  b q  ap q ap q bq  b q bq   q1 1     1 1 1 t2 1 1 1 t2   i ie          t  exp   p  q   p   q  t  t2    p1  p 2 A(t1 ) dt1   dt 2    mc t2         t i   Cq    ap  q  q ap bq  bq bq  ap  q ap bq bq  bq      q1  1 1 1 1 t2 1 1 t2  i t         exp   p  q   p  q  t  t2   ie  q A (t1 ) dt1   dt 2   mc t2                t i   C    a pq a pq1b q bq1  b q1  ap  q  q ap bq  b q bq   q1 q1  t2 1 1 1 t2   i t          exp   p   p  q   q  t  t2   ie mc t2 q A (t1 ) dt1   dt 2   8
n p (t ) 1 | C 2 i  |  t 2 q q   i    t t   dt ' n p q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p   p q  q t  t '  ie mc t ' q A(t1 ) dt1       i    t  n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p   p q  q t  t '  ie   mc t ' q A(t1 )dt1      i    t  n p (t ' ) N q  n p  q (t ' )( N q  1)  exp   p  q   p  q t  t '  ie   mc t ' q A(t1 )dt1      i    t  n p  q (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p  q   p  q t  t '  ie   mc t ' q A(t1 )dt1    (1.7)    Eo1c E c Thay: A(t )  cos 1t  o 2 cos 2t 1 2  và áp dụng khai triển: exp(iz sin  )   J ( z)exp(i ) ta có:       ie t    ieEo1 q ieEo 2 q  exp   1 1 q A (t ) dt   exp   sin  t ' sin  t    sin  t ' sin  2  t   m1 m 22 2 1 1 2  mc t '        eE q   eE q    J l  o12  J s  o12  exp(is1t ')exp(il 1t )  l , s   m1   m 2      eEo 2 q   eEo 2 q    Jf   Jm   exp(if  2t ')exp(im 2t ) f , m   m12   m 22     eE  eE Đặt: a1  o1 ; a2  o 22 thì: m12 m2  ie t             exp   q A (t1 ) dt1            J l a1 q J s a1 q J m a 2 q J f a 2q   mc t'  l , s , m , f   exp i ( s  l )1  (m  f ) 2  t exp i ( s1  m 2 )(t  t ') Thay kết quả này vào (1.7) và đưa vào thừa số: e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có: 9
n p (t )  J a q J a q J a q J a q  exp i(s  l )  (m  f ) t  1 | C 2 i  | t l 1 s 1 m 2 f 2 1 2 2 q q l , s ,m , f    i     t   dt ' n pq (t ' ) N q  n p (t ' )( N q  1)  exp   p   pq  q  s1  m 2  i t  t '      i     n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p   pq  q  s1  m 2  i t  t '      i     n p (t ' ) N q  n p q (t ' )( N q  1)  exp   p q   p  q  s1  m 2  i t  t '      n  1) exp    i  pq (t ' ) N q  n p (t ' )( N q pq   p  q  s1  m 2  i t  t '    (1.8) (1.8) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) Ta giải (1.8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t )  n p và tính các tích phân sau:  exp     t  t ' dt ' i t K1   p   p q  q  s1  m2  i  t exp i ( s  l )1  (m  f )2  t ' K2   expi (s  l )1  (m  f )2 t ' dt '   i ( s  l )1  (m  f )2  Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được:          exp i  ( s  l )1  (m  f ) 2  t ' np (t )  1 2  |Cq | q 2  l , s , m , f          J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q i  ( s  l )1  (m  f ) 2     n p q N   n p ( N   1)   n p N   n p q ( N   1)          q q q q   p       p q      q  s   1  m  2  i     p     p q      q  s   1  m   2  i    n p N   n p  q ( N   1)   n p  q N   n p ( N   1)          q q q q   p  q   p  q  s1  m 2  i  p  q   p   q  s1  m 2  i   (1.9) 2.2. Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ  e   e    Véc tơ mật độ dòng: J (t )    p A(t ) n p (t ) m p  c  10
 e2   e   e2 no  e   Hay: J (t )   p m  p mc p A(t )n (t )  pn (t )  mc A (t )  m  pn p (t ) (1.10) p p với n p (t )  no p Ta xét số hạng thứ hai: e          exp i ( s  l )1  (m  f )2  t '  pn m p p (t )  e  | C  | 2 m q q l ,s ,m, f  J a q J a q J a         l 1 s 1 m 2 f 2 q i  ( s  l )  ( m  f )   q J a 1 2    n p q N   n p ( N   1)     n p N   n p q ( N   1)   q     q q q p   p    p p q         q  s   1  m  2  i    p     p q     q  s   1  m   2  i   n p N   n p q ( N   1)   n p q N   n p ( N   1)          q q q q   p q   p  q  s1  m2  i  p q   p   q  s1  m 2  i   (1.11) k  l  s  l  k  s k :    Đặt  Ta có r  l  m  f  r  m r :    e          m * p pn (t ) e  p m *  q l ,s,m, f  k s 1 s 1 m 2 r m 2 q  q |C  | 2 J a q J a q J a q J a         exp i  k 1  r2  t '     n p q N   n p ( N   1)      q q p i  k 1  r2              s  m  i   p p q p q 1 2  n p N   n p q ( N   1)   n p N   n p  q ( N   1)    q q    q q   p   p q   q  s1  m2  i  p  q   p  q  s1  m2  i  n p  q N   n p ( N   1)       q q   p  q   p   q  s1  m 2  i     Thực hiện các bước chuyển đổi: q   q , m  m và sử dụng tính chất hàm Bessel J  ( x)  J   ( x)  (1)  J  ( x)  p  q  n     pq N q  n p ( N q  1)    p  11
                   J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a2 q           J k  s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q       p  q   p  q  s1  m2  i  p  q   p  q  s1  m 2  i      p  n p  q N q  n p ( N q  1)                        J k  s a1 q J s a1 q J m a2 q J r  m a2 q           J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a2 q        p  q   p  q  s1  m2  i  p  q   p  q  s1  m 2  i    (1.12) e  e   exp i  k 1  r2  t '    2 pn (t )  |C  | q  m * p p m * q ,p q k ,s ,m,r   k1  r2         J s a1 q J m a2 q n p  q N q  n p ( N q  1)                 J s k a1 q J mr a2 q    J k  s a1 q J r  m a2 q       p  q   p  q  s1  m2  i  p  q   p  q  s1  m 2  i    (1.13) Áp dụng công thức sau: expi  k 1  r2  t  cos (k 1  r2 )t   i sin (k 1  r2 )t  1  Và   i ( x) x  i x Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t ) , ta có: e                     pn m * p p (t )  e  | C  | 2  m * q ,p q k ,s ,m,r  qJ s    a1 q J m a 2 q n p  q N   n p ( N   1)    J k  s a1 q J r  m a2 q   q q       cos  (k 1  r  2 )t   sin  (k 1  r  2 )t       J s k a1 q J mr a2 q    k 1  r  2           s1  m 2  (i )  k   r    pq p q 1 2                     J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q  (i )  p  q   p  q  s 1  m2      12
Suy ra:   n p  q N q  n p ( N q  1)          e  m * p pn (t )  p e  |C  | 2  m * q ,p q k ,s ,m,r  q  k 1  r2      J s a1 q J m a 2q          cos (k 1  r2 )t              J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q             s1  m2    pq p q                  J k  s a1 q J r m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q   sin (k 1  r2 )t        p  q   p  q  s1  m2    (1.14) Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu được:   n p  q N q  n p ( N q  1)      e 2 no       J (t )  mc A(t )  e  |C  | 2  m * q ,p q k ,s ,m,r  q  k 1  r2      J s a1 q J m a 2q           cos  (k 1  r 2 )t             J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q              s1  m 2   pq p q                    J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q   sin  (k 1  r  2 )t        p  q   p  q  s1  m 2    (1.15) Ta đi tìm hệ số hấp thụ phi tuyến  : Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết 2  1 như sau: 8    J (t ) E o 2 sin 2t (1.16) c   Eo22 t Thay (1.15) vào (1.16) ta được: 8   e no   2 e        c   Eo22  A(t ) E o 2 sin 2t   pn p (t )E o 2 sin 2t m p   mc t  t Ta tính số hạng thứ nhất. 13
Eo1c E c Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t )  cos 1t  o 2 cos 2t 1 2   e2 no   e2 no 1  Eo1c  T Eo 2c mc T o  1 A(t ) E o 2 sin 2t   cos  t  cos  2  E o 2 sin  2tdt t 2 1 mc t  2 2 Trong đó: T1  và T2  là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ 1 2 nhất của T1 và T2. cos(a  b) x cos(a  b) x Sử dụng tích phân:  sin(ax)cos(bx)dx   với a 2  b2 2(a  b) 2(a  b) (1.17) e2 no   Suy ra: A(t ) E o 2 sin 2t 0 (1.18) mc t Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.17) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa cos (k 1  r2 )t  sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có: e e E o 2   n p  q N q  n p ( N q  1)        q k , s,m,r  k  r  J s a1 q J m a2 q  2 pn (t ) E o 2 sin  2 t  q | C | m p p m q, p 1 2 J a qJ a q J a qJ a q   t k s 1 r m 2 sk 1 mr 2 pq   p  q  s1  m2  T   sin(k1  r2 )t sin 2tdt 1 T0 0 khi k 1  r2  2  T Lưu ý:  sin (k 1  r2 )t  sin2tdt   T 0  2 khi k 1  r2  2 Suy ra: e  pn (t ) E o 2 sin 2t m p p  e E o 2        q | Cq | , s,m,r   n p  q N q  n p ( N q  1) J s a1 q J m a2 q  2m 2 q , p 2 J a qJ a q J a qJ a q   t k s 1 r m 2 sk 1 mr 2 pq   p  q  s1  m 2 (1.19) Với k 1  r2  2 (1.20) 14
Thay (1.19) vao (1.16) ta được hệ số hấp thụ: 4 2e        q s,m     n p ( N   1)  J     2  q |C  | n   p  q N  a  s 1 q J a 2q  c   m2 Eo 2 q ,p q q m                   J k  s a1 q J r  m a2 q  J s k a1 q J mr a2 q             s1  m 2   pq p q  Với k 1  r2  2 Từ biểu thức hàm Bessel:   2   s  k   2   s    (1)   a1 q   (1)   a1 q  J s  k (a1 q )          0  !( s  k    1)  2   0  !( s    1)  2    k   k ( s    1)  a1 q   a1 q     ( s    1)      J s (a1 q) ( s  k    1)  2   2   0 ( s  k    1) Vậy  a q  k  a q  r  ( s    1) (m    1) J a qJ a q J a qJ   k s 1 r m 2 s k 1 mr a2 q   1   2    2   2   0 ( s  k    1) (m  r    1)   ( s    1) (m    1)  k r a q  a2 q     1    2     J s (a1 q) J m (a2 q)  0 ( s  k    1) ( m  r    1)   2     2 k r   a q  2 k  a q  2 r ( s    1)(m    1) ( s    1)(m    1)   (a1 q) k (a2 q) r    1   2      0  2   2  ( s  k    1)( m  r    1)   ( s  k    1)(m  r    1)     J s (a1 q) J m (a2 q) Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1  Eo 2 ta cho r=1;k=0 (thoả mãn giả thiết k1  r2  2 ta được:      2m     J m1 (a2 q)  J m1 (a2 q)  J s (a1 q)    J s (a1 q) J m (a2 q) . Suy   (a q) 2 ra: 4 2e   2m22 2  2    q   s ,m  |  n p  q N   n p ( N   1)      2  q |C      mJ s a1 q J m a2 q  c   m2 Eo 2 q ,p q q  E o 2 q    p  q   p  q  s1  m 2  (1.21) 15
8 22  2     c   E o22    q , p s , m   q      C |  n p  q N q  n p ( N q  1)  mJ s2 a1 q J m2 a2 q   (1.22)    p  q   p  q  s1  m 2  Trong công thức (1.22) dễ thấy các thành phần ứng với s1  m2  0 tương hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi 1 ,2 lớn so với năng lượng trung bình điện tử (  p ) thì hàm  trong (1.22) được viết lại là:  q2      pq      s1  m2  p  q     2m  q  s1  m2   Từ đó ta tìm được thứ tự của  k1,2  1/ 2 theo các giá trị của q.  p Sử dụng điều kiện tần số phonon      p rút ra 1,2  với s là tốc độ sóng q ms 2 âm. Như vậy tổng theo p không còn phụ thuộc vào phần đối số của  , ta thực hiện lấy tổng n   p (t )  no . p Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: q  o và 2  o q k T Cq  và N q  1  N q    2  vsV0 s q Từ (1.22) ta được: 8 2 2   2    2 k T           c   Eo22 2 s s q  n   p  q  n  p  s ,m   mJ 2 s a 1 q J m a2 q    p  q   p  q  s 1  m 2     4 2 2  2 k T              c   Eo22 s 2   mJ s2 a1 q J m2 a2 q   p  q   p  q  s 1  m2 q s , m  (1.23) Áp dụng gần đúng: 1,2   p , ta có: 4 22  2 k T   2    q 2   c  Eo22 s 2   q s , m      mJ s a1 q J m a2 q   2  2m  o  s1  m2   (1.24) 16